第4章_非线性系统线性化
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法
垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
机械工程控制基础(复习要点)
1
1
2）峰值时间：响应曲线达到第一个峰值所需 的时间。
tp d 1 2 n
3）最大超调量 M p ：常用百分比值表示为：
Mp x0 (t p ) x0 () x0 ( )
( / 1 2 )
第四章 频率特性分析
1、频率响应与频率特性
频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。 幅频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的幅值比，记为A(ω)； 相频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的相位差，记为φ(ω)； 频率特性：幅频特性与相频特性的统称。即：线性 定常系统在简谐信号激励下，其稳态输出信号 和输入信号的幅值比、相位差随激励信号频率 ω变化特性。记为
G B s 1 Gk s G q s
第三章 时间响应分析
1、时间响应及其组成 时间响应：系统在激励作用下，系统输出随 时间变化关系。 时间响应可分为零状态响应和零输入响应或 分为自由响应和强迫响应。 零状态响应：“无输入时的系统初态”为零 而仅由输入引起的响应。 零输入响应：“无输入时的系统初态”引起 的自由响应。 控制工程所研究的响应往往是零状态响应。
K 增益 T 1Fra bibliotekn 时间常数 n 固有频率
阻尼比
6)一阶微分环节： G s s 1 7)二阶微分环节： G s s 2 s 1
2 2
8)延时环节： G s e s
7、系统各环节之间的三种连接方式：
串联：
G s Gi s
G ( j ) A e
j
频率特性又称频率响应函数，是激励频率ω的函数。 频率特性：在零初始条件下，系统输出y(t)的傅里叶 变换Y(ω)与输入x(t)的傅里叶变换X(ω)之比，即 Y j G ( j ) A e X
微分方程的线性化
df ( x) 1 d 2 f ( x) 2 y f ( x) f ( x0 ) ( ) x0 ( x x0 ) ( ) ( x x ) x0 0 2 dx 2! dx
当增量（x- x0)很小时，略去其高次幂项，则
df ( x) y y0 f ( x) f ( x0 ) ( ) x0 ( x x0 ) dx
线性化总结
1) 线性化是相对某一工作点，工作点不同，线
性化方程的系数也不同； 2) 偏差愈小，线性化精度愈高； 3) 线性化适用于连续变化的单值函数。 4) 式中变量是增量，不是绝对量，公式称为增量 方程式 5) 额定工作点若是坐标原点，增量可以写成绝对 量。 6) 当增量并不是很小时，在进行线性化时，为了 验证容许的误差值，需要分析泰勒式中的余项。
df ( x) y ( ) x0 x k x dx
df ( x) k dx x0
是比例系数，它是函数f(x)在工作点 A点的切线斜率。
将线性增量方程代入系统微分方程，便可得系统线性化 方程。
y kx
同理可得，多变量非线性函数
y f ( x1 , x 2 , x n )
微分方程的线性化
然而严格地说，实际物理元件和系统都是非线性 的。 叠加原理不适用于非线性系统，这给求解非线性 系统带来不便，因此需要对所研究的系统作线性 化处理。
非线性系统的线性化
非线性系统进行线性化的条件： 非线性函数是连续函数；系统在预定工作点附近作小偏 差运行，即变量的变化范围很小。
图示为连续变化的非线性 函数 y=f(x) 线性化方法是：把非线性 函数在 工作点x0附近展成 泰勒级数，略 去高次项， 便得一个以增量为变量的 线性函数：
第4章-非线性系统线性化
（2.2）
其中 y d 为希望输出，v为模型的输入，1,2,n， 为常数。同样取 y d 及
其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：
x dA dxdbdv yCxd
0 1
其中 x d
为模型的状态向量；Ad
0
0
C 1 0 0 为常数。
1 2
（2.2a）
0
0
1
，b d
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f(x,u,t)
（1.1）
其中，xRn 为状态向量，uRm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
x dA dxdB dv
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，vRm为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm为常数矩 阵，并且 A d 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
M e T P [ f( x ,u ,t ) ( A d x B d v ) 0 ]
（1.6）
则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。
若能选择 u使 M在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具 有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。
第4章-非线性系统线性化(1)
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
4、非线性系统的数学模型
2 ( x x ) x10 1 10
当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项， 写成
df x2 f ( x10 ) dx1
df 其中 K dx1
x10
( x1 x10 )
x20 K ( x1 x10 )
x10
为工作点(x10，x20)处的斜率，
即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工 作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间 就成为线性关系。
输出
输入
液压控制阀中的 圆形窗口；
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
分段斜面；
阶梯形窗口；
6、滞环特性
输出
输入
铁磁部件的元件
三、单变量非线性系统的线性化
非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工 作点附近展开成泰勒级数。 忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性 化方程，来替代原来的非线性函数。
非本质非线性:
能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。
