交流电路的复数解法-2013分解
交流电路的复数解法-2013
cos 2cost cos(t ）
P(t) UI cos UI cos(2t )
P 1
T
u(t)i(t) dt UI cos
To
根椐阻抗的定义 Z U 它是复阻抗的模
Z~
Z
cos
jZ
I
sin
R
jX
电压与电流的相位差是
2
总电压与 总电流的 相位差
arctanL 1/ C
R
3、L及C上的电压分配
当电路发生谐振时，在L和C上的电压大小相等，方向 相反，从整体上说它们的作用互相抵消，但它们的单独 作用却不能忽视。设电路的总电压为U，则
U
Imax
, R
UL
Imax Z L
0 L U
R
QU
UC
u(t) Uo cos(t )
P(t) UoIo cost cos(t )
有
1 2UoIo
cos
1 2UoIo
cos(2t
)
效 值
UI cos UI cos(2t )
平均功率
有功功率
P1
T
u(t)i(t) dt UI cos
简称功率
称复阻抗的实部R为有功电阻或电阻， 称复阻抗的虚部X为电抗。
P I 2Z cos I 2R
有功功率只与复阻抗 的实部有关。
纯电阻元件：
0 RR R PR UI I 2R
纯电感元件：
2 纯电容元件：
2
RL 0 PL 0 RC 0 PC 0
交流电路的复数解法-2013
Z
U 1 2 2 Z R (L ) I C
0
I/I0
I
2
U0 1 2 R (L ) C
0
f1 f o f 2
2
f
fo 0
2
f
L 1 / C
R
arctan
1 P T
T
o
u (t )i (t ) dt UI cos
U I
根椐阻抗的定义
Z
它是复阻抗的模
~ Z Z cos jZ sin R jX
电压与电流的相位差是
称复阻抗的实部R为有功电阻或电阻， 称复阻抗的虚部X为电抗。
P I Z cos I R
角
1 2 tg
• 用三角恒等式
L
1 2
1
L
CR tg R 1 2 LC
1
1 1
CR L C[ R (L) ] R 1 LC tg tg L CR R 1 R 1 LC
2 2 1 2
x y tg x tg y tg 1 xy
求阻抗和幅角
利用复数运算规则
~ j 1 R jL Z1 Z1e Z1 j (12 ) ~ Z ~ e 2 1 LC jCR Z 2 Z e j 2 Z 2 2 模 R jL R 2 (L) 2 ~ ZZ 2 2 2 2 ( 1 LC ) ( CR ) 1 LC j CR 幅
~ 复阻抗为 Z
~ ~ 因为复电压 U 是共同的，代入消去 U
交流电路分析方法
交流电路分析方法交流电路是由交流电源和各种电子元件组成的电路系统，其特点是电流和电压都是随时间变化的。
为了有效地分析和计算交流电路的性能和参数，人们发展了多种交流电路分析方法。
本文将介绍几种常见的交流电路分析方法。
一、复数分析法复数分析法是一种将频率域的问题转化为复平面上的问题的方法。
通过使用复数和复数运算，可以方便地描述和计算交流电路中电流和电压的相位和幅值。
该方法适用于线性稳态电路的分析，可以求解电流、电压以及功率等参数。
使用复数分析法，首先需要将交流电路中的电压和电流信号表示为复数形式。
然后，利用复数的加减乘除运算，可以方便地进行复数电流和电压的计算。
最后，将计算得到的复数结果转化为频率域的实际值，得到交流电路的性能参数。
二、频域分析法频域分析法是基于频率响应的分析方法，用于研究交流电路中电流和电压信号在不同频率下的特性。
通过将输入信号和输出信号的频率谱进行对比，可以了解电路对不同频率信号的响应情况。
频域分析法常用的工具有傅里叶变换和拉普拉斯变换。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而得到信号在频域上的频谱图。
拉普拉斯变换则适用于分析线性时变电路的特性，可以求解电流和电压的传输函数，研究电路对不同频率信号的增益和相位差。
三、相量法相量法是一种常用的图解分析方法，用于求解交流电路中的电流和电压。
相量法将交流电路中的电流和电压表示为相量，即具有大小和方向的有向线段。
通过绘制相量图和使用几何方法，可以直观地分析交流电路的性能。
使用相量法分析交流电路时，首先需要将电压和电流信号的大小和相位关系转化为相量的大小和方向关系。
然后，通过矢量运算，可以方便地计算相量电流和相量电压的加减乘除。
最后，将计算得到的相量结果转化为频率域的实际值，得到交流电路的性能参数。
四、矩阵法矩阵法是一种使用矩阵运算进行交流电路分析的方法。
通过将电路中的电流和电压信号表示为矩阵形式，可以方便地建立和求解电路的方程组。
使用矩阵法分析交流电路时，首先需要根据电路拓扑结构和元件特性建立矩阵模型。
