定积分的几何意义
定积分的概念 课件
a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．
定积分的几何意义是什么
定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。
定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx 在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。
定积分的几何意义
定积分定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；假设只有有限个连续点，那么定积分存在；假设有跳跃连续点，那么原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分几何意义
图形的面积。
y
解 如图所示，阴影部分面积
1
2
S 0 xdx 1 (x 2)dx
1
1
xdx
2
(x 2)dx
60
1
y x 2 yx
y x
1 1 1 11 622
7 6
0
1
2x
（3）用定积分的几何意义求定积分的值的方法 步骤： ①画图形； ②求交点定区间； ③由图像查找“一边恒在一边上”：i全 部就直接作差ii部分就分段。
n(n
1)(2n
1)
1 31
1 0
(2 6
x2dx lim n
n n2
Sn
lim
n
)
1 6
(2
3 n
1 n2
)
0
1x
1（以直代曲、逼近）
3
二、探究新知
探究1：你能通过观察图形得到定积分的 几何意义吗？
y
y f (x)
oa
bx
定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
一 、旧知回顾
练习：计算 1 x2dx
n
[提示：
i2
1 n(n 1)(2n 1)]
0
i 1
6
分析：分割 近似替代 作和 求极限
1 0
x2dx
Sn
n i 1
f
i
x
n i 1
f ( i )x n
y
n ( i )2 • 1 i1 n n
1 n3
n
i2
i 1
y x2
1 n3
•
1 6
计算定积分
定积分几何意义公式
定积分几何意义公式定积分是微积分中的一个重要概念，在数学和物理学等科学领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于求解函数在一段区间内的面积、体积等几何问题，还可以用于描述变化率、累积效应等动态的物理过程。
在本文中，我们将介绍定积分的几何意义和相关公式，并举例说明其应用。
首先，我们来理解定积分的几何意义。
定积分可以用于计算曲线下的面积，这是因为定积分可以看作是对一个函数在给定区间内的“加和”。
具体而言，如果我们有一个连续函数f(x)在区间[a, b]上的图像，那么用定积分来求解f(x)在该区间内的面积就是将该区间分成无数个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积相加得到。
对于一个函数f(x)在区间[a, b]上的连续图像，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n。
然后，我们在每个小区间上找到一个样本点ξi，并计算函数f(ξi)在该小区间内矩形的面积（即f(ξi) * Δx）。
最后，我们将所有小区间的面积相加得到近似面积Sn = f(ξ1) * Δx + f(ξ2) * Δx + ... +f(ξn) * Δx。
当我们将n趋向于无穷大时，也就是将每个小区间的长度无限缩小，那么每个小区间的面积也会无限接近于曲线下的面积。
此时，我们可以得到定积分的几何意义公式如下：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Sn = lim(n→∞) [f(ξ1) *Δx + f(ξ2) * Δx + ... + f(ξn) * Δx]其中，∫[a,b]表示从a到b的定积分，f(x)表示被积函数，dx表示无穷小的区间长度。
除了用于计算曲线下的面积，定积分还可以用于求解其他几何问题。
例如，我们可以通过定积分来计算某个形状的物体的体积。
如果我们有一个截面积为A(x)、从a到b的连续函数在坐标轴上的图像，那么这个形状的体积可以通过定积分来计算：V = ∫[a,b] A(x) dx这个公式的几何解释是，我们可以将这个形状分成无数个无穷小的薄片，每个薄片的厚度为dx，然后将每个薄片的体积（即A(x) * dx）相加得到整个形状的体积。
1.5定积分的几何意义
1、求曲边梯形面积 、 分割-----近似代替 近似代替-----求和 求和-----取极限 分割 近似代替 求和 取极限 2、定积分定义 、 3、定积分几何意义 、 4、定积分计算性质 、
1.求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法 求由连续曲线y= 求由连续曲线 对应的
n
O
a
b
x
积分
式
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
b ∫a
f ( x) d x
的实质
b （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，a 在区间［ 大于0 ∫
f ( x) d x 表示
直线x ),y 和曲线y 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义. 这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，b f ( x ) d x 表示 在区间［ 小于0 ∫ a 由直线x ),y 和曲线y 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数.