本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性
2、典型非线性特性 （1）饱和特性
输出
输入
k x(t ) y(t ) ka sgn x(t )
x(t ) a x(t ) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随 输入信号变化而保持恒定。
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
d 2u0 (t ) du0 (t ) T1T2 (T1 T2 T3 ) u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt
一、微分方程的线性化的特点
1、线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和 齐次性性质。
非线性系统线性化综述翻译
⾮线性系统线性化综述翻译┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊⾮线性系统线性化综述程代展，李志强(中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190)摘要：⾮线性系统的线性化是设计⾮线性系统控制的强有⼒⼯具。
这⼀⽅法已经在飞⾏器控制、电⼒系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、⽣物学系统和机器⼈控制等领域得到⼴泛应⽤。
本⽂阐述了⾮线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。
⾸先回顾从⾮线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。
主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。
然后介绍各种不同的线性化⽅法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。
本⽂主要⽬的是对⾮线性系统线性化的历史，现状和⼀些重要问题进⾏⼀个较完整全⾯的介绍，从⽽提供从事线性化理论与应⽤研究的基础。
关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；⾮正则；部分线性化1 介绍⾮线性系统线性化处理与⾮线性（控制）系统是最有效的⽅法之⼀. 它已被⼴泛⽤于研究很长⼀段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被⼴泛⽤于各种⼯程问题。
例如，飞机控制，动⼒系统，化学反应，经济系统，⽣物系统，神经⽹络，空调系统，⽣态系统，机器⼈控制系统等。
垂直起降飞⾏器模型不是静态状态反馈线性化⽽是动态状态反馈线性化。
双旋翼直升机模型的飞⾏控制器的设计。
局部线性化的设计⽅法主要运⽤静态反馈线性和较低的⼦系统层次实现。
输⼊输出反馈线性化⽅法被⽤来设计⼀个分散的⼤型电⼒系统的⾮线性控制器，事实证明，输⼊输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。
状态空间精确线性化⽅法应⽤于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl⾮线性控制系统的⾮线性反馈控制律的设计。
线性化的应⽤分别列举了⽣物系统和物理系统这两个系统的综合分析。
作为多输⼊多输出双线性系统的⼀个V AV AC电⼚的动态模型推导和制定。
非线性系统的谐波线性化
7.3 非线性特性的描述函数
y (t ) y1 t B1 sin t C1 cos t B1 sin t 1 0.75 2 A A sin t 4 2 1 0.75 2 A x t N A x t 2 4
A1
东北大学《自动控制原理》课程组
A12 B12 A1 arctan A B1
1
2 0
1
2
0
y (t ) cos tdt B1
y (t ) sin tdt
9
7.3 非线性特性的描述函数
（2）示例说明描述函数 N(A) 的含义 已知非线性运算放大器输出输入特性为：
N A
y(t ) x t
N(A)相当于非线性放大器对正弦输入而言的等效增益， 是 A 的函数。
A
东北大学《自动控制原理》课程组 12
7.3 非线性特性的描述函数
4. 典型非线性特性的描述函数
（1）理想继电特性的描述函数
东北大学《自动控制原理》课程组
13
7.3 非线性特性的描述函数
3. 非线性特性的描述函数
线性系统频率特性的定义： W j Y j X j （1）描述函数的定义：输入为正弦函数时，输出 的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达 式为: Y1 sin(t 1 ) N A R A A sin t
Y1 1 A
东北大学《自动控制原理》课程组 6
7.3 非线性特性的描述函数
（2）非线性系统的谐波线性化 对一任意非线性系统，设输入 x(t ) A sin t , 输出波形为 y(t ) ，则可以将 y(t ) 表示为傅氏级数形 式
非线性系统课件
N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法包括线性化方法和仿射变换方法。
1. 线性化方法
线性化方法是将非线性系统在某一工作点处进行线性近似，然后应用线性控制理论对其进行分析和控制。
线性化方法通常包括泰勒级数展开和雅可比矩阵的计算。
2. 仿射变换方法
仿射变换方法是将非线性系统通过一系列仿射变换，变换成一个线性系统，然后应用线性控制理论对其进行分析和控制。
仿射变换方法常用的变换包括积分变换、对数变换、指数变换等。
需要注意的是，虽然非线性系统可以通过线性化方法和仿射变换方法进行线性化处理，但当系统存在强非线性、硬约束、不可逆性等特点时，这些方法的适用性会受到严重限制，需要考虑其他非线性控制方法。
lecture
非线性系统Nonlinear Systems Analysis•第一章绪论3学时•第二章相平面分析3学时•第三章稳定性理论基础6学时•第四章非线性系统的线性化方法6学时•非线性控制理论应用（讨论）3学时•第五章变结构控制6学时•第六章混沌与分岔3学时•第七章自适应控制2学时•第八章非线性系统的H∞控制1学时•非线性控制理论应用（讨论）3学时•根据实际情况，各章所用学时会稍微有所调整。
主要内容及学时安排参考书目[1] 高为炳. 非线性控制系统导论（第2版），科学出版社，1991.[2] 冯纯伯,费树岷.非线性控制系统分析与设计（第2版），电子工业出版社，[3] J．-J．E．斯洛廷李卫平著．应用非线性控制．[4] 贺昱曜,闫茂德．菲线性控制理论及应用．西安电子科技大学出版社，[5] 刘小河. 非线性系统分析与控制引论. 清华大学出版社[6] H.K.Khalil. Nonlinear Systems. Macmillan PublishingCompany第一章绪论系统控制理论的研究对象1、系统：由相互关联和相互制约的若干“部分”组成的具有特定功能的一个“整体”。
