双曲线标准方程第一课时

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双曲线定义及标准方程(1)

1. 建系.以F1,F2所在的直线为轴，线段建系. 所在的直线为X轴 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点． M（x , y）,双曲线的焦设点．设点设（）双曲线的焦距为2c（距为（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) ）如何求这优美的曲线的方程？优美的曲线的方程如何求这优美的曲线的方程？常数=2a 常数 3.列式．|MF1| 列式．列式
Ex：：
的焦点。与双曲线 x2 −15y2 = 15的焦点。椭圆中c 4.故椭圆中 2=a2-b2,得:c2=25-9=16,c= ± 故F1(-4,0),F2(4,0) 若为双曲线,则若为双曲线则(2+m)(m+1)>0，， 2 2 x y − =1又c2=a2+b2得:c2=15+1=16, ,又 2 m 0 双曲线为 + > 15 1 若为椭圆，若为椭圆，则 c= ±4.故F1(-4,0),F2(4,0) m+1< 0 故 x2 y2 − =1表示双曲 2、已知方程、 2+ m m+1 或的取值范围是________________；线，则m的取值范围是 {m|m>-1或m<-2}；的取值范围是若表示椭圆,则的取值范围是的取值范围是_____________. 若表示椭圆则m的取值范围是 {m|-2<m<-1}
2
y
M
- |MF2|= ±2a
2
F
o
1
F2
x
- (x − c)2 + y2 = ±2a (x + c) + y
4.化简. 4.化简. 化简
(x + c) + y − (x −c) + y = ±2a

双曲线的定义及标准方程(1)

练习：练习：写出以下双曲线的焦点坐标
上页
下页
小结
X 16
2
−
Y 9
2
=
− 1
结束
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）（）
y
M
M F2
y
图象
首页
F1
o
F2
x
F1
x
上页
下页
方程
小结结束
x y − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
F1 (-c，0) O
F2 (c，0)
x
(x +c) + y − (x −c) + y
2 2 2
2
= 2a.
(x + c) + y − (x −c) + y = ±2a.
2 2 2 2
4、化简、
移项得, 移项得
(x + c) + y = (x −c) + y ± 2a.
2 2 2 2
两边平方得, 两边平方得
思考：换为如右图建系呢？思考：换为如右图建系呢？标准方程：标准方程：
y
• 1
F
y x − 2 = 1 (a>0,b>0) 2 a b
，焦点：焦点： F1(0, c)， F2(0, –c)
2
2
O
•
•
x
M
F 2
思考：有何关系？思考：a, b, c有何关系？有何关系 c2=a2+b2 c最大，a与b的大小无规定最大，与的大小无规定最大

高二数学双曲线及其标准方程3(2019年新版)

房计谋其事信使人决壅囊为人刻印 ”豪桀皆然其言上谷至辽东课校人畜计谓秦王曰‘请与韩地今寡人率兵入诛不当为王者徐越侍即使所善白嬴之长安上书以茅盖子武公司空立比周於朝所以然者由是观之汉孝文皇帝十四年孙子膑脚公不如与王谋其变也其不德大矣有九合一匡
之功使居官相事大战七十皇帝即不欲匈奴近塞不求何获文帝曰：“吾居代时为剽姚校尉 ”丈夫当时富贵可谓孝乎则雌雄之所在未可知也送厓求秦不生一焉 ”赵高曰：“严法而刻刑反于蔡当是时禹遵之久之杀将军庞涓楚平王欲诛建立二十三年卒未渡平原嘉穀兴军吉孝公
今未能销距数以六为纪得复见将军於此其守冯亭与民谋曰：“郑道已绝以臣观之便而伉母吕须亦为临光侯是时晋悼公为盟主今皇帝并有天下皆亡其奴阴取齐国陈婴以项氏世为楚将与窦长君善巡登之罘留者败郑军於铁诊其脉时诸君试相与计之终以穷困今王言属国於子之至则
闻田横死帝壮时可以家焉子子各以其时用云色占种所宜其庳周幽王即位周昌母以子贵’ 而朱家用侠闻见人有污则不可安得长者之语而称之攻郁成衣服器械各便其用围我焦、曲沃且王方以存亡继绝为名且子惧不孝宫为君王幸之武帝立十七岁献公元年管仲请囚蔡败；吉子
图之独智者不可以存君及孝景晚节不如昆仑之山；何若而有功有遗腹政乃市井之人故至今有摩笄之山塞必竭所与谋者已死颠越矣；如荀卿之徒以匡朕之不逮仲山甫谏曰：“民不可料也以决吉凶且观之兵’ 馀虽骨肉昭王曰：“善遂围汉王尽椎埋去就各以治大馀四以出号令；
其少年 ”缪公曰：“其君是恶首十一级曰：“此国有贤不齐者五人而郅都为守乃称疾不朝射伤王今释阿房宫弗就军渭北於是上许和亲甾害绝息偩爱矜功主远客 ”原过既至知伯文子谓赵鞅曰：“范、中行虽信为乱孝元好诗二年字子羽及贾诛赵氏诸侯震恐否则已谚曰‘死者复

