高中数学第二章几个重要的不等式2

——教学资料参考参考范本——高中数学第二章几个重要的不等式2
______年______月______日
____________________部门
课后篇巩固探究
A组
1.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是( )
A.(1+x)3<1+3x
B.(1+x<1+x
C.(1+x)-2<1-2x
D.(1+x<1+x
解析:由贝努利不等式可得D项正确.
答案:D
2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2
B.3
C.5
D.6
答案:C
3.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:
证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时有<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( )
A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.归纳假设的写法不正确
C.从n=k到n=k+1的推理不严密
D.当n=1时,验证过程不具体
解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设
<k+1.
答案:A
4.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于.
解析:f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.
答案:+…+
5.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.
答案:x+≥n+1(n为正整数)
6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同
乘.
解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.
答案:
7.用数学归纳法证明不等式1++…+<2(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1++…+<2.
则当n=k+1时,1++…+<2=2.
所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
8.导学号35664046已知数列{an}满足:a1=,且
an=(n≥2,n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.
(1)解将条件变为1-,
因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,
因此得an=(n≥1,n∈N+).①
(2)证明由①得
a1a2…an=.
为证明a1a2…an<2n!,只要证明当n∈N+时,有×…×.
②
显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有
×…×
≥1-. ③
下面用数学归纳法证明③式:
(ⅰ)当n=1时,显然③式成立,
(ⅱ)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,
即×…×≥
1-,
则当n=k+1时,
×…×
≥
=1-
≥1-.
即当n=k+1时,③式也成立.
故对一切n∈N+,③式都成立.
利用③,得×…×
≥1-
=1-
=1-.
故原不等式成立.
B组
1.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边
==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.
答案:B
2.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于( )
A.n
B.n2
C.n3
D.
答案:B
3.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N+,且n>1),第一步要证的不等式
是.
解析:当n=2时,左边=1+=1+,右边=2,故填1+<2.
答案:1+<2
4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大
小关系为.
解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当
n>1时,令x=,则>1+n·,所以>1+n·,
即(a+b)n>an+nan-1b.
当n=1时,M=N.故M≥N.
答案:M≥N
5.导学号35664047已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=-1,且
an>0,n∈N+.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,
即+2a1-2=0.
∴a1=-1或a1=--1(舍去).
当n=2时,由已知得a1+a2=-1,
将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.
∴a2=或a2=-(舍去).
同理可得a3=.
由a1,a2,a3,猜想an=(n∈N+).
(2)证明①由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.
②假设当n=k(k>3,k∈N+)时,通项公式成立,即
ak=.
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=,将ak=代入上式并整理得+2ak+1-2=0,解得ak+1=或ak+1=-(舍去).
即当n=k+1时,通项公式也成立.
由①②可知,对所有n∈N+,an=都成立.
6.导学号35664048设数列{an}满足a1=0,an+1=c+1-c,n∈N+,其中c 为实数.
(1)证明:an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];
(2)设0<c<,证明:an≥1-(3c)n-1,n∈N+.
证明(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.
∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].
充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明an∈[0,1].
当n=1时,a1=0∈[0,1].
假设ak∈[0,1](k∈N+,k≥1),
则ak+1=c+1-c≤c+1-c=1,且ak+1=c+1-c≥1-c≥0,故
ak+1∈[0,1].
由数学归纳法,知an∈[0,1]对所有的n∈N+成立.
综上可得,an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是
c∈[0,1].
(2)设0<c<,当n=1时,a1=0,结论成立.
当n≥2时,∵an=c+1-c,
∴1-an=c(1-)=c(1-an-1)(1+an-1+).
∵0<c<,由(1)知an-1∈[0,1],
∴1+an-1+≤3,且1-an-1≥0.
∴1-an≤3c(1-an-1).
∴1-an≤3c(1-an-1)≤(3c)2(1-an-2)≤…≤(3c)n-1(1-
a1)=(3c)n-1.∴an≥1-(3c)n-1(n∈N+).。