2第二章+自由曲线与自由曲面基本原理

自由曲线与自由曲面的基本原理
曲线和曲面的表达
一般地，平面曲线的参数表达式可以写为： 一般地，平面曲线的参数表达式可以写为： x=f(t) y=g(t) 符号f()、g()分别是参数 的函数。 符号 、 分别是参数t的函数。 分别是参数 的函数 曲面的参数表达式为： 曲面的参数表达式为： x=f(u,v) y=g(u,v) z=h(u,v) 上式中， ， 是参数 是参数。 上式中，u，v是参数。 由于参数表达的优越性，使之成为现有CAD/CAM软件中自由曲线和自由 由于参数表达的优越性，使之成为现有 软件中自由曲线和自由 曲面的主要方式。 曲面的主要方式。
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
个点P 进行的类似插值， 对n+1个点 i(i=0,1,2,…,n)进行的类似插值，可以得到插值点 nn的计 个点 进行的类似插值 可以得到插值点P 算式为： 算式为：
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
由于点P的位置是随参数 的变化而变化的 因此上式可以写为： 由于点 的位置是随参数t的变化而变化的，因此上式可以写为： 的位置是随参数 的变化而变化的， P（t）=(1-t) P1+tP2 （ ） 这就是直线段的一种参数化表达式。其中 称为起点， 这就是直线段的一种参数化表达式。其中P1称为起点，P2称为 终点。参数t有直观的几何意义，它代表了线段上任意一点P到 终点。参数 有直观的几何意义，它代表了线段上任意一点 到 有直观的几何意义 起点P 的距离|PP1|与线段总长度 1P2|的比值。显然，t 在 与线段总长度|P 的比值。 起点 1的距离 与线段总长度 的比值 显然， 0～1之间变化。并且 越小，点P就越靠近 1。当点 向P2移动 之间变化。 越小， 就越靠近P 当点P向 ～ 之间变化 并且t越小 就越靠近 就越大。 时，t就越大。 就越大
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
二阶Bezier样条曲线的生成方式 样条曲线的生成方式 二阶
P11和P12的计算称为第一轮插值，P22的计算称为第二轮插值。可见，第二轮插值是在第一轮插 的计算称为第一轮插值， 的计算称为第二轮插值。可见， 值的基础上完成的，并且其后无法再进行更进一步的插值运算。 值的基础上完成的，并且其后无法再进行更进一步的插值运算。 移动到P 则同步地从P 移动到P 与此同时， 逐步增加到1时 当t从0逐步增加到 时， P11从P1移动到 2，P12则同步地从 2移动到 3。与此同时， P22也从 从 逐步增加到 P1移动到 3，其移动的轨迹形成一条曲线，称为以 1、P2、P3 为控制顶点的二阶 移动到P 其移动的轨迹形成一条曲线，称为以P 为控制顶点的二阶 二阶Bezier曲线。 曲线。 曲线 如下图所示。 如下图所示。 如果将（ ） 如果将（1）式： P11 =(1-t) P1+tP2 和（2）式： P12 =(1-t) P2+tP3 ） 代入 （3）式： P22 =(1-t) P11+tP12 ） 立即可以推出： 立即可以推出： P22 =(1-t)2 P1+2t（1-t)P2 +t2P3 （ 由于P 的位置随着t的变化而变化 因此上式还可表达为： 的变化而变化， 由于 22的位置随着 的变化而变化，因此上式还可表达为： P（t）=(1-t)2 P1+2t（1-t)P2 +t2P3 （ ） （ 上式即为二阶 二阶Bezier样条的表达式。 样条的表达式 上式即为二阶 样条的表达式。 与一阶Bezier曲线相同，二阶 曲线相同， 曲线上任意点P 与一阶 曲线相同 二阶Bezier曲线上任意点 22的 曲线上任意点 位置又是各控制顶点综合影响的结果，而且各控制顶点对P 的影响因子之和仍然是 。 位置又是各控制顶点综合影响的结果，而且各控制顶点对 22的影响因子之和仍然是1。
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自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