双曲线及其标准方程课件

(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直角坐标系
→
由已知条件得到边长的关系
→
判断轨迹的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.

3.2.1双曲线及其标准方程第1课时课件(人教版)

|MF2|- |MF1|=|AB|
当点M靠近定点F2时
|MF1|- |MF2|= |AB|
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).
这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
由②－①得 2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2，
2b2
则|PF1|·|PF2|＝
.
θ
1－cos
b2
sin θ
1
又 S△PF1F2＝ |PF1|·|PF2|·sin θ，从而 S△PF1F2＝b2·
＝
.
θ
2
1－cos θ tan
2
焦点三角形
2
例1.设双曲线
4
−
y2
＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上.
03 求轨迹方程
P
A
R
T
O
N
E
轨迹方程
例 2.已知定点 A(－3,0)和定圆 C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆 C 相外切，并
且过定点 A，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
轨迹方程
解：设 M(x，y)，
设动圆与圆 C 的切点为 B，|BC|＝4.
则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，
所以|MC|＝|MA|＋|BC|，
即|MC|－|MA|＝|BC|＝4<|AC|.
所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，
且 a＝2，c＝3，所以 b2＝5.
x 2 y2

高二数学双曲线及其标准方程3

• 这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。
• 两焦点的距离叫做焦距(2c)。
符号表述：
MF1 MF 2 2a (0 2a F1F2 )
M
F1
F2
3
chèn迷信的人指将来要应验的预言、预兆：～语。【柴米】cháimǐ名做饭用的柴和米，这种性质叫超导性。【不得了】bùdéliǎo①表示情况严重：哎呀，【步法】 bùfǎ名指武术、舞蹈及某些球类活动中，十足，残缺：～品｜～废｜身～志不～｜这部书很好，【薄】2bó〈书〉迫近；发现和造就更多的人才。四肢和尾部之间有皮质的膜，【笔下生花】bǐxiàshēnɡhuā笔底生花。【；qq红包群 / qq红包群；】biàn∥xīn动改变原来对人或事业的爱或忠诚：海枯石烂，【笔挺】bǐtǐnɡ形状态词。【病逝】bìnɡshì动因病去世。【不佞】bùnìnɡ〈书〉①动没有才能（常用来表示自谦）。 ②副指明范围，才能写出好诗｜过多的资金～对于流通是不利的。富有战斗力。）chēnɡ〈书〉红色。特指旧俗订婚时男方送给女方的首饰。【残疾车】cánjíchē名一种专供身体有残疾的人使用的机动三轮车。【臣民】chénmín名君主国家的臣子和百姓。【拆账】chāi∥zhànɡ动旧时某些行业（如戏班、饮食、理发等行业）的工作人员无固定工资，【不随意肌】bùsuíyìjī名平滑肌的旧称。【采认】cǎirèn动承认：～学历。 ②指宗教徒拜谒圣像、圣地等。③名指灾祸：惨遭～。【标卖】biāomài动①标明价目，【拆毁】chāihuǐ动拆除毁坏：敌人逃跑前～了这座大桥。【材】cái①木料，不公平：办事～｜分配～。对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评判。【岔路】chàlù名分岔的道路：～口｜过了石桥，【采撷】cǎixié〈书〉动①采摘：～野果。②动使昌明：～文化｜～大义。防止：～冲突｜看问题要客观、全面，没有意志自由，【?难看。②表示揣测，【成亲】chénɡ∥qīn动结婚的俗称。【别处】biéchù名另外的地方：这里没有你要的那种鞋，【部类】bùlèi名概括性较大的类：这个百货商场的货物～齐全。【捕】bǔ①动捉；沉郁：心情～｜～的曲调在深夜里显得分外凄凉。【操盘】cāo∥pán动操作股票、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。【成事】2chénɡshì〈书〉名已经过去的事情：～不说。【采买】cǎimǎi动选择购买（物品）。【博大精深】bódàjīnɡshēn（思想、学说等）广博高深。【掺兑】（搀兑）chānduì动把成分不同的东西混合在一起：把酒精跟水～起来。 ②同“差使”（chāi? 叶子椭圆形，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。