积分公式表,常用积分公式表
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表1、基本积分公式： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(8) (10) (11)2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分方法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当 时，有 .当 时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（ ， ）式右边的 是在分母，不在分子，应记清. 当 时，有 .是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
（完整word版）积分公式
（完整word版）积分公式2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后⾯真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下⾯我们要学习不定积分的计算⽅法，⾸先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是⾮零常数.现在可利⽤这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成⼀个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分⼦次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出⼀个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分⼦次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利⽤三⾓函数公式将被积函数化简成简单函数以便使⽤基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进⼀步的不定积分计算⽅法，我们先⽤微分的链锁法则导出不定积分的重要计算⽅法??换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出⼀个整式，再加上⼀个有理真分式，⼀般情形怎样实施这⼀步骤？4.第⼀换元法（凑微分法）我们先看⼀个例⼦：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分⼦只差常数倍数2，如果将分⼦补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．⼀般地在F'(u)=f(u),u=?(x)可导,且?' (x)连续的条件下,我们有第⼀换元公式(凑微分)：u=? (x) 积分代回u=? (x)∫f[?(x)]?' (x)d x=∫f[?(x)]d?(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[?(x)]+C其中函数?(x)是可导的,且F(u)是f(u)的⼀个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[?(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[?(x)]+C]' =F '[?(x)]?' (x)=f[?(x)]?' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=?(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到⼼中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第⼀种形式，其另⼀种形式是下⾯的第⼆换元法．5.第⼆换元法不定积分第⼀换元法的公式中核⼼部分是∫f[?(x)]?'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另⼀种形式，称为第⼆换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的⼀个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[?(x)]?'(x)d x=F(x)+C=F[?-1(u)]+C .第⼆换元法常⽤于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处?(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的⽬的在于将被积函数中的⽆理式转换成有理式,然后积分．第⼆换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，⽤到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下⾯介绍⼀种直观的便于实施的图解法：作直⾓三⾓形，其⼀锐⾓为t及三边a，x，满⾜：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有⼀个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第⼆换元法公式中，请你注意加了⼀个条件“u=?(x)的反函数x=?1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下⾯通过例⼦说明公式的⽤法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (⽤分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第⼆次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第⼆次⽤分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(⽤分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第⼆次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第⼆次⽤分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第⼆次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第⼆次凑微分时，必须与第⼀次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产⽣恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫⼀旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (⽤分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .⼩结.(1)分部积分公式常⽤于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在⽤分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，⼀般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的⼏种常⽤⽅法，除了熟练运⽤这些⽅法外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之⽤，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使⽤的规律，特别是第⼀步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使⽤除了基本积分公式之外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个补充的积分公式，构成了积分表．下⾯列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利⽤积分表中的公式，可使积分计算⼤⼤简化．积分表的使⽤⽅法⽐较简单，现举⼀例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代⼊上式并添上积分常数C即得解答：=.。
基本积分公式表
(1x12)ex1xdx 02 ex解1xd(x1)ex1x C.
x
1 2x3
d.x 2x1
2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4例2 2x 3 求3 d x1 4 2x1 dx原式
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