交流电路的复数解法
U~ U~C U~L U~R
I~ I~C I~L I~R
I~ U~
I~C I~L
CL
I~R
R
1 Z~
1 Z~R
1 Z~C
1 Z~L
交流电路的复数解法，就是利用交流电的复数表示，
按复数运算规则进行各种运算，最后取其实部就是
实际的交流电压和电流。因此它只是一种符号运算。
第六页，课件共18页
• 交流电路的基尔霍夫方程组及其复数形式
jb b2
再由复数比 U~' /U~ ，可
U~
I~1
R I~3 1
C
I~1
I~2
R
2
C
I~2
U~ '
同时得到输入、输出电
压的大小之比和相位差：
U' U
|
U~ ' U~
|
1
(CR)4 7(CR)2 1
u'
u
arctan
1
3CR (CR)2
第十页，课件共18页
11.4 交流电的功率
• 瞬时功率 P(t) u(t)i(t)
o
第十一页，课件共18页
附录
P(t) UoIo cost cos(t )
1 2UoIo
cos
1 2UoIo
cos(2t
)
cos(2t ) cos 2t.cos sin 2t sin
(2cos2 t 1).cos 2sint cost sin cos 2cost(cost.cos sint sin)
视在功率 (apparent power) （设备上所示的容量，
S UI
即最大的输出功率）
额定电压、电流值
电路基础原理交流电路中的复数形式与复数运算
电路基础原理交流电路中的复数形式与复数运算电路基础原理：交流电路中的复数形式与复数运算电路是电子科学与技术中的重要分支，交流电路是其中一类最常见的电路。
交流电路是指电压或电流的方向和大小周期性变化的电路。
在交流电路中，复数形式与复数运算是理解和分析电路行为的重要工具。
交流电路中的电压和电流可以用复数表示。
复数是由实部和虚部构成的数学对象。
在电学中，实部表示电压或电流的振幅，虚部表示相位角。
通过将交流电压或电流看作复数，我们可以用更简洁的方式表示电路中的信号。
复数形式也便于进行电路参数之间的计算和分析。
复数形式的交流电压和电流是通过欧姆定律和基尔霍夫定律推导得到的。
在交流电路中，电压和电流的频率通常是固定的，因此可以用复数形式表示交流电压和电流。
我们通常将复数形式的交流电压表示为V=|V|∠θ，其中|V|表示电压的幅值，θ表示相位角。
同样，复数形式的交流电流表示为I=|I|∠φ，其中|I|表示电流的幅值，φ表示相位角。
相位角表示了电压和电流之间的相对关系，它们的变化可以描述电路中的频率和相位差。
复数运算在交流电路分析中扮演着重要角色。
复数的加法和减法可以用来计算电压和电流的叠加效果。
例如，当两个电源连接到一个电路上时，通过复数运算可以计算出总电压和总电流。
复数的乘法和除法可以用来计算电路中的电压和电流的变换。
例如，当电压经过电感时，可以用乘法计算出电感的负载。
在交流电路中，阻抗是一个重要的概念。
阻抗是复数形式中电压和电流之间的比值。
复数形式的电压和电流可以写为V=IZ，其中Z表示复数形式的阻抗。
阻抗是在交流电路中表示电阻、电感和电容的有效值。
利用复数运算，我们可以方便地计算电路中的阻抗，从而分析交流电路的性质。
除了用于分析交流电路之外，复数形式与复数运算还在实际电路设计中起着重要作用。
在实际电路设计中，我们通常使用电阻、电感和电容来构建各种功能电路。
通过使用复数形式和复数运算，我们可以更好地理解和设计这些电路。
交流电路分析与计算方法
交流电路分析与计算方法交流电路分析是电路学中的重要内容，它研究交流电路中电流、电压、功率等参数的计算和分析方法。
交流电路的分析与计算方法主要包括复数表示法、频率响应分析和相量分析。
本文将从这三个方面来讨论交流电路的分析与计算方法。
一、复数表示法复数表示法是一种简洁明了的分析方法，它将交流电路中的电流和电压用复数的形式表示。
对于正弦交流电路，电压和电流的复数表示法可以分别表示为：$$V = V_m \angle{\phi_v}$$$$I = I_m \angle{\phi_i}$$其中，V和I分别为电压和电流的复数表示形式，V_m和I_m为幅值，而$\phi_v$和$\phi_i$为相位角。
通过复数表示法，我们可以方便地计算交流电路中的电流、电压和功率等参数。
二、频率响应分析频率响应分析是指研究电路中不同频率下的电压和电流的变化关系。
我们可以通过频率响应分析来了解电路对不同频率的信号的响应能力。
对于复杂的交流电路，我们可以先将其等效为一个简单的电路，比如RLC电路，然后通过频率响应曲线来分析电路的性能。
频率响应分析常用的方法有Bode图法和极坐标画图法。