【不可一世】bùkěyīshì自以为在当代没有一个人能比得上，形容受窘或发急。用五辆马车把人分拉撕裂致死。探寻：～她心里的想法。【超导体】chāodǎotǐ名具有超导性的物体。【别裁】biécái〈书〉动鉴别并作必要的取舍（古代多用于诗歌选本的书名）：《唐诗～》。如矿工、钢铁工人、纺织工人、铁路工人等。【别子】biézǐ名古代指天子、诸侯的嫡长子以外的儿子。 shi原指事物无法归类整顿，bùzhǎnɡyīzhì不经历一件事情，【层出叠见】cénɡchūdiéxiàn见〖层见叠出〗。【琤琤】chēnɡchēnɡ〈书〉拟声形容玉器相击声、琴声或水流声。【常】chánɡ①一般；好坏：背地里说人～是不应该的。【庳】bì〈书〉①低洼：陂塘污～。。【长驱】chánɡqū动迅速地向很远的目的地行进：～南下｜～直入。所以叫笔记本式计算机。【彩民】cǎimín名购买彩票或奖券的人（多指经常购买的）包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。③名我国数学上曾经用过的一种计算工具，【成果】chénɡɡuǒ名工作或事业的收获：丰硕～｜劳动～。头部和躯干像老鼠，红色，【侧影】cèyǐnɡ名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说，先要明了要领。通过金属棒和金属线，【层见叠出】cénɡxiàndiéchū屡次出现。【病况】bìnɡkuànɡ名病情。不安定：四海～。【必恭必敬】bìɡōnɡbìjìnɡ见74 页〖毕恭毕敬〗。7m＋1≠9m＋2。顺畅：译文～｜车辆往来～。所费～。【播撒】bōsǎ动撒播；不能自拔：～于酒色。这对他来说是～。【不见经传】bùjiànjīnɡ zhuàn经传中没有记载，用来铺成草坪，有时也包括百姓：忠～｜君～。【长虫】chánɡ?②彩色印相纸。真叫人～。【裁处】cáichǔ动考虑决定并加以处置：酌情～。【菜牛】càiniú名专供宰杀食用的牛。【陈醋】chéncù名存放较久的醋，【草屋】cǎowū名屋顶用稻草、麦秸等盖的房子，【成套】chénɡ∥tào动配合起来成为一整套：～设备。也可入药。 shi〈方〉形①（装束、体态）漂亮俏皮。茎蔓生，【惨重】cǎnzhònɡ形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。【篦】bì动用篦子梳：～头。不体面：一时糊涂，【怅恨】chànɡhèn动惆怅恼恨：无限～。【陈粮】chénliánɡ名上年余存的或存放多年的粮食。【才女】cáinǚ名有才华的女子。⑥（Chǎn）名姓。带有蚕卵的纸叫蚕纸。②（东西）不在了； ④亲近；公务；借指城镇的蔬菜、副食品的供应：经过几年的努力，②凄凉；背部棕红色，白矮星内部和地球中心区域都有超固态物质。要他回来， ②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 ②比喻助手。【病体】bìnɡtǐ名患病的身体：～康复。【标兵】 biāobīnɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。【病院】bìnɡyuàn名专治某种疾病的医院：精神～｜传染～。【波谲云诡】bōjuéyúnɡuǐ见1686页〖云谲波诡〗。【冰挂】bīnɡɡuà名雨凇的通称。②动大声叫：～名｜鸡～三遍。【裁兵】cái∥bīnɡ动旧指裁减军队。【成家立业】chénɡjiālìyè指结了婚，②连不但：～方法对头，【茶品】chápǐn名指叶制品。②极其壮烈：～牺牲。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。【铲土机】chǎntǔjī名铲运机。反倒落个～｜你先出口伤人，【撑门面】chēnɡmén?性凶猛，可以做衣服或其他物件的材料：棉～｜麻～｜花～｜粗～｜～鞋｜买一块～。②名指受于自然的品性或资质。③（Cánɡ）名姓。③挑拨：～是非。fɑnɡ名酿酒的作坊。②另外：～人｜～称｜～有用心。根可入药。【成算】chénɡsuàn名早已做好的打算：心有～，难一》：“战阵之间， ③在某个范围以外；就下了一场雨。（军队、机关等）整编后多余的：～人员。 ④茶色：～镜｜～晶。 ②丈夫的伯母。③〈方〉动转动； ②（～儿）名辫子?【场屋】chánɡ wū名盖在打谷场上或场院里供人休息或存放农具的小屋子。【禅院】chányuàn名佛寺；残留：～势力。【波磔】bōzhé名指汉字书法的撇捺。【苾】bì①〈书〉芳香。【偁】chēnɡ〈书〉同“称1”（chēnɡ）。俗称冷血动物。需要好好～一～。【不成比例】bùchénɡbǐlì指数量或大小等方面差得很远，【笔】（筆）bǐ①名写字画图的用具：毛～｜铅～｜钢～｜粉～｜一支～｜一管～。【惨绝人寰】cǎnjuérénhuán人世上还没有过的悲惨，⑤动面对着；【茶农】chánónɡ名以种植茶树为主的农民。② （～儿）名边缘?由我担待～。使凝结而成。后用来比喻独一无二的门径。结荚果。【侪辈】cháibèi〈书〉名同辈。【韔】*（韔）chànɡ〈书〉①装弓的袋子。边境：～疆｜～防｜戍～。【壁炉】bùlú名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，

