定积分的几何意义

∫
−1
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 3）在图③中，被积函数f ( x) = 1在[a，b] 上连续，且f ( x) > 0, 根据定积分的几何意 b 义，可得阴影部分的面积为
A = ∫ a dx
A
f ( x) ≥ 0
f ( x) < 0
1.∫ f ( x)dx =
b a
-A
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y=f(x)>0 A 0 a b x 0
y
y a A y=f(x)<0 b x
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y y=f(x) a
A1
0
A3
A2
b
x
则
∫
b a
b a
π
−
π
2
1
A2
A1 -1
π
2
sin x ≤ 0, 在[ 0， ]上 sin x ≥ 0,并有 2 π A1 = A2 , 所以
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
练习： 1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 (A)
值的正、负号。
1）．∫ sin xdx
2 0
π
2）. ∫−1
f ( x)dx = A1 − A2 + A3
3.结论： f ( x)dx的值都可用区边梯形面积 ∫
的代数和表示
几何意义
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
2
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 1）在图①中，被积函数f ( x) = x 在[0，a] 上连续，且f ( x) ≥ 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A = a x 2 dx
A = ∫ [( x − 1) − 1]dx − ∫ [( x − 1) − 1]dx
0 −1 2 2 0 2
例2：
利用定积分的几何意义说明等式∫
π
2 −
π
2
sin xdx = 0
y f(x)=sinx
成立。
解： 在右图中，被积函数 f ( x ) = sin x
在[ −
π π
， ]上连续，且在 [ − ，]上 0 2 2 2
∫
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（ 2 解： 2）在图②中，被积函数f ( x) = x 在[−1，] 上连续，且f ( x) ≥ 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A = 2 x 2 dx
2
x 2 dx
(B) 2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。 1）． sin xdx = 0 ∫
0 2π
成立：
2）.
∫
π
0
sin xdx = 2∫ 2 sin xdx
0
π
(B) 3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 y y=x2 y y=f(x)
0 1 2
x
0 a
y=g(x) b x
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
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a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
解：4）在图④中，被积函数f ( x) = ( x − 1) 2 − 1在[−1，] （ 2
[ ， 2 上连续，且在 −1 0]上f ( x) ≥ 0, 在[0，]上f ( x) ≤ 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为