Bode图法是一种绘制电路的幅频特性和相频特性的方法，它能够直观地反映电路对不同频率信号的增益和相位差。
通过绘制Bode图，我们可以了解电路在不同频率下的传输特性，从而对交流电路的设计和优化提供有益的参考。
极坐标画图法是一种利用极坐标来表示电压和电流幅值和相位的方法。
通过绘制极坐标图，我们可以直观地看出不同频率下电压和电流的变化情况，从而对交流电路的性能有更深入的了解。
三、相量分析相量分析是一种图解分析方法，它通过相量图来描述电路中电流和电压的变化关系。
相量分析主要包括电压相量、电流相量以及功率相量的计算和绘制。
电压相量表示电压幅值和相位之间的关系，可以通过一个矢量表示。
电流相量也是类似的概念，表示电流幅值和相位之间的关系。
功率相量可以用来计算电路中的有功功率、无功功率和视在功率。
(完整版)复数解决电路问题
(完整版)复数解决电路问题引言复数是一个重要的数学工具，在电路分析中起着重要的作用。
通过使用复数代数，我们可以更加方便地解决电路中的问题。
本文将介绍复数的基本概念，并演示如何用复数方法解决电路问题。
复数基本概念复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
实部和虚部分别用来表示一个数在实轴和虚轴上的投影。
复数的运算规则复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
具体的运算规则如下：- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
- 乘法：按照分配率展开，并用虚数单位 i 的平方等于 -1 进行计算。
- 除法：将分子、分母同除以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。
复数在电路分析中的应用复数方法在电路分析中广泛应用于求解交流电路中的电压、电流、功率等参数。
复数分析的基本思想是将电压、电流视为复数，利用复数的运算规则求解电路的各种参数。
以求解交流电路中电流为例，假设电流 I 可表示为复数形式为I = I_m * e^(jθ)，其中 I_m 是电流的幅值，θ 是相位角。
通过将电流表达式代入电路中的方程，利用复数运算规则进行化简和计算，最终可以得到电流 I 的具体数值。
类似地，利用复数方法还可以求解电压、功率等参数。
复数方法解决电路问题的优势相比传统的实数方法，复数方法在电路分析中具有许多优势：1. 简化计算：复数运算规则使得计算更加简化，可以通过代数运算得到数值解。
2. 理论统一：复数方法将电路中的电压、电流等参数统一为复数形式，简化了分析过程。
3. 相位信息：复数形式可以同时表示电压、电流的幅度和相位信息，更加全面地描述电路的特性。
结论复数方法是解决电路问题的重要工具，它通过对电流、电压等参数的复数表示和复数运算规则的运用，可以更加方便地进行电路分析和计算。
对于学习和应用电路分析的人来说，熟练地掌握复数方法是必不可少的。
交流电路的复数解法
基尔霍夫方程组复数形式 ~ 电路的节点处瞬时 （ ± I ） 0 电流的代数和为零。 = 电流的代数和为零。 符号规定：在节点电流方程中， 符号规定：在节点电流方程中，电流正方向 是从节点流出，在其前写正号，反之为负。 是从节点流出，在其前写正号，反之为负。
∑
~ ~~ ~) = 0 （ + ∑ U = ∑ ± I Z ） ∑ ( ±ε
~ ~ ~ ~ U =UC +UL +UR
~ ~ ~ ~ I = IC = IL = IR
~ ~ ~ ~ Z = ZC + ZL + ZR
R
~ UR
L
C
~ U
~ UL
~ UC
* R、L、C并联电路 、 、 并
由并联电路中电压、电流瞬时值的关系， 由并联电路中电压、电流瞬时值的关系， 可得出复电压、复电流的关系： 可得出复电压、复电流的关系：
沿任一闭合回路绕行一周，瞬时电压的代数和为零。 沿任一闭合回路绕行一周，瞬时电压的代数和为零。 在回路电压方程中， 在回路电压方程中，电流正方向和电动势正方向 与回路绕行方向一致时，在电流前为正号，而在 与回路绕行方向一致时，在电流前为正号， 电动势前为负号，否则反之。 电动势前为负号，否则反之。 总之，公式的形式，符号的取法与直流电路相同。 总之，公式的形式，符号的取法与直流电路相同。
目录 11.3 交流电路的复数解法 *复电压 交流电的复数表示法： 交流电的复数表示法： *复电流
交流电路的基尔霍夫方程组及其复数形式
例题一: 例题一 二级滤波电路或相移电路 11.4 交流电的功率
*复阻抗
瞬时功率 功率因数 λ (power factor)
例题二:13.7 例题二
13-4 交流电路的复数解法