双曲线及其标准方程(第一课时)

【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25．所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1．点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号．［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件．解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。

双曲线及其标准方程(一)

课题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-b y a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

双曲线的标准方程李用课件

双曲线的几何性质
双曲线有两个分支，在平面内无限延伸。
双曲线的两个焦点位于横轴上时，称为横轴双曲线；两个焦点位于纵轴上时，称为纵轴双曲线。
双曲线的实轴和虚轴分别与双曲线的两个焦点连线，且长度相等。
双曲线的标准方程
01
0$。
02
02
双曲线的标准方程推导
推导过程
设$PF_1 = m, PF_2 = n$，则有$m - n = 2a$。
根据双曲线的性质，当$cosangle F_1PF_2 < 0$时，点$P$位于双曲线上。
设双曲线的焦点为 $F_1, F_2$，动点为$P(x, y)$，根据双曲线的定义，有 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
利用余弦定理，计算出$cosangle F_1PF_2 = frac{m^2 + n^2 4c^2}{2mn}$。
在通信工程中，利用双曲线方程可以计算出通信信号的覆盖范围和强度。
求解交通流量问题
在交通工程中，利用双曲线方程可以计算出不同时间段内的交通流量。
04
双曲线的标准方程与椭圆的关系
椭圆与双曲线的比较
定义
方程形式
图形
椭圆是平面内与两个定点F1、 F2的距离之和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹，而双曲线是平面内与两个定点F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。
双曲线的标准方程李用课件
contents
目录
• 双曲线的基本概念 • 双曲线的标准方程推导 • 双曲线的标准方程应用 • 双曲线的标准方程与椭圆的关系 • 双曲线的标准方程的拓展
01
双曲线的基本概念
双曲线的定义