例1 4
2
1
x2
2 d(1 x2)
单击此处添加标题 单击此处令 添u加正1文，文x2字是您12思想的提炼u，请d尽u
量言简意赅的阐述观点。
3
1 2u2
C
23
1
3
u2
C
3
1
(1
x
2
)
3 2
C
3
tanxdx csions
x x
dx
•
20 2X cos1 cxos1
(1) d(cosx) d(cosx)
2
u 2
2
C
u2 C
cos2 x C
3
1 2x
dx
例3212 x
1 2
d(32x)
单击此处12 添3 加12 x标d(题32x)
令 u32x 1 1
du 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽
2 量言简意赅的阐述观点。
u
12 ln | u | C
1 ln| 3 2x | C
2
s e2c(3x4)dx
一般情况下： d F[(x)] F'(u)'(x)
dx
f (u) '(x)
f[(x)]'(PxA)RT 1
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
积分常用公式
积分常用公式积分是微积分中的一个重要概念，它在求解曲线的面积、曲线的长度、曲线的弧长、函数的定积分等数学问题中起着重要的作用。
在实际应用中，积分也经常出现，因此掌握积分的基本公式是很有必要的。
下面是一些常用的积分公式的整理。
1.基本积分公式(1) ∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
(2) ∫x^ndx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数。
(3) ∫e^xdx = e^x + C。
(4) ∫a^xdx = (1/lna)a^x + C，其中a为正实数，C为常数。
(5) ∫sinxdx = -cosx + C。
(6) ∫cosxdx = sinx + C。
(7) ∫sec^2xdx = tanx + C。
(8) ∫csc^2xdx = -cotx + C。
(9) ∫secxdxtanxdx = secx + C。
(10) ∫cscxcotxdx = -cscx + C。
2.三角函数、反三角函数积分公式(1) ∫sin(mxdx) = -1/mcos(mx) + C，其中m为常数，C为常数项。
(2) ∫cos(mxdx) = 1/msin(mx) + C。
(3) ∫tan(mxdx) = -1/mln，cos(mx)， + C。
(4) ∫cot(mxdx) = 1/mln，sin(mx)， + C。
(5) ∫sec^2(mxdx) = mtan(mx) + C。
(6) ∫csc^2(mxdx) = -mcot(mx) + C。
(7) ∫sin^2xdx = (1/2)(x - sinx*cosx) + C。
(8) ∫cos^2xdx = (1/2)(x + sinx*cosx) + C。
(9) ∫sin^3x dx = -(1/3)cos^3x + (1/3)cosx + C。
(10) ∫cos^3xdx = (1/3)sin^3x + (1/3)sinx + C。
常用积分公式
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +∫＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+∫＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−）3．d x x ax b +∫＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +∫＝1ln ax b C b x+−+6．2d ()x x ax b +∫＝21ln a ax bC bx b x+−++ 7．2d ()xx ax b +∫＝21(ln b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +∫＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +−+−++ 9．2d ()x x ax b +∫＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++的积分10．x ＝C +11．x ∫＝22(3215ax b C a −+12．x x ∫＝22232(15128105a x abx b C a−+13．x＝22(23ax b C a −+14．2x＝22232(34815a x abx b C a −++15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b −− 17．d x x ∫＝b +18．2d x x ∫＝2a x −+∫（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +∫=1arctan xC a a+20．22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a −−−+−+−+∫21．22d x x a −∫=1ln 2x a C a x a−++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +∫＝(0)(0)x C b Cb +>+<23．2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +∫＝2d x b xa a axb −+∫25．2d ()x x ax b +∫＝221ln2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +∫＝21d a xbx b ax b −−+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝22221ln 22ax b a C bx bx +−+ 28．22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++∫（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++∫＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++−++∫(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC +34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C −++36．2x ＝ln(x C ++37．1ln aC a x −+38．＝2C a x −+39．x 2ln(2a x C +++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ∫C +42．xx ∫＝422(2ln(88x a x a x C +−++43．d x x ∫ln a a C x −++44．2d x x ∫＝ln(x C x−+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln C + 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 22a C ++50．2x ＝C ++51．1arccos aC a x+52．＝2C a x +53．x 22a C −+54．x ＝2243(25ln 88x x a a C −++55．x ∫C +56．xx ∫＝422(2ln 88x a x a C −+57．d x x ∫arccos aa C x +58．2d x x ∫＝C x−++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++64．2x C +65．1ln a C a x −+66．＝2C a x −+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a −++69．x ∫＝C +70．xx ∫＝422(2arcsin 88x a x x a C a−+71．d x x ∫ln a a C x −++72．2d x x ∫＝arcsin xC x a−−+(0)a >的积分73．C +74．x2C ++75．xC −+76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C ++的积分79．x ＝((x b b a C −+−++80．x ＝((x b b a C −+−+81．C+()a b <82．x ＝C ++ ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫＝cos x C −+84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ∫＝tan x C + 90．