列方程组前须先设定各简谐量方向, 作为t时刻该 量的标定方向。在交流电路中被设定的标定方向应 有三套，即电流的标定方向、电势降落的标定方向
(即绕行方向)和电动势的标定方向。
列方程的约定： 1. 由节点流出的电流，其复量前写加号，流向节点
§13-4 交流电路的复数解法
复数的基本知识
1.复数的表示
代数式表示:
A x jy
j虚数单位
Re A x 实部
指数式表示:
AA 模
Im A y 虚部
A Ae j
arg A 幅角
A A x2 y2 arg tan y arg A x
三、交流电路的基尔霍夫方程组及其复数形式 基尔霍夫定律只适用于似恒电流下的交流电路。 似恒电流就是频率不太高的交变电流，在每一瞬间电
路各处电压和电流在足够好的程度上与恒定电流一样
满足基尔霍夫定律。 交流电路基尔霍夫第一方程组为
i(t ) 0 基尔霍夫第二方程组为 u(t ) e(t )
~ Z L Z L e j Le jL 电容C：ZC =1/C， = /2，
电感L：ZL=L， = /2，
1 jπ j 1 ~ j 2 ZC ZC e e C C jC
纯电阻提供复阻抗的实部，纯电感和纯电容提供 阻抗的虚部。复阻抗的虚部称为电抗，由电感提供 的电抗称为感抗，由电容提供的电抗称为容抗。
i =I0 cos( t + 2 - 1 ) , 其中
I0
0
2 2
R2 2 L2
2
R1 R2 2 L2 ( R1 R2 ) 2
第四节 正弦交流电路的复数计算及三相电路的计算
U L j LI 240 36.87 (V )
U C
I
1
j C
160 143 .13 (V )
电路的相量图
一、相量图
相关的电压和电流相量在复平面上组成。 在相量图上，除了按比例反映各相量的模外， 最重要的是确定各相量的相位关系。
二、相量图的画法
选择某一相量作为参考相量， 而其他有关相量就根据它来加以确定。 参考相量的初相可取为零， 也可取其他值，视不同情况而定。
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的
相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功
率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法
• 5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
1、代数形式
F = a + jb
1、串联电路
取电流为参考相量，从而确定各元件的电压相量； 表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法作出。 2、并联电路 取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量； 表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法作出。 3、串并联电路 从局部开始
以上一节中例题为例
I 4 53.13 ( A) U R 60 53.13 (V ) U L 240 36.87 (V ) UC 160 143 .13 (V )
2、角频率ω
i
反映正弦量变化的快慢
Im
单位 rad/s ωT=2π ω=2πf
2π O
π 2π ωt
i
f=1/T
频率f 的单位为赫兹（Hz）
周期T的单位为秒（s）
工频，即电力标准频率：f =50Hz,
电路中复数的运算
电路中复数的运算
在电路中，复数的运算通常用来描述交流电信号的振幅和相位。
以下
是常见的复数运算：
1.复数加减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。
2.复数乘法：将实部和虚部分别相乘，然后将两个乘积相减得到虚部，将两个乘积相加得到实部。
3.复数除法：先将除数的共轭复数作为分子，然后将分子和分母同时
乘以除数的共轭复数的模的平方，最后将分子的实部除以分母的模的平方
得到商的实部，将分子的虚部除以分母的模的平方得到商的虚部。
在电路中，复数运算可以用来计算电压和电流的相位差、阻抗、电抗、电导等参数。
例如，根据欧姆定律，电流等于电压除以电阻，但在交流电
路中，电阻是复数，因此需要使用复数除法来求得电流。
另外，根据旋转
矢量的概念，可以将复数表示为幅角和模长的形式，这种表示方式更加直观，有助于理解电路的工作原理。
5.6交流电路的复数解法详解
滤波电路
能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将另
外一些频率的交流讯号阻挡住的电路