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方， 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
O
a
c
b
x
1.∫ f ( x)dx =
b a
S
f ( x) ≥ 0
-S f ( x ) < 0 表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积 S表示以 为曲边的曲边梯形面积 y
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。
这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。
根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。
这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。
通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。
同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。
除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。
如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。
这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。
通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。
它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。
总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
1.5.3定积分的几何意义3.14
a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义 说明等式 成立。
2
2
sin xdx 0
y
解： 在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[
， ]上连续，且在 ，]上 [ 0 2 2 2
2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,
b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x
b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5
A1
-1
A2
2
x
2
2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。
幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。
定积分的几何意义物理意义
定积分的几何意义物理意义一、定积分的几何意义定积分的几何意义可有趣啦！想象一下，你在一个平面直角坐标系里画了一条曲线，比如说y = x²。
如果我们要求从a到b这个区间上函数y = x²的定积分，那这个定积分的值就表示由曲线y = x²、x = a、x = b以及x轴所围成的图形的面积。
不过呢，这里要注意，如果曲线在x轴下方，那这部分面积可就得算成负的啦，就像欠了面积似的。
比如说y = -x²，从0到1求定积分，这个值就是负的，它表示的是x轴下方，曲线y = -x²和x轴以及x = 0和x = 1围成的图形的面积，只不过因为在下方所以是负的。
这就像是把平面的图形分成了上下两部分，x轴上面的是正面积，下面的是负面积，而定积分就把这些面积都加起来，得出一个总的“有正负之分的面积”值。
二、定积分的物理意义定积分在物理里也超级有用呢。
咱先说路程和速度的关系。
如果有一个物体，它的速度v是时间t的函数，比如v = 3t。
那从t₁时刻到t₂时刻这个物体走过的路程就可以用定积分来求啦。
这是为啥呢？你看啊，速度是描述物体运动快慢的，在一小段时间Δt里，物体近似看成是做匀速直线运动，那它走过的路程Δs就约等于vΔt。
当我们把整个时间段[t₁, t₂]分成无数个小时间段，每个小时间段都这么算路程，然后把这些小路程加起来，这不就是定积分干的事儿嘛。
所以定积分在这就表示这个物体从t₁时刻到t₂时刻走过的路程。
还有在做功方面。
假如有个力F是位移x的函数，例如F = 2x。
那力F在从x₁到x₂这段位移上做的功W就可以用定积分来求。
因为在一小段位移Δx里，力近似看成不变，那这一小段位移上做的功ΔW就约等于FΔx。
把整个位移区间[x₁, x₂]分成无数个小位移区间，每个小位移区间都这么算功，最后加起来就是总的功，这也就是定积分的意义。
定积分在物理里就像是一个神奇的工具，把很多连续变化的量通过这种分割、近似、求和的方式联系起来了呢。
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
用定积分的几何意义求不规则平面图形面积的思路