2、动态系统：运动状态按确定规律或统计规律随时间演化的一类系统，也称动力学系统。
是系统控制理论研究的主体。
表征系统动态过程的数学描述具有两类基本形式：内部描述和外部描述。
动态系统可以分为：连续变量系统和离散事件动态系统、线性系统和非线性系统、连续时间系统和离散时间系统。
一、控制理论所研究的控制系统的问题：简单地讲就是系统的输入、输出问题。
1、给定输入时系统的输出怎样变化？这属于系统分析问题。
2、怎样使系统的输出按照希望的方式运动？该问题称为系统的综合问题。
二、控制系统的分类对于一个实际的控制系统，不论是进行分析还是进行设计，首先一项任务就是要求出受控对象的物理模型和数学模型。
如：光、电、磁、力、热等的传导，及刚体、弹性体、液体和气体的运动。
第四章3非线性动态逆设计方式简介
非线性动态逆设计方式简介一．设计原理1．需求：气动布局转变；气动参数非线性；状态间非线性耦合；… 2．非线性系统设计问题：不具有线性特性，大幅值与小幅值输入响应不同； 非线性系统的平稳点不同，稳固性较难评定； 不能用线性系统的方式分析（根轨迹，频率特性等） 3．非线性系统设计方式• 扩展线性化设计：考虑一阶导数项，近似为线性模型（较少利用） • 定量反馈设计：频率域设计，时频转换（工程上可用），高增益 • 动态逆设计：逆动力学反馈线性化（理论上通用，经常使用）• 精准线性化：利用状态转换实现精准的线性化（关于复杂非线性系统较难利用）二．动态逆设计1．伪线性动态逆方式（p289）考虑知足仿射非线性条件的非线性方程：()()x f x g x uy x=+= （1）， 仿射非线性——状态与操纵不耦合取1()[()]d u g x f x x -=-+ （2）， d x 为期望的动态进程闭环：{}1()()()()()[()]d dx f x g x u f x g x g x f x x x x -=+=+-+∴= （3）系统变成线形形式，能够利用线性系统设计方式与概念，如取：d d x Ax Bv =+ （4），式中，A 、B 为理想模型动态方程矩阵，v 为外输入变量，能够取得对外输入的理想的动态进程。
系统结构图：x要求：（1）系统能够写为仿射非线性形式（2）g （x ）的逆存在，操纵量的维数=状态量的维数2．基于李导数的动态逆方式（输入输出反馈线性化，p288） 逆动力学理论：• 系统的动态逆系统；• 通过反馈达到输入输出解耦线性化； • 对解耦线化系统设计鲁棒线性操纵律。
系统描述：仿射非线性()()()x A x B x uy C x =+= （5）逆动力学通过对输出y （t ）微分充分次取得：00()A y C x L C ==10()[()()]()()()A B A C C y t x A x B x u x xC C A x B x u L C L L C u x x∂∂==+∂∂∂∂=+=+∂∂设：0()()0B A CB x u L LC u x∂==∂11211()[()()][()()]()()()()()()0A A AB A B A y yC C y t x A x B x u A x B x u t x x x x L C A x L C B x u x xL C L L C uL L C u ∂∂∂∂∂===++∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂=+=设： 直至：1()r r r A B A y L C L L C u -=+式中：12()()0r r B A A L L C u L C B x--∂=≠∂ 上述求导进程中的李导数概念为：0A L C C =，1()A C L C A x x ∂=∂，…1()()r r A A L C L C A x x -∂=∂ （6） 0()B A C L L C B x ∂=∂，11()()B A A L L C L C B x ∂=∂ , …()()rr B AA L L C L CB x∂=∂ （7） 关于系统的每一个输出：i=1…m ，别离以李导数的形式描述为：11()ii j mr r r iAi B A i j j y L C L L C u -==+∑，i,j=1…m （8）写成向量形式：11111221111111112**211(),()()(),()m m mm r r r r B AB A Ar rA r r r r mB A m B A m m A L LC L L C y L C u u y L C A x B u u L L C L L C y L C ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （9） 假设B*可逆，取：*1**1()()()u B x A x B x v --=-+，式中，v 为新的外输入，代入（9）式，可得：121122m r r r m m y v v y v y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （10）， 式中，12...m r r r n ++=上式说明了在逆动态反馈下系统输出解耦，每一个输出量1,...m y y 能够通过外输入,1i v i m =独立操纵。
《非线性系统分析与控制》资料教材
统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyapunov第二方法。
2.极限环
非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周 期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。
例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼 器系统）为： 2c( x 2 1) x kx 0 m x
c 和 k 为正常数，分析该系统的特点） （ m、 • 非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持 续振荡。 • 极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和 有益两种情况，应分别对待。
ax x 3 0 x
当
a 由正变负时，一个平衡点分裂为三个点
（x e 0, a , a ），这表明系统的动态特性的质变，
a 0 为一临界分叉值。
4.混沌
1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具 有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非 周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别 常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三 条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和 对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、 奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度 熵等。