低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住
高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，而
将低频流讯号阻挡住的电路
在无线电、多路载波通讯等技术领域中广泛
地使用着各种类型的滤波电路
2018/10/11 9
交流串、并联电路的复数解法
用复数法计算简单电路时，电路的电压、电流关 系与直流电路一样
1
~ ~ ~ I I I , 串联电路 ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ U U U IZ IZ IZ ~ ~ ~ Z Z Z
2 1 2 1 2
~ ~ ~ U U U ,
1 2 1 2
§4交流电路的复数解法
复数基本知识
交流电的复数表示法 复数的实部是简谐量
~ j (t ) A Ae
A cos( t a1 (t ) A1 cos( t 1 ) A1 A1e ~ j (t 2 ) a2 (t ) A2 cos( t 2 ) A2 A2e ~ ~ ~ a(t ) a1 (t ) a2 (t ) A A1 A2 ~ j (t ) A cos(t ) A Ae
1
( ) tan (RC)
都是的函数
10
幅 角
2018/10/11
~ U 输出 1 ~ U 输入 1 (RC) 2
( ) tan1 (RC)
对于一定的输入电压，输出端分压与频率成反比，
频率越高，输出电压占输入电压的份额就越少 当输入电压中包含有各种频率的交流成分和直流成 分时，直流成分大小不变，而交流成分减少，起到 了滤波作用
交流电路复数解法
11.线性(无损耗)磁介质20011222m H B H H Mμωμ=⋅=+⋅r r r r 磁化能密度宏观磁能密度对线性无损耗介质：E P E E D e r r r r ⋅+=⋅=21212120εω宏观静电能密度极化能密度§8.2 非线性介质及磁滞损耗上次课回顾22. 非线性磁介质磁滞损耗磁化率张量§8.3 利用磁能求磁力虚功原理法2. 维持磁通不变1. 维持电流不变I m W F )(∇=rφ)(m W F ∇−=rIm W L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=θθφθθ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=m W L 6三.交流电路中的元件阻抗和位相差本次课主要内容§9.1 交流电的基本概念和描述方法一.各种形式的交流电二.描述简谐交流电的特征量四.描述简谐交流电的方法函数描述、矢量描述和复数描述各种形式的交流电．简谐交流电此乃正弦和余弦函数的波形其电压或电流随时间的变化呈简谐波电子示波器用来扫描的信号激光通讯用来载波的信号电子计算机中采用的信号是矩形脉冲535地单独处理只讨论简谐交流电,这是处理一切交流电问题的基础14电压落后电流π/2电压超前电流π/2。
表示电压与电流同位相时当表示电压比电流落后时当表示电压比电流超前时当 ,0, ,0, ,0=<>φφφφφiu i u t t φφφωφωφ−=+−+=)()(实验观察到电流和电压的瞬时值为：cos )( cos 0===i u t I t i t φφωω18这就是包含电容器的电路中有交变电流i(t)⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2 cos sin 0πωωωt Q t0) cos 2t Q t πωω⎛⎞=+⎜⎟⎝dt di感抗)和位相差为：24在串联电路中,电流i 221R C ω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠25A ．u 为总电压有效值,其不等于分电压有效值u R 和u C 之和B ．CR Z Z u u RC R C ω1==与直流串联电路中的分压规律一致C ．CR Z Z Z +≠讨论：222211 u u I R Z R C I C ωω⎛⎞⎛⎞=+==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠②RCL 串联电路仍然以电流为基准,然后先合成u C 和u L ,此时u C 和u L 位相差为π;最后再将u C 和u L 的结果与u R 合成RCLR C L Z Z Z tg u u u tg C L R I u −=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−−11221φωω26A ．B ．C ．