备考指南求平面几何图形的面积问题比较常见.对于规则的平面几何图形，可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圆等的面积公式来求解；而对于不规则的曲边平面图形，直接运用平面几何图形的面积公式往往很难求得，须利用定积分的几何意义求解.定积分的几何意义是指被积函数与坐标轴围成的面积，即曲边图形的面积S =∫a bf (x )d x .若被积函数的图象位于x 轴上方,则函数的定积分为正；若位于x 轴的下方,则函数的定积分为负.定积分与曲边梯形面积的关系，如下表所示.图形阴影部分面积S ＝∫b a f (x )d x S ＝-∫baf (x )d xS ＝∫ca f (x )d x -∫bc f (x )d xS ＝∫b af (x )dx －∫b ag (x )d x ＝∫ba [f (x )－g (x )]d x利用定积分的几何意义求平面几何图形面积的步骤如下：(1)根据题意画出平面几何图形；(2)根据几何图形确定被积函数，求出图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分.例1.（1）求函数y =4-x 2在[-2,2]上的图象与x轴所围成的图形的面积；（2）求函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形的面积.解：（1）由y =4-x 2可得x 2+y 2=4(y ≥0)，该式表示的是圆心在原点、半径为2的半圆，如图1中阴影部分所示.根据定积分的几何意义可知该半圆的面积为S=∫-224-x 2d x =12π×22=2π.图1图2（2）根据题意画出图形，函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形如图2中的阴影部分所示，根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积为∫-ππsin x d x =0.当被积函数的图象关于坐标轴或坐标原点对称时，比较容易求得几何图形的面积，直接利用定积分的几何意义和图形的对称性即可解题.例2.求曲线y 2=2x 与y =x -4所围成的图形的面积.分析：题中的图形由两条曲线围成，很难快速求得问题的答案，需将图形分割，把问题转化为求两部分图形的面积的和或差，再根据定积分的几何意义来解题.图3图4解法一：以两曲线的交点为分界点，将阴影部分分割为两部分，如图3所示.S =S 12=2∫022x x +∫28[2x -(x -4)]d x=32)|2032-(12x 2-4x )]|82=18.解法二：以x 轴为分界线，将阴影部分分割为两用定积分的几何意义求不规则平面图形黄文琴56备考指南∫226|图5图6当不能直接用定积分表示不规则平面几何图形的面积时，需采取分割图形的方法或者变换积分变量∫.反证法是解答数学问题的常用方法，是一种间接证明方法.当遇到一些从正面分析、求解较为困难的问题，或采用常规方法难以获解的问题时，采用反证法求解往往比较奏效.反证法是指假设原命题不成立，经过推理后，得到与已知条件、定理、性质等相矛盾的结论，从而证明原命题成立的方法.对于两个互相矛盾的命题和判断来说，根据矛盾律，可由其中一个为真，推断出另一个为假，但是不能由一个为假来断定另一个为真.然而，根据排中律的原理，我们不但能够由其中一个为真推断出另一个为假，同时也能够由一个为假来推断出另一个为真.反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律.在运用反证法来证明问题时，根据推出的矛盾和结果来否定反设，用的就是矛盾律；在否定反设之后，能够肯定原命题的正确性，用的是排中律.反证法解题的一般步骤为：第一步：认真读题，准确找到原命题的条件和结论；第二步：对原命题进行反设，即假设原命题不成立；第三步：由假设出发，进行推理论证，得到与已知条件、公理、定理、公式、定义等相矛盾的结论；第四步：得出最后的结论，证明原命题成立.对于命题：p⇒q，则需先假设命题结论q不成立，即¬q成立，然后由p和¬q出发，运用相关的定理、性质、公式等进行推理，得出相矛盾的结果，断定是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真.反证法的应用范围较广，可用于解答方程、不等式、函数、数列、解析几何、三角函数、立体几何等问题，下面举例说明.例1.求证：方程2x=3有且只有一个根.证明：由2x=3，可得x=log23，则方程2x=3有解.下面运用反证法来证明方程2x=3只存在唯一的赵雪岑。
定积分的概念,几何意义及其运算
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域 三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
定积分的几何意义及性质
定积分的几何意义及性质
积分作为高等教育中重要的概念，不仅存在于广义上的学分计算中，也存在于
窄义上的学术研究中。
在学分中，积分具有数量上的计算意义；在研究方面，积分和重要的科学性质密切相关。
比如在空间几何上，积分可以表示面积集或容积集；在复变函数论中，积分可以表示一类曲线上某一方向的增长量；在偏微分方程数学中，积分可以描述某类分布。
从这一角度看，积分可以表示某种量的准确或不准确的估算，人们可以根据积分的运算结果对一定模型进行更精确的定义，从而辅助学术研究。