三、非线性控制理论
有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下 将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态 品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例 如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们 熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统 理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的， 并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述 函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、 输入输出稳定性理论等。
非线性系统的线性化处理方法
非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
t e
i
i t j i t
ˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
t
则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出 S(ε)，且当t→∞时收敛于xe，显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定 性对应。
若δ 与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称平衡状态是一致渐近 稳定的。 4 大范围（全局）渐近稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称 此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ) →∞。当t→∞时，由状 态空间中任一点出发的轨迹都收敛于xe 。 对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定， 这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说， 其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近 稳定。
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
《线性系统理论与设计》第四章
稳定性当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。
使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。
近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性（鲁棒性）问题。
平衡状态(4-2)受扰运动:平衡状态:(4-5)0 x t t"³？是李雅普诺夫意义下稳定的。
李雅普诺夫稳定性就是要研究微分方程的解在tÎ[t，+¥）上的有界性。
1. 此处d 随着e 、t 0而变化；时有‖x (t ；t 0，x 0)‖＜e "t ≥t 0成立初值变化充分小时，解的变化(t ≥ t 0)可任意小(不是无变化)；(t 0，e )£e 。
edt0x (t 0)d (t 0，e )x 0x (t )李雅普诺夫意义下稳定的几何意义(t 0)‖一致稳定：(4-9)00(,,)0(,,)T t T t m d m d >()S e ()H e 0x x()S d ()S e 0x ()x t T()S d t固定的吸引区，不是＜m ，t >t 0+ T(m ，t 0，x 0)t 0mt 0+ T(m , t 0, x 0)e00lim (,,)0®¥=t x t t x数量吸引区局部幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终0x1otl nx 非线性系统的解，),<。
故系统是李氏稳定的。
又与t d ddx xdt tttd<，,故其零解一致稳定。
又0t t 0t t()S e 0x ()x t ()S d cx ()e指数渐近稳定稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定第一方法线性化的间接第二方法直接判断直接法李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计李雅普诺夫第二法的主要定理(4-16)李雅普诺夫函数充分条件4-17)),则称系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。
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1）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等；
2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含 模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考 方法（real model refernce approach）。
传统近似线性化方法
最小二乘法
近似线性化
误差最小
传统近似线性化
泰勒展开
忽略高阶项
雅可比矩阵 傅里叶级数展开
忽略高阶项 忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• 4.0 绪论 • 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 • 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计
– 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 – 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – 线性定常系统设计—闭环极点配置 – 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 • 4.3 反馈线性化与标准型 – 输入—状态线性化 – 输入—输出线性化 – 线性系统的内动态子系统 – 零动态子系统 • 4.4 数学知识 – 微分同胚与状态变换 – 弗罗贝尼斯定理 • 4.5 非线性系统反馈线性化 – 单输入单输出系统的输入—状态线性化 – 单输入单输出系统的输入—输出线性化 – 多输入—多输出系统的反馈线性化 • 4.6 近似线性化方法