虽然NURBS是目前最流行的自由曲线和自由曲面的表达方式，但由于其生成原理和 是目前最流行的自由曲线和自由曲面的表达方式， 虽然 是目前最流行的自由曲线和自由曲面的表达方式 表达式相对较为复杂，不易理解。因此， 表达式相对较为复杂，不易理解。因此，我们以另一种相对简单但同样十分典型的参 数表达式， 数表达式，即Bezier，来说明参数表达的自由曲线和自由曲面是如何生成的。 ，来说明参数表达的自由曲线和自由曲面是如何生成的。 如图所示，两点 构成一条直线段，设该直线段上任意点P 如图所示，两点P1(x1,y1)、 P2(x2,y2) 构成一条直线段，设该直线段上任意点 、 的坐标值为(x, y)，则有简单的几何原理可得到如下关系式： 的坐标值为 ，则有简单的几何原理可得到如下关系式：
《三维造型技术》 三维造型技术》
主讲： 主讲：黄宪明 适用： 数字媒体专业 适用：08数字媒体专业 08-09学年 第二学期
自由曲线与自由曲面的基本原理
为什么要学习自由曲线和自由曲面基本原理
曲面造型是三维造型技术的主要组成部分， 曲面造型是三维造型技术的主要组成部分，也是难度较大的部 曲面造型难度较大的原因在于： 分.CAD曲面造型难度较大的原因在于： 曲面造型难度较大的原因在于 CAD曲面造型功能繁多，且难于理解和掌握。即使是同一种曲面 曲面造型功能繁多， 曲面造型功能繁多 且难于理解和掌握。 造型功能，其中也往往有许多不同的选项，每一种生成效果都不 造型功能，其中也往往有许多不同的选项， 一样。 一样。 以自由曲面表达的形体往往更富于变化、更复杂。 以自由曲面表达的形体往往更富于变化、更复杂。 掌握CAD曲面造型技术的前提是正确地运用 曲面造型技术的前提是正确地运用CAD软件中的曲面 掌握 曲面造型技术的前提是正确地运用 软件中的曲面 造型功能，而这又是以理解这些功能为前提的。然而， 造型功能，而这又是以理解这些功能为前提的。然而，由于曲面 造型功能本身的复杂性， 造型功能本身的复杂性，如果没有一定的自由曲线和自由曲面的 基础知识，也就不可能真正理解这些功能。 基础知识，也就不可能真正理解这些功能。
自由曲线与自由曲面的基本原理
曲线和曲面的表达
曲线和曲面主要有三种表达方式：显式表达、隐式表达和参数表达。 曲线和曲面主要有三种表达方式：显式表达、隐式表达和参数表达。
显式表达 如直线y=x, y=2x等能直观地反应 坐标值如何随着 坐标值的变化而变化的表达 等能直观地反应y坐标值如何随着 如直线 等能直观地反应 坐标值如何随着x坐标值的变化而变化的表达 方式称为显式表达 显式表达； 方式称为显式表达； 隐式表达 在方程式x 坐标值y不能直接通过 的计算式得到， 不能直接通过x的计算式得到 在方程式 2+ y2 = R2中，坐标值 不能直接通过 的计算式得到，而是需要对该方 程求解才能得到。象这种不能直观地反映出y坐标值如何随 坐标值如何随x坐标值的变化而变化的 程求解才能得到。象这种不能直观地反映出 坐标值如何随 坐标值的变化而变化的 表达方式称为隐式表达 隐式表达； 表达方式称为隐式表达； 参数表达 如果引入一个新的变量t，并且令x=t，那么 y=x就可以改写 在直线方程 y=x 中，如果引入一个新的变量 ，并且令 ， 就可以改写 为： x=t y=t 上式中， 和 的关系式通过一个 第三者” 间接地反映出来 称为参数 的关系式通过一个“ 间接地反映出来， 称为参数。 上式中，x和y的关系式通过一个“第三者” t间接地反映出来，t称为参数。这种通 参数表达。 过参数来表达曲线的方式称为曲线的参数表达 参数的取值范围称为参数域， 过参数来表达曲线的方式称为曲线的参数表达。参数的取值范围称为参数域，通常规 定在0～ 之间 之间。 定在 ～1之间。
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
如果我们将参数t定义为点 到 的距离|PP1|与P2到P1的距离 2P1|的比值，即令： 的距离|P 的比值， 如果我们将参数 定义为点P到P1的距离 定义为点 与 的比值 即令：
则代入前式后可推导出如下参数表达式： 则代入前式后可推导出如下参数表达式： X=(1-t) x1+tx2 y=(1-t) y1+ty2 由于（ ），(x 分别是点P 的坐标， 由于（x,y）， 1,y1) ，(x2,y2)分别是点 1、P、P2 的坐标，因此我们不妨将上 ）， 分别是点 、 式简写成如下形式： 式简写成如下形式： P=(1-t) P1+tP2