此外，积分也常常被用于衡量一类系统的内在的物理行为和特征、动力学行为
和动能的差别以及传输特性等等。
它不仅反映了给定系统的量的变化，而且也可以进一步表达系统内在的动力学行为，在理论上也要求明确其功能状态以及所处的行为空间。
这就要求人们对积分运算中的参数作出相应的设定，同时回顾系统的物理行为原理，以实现进一步的发展。
总之，积分在高等教育中有重要的作用，从一定程度上提升了学术研究的水平。
它与空间几何、复变函数论、偏微分方程等领域密切联系，可以表示其数量、传输特性等物理性质，为学术研究奠定基础。
因此，在高等教育中，积分具有重要意义，我们必须认真研究它，最大限度地发挥它的广泛作用。
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
定积分和二重积分的几何意义
定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。
2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。
3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。
例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。
二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。
例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。
2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义
什么是定积分？
定积分是微积分中的重要概念，表示函数曲线下的面积。
它是对连续函数在闭区间上求和的极限，也可以理解为函数曲线与x轴之间的有向面积。
定积分的符号表示
定积分可以用以下公式表示：
b
(x)dx
∫f
a
其中，f(x)是要求积分的函数，a和b是积分的上下限。
定积分的几何意义
定积分的几何意义就是函数曲线与x轴之间的有向面积。
当函数为正值时，定积分表示曲线上方的面积；当函数为负值时，定积分表示曲线下方的面积。
定积分的几何计算
根据定积分的几何意义，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的有向面积来求定积分。
例如，我们要计算函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分，则可以进行如下计算：
∫x 22
0dx =13x 3|02=13(23−03)=83 因此，函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分为 83，表示曲线与x 轴之间的有向面积为 83。
定积分的性质
定积分具有以下性质：
•
积分的线性性质：∫(f (x )+g (x ))b a dx =∫f b a (x )dx +∫g b a
(x )dx •
区间可加性：∫f c a (x )dx =∫f b a (x )dx +∫f c b (x )dx 这些性质使得定积分在实际运用中更加灵活和方便。
总结： - 定积分是表示函数曲线下的有向面积的概念； - 定积
分可以用公式∫f b a
(x )dx 表示； - 定积分的计算可以通过几何方法求出所对应的面积； - 定积分具有线性性质和区间可加性。
定积分的概念
如果当
max{x
1 i n
i
}
0
时
总有 f ( i ) x i I , 那么称极限 I 为函数 f (x)
i 1
b
在[a, b]上的定积分，记为 f ( x)dx，即 a
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i 1
f ( i )xi
19
定积分的定义
积分上限
b a
f ( x)dx
8
引例：求面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
伯 鹃 讹 辣 霖 囤 肯 府 撬 腹 咳 未 剁 胰 然 尖
引例：求面积
步骤
Step1 大化小(分割)
在 a, b 之间任意插入 n -1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
b
a
f
(
x
)
d
x
在几何上表示相应曲边梯形面
积的相反数，即
b
a
f
(x)dx
=
A
．
y f ( x)
a
b
定积分的几何意义
当 f (x) 在区间[a, b] 上有正有负时，
b
a
f
(x)dx
在几何上表示 的
x
轴上方图形
面积减去 x 轴下方图形的面积．如图所
示，有
b f (x)dx A1 A2 A3 A4 ． a
b f (x)dx =
b f (u)du ，例如：
1 x 2dx
利用定积分的几何意义求积分
利用定积分的几何意义求积分定积分是高中数学中的一个重要概念，它可以用来求解曲线下面的面积、体积等问题。
在实际应用中，我们经常需要利用定积分的几何意义来求解积分，下面就来介绍一下如何利用定积分的几何意义求积分。
首先，我们需要了解定积分的几何意义。
定积分的几何意义是曲线下面的面积，也就是说，如果我们要求解一个函数在某个区间内的定积分，就相当于求解这个函数在这个区间内所对应的曲线下面的面积。