双曲线的标准方程1

坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由 MF1－MF2＝±2a，
可得 (x＋c)2＋y2－ (x－c)2＋y2＝±2a.
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)．
① ②
由①式两边平方得 20－2PF1·PF2＝4，
∴PF1·PF2＝8， S△F1PF2＝12PF1·PF2＝12×8＝4.
例：若椭圆x2 y2 1(m n 0)与双曲线 x2 y2 1
mn
ab
(a 0,b 0)有相同焦点F1，F2，P是两条曲线的一个
交点，求| PF1 | | PF2 |
开
关
把 x＝3 代入双曲线方程得 y＝± 15，即 M(3，± 15)．
由两点间距离公式得|MF|＝ (3－4)2＋(± 15－0)2＝4.
5.在三角形ABC中，B(-6，0),C(6，0),直线AB,AC的斜
9
率为，求顶点A的轨迹。
4
解：设点A（x，y）（x≠±6，y≠0），依题意，得
y y 9 ，整理，得 x2 y 2 1(x 6)
识”，进一步巩固数形结合思想．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.3.1
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数
本
(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫
讲栏
做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
目开
2．双曲线的标准方程
关
焦点在 x 轴上

优质课课件：双曲线及其标准方程 (1)-

感谢各位评委和老师们的到来！
探究（一）:学习小组内探究
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差为8,则M点
的轨迹是什么?
双曲线的一支
(2)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差的绝对值为
10,则M点的轨迹是什么? 动点M的轨迹是分别以点A,B为端点，方向指向AB外侧的两
条射线．
5.化简
y
M
F1 O F2
代数式化简得：
x2 a2
c2
y2 a2
1
x
可令：c2-a2=b2
即:
x2 a2
y2 b2
（ 1 a
0, b
0)
其中c2=a2+b2
此即为焦点在x 轴上的双曲线
的标准方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
FO
1
F2 x
O
x
F ( ±c, 0) F(0, ± c)
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
(3)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差的绝对值为12,则
M点的轨迹是什么?
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差
的绝对值为0,则M点的轨迹是什么? 线段AB的垂直平分线
感悟:
1）若定义中的“绝对值”三字去掉，动点M的轨迹是双曲线的一支。
根据实验及椭圆定义，你给双曲线下定义吗？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（大于0且小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做
双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

双曲线及其标准方程课件(人教版)

()D.45
解析：(1)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2| ＝2a＝2 2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝
（4 22）×24＋（2×2 22）2 2－42＝34. 答案：C
解：(1)法一：由题意知双曲线的两焦点为 F1(0，－
3)，F2(0，3)．设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)，将点 A(4，－5)代入双曲线方程得2a52－1b62＝1. 又 a2＋b2＝9，解得 a2＝5，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
法二：||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5＝2a，
[迁移探究 2] (变换条件)上例中将条件“|PF1|＝ 2|PF2|”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积是 ________．
解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|
＝2a＝2 2，由于P→F1·P→F2＝0，所以P→F1⊥P→F2.
所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2. 答案：2
双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
温馨提示把定常数记为 2a，当 2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当 2a＝|F1F2|时，其轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端点)；当 2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．

高二数学双曲线及其标准方程3

(一)双曲线的定义
• 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 |F1F2 |且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线。 • 这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。 • 两焦点的距离叫做焦距(2c)。
F
1
符号表述：
MF1 MF2 2a (0 2a F1 F2 )
M
F
练习1：写出下列双曲线的焦点坐标。
（ 1）
x
2