2csc d x x ∫＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫＝csc x C −+ 93．2sin d x x ∫＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ∫＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n−−−−+∫ 96．cos d n x x ∫＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n−−−+∫ 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x −−−−⋅+−−∫ 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x−−−⋅+−−∫ 99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n−+−−+++∫ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+−−−−+++∫ 100．sin cos d ax bx x ∫＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++−101．sin sin d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++−102．cos cos d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin x a b x +∫tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +∫C +22()a b <105．d cos x a b x +∫tan 2xC +22()a b >106．d cos x a b x +∫C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x −∫＝1tan ln 2tan b x aC ab b x a ++−109．sin d x ax x ∫＝211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++111．cos d x ax x ∫＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+−+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ∫＝arcsin x x C a++114．arcsin d x x x a ∫＝C +115．2arcsin d x x x a ∫＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d xx a ∫＝arccosxx C a−+117．arccos d x x x a ∫＝C +118．2arccos d x x x a ∫＝3221arccos (239x x x a C a −++119．arctand x x a ∫＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a∫＝221()arctan 22x a a x x C a +−+121．2arctan d x x x a ∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++（十三）含有指数函数的积分122．d xa x ∫＝1ln xa C a + 123．e d axx ∫＝1e ax C a +124．e d ax x x ∫＝21(1)e axax C a−+125．e d n axx x ∫＝11e e d n ax n ax n x x x a a−−∫126．d xxa x ∫＝21ln (ln )x x x a a C a a −+ 127．d nxx a x ∫＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a −−∫ 128．e sin d axbx x ∫＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．e cos d ax bx x ∫＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ∫＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n −−++∫131．e cos d ax n bx x ∫＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++∫ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ∫＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ∫＝ln ln x C +134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )d n n x x n x x −−∫ 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +−−++∫ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ∫＝ch x C +138．ch d x x ∫＝sh x C +139．th d x x ∫＝ln ch x C + 140．2sh d x x ∫＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π−π∫＝sin d nx x π−π∫＝0 143．cos sin d mx nx x π−π∫＝0144．cos cos d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π∫＝0cos cos d mx nx x π∫＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n−− 1342253n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−" （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅−"（n 为正偶数），0I ＝2π。
常用积分公式及解析(32个)
（5）反三角函数：
arcsin xdx x arcsin x 1 x2 C
【解析】
a r c c oxsd x x a r c cxo s 2 x1 C
arcsin xdx x arcsin x x dx x arcsin x
1 d (1 x2 ) x arcsin x 1 x2 C
csc xdx
1 sin
x
dx
2 sin
1 x cos
x
dx
tan
1 x cos2
x
d
x 2
1 tan
x
d
tan
x 2
ln
tan
x 2
C
22
22
2
sin x ln 2 C ln
2sin2 x 2
C ln 1 cos x C ln csc x cot x C
1 2
x
1 4
sin
2x
C
cos2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
【解析】
sin 2
xdx
1 2
1
cos
2xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
cos2
xdx
1 2
1
cos
2xdx
1 2
x
1 4
sin
常用积分表
2
4
8
-4-
(二)递推型
∫ 1设In =
1 dx (x2 + a2 )n
= 则I n
2n − 3 a2 (2n − 2)
I n −1
+
2a2
(n
x − 1)( x 2
+
a2
)n−1
= I1 arctan x + C
∫ 2设In = sinn xdx
则I n
= − cos x sinn−1 n
x
+
n
−2 −1
In−2
I0 =x + C, I1 = ln tan x + sec x + C
-5-
第二部分：定积分与反常积分
∫1
π
2 sinn
xdx =
(n −1)!!, (n为奇数)
0
n!!
∫π
2 2 si= nn xdx
(n −1)!!⋅ π , (n为偶数)
0
n!! 2
∫3
π 2
cosn
xdx
=
(n
− 1) !! ,
(n为奇数)
0
n!!
∫π
4 2 co= sn xdx
(n −1)!!⋅ π , (n为偶数)
0
n!! 2
∫5 ∞ e−x2 dx = π −∞
6"γ "函数 :
∫ γ (α ) = ∞ xα −1e−xdx 0
(1= )γ (1) 1,= γ ( 1 ) π
2
(2)γ= (α +1) αγ (α ),γ= (n +1) n!