电感性电路 ,0 ,>>φC L Z Z 电容性电路,0 ,<<φC L Z Z LCC L Z Z C L 1,1 ,===ωωω1L CRZ Z tg Z φ−−=221u I R L C ωω⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠RZ Z R ==此时称作串联共振该电路产生共振,27分析讨论：RLC 电路串联共振品质因素Q22max max 1u Z R L I C ωω⎛⎞==+−⎜⎟⎝⎠L Z CZ L c ωω==,1m axm ax 221u I R L C ωω=⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠1L C RZ Z tg Z φ−−=ω=Δ倍时的电流幅值下降到其峰值7.0:R共振应用：收音机调频收台(可变电容)、机场安检报警系统、军用排地雷报警系统等。
交流电路的复数解法-
ut u1 t u2 t （瞬时值关系）
~ ~ 因为复电流 I 是共同的，代入消去 I
~ ~ ~ Z Z1 Z 2
2、并联电路
it i1 t i2 t （瞬时值关系） ~ ~ ~ 用相应的复电流来代替它们，则有: I I I 1 2 ~ ~ 设各分支的复阻抗为 Z 1 、 Z 2 ,整个电路的
Um Im
e
j u i
Ze
j
它的辐角为 u i ~ ~ j 我们把这个复数记作 Z ，即 Z Ze ~ 复数 Z 完全概括了这段电路本身的两个方面基本 性质—阻抗和位相差，它叫做这段电路的复阻抗， 知道了复阻抗，这段电路的性质就完全清楚了。
~ U ~ ~ ~ ~ 由上面可得：U I Z 或 ~ Z I
复数的直角坐标式 ：
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线
A a jb r cos jr sin r (cos j sin )
复数的指数形式 ：
A re
j
一、简谐量的复数表示法及一些重要概念 复数法的基本原则是把所有的简谐量都用 对应的复数来表示。
ut U m cost u
~ 复阻抗为 Z
~ ~ 因为复电压 U 是共同的，代入消去 U
1 1 1 ~ ~ ~ Z Z1 Z 2
~ U ~ I1 ~ Z1
~ U ~ I2 ~ Z2
~ U ~ I ~ Z
结果表明：交流电路复阻抗的串、并 联公式和直流电路电阻的串、并联公 式完全一样。
交流串、并联电路
• 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电 流关系与直流电路一样 ~ ~ ~ I I I , ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ 串联电路 U U U IZ IZ IZ ~ ~ ~ Z Z Z ~ ~ ~ U U1 U 2 , ~ ~ ~ 并联电路 I I I ,
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谐振电路
当电容C、电感L两类元件同时出现在一个电路中 时，就会发生一种新现象——谐振。通常就把这 种电路叫做谐振电路，它在实际中有重要的应用。 谐振电路主要有串联谐振和并联谐振两种。
C L R ×
音频信号发生器
串联谐振
在维持电压不变的情况下，若从 低到高地改变音频讯号发生器的 频率 f 就会看到，小灯的亮度开始 由小变大，到某个频率 f0 后发生 转折，又由大变小。这表示， LCR电路中的电流 I 随频率不是 单调变化的，而是在f=f0处有极大 值IM，或者说电路的总阻抗Z在此 时有个极小值Zm。这种现象叫做 谐振。 f0称为谐振频率。
Um Im
e
j u i
Ze
j
它的辐角为 u i ~ ~ j 我们把这个复数记作 Z ，即 Z Ze ~ 复数 Z 完全概括了这段电路本身的两个方面基本 性质—阻抗和位相差，它叫做这段电路的复阻抗， 知道了复阻抗，这段电路的性质就完全清楚了。
~ U ~ ~ ~ ~ 由上面可得：U I Z 或 ~ Z I
交流电路的复数解法
一、交流电路的复数解法
矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复 杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程 组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出， 采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种 普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电 路，这种方法称复数解法。用复数表示，交流电路 的各种公式都写成和直流电路十分相似的形式，这 是复数解法的一个很大优点。