接下来，我们以求解函数f(x)在区间[a,b]内的定积分为例来介绍如何利用定积分的几何意义求积分。
首先，我们需要将函数f(x)在区间[a,b]内所对应的曲线画出来，然后将这个区间分成若干个小区间，每个小区间的长度为Δx。
接着，我们在每个小区间内取一个任意点xi，然后将这个点与x轴上的点(a,0)和(b,0)连成一个三角形，这个三角形的面积就是这个小区间内函数f(x)所对应的曲线下面的面积。
将所有小区间内的三角形面积加起来，就可以得到整个区间[a,b]内函数f(x)所对应的曲线下面的面积，也就是定积分的值。
具体来说，如果我们将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，那么函数f(x)在第i个小区间内所对应的曲线下面的面积就是Δx*f(xi)，将所有小区间内的面积加起来，就可以得到整个区间[a,b]内函数f(x)所对应的曲线下面的面积，也就是定积分的值：∫a^b f(x)dx ≈ ΣΔx*f(xi) (i=1,2,...,n)当n趋近于无穷大时，这个近似值就会趋近于定积分的真实值，也就是说：∫a^b f(x)dx = lim(n→∞) ΣΔx*f(xi) (i=1,2,...,n)这就是利用定积分的几何意义求解积分的方法。
总之，利用定积分的几何意义求解积分是一种非常实用的方法，它可以帮助我们更好地理解定积分的概念和意义，同时也可以应用到实际问题中，解决曲线下面的面积、体积等问题。
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A = ∫ [( x − 1) − 1]dx − ∫ [( x − 1) − 1]dx
0 −1 2 2 0 2
例2：
利用定积分的几何意义说明等式∫
π
2 −
π
2
sin xdx = 0
y f(x)=sinx
成立。
解： 在右图中，被积函数 f ( x ) = sin x
在[ −
π π
， ]上连续，且在 [ − ，]上 0 2 2 2
π
−
π
2
1
A2
A1 -1
π
2
sin x ≤ 0, 在[ 0， ]上 sin x ≥ 0,并有 2 π A1 = A2 , 所以
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
练习： பைடு நூலகம்.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 (A)
值的正、负号。
1）．∫ sin xdx
2 0
π
2）. ∫−1
∫
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（ 2 解： 2）在图②中，被积函数f ( x) = x 在[−1，] 上连续，且f ( x) ≥ 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A = 2 x 2 dx
2
x 2 dx
(B) 2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。 1）． sin xdx = 0 ∫
0 2π
成立：
2）.
∫
π
0
sin xdx = 2∫ 2 sin xdx
0
π
(B) 3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 y y=x2 y y=f(x)
0 1 2
x
0 a
y=g(x) b x
f ( x)dx = A1 − A2 + A3
3.结论： f ( x)dx的值都可用区边梯形面积 ∫
的代数和表示
几何意义
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
2
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 1）在图①中，被积函数f ( x) = x 在[0，a] 上连续，且f ( x) ≥ 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A = a x 2 dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
解：4）在图④中，被积函数f ( x) = ( x − 1) 2 − 1在[−1，] （ 2
[ ， 2 上连续，且在 −1 0]上f ( x) ≥ 0, 在[0，]上f ( x) ≤ 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
∫
−1
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 3）在图③中，被积函数f ( x) = 1在[a，b] 上连续，且f ( x) > 0, 根据定积分的几何意 b 义，可得阴影部分的面积为
A = ∫ a dx
A
f ( x) ≥ 0
f ( x) < 0
1.∫ f ( x)dx =
b a
-A
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y=f(x)>0 A 0 a b x 0
y
y a A y=f(x)<0 b x
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y y=f(x) a
A1
0
A3
A2
b
x
则
∫
b a
b a