（2.4）
取状态偏差的二次型函数
V (e) eT Pe
（2.5）
其中 P PT Rnn ，且 P 0 。则有 V (e) 的导数为：
V(e) eT (AdT P PAd )e 2eT P[(A0 Ad )x fb (x,u,t) bdv] eTQe 2M （2.6）
计可以实现系统状态 x 对 xd 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有 e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
第四章
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化 2、精确线性化 3、现代近似线性化
非线性系统线性化方法
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传统近似 线性化
基本思想： 一阶近似
适用于工作 点范围不大 情况
精确线性化
现代近似 线性化
条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统 或通过状态反馈以保 持线性系统的部分特 点。
V (e, e
t
)
T
[
f
(
x,
u,
t
)
(
Ad
x
Bd
v)]
0
（1.7）
则被控的状态偏差系统（1.3）是大范围一致渐近稳定。
证明： 因为V (e,t) 是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有
V(e, t )
dV dt
V e
T
de dt
（1.5）
其中 Q (AdT P PAd ) Rnn ，M eT P[ f (x,u,t) ( Ad x Bd v)]为标量函数。
由于 Ad 的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵 P ，使 Q 为一 负定矩阵。若能选取控制向量 u(x, xd ,u(d ), v,t)（ u(d) 为可能用到的 u 的各阶导 数），使 M 0 ，则 V (e) 为李雅普诺夫函数。
Bd v)]
dV dt
V e
T
Ad
e
V e
T
[ f
(x,u,t) ( Ad x
Bd v)]
由于上式右端第一项负定，显然若式（1.7）成立，则V(e, t )负定。式（1.3） 的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。
非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入--状态线性化和输 入--输出线性化。
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
0
C 1 0 0 为常数。
1
1 0 2
0
0
1
，bd
0
，
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
（2.1b）
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
其中 x x1 x2 xn T Rn 为状态向量，u Rm1表示控制 u 及其前m阶
导数。
设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示：
y (n) d
n yd (n1)
y (n2) n1 d
L
ห้องสมุดไป่ตู้
2 y 1y
（2.2）
其中 yd 为希望输出，v 为模型的输入，1, 2 , n ， 为常数。同样取 yd 及
其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：
xd Ad xd bd v y Cxd
（2.2a）
0
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并 在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由 于其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。
非线性系统反馈线性化绪论
模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。
非线性系统反馈线性化绪论
非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系 统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的 动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制 的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来 达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。
若选取的 u 使 M 0 ，则称非线性系统（1.1）被精确线性化。 我们可给出定理1.1更一般的情况如下：
定理1.2 考虑状态偏差系统（1.3）。设其对应的自由动态系统e Ad e 在 平衡状态 e 0 大范围一致渐近稳定，V (e,t) 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫
函数。如果控制策略 u(x,v,t) 使
因为当状态偏差 e 的欧几里德范数 e 时，V (e) ，平衡状态 e 0 是在大范围内渐近稳定的。从而有t 时，x xd 。由上面的分析可直接给出 如下定理：
定理1.1 给定非线性时变系统（1.1）及模型参考系统（1.2）。设 Ad 稳
定，V (e) eT Pe 是模型参考自由系统（对应于 v 0）在原点平衡状态的李雅普诺 夫函数。那么，若存在控制 u 使
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
M eT P[ f (x, u,t) ( Ad x Bd v)] 0
（1.6）
则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。
若能选择 u 使 M 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具 有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。
（2.1）
其中为 u(t) 输入，y(t)为输出。取输出及其前n-1阶导数为状态变量，方程 （2.1）可表示为如下的状态空间表达形式：
x1 0 1 0
x2
0 0 1
xn1
0 0 0
xn 0 0 0
0 x1 0
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。