2第二章+自由曲线与自由曲面基本原理

自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
二阶Bezier样条曲线的生成方式 样条曲线的生成方式 二阶 如图所示， P1、P2、P3是空间任意三个点，若我们用Bezier样条表达直线段P1P2， 如图所示， 是空间任意三个点，若我们用 样条表达直线段 样条表达直线段 并以P 表示直线段P 上参数为t的点 则由一阶Bezier样条曲线的表达式 P（t） 的点， 样条曲线的表达式 （ ） 并以 11表示直线段 1P2上参数为 的点，则由一阶 样条 =(1-t) P1+tP2 可得： 可得： P11 =(1-t) P1+tP2 （1） ） 同样地，若以P 表示直线段P 上参数为t的点 注意，此时P 对为起点），则有： 的点（ ），则有 同样地，若以 12表示直线段 2P3上参数为 的点（注意，此时 2对为起点），则有： P12 =(1-t) P2+tP3 （2） ） 显然，（ ，（1）式是对P 进行插值计算， 显然，（ ）式是对 1、P2进行插值计算，而2）式 ） 是对P 进行插值计算。 是对 2、P3进行插值计算。 进一步地，我们以P 作为起点， 进一步地，我们以 11作为起点， P12作为 终点，并将直线段P 上参数为t的点记 终点，并将直线段 11P12上参数为 的点记 为直线P 同样可以得到表达式： 为直线 22。同样可以得到表达式： P22 =(1-t) P11+tP12 （3） ）
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自由曲线的生成原理
由于点P的位置是随参数 的变化而变化的 因此上式可以写为： 由于点 的位置是随参数t的变化而变化的，因此上式可以写为： 的位置是随参数 的变化而变化的， P（t）=(1-t) P1+tP2 （ ） 这就是直线段的一种参数化表达式。其中 称为起点， 这就是直线段的一种参数化表达式。其中P1称为起点，P2称为 终点。参数t有直观的几何意义，它代表了线段上任意一点P到 终点。参数 有直观的几何意义，它代表了线段上任意一点 到 有直观的几何意义 起点P 的距离|PP1|与线段总长度 1P2|的比值。显然，t 在 与线段总长度|P 的比值。 起点 1的距离 与线段总长度 的比值 显然， 0～1之间变化。并且 越小，点P就越靠近 1。当点 向P2移动 之间变化。 越小， 就越靠近P 当点P向 ～ 之间变化 并且t越小 就越靠近 就越大。 时，t就越大。 就越大
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
P（t）=(1-t) P1+tP2 （ ） 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出， 是 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出，P是 计算得到的， 的位置是由P 决定的。 由P1和P2计算得到的，即P的位置是由 1和P2决定的。我们 的位置是由 称为线段的控制顶点。同时，上式中的P 将P1、P2称为线段的控制顶点。同时，上式中的 1和P2分别 与一个小于或等于1的系数 的系数（ － ） 相乘 相乘， 与一个小于或等于 的系数（1－t）和t相乘，这两个系数分别 称为P1和P2对P的影响因子，反映了各个控制顶点对P的位置 称为 的影响因子，反映了各个控制顶点对 的位置 影响力”或者“贡献量” 由于（ － ） 之和为 之和为1， 的“影响力”或者“贡献量”。由于（1－t）和t之和为 ，因此控 制定点对P的影响因子的总和是不变的 的总和是不变的。 制定点对 的影响因子的总和是不变的。 可见，上式直观、形象地反映了 在直线段上所处的位置 以及P 在直线段上所处的位置， 可见，上式直观、形象地反映了P在直线段上所处的位置，以及 1 和P2对P所作出的“贡献量”。我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点P1和P2的线性插值 所作出的“贡献量” 我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点 所作出的 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数t的一次函数 所谓插值，是指P由 的一次函数。 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数 的一次函数。所谓插值，是指 由P1和P2按一 定的方法（称为插值方式 计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 插值方式） 定的方法（称为插值方式）计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶 样条。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶Bezier样条。以这种方式表达的直线段是最简单的 一阶 样条 Bezier曲线，由于表达式中参数 的幂次为 ，因此称为一阶 曲线， 的幂次为1，因此称为一阶 一阶Bezier曲线。 曲线。 曲线 由于表达式中参数t的幂次为 曲线
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自由曲线的生成原理
如果我们将参数t定义为点 到 的距离|PP1|与P2到P1的距离 2P1|的比值，即令： 的距离|P 的比值， 如果我们将参数 定义为点P到P1的距离 定义为点 与 的比值 即令：