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
P（t）=(1-t) P1+tP2 （ ） 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出， 是 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出，P是 计算得到的， 的位置是由P 决定的。 由P1和P2计算得到的，即P的位置是由 1和P2决定的。我们 的位置是由 称为线段的控制顶点。同时，上式中的P 将P1、P2称为线段的控制顶点。同时，上式中的 1和P2分别 与一个小于或等于1的系数 的系数（ － ） 相乘 相乘， 与一个小于或等于 的系数（1－t）和t相乘，这两个系数分别 称为P1和P2对P的影响因子，反映了各个控制顶点对P的位置 称为 的影响因子，反映了各个控制顶点对 的位置 影响力”或者“贡献量” 由于（ － ） 之和为 之和为1， 的“影响力”或者“贡献量”。由于（1－t）和t之和为 ，因此控 制定点对P的影响因子的总和是不变的 的总和是不变的。 制定点对 的影响因子的总和是不变的。 可见，上式直观、形象地反映了 在直线段上所处的位置 以及P 在直线段上所处的位置， 可见，上式直观、形象地反映了P在直线段上所处的位置，以及 1 和P2对P所作出的“贡献量”。我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点P1和P2的线性插值 所作出的“贡献量” 我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点 所作出的 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数t的一次函数 所谓插值，是指P由 的一次函数。 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数 的一次函数。所谓插值，是指 由P1和P2按一 定的方法（称为插值方式 计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 插值方式） 定的方法（称为插值方式）计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶 样条。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶Bezier样条。以这种方式表达的直线段是最简单的 一阶 样条 Bezier曲线，由于表达式中参数 的幂次为 ，因此称为一阶 曲线， 的幂次为1，因此称为一阶 一阶Bezier曲线。 曲线。 曲线 由于表达式中参数t的幂次为 曲线
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
二阶Bezier样条曲线的生成方式 样条曲线的生成方式 二阶 如图所示， P1、P2、P3是空间任意三个点，若我们用Bezier样条表达直线段P1P2， 如图所示， 是空间任意三个点，若我们用 样条表达直线段 样条表达直线段 并以P 表示直线段P 上参数为t的点 则由一阶Bezier样条曲线的表达式 P（t） 的点， 样条曲线的表达式 （ ） 并以 11表示直线段 1P2上参数为 的点，则由一阶 样条 =(1-t) P1+tP2 可得： 可得： P11 =(1-t) P1+tP2 （1） ） 同样地，若以P 表示直线段P 上参数为t的点 注意，此时P 对为起点），则有： 的点（ ），则有 同样地，若以 12表示直线段 2P3上参数为 的点（注意，此时 2对为起点），则有： P12 =(1-t) P2+tP3 （2） ） 显然，（ ，（1）式是对P 进行插值计算， 显然，（ ）式是对 1、P2进行插值计算，而2）式 ） 是对P 进行插值计算。 是对 2、P3进行插值计算。 进一步地，我们以P 作为起点， 进一步地，我们以 11作为起点， P12作为 终点，并将直线段P 上参数为t的点记 终点，并将直线段 11P12上参数为 的点记 为直线P 同样可以得到表达式： 为直线 22。同样可以得到表达式： P22 =(1-t) P11+tP12 （3） ）