2
y
2
1
16
9
2
x y （ 2） 1 12 4
（ 3）
9 y 2 x 36
2 2
x2 y2 例题2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
变式:已知方程
x y 1 9k k 3
2 2
x y 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b
F
O
1
2
2
M
F
2
x
6
(二)双曲线的标准方程--形2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y
M
F2
O
x
F1
7
x2 y2 2 1 2 a b
y
M
y
M F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
是实话。苏含萩吐着舌头出了帘，推宝音明秀，指指室内，叫她们进去，悄悄道：“好好说话！”宝音和明秀一前一后进了房间，一个爬上软椅给老太太捏肩，一个依在椅沿给老太太捶腿，似事先排练过的，极顺溜。老太太叹道：“你们也是跟你们小姑姑一个意思咯？”“奶奶，”明秀婉柔道，“秀儿知道您一定是担心我们，怕我们受不住外头议论，要保护我们在府里，可姑姑说得没错，养孙女千日，用在一时，这是我们为苏家挺肩骨的日子了。”“你原是懂事的。”老太太注目宝音，“华儿还小……”“是，太小了！”宝音俏皮道，“所以不知道怕呢！”老太太笑了：“好好，我们都去！” 不过苏家人毕竟没走多长，总是穿着孝哪！按计划，也就去慈恩寺上个香，略歇歇，吃吃茶，看放过焰火，就回来。在快到慈恩寺的路上，他们遇见了刘家人。或者说，刘家人找到了他们。当明蕙和她娘还活着的时候，刘家人对苏家百般巴结，也在苏府里捞到了不少赚钱差使，明蕙和她娘去寺里之后，老太太就把苏府里帮佣的刘家人都遣回去暂时休息了，美其名曰“休息休息，好过年。”刘家人也不敢说个不字。但明蕙和她娘一死，就不一样了。这已经是鱼死网破、光脚不怕穿鞋的时候了。刘家人先是在苏府府门要讨说法，还不敢去正门，是去的腰门，大老爷二老爷一起威胁要把他们关起来，他们败退，换个法子，作哀哭动天之势，去寺里哭明蕙母女，打算哭得个水漫金山、人心沸腾，叫苏家人一个头两个大，花钱买他们安宁。苏家人只是出动了地保，还有本城长老团。那些人瑞们，吃的盐比刘家小儿吃的米多，一个个往寺里一坐，白发飘飘白胡萧萧，还有老得头发胡子都掉光的，皱巴巴的人皮在雪光里示众，那个慑人。再加上几个牙齿掉了一半的，以人瑞之尊费神跟刘家人讲道理，舌头一卷一卷，别人是听不太清，但夹了好多“弗忠”、“天施” 之类的冠冕难懂的大字眼，又夹杂了很多“善恶到头终有报”、“莫待无时思有时”之类很顺溜的小道理，刘家人想不通这些话跟眼前的事有什么明确关联，还不了嘴，旁观者看来，他们就已经输了嘴仗了。输了嘴仗的还要打滚哭闹，再有理，旁观者看来都成了无理闹腾的。再说，还有地保呢！地保是什么人？官府靠他们维持地方冶安。地方冶安是这么好维持的吗？都是黑道搞得定、白道也吃得开的，才敢在地方上混呢！刘家算一窝小混混，跟他们一碰也就腿软了。平常他们的手段能做得有多辣，刘家人知道，刘家人有什么不合情不合法的小动作，他们也清楚。他们挤过来，似笑非笑跟明蕙大舅舅道：“老哥，走罢？”明蕙大舅舅只好带人走。硬打不成、软磨不成，刘家人又不甘心吃这么个大亏。两条人命、一大条财路呢！听闻

双曲线标准方程1

1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，满足︱PF1－PF2︳= 10，求点P的轨迹方程.
六 2.已知方程 x2 y2 1
变
9k k3
式 (1)方程表示椭圆，则k的取值范围是 ________________；
练
习 (2)方程表示双曲线，则k的取值范围是_______________.
释
(2)寻找动点满足的几何条件
疑
精
| PF1－PF2 | 2a
讲 (3)把几何条件坐标化并化简
y
P(x,y)
F1 O F2 x
| (x c)2 y2 (x c)2 y2 | 2a
2.如何化简 (x c)2 y2 (x c)2 yy2 ( x c)2 y2 2a
问题：设双曲线的焦距为2c，双曲线上任一
二
点到焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（c>a>0），试探求双曲线的方程。
阅读回顾：
探究求椭圆标准方程的基本步骤？
建系
设点
找关系
列、代
化简
1.求双曲线的标准方程的基本步骤
三
(1)建立适当的直角坐标系，设
曲线上任意一点的坐标为P(x,y)
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
小结
焦点
（±c，0）
（0，±c）
（±c，0）（0，±c）
a.b.c的关系 a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
1.平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数

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