则代入前式后可推导出如下参数表达式： 则代入前式后可推导出如下参数表达式： X=(1-t) x1+tx2 y=(1-t) y1+ty2 由于（ ），(x 分别是点P 的坐标， 由于（x,y）， 1,y1) ，(x2,y2)分别是点 1、P、P2 的坐标，因此我们不妨将上 ）， 分别是点 、 式简写成如下形式： 式简写成如下形式： P=(1-t) P1+tP2
《三维造型技术》 三维造型技术》
主讲： 主讲：黄宪明 适用： 数字媒体专业 适用：08数字媒体专业 08-09学年 第二学期
自由曲线与自由曲面的基本原理
为什么要学习自由曲线和自由曲面基本原理
曲面造型是三维造型技术的主要组成部分， 曲面造型是三维造型技术的主要组成部分，也是难度较大的部 曲面造型难度较大的原因在于： 分.CAD曲面造型难度较大的原因在于： 曲面造型难度较大的原因在于 CAD曲面造型功能繁多，且难于理解和掌握。即使是同一种曲面 曲面造型功能繁多， 曲面造型功能繁多 且难于理解和掌握。 造型功能，其中也往往有许多不同的选项，每一种生成效果都不 造型功能，其中也往往有许多不同的选项， 一样。 一样。 以自由曲面表达的形体往往更富于变化、更复杂。 以自由曲面表达的形体往往更富于变化、更复杂。 掌握CAD曲面造型技术的前提是正确地运用 曲面造型技术的前提是正确地运用CAD软件中的曲面 掌握 曲面造型技术的前提是正确地运用 软件中的曲面 造型功能，而这又是以理解这些功能为前提的。然而， 造型功能，而这又是以理解这些功能为前提的。然而，由于曲面 造型功能本身的复杂性， 造型功能本身的复杂性，如果没有一定的自由曲线和自由曲面的 基础知识，也就不可能真正理解这些功能。 基础知识，也就不可能真正理解这些功能。
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二阶Bezier样条曲线的生成方式 样条曲线的生成方式 二阶
P11和P12的计算称为第一轮插值，P22的计算称为第二轮插值。可见，第二轮插值是在第一轮插 的计算称为第一轮插值， 的计算称为第二轮插值。可见， 值的基础上完成的，并且其后无法再进行更进一步的插值运算。 值的基础上完成的，并且其后无法再进行更进一步的插值运算。 移动到P 则同步地从P 移动到P 与此同时， 逐步增加到1时 当t从0逐步增加到 时， P11从P1移动到 2，P12则同步地从 2移动到 3。与此同时， P22也从 从 逐步增加到 P1移动到 3，其移动的轨迹形成一条曲线，称为以 1、P2、P3 为控制顶点的二阶 移动到P 其移动的轨迹形成一条曲线，称为以P 为控制顶点的二阶 二阶Bezier曲线。 曲线。 曲线 如下图所示。 如下图所示。 如果将（ ） 如果将（1）式： P11 =(1-t) P1+tP2 和（2）式： P12 =(1-t) P2+tP3 ） 代入 （3）式： P22 =(1-t) P11+tP12 ） 立即可以推出： 立即可以推出： P22 =(1-t)2 P1+2t（1-t)P2 +t2P3 （ 由于P 的位置随着t的变化而变化 因此上式还可表达为： 的变化而变化， 由于 22的位置随着 的变化而变化，因此上式还可表达为： P（t）=(1-t)2 P1+2t（1-t)P2 +t2P3 （ ） （ 上式即为二阶 二阶Bezier样条的表达式。 样条的表达式 上式即为二阶 样条的表达式。 与一阶Bezier曲线相同，二阶 曲线相同， 曲线上任意点P 与一阶 曲线相同 二阶Bezier曲线上任意点 22的 曲线上任意点 位置又是各控制顶点综合影响的结果，而且各控制顶点对P 的影响因子之和仍然是 。 位置又是各控制顶点综合影响的结果，而且各控制顶点对 22的影响因子之和仍然是1。
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自由曲线的生成原理
个点P 进行的类似插值， 对n+1个点 i(i=0,1,2,…,n)进行的类似插值，可以得到插值点 nn的计 个点 进行的类似插值 可以得到插值点P 算式为： 算式为：
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曲线和曲面的表达
曲线和曲面主要有三种表达方式：显式表达、隐式表达和参数表达。 曲线和曲面主要有三种表达方式：显式表达、隐式表达和参数表达。
显式表达 如直线y=x, y=2x等能直观地反应 坐标值如何随着 坐标值的变化而变化的表达 等能直观地反应y坐标值如何随着 如直线 等能直观地反应 坐标值如何随着x坐标值的变化而变化的表达 方式称为显式表达 显式表达； 方式称为显式表达； 隐式表达 在方程式x 坐标值y不能直接通过 的计算式得到， 不能直接通过x的计算式得到 在方程式 2+ y2 = R2中，坐标值 不能直接通过 的计算式得到，而是需要对该方 程求解才能得到。象这种不能直观地反映出y坐标值如何随 坐标值如何随x坐标值的变化而变化的 程求解才能得到。象这种不能直观地反映出 坐标值如何随 坐标值的变化而变化的 表达方式称为隐式表达 隐式表达； 表达方式称为隐式表达； 参数表达 如果引入一个新的变量t，并且令x=t，那么 y=x就可以改写 在直线方程 y=x 中，如果引入一个新的变量 ，并且令 ， 就可以改写 为： x=t y=t 上式中， 和 的关系式通过一个 第三者” 间接地反映出来 称为参数 的关系式通过一个“ 间接地反映出来， 称为参数。 上式中，x和y的关系式通过一个“第三者” t间接地反映出来，t称为参数。这种通 参数表达。 过参数来表达曲线的方式称为曲线的参数表达 参数的取值范围称为参数域， 过参数来表达曲线的方式称为曲线的参数表达。参数的取值范围称为参数域，通常规 定在0～ 之间 之间。 定在 ～1之间。