1 ln ε −1t + = ε +1 + C,(ε >1) (t arctan x)
基本积分公式表
=
1 x arctan + 2
1
2
dx
( a > 0)
dx =
1 a
= ∫ = =
x x2 a (1 − 2 ) 1− 2 a a 1 1 x a d( ) ∫ a a x 2 1− ( ) a x 1 x d ( ) = arcsin + C ∫ a x 2 a 1− ( ) a
F (u) = F [ϕ ( x )] 若u = ϕ ( x )可导 d F [ϕ ( x )] = F ' ( u)ϕ ' ( x ) ∴ dx = f (u) ϕ ' ( x ) = f [ϕ ( x )] ϕ ' ( x ) ∴ F [ϕ ( x )] 是 f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x ) 的原函数 ∴ ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x )dx = F [ϕ ( x )] + C = F (u) + C = ∫ f ( u )du 这样 , 我们就得到下面的定理 :
2
1
x x x 2 x sin 2 sin sin x 2 sin 2 2 2 tan = 2 = = x x x 2 cos 2 sin cos sin x 2 2 2
1 cos x − = = = csc x − cot x sin x sin x sin x ∴ csc xdx = ln | tan x | + C ∫ 2
(7)
∫ sin xdx =
− cos x + C
( 8) ( 9)
∫ sec ∫ csc
2
xdx = tan x + C xdx = − cot x + C
2
常用147条积分公式
32．
dx (x a )
2 2 3
＝
x a
2
x2 a2
C
33．
x x a
2 2
dx ＝ x 2 a 2 C 1 x2 a2
34．
x ( x 2 a 2 )3
dx ＝
C
3
35．
x x
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x x a
49．
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
51．
dx x2 a2 dx
2
＝
1 a arccos C a x x2 a2 C a2 x
2 2
36．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
dx x2 a2 dx
＝
1 x2 a2 a ln C a x
38．
2
x2 a2 ＝ C a2 x x2 a2
2 2
39．
x 2 a2 2 x a dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
1 a dx 2 bx b ax b
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x 2bx 2 x ( ax b) 2b
28．
常用积分公式
x常用积分公式表•例题和点评kdx kx c ( k 为常数) x dx( 1) 1 1 dx—c , x x 1dx In | x | c xx a x dx a -c, In a sin xdx cosx cosxdx sin x c c —^dx sin x 1 dx cos x 1a 2 1 ~2~ a =dx 2 x2 dx x 1~~2 2 x 2a 2tan xdxcot x dxcscx dx secxdx 1x 2 dxxdx特别, esc 2 xdx sec xdx x arcsina -arcta n^ a2x 23e x dx e x cotx tanxa x a xx a x aa c (ac (a c1In 2aIn cosxIn sinx 1 dxsin x1dx cosx(a 0)=dx===ln2 ac (a c (a 0) 0)In InIn Incscx cot x secx tan xtan xTt1 dx2 x cx0),特别, dx arcs in x c 0),特别, dx arcta nx c⑴ ⑵ 特别，⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ (11) 或(12)(13) (14) (15) (16)22_________ (a 0) a 2 x x _________________(17) x a x dx===一arcs in - —、a x c a (18) x 2 a 2dx===x x 22 2 ____________________ a ^2 2 —In x V x a c 2 ax . . . asin bx b cosbx axe sin bxdx 2 —2 e ca b 2ax bsi n bx a cosbx ax e cosbxdx 2 —2 e c a b 2(19)1 (a2 x 2)n dx n (20) x 2 2 2、n 1 2(n 1)a (a x )2n 3 2(n 1)a 2 c （递推公式） 跟我做练习 （一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式）例24含根式 ax2 bx c 的积分.x 2 4x 5dx (x 2)21d （x 2）[套用公式8]x ：（x-2厂1x . x 2 4x 5 dx（请你写出答案1 .x2 4x 1-In (x 21 25d(x 2=dx5=dx.X 2 4x 5（请你写出答案）.5 4x x 2dx⑹ x ,5 4x x 2dx (2x 4x2) .(x 2)2 14) 4 . x 24x 5 dx5) 2 ■. x 24x 5dx(2x 1 2)2d(x 12) In x 2 .(x —2厂14) 4 ------------- dx x 2 4x 5[套用公式(16)]d(x 2 4x 5) .x 2 4x 5dx4x 5■ (32)(x 2)2d(x 2)32. x 2 arcs in 2 3 [套用公式7]2<32 (x 2)2(4 2x) 4 5 4x x 2dx5如 x 2d(5 4x x 2)2 5 4xx 2dx（请你写出答案）（请你写出答案）1例25求原函数1 x 4dx .右端的第一个积分为1 12 2 x 2 d2 dx x 22x 11 4 <2(2x 2x2) 2 1 、.2x 1 dx 4,2(2x . 2)dxx 2 2x 1x 2；x 1dx⑻—xdx_45~4^~x 2—d —.32—(x —2)2arcsin _2 ［套用公式⑼］31 (4 2x) 4 dx 2^5 4x x 21 d(5 4x x 2) 25 4x x 22_____ dx ___ y ［5~4X ~x 2所以令因为4x (1 2x 2x 4) 2x 2 (1 x 2)2 ( •2x)2 (1 . 2x x 2)(1 . 2x x 2)1 1 x 42AxB 一 2Cx 厂D— (A, B,C,D 为待定常数) x 2 、、2x 1 x 2 、、2x 1(Ax B)(x 2 迈x 1) (Cx D)(x 2. 2x 1)x 2 . 2x 1 x 22x 1从恒等式（Ax B ）（x 2 .2x 1） （Cx D ）（x 2 . 