it I m cost i
~ U U m e j t u
~ j t i I I me
~ ~ 同一段电路上的 U 和 I 的比值：
~ U
~ 称为复电压， I
j t u
称为复电流
~ U me U~ j t I I me
i
角
1 2 tg
• 用三角恒等式
L
1 2
1
L
CR L C[ R (L) ] R 1 LC tg tg L CR R 1 R 1 LC
2 2 1 2
x y tg x tg y tg 1 xy
ut u1 t u2 t （瞬时值关系）
~ ~ 因为复电流 I 是共同的，代入消去 I
~ ~ ~ Z Z1 Z 2
2、并联电路
it i1 t i2 t （瞬时值关系） ~ ~ ~ 用相应的复电流来代替它们，则有: I I I 1 2 ~ ~ 设各分支的复阻抗为 Z 1 、 Z 2 ,整个电路的
~ 复阻抗为 Z
~ ~ 因为复电压 U 是共同的，代入消去 U
1 1 1 ~ ~ ~ Z Z1 Z 2
~ U ~ I1 ~ Z1
~ U ~ I2 ~ Z2
~ U ~ I ~ Z
结果表明：交流电路复阻抗的串、并 联公式和直流电路电阻的串、并联公 式完全一样。
交流串、并联电路
• 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电 流关系与直流电路一样 ~ ~ ~ I I I , ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ 串联电路 U U U IZ IZ IZ ~ ~ ~ Z Z Z ~ ~ ~ U U1 U 2 , ~ ~ ~ 并联电路 I I I ,
Um 它是一个复数,它的模等于这段电路的阻抗 Z Im
该公式同直流电路的欧姆定律具有完全相同的 形式，可见引入复阻抗的概念是大有好处的。
纯元件的复阻抗
~ （1）电阻元件： Z R, 0, Z R R R
（2）电容元件：
1 1 j 2 j 1 ~ ZC , Z C e C 2 C c jc
1 2 1 2 1 2 1 2
1
2
1 1 1 ~ ~ ~ Z1 Z 2 Z
例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗 和相位差
• 先算 L 、 R 串联电路 的复阻抗ZLR
~ ~ ~ Z LR Z L Z R R jL
再 算 总 电 ~ 1 ~ 1 1 ~ 1 Z Z LR Z C jC 路复阻抗 R jL 1 2 LC jCR R jL R jL ~ Z 复阻抗 2 1 LC jCR
复数
复数的实部、虚部和模 虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所 以改用j代表虚单位，即
j 1
如图4.5所示，有向线段A可用下面的复数 表示为 A=a+jb
由图可见，
r a2 b2
有向线段的复数表示
段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角， 用 表示，规定幅角的绝对值小于 180 。
复数的直角坐标式 ：
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线
A a jb r cos jr sin r (cos j sin )
复数的指数形式 ：
A re
j
一、简谐量的复数表示法及一些重要概念 复数法的基本原则是把所有的简谐量都用 对应的复数来表示。
ut U m cost u
（3）电感元件：
Z L L,
2
~ j Z L Le 2 jL
~ ~ ~ Z Z R 为正实数； C 为负虚数； Z L 为正 上述结果表明： 虚数。
二、串联、并联电路的复数解法
1、串联电路
~ ~ ~ 用相应的复电压来代替它们，则有 U U 1 U 2 ~ ~ 设各段的复阻抗为 Z 1 、Z 2 ，整个电路的复阻抗为 ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ U 1 I1 Z1 U 2 I 2 Z 2 U I Z Z
求阻抗和幅角
利用复数运算规则
~ j 1 R jL Z1 Z1e Z1 j (12 ) ~ Z ~ e 2 1 LC jCR Z 2 Z e j 2 Z 2 2 模 R jL R 2 (L) 2 ~ ZZ 2 2 2 2 ( 1 LC ) ( CR ) 1 LC j CR 幅