2x 1） 1 （两端分子相等），可得方程组1 （常数项） 0 （一次项系数） （二次项系数） （三次项系数）A 2B 2 A BB DC , 2D 2C D A C解这个方程组（在草纸上做），得A1 2、2，B1 -,C 21, D -.因此, 2；2 2—dx x1 2 2x 2x 2 ,2x 1dx1 d(x2 ,2x 1) 4.2 x2x 11 2x 上 2------ -dx （套用积分公式）1 2 2 -^l n(x 24.2 1） 22arctan( 2x1)类似地，右端的第二个积分为 1 122x 2dx x 2 .. 2x 1(x 24 ,.2L12x 1)2「2arcta n(、. 2x 1)所以 1 , &dx — |n x 4 4、.2 1 —=|n 4.2! x 2 . 2x 1 x 2 , 2x 1x 2 2x 1 x 2 2x 1— 1— arcta n(』2x 1) — arcta n(.2x 1) 2,2 2,2arctan 迈； (见下注)2.2 1x 2 【注】根据tan( )tan tan 1 tan tantan arctan( 2x1) arctan( 2x1)(2x 1) 1 ( 2x(2x 1) 2 2x 1)( 2x 1)2(1 2x x 2)1 x 2因此, arctan( 2x 1) arctan( 2x 1)arctan 2x1x 2例26dx----------- （01 cosx xtan （半角替换），则21). 【关于dx于是, cosxcosx (01），见例17】sin 2 - 2cos 2- 121 21 2 2sec?-1 tan2 -22 X一Jdx d(2arctan t) 2 I 2 dt dx 1 cosx 1 2 2 2 dt 1 t 2 1 t 2 1 t 2 dt (1 ) 2(1 )t arcta n t2 12 .11 t2 1 t 2dtt 2【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数 那样规范化.这是因为从根本上说，函数 y y （x ）的导数或微分可以用一个“构造性”的公 式y (x)dx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法 .积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类•譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数（这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是 分数一样）.有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如Xx\ 1 . e 月 Sinx e dx, ---------- dx, 一dx, --------------- dx 等In x x x都不能表示成初等函数•因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得 多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数， 而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能 够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了mHh。
基本积分公式表
u ( x)
F (u) C
F [ ( x )] C
例1
解1
sin 2 xdx
1 2
求 sin 2 xdx .
1 sin2 x d (2 x ) 2
sin2 x d (2 x )
令u 2 x 1
2
sinu du
1 ( cos u) C 2 1 [ cos(2 x )] C 2 1 cos(2 x ) C 2
6 4 2
1 2 5 1 7 sec x sec x sec3 x C 7 5 3
例19
cos 3 x cos 2 xdx
1 (cos 5 x cos x ) dx 2
1 (cos 5 x cos x)dx 2 1 ( cos 5 xdx cos xdx ) 2 1 1 [ cos 5 xd (5 x ) cos xdx ] 2 5 1 1 ( sin5 x sin x ) C 2 5 1 1 sin5 x sin x C 2 10
1 1 1 2 ln x 2 d (1 2 ln x)
1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x
1 ln | 1 2 ln x | C 2
例10
e
3 x
x
dx
e
2 3
3 x
2 d (3 x ) 3
x
e3
x
d (3 x )
2 3 e 3
cos 4 xdx
例15
cscxdx
1 dx sin x
1 x x dx 2 sin cos 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
积分公式表
1、基本积分公式：
(1)
(2) (3)
(4) (5)
(6)
(7)
(8) (8)
(10)
(11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==⎰
3、积分方法
()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin =
()22a x x f -=；设：t a x sec =
()22x a x f +=；设：t a x tan =
()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv
附：理解与记忆
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.
当时，，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当时，有.
当时，
公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.
当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分
公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分.
分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解：
（为任意常数）
例2 求不定积分.
分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
解：由于，所以
（为任意常数）
例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：
(为任意常数)
例4 求不定积分.
分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.
解：
（为任意常数）
例5 求不定积分.
分析：基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式：
解：
（为任意常数）同理我们有：
（为任意常数）
例6
（为任意常数）。