绝对值函数图像的画法之令狐文艳创作

含绝对值的函数的图像

在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。

希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。

、三点作图法三点作图袪是画函数ιy = ⅛ f +⅛ ∖^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形®Ufft G V fl i故称召型图人步曝是E①先画出站型图顶点,石；—)②在顶点两侧各找出一点；卩③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k∖ ax+⅛I⅛⅛⅛≠ 0)的图彖*例1作出下列各函数的圏象.(1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ・解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示.圏b<2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示.I 2 j图2注I当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下•函数图象关于直线Λ= --对称口翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法.注I ⅛ k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称"制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法.二爾转作IS二詡转作l⅛步麋是* ©5t作出P = /(x)的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就⅛⅛^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数I y=I I/(Λ)∣的图家・例t作出下列各函数的图讓.U) 7=U⅛-⅛i y=∣√-2^-3∣j ¢3) y=∣⅛(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象nC2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±⅛⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得到图3.图&就是婪画的1S数图象・三、分段破作图法分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法.例1作出下列函数的图家U(I)J = Z a-2μ∣+b ¢2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h图4图9就是所要画的函数图蒙.u≤-l)(2) 尹=| 忙+11+1 ;T-Il= $ 2 (-1 < <1)(E圏5就是所要画的函数圈家-(3) y⅛[x 2-2x-3∖_ ∖2-2τ-3(x i -Ξx -3≥0)^ -X 2 +Ξx + 3(x 3 -2x^3 <0)Λ2 - 2Λ- 3(Λ ≤ -1⅛S Λ ≥ 3)-X 2 +2^+3(-1 <x<3)ffl Ii 就是所ι≡ιfflι≥5数图象B解 I (1) I y = X J — 21 x I +1= Λ -2z+l(x> O) X a ÷2x + l(x <O)图11 S ioa：分段函数作图法是画含绝对值函数的图家的常规之法.三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第(引小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试.四、应用把数化为形是"数形结合∙v思想.利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之憩，简洁明快之感•1.求函数值⅛L例丄求函数＞=μ+ι∣+∣;C-IlSg值域.解：由图10知函数的值域为［⅛+∞) β2求函数的单调区间.例丄求函^=IX a"2X~3∣的单调谨増区间•解：由图6知函数单调谨増区间为［一打叮Y［3,+∞)β3.求育程解的个数.Vi 6求方程√-2μ∣+l =∣⅛(x + 3)∣解的个数.B：赛程√-2∣x∣+l=∣⅛tx+3)∣W的亍数就是函数j = √ -2∣Λ∣+1的图象与函数I ymIg(X+ R I的图象在同一坐标系中交点的个亂由≡ 12M两个函数图象荷5个交点，所UA肓程X2- 2∣ X I +1 =∣⅛(^+3)∣W 5个解Il图1；。

绝对值函数图像的画法精编版

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1 首先要从简单的绝对值函数画起。

2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。

或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法。

22
1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。

（叠加后直线的斜率不同）其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。

最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。

122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。

绝对值函数图像的画法

最先要从简朴的千万于值函数绘起.之阳早格格创做 2-=x y ：是一条以()0,2为拐面的合线.
大概者不妨明白为将曲线2-=x y 正在x 轴底下的部分沿x 轴翻合上去而后再发端于搀纯的图像的绘法.
22
1121-++=x x y ，先单独绘出二个千万于值的图像，再合到所有.（叠加后曲线的斜率分歧）
其中-2战4由二个千万于值为整算的，3为由x=-2战x=4算得的y 值. 末尾，最搀纯的二次函数中的千万于值的绘法.
122--=x x y ，很隐然千万于值是将x 形成正数，由前里的图像可知
a x y -=的图像总会闭于a x =轴对于称，故x y 21-=闭于
y 轴对于称，又122-=x y 也闭于y 轴对于称，所以图像合并起去便简单多了.。

经典数学函数图像大全-数学函数图像-函数图像全之令狐文艳创作

函数图形令狐文艳基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2) lim(1+1/x)^x 的一般形式(3) e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性(2)。

去绝对值常用方法之令狐文艳创作

去绝对值常用“六招”（初一）令狐文艳去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。

解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。

下面就教同学们去绝对值的常用几招。

一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

代值后即可去掉绝对值。

解：因为：a = -5＜0，b =2＞0， c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式 = 3 [ -（-5）] –2 ×2 -[ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。

解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式 = c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。

分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。

解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且 b – 2 = 0即 a = 5 b = 2 或 a = - 5 b = 2 故 ab = 10或 ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求 + + 的值。

分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。

中考数学动点问题专题讲解之令狐文艳创作

动点及动图形的专题复习教案令狐文艳所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,求y关于x的函数解析式，并写出函数=,GP y的定义域(即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解H M N G P O A B 图1 x y析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴x y 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A 相切时,A ED C B 图2 A CO 图8 H△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)之令狐文艳创作

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.令狐文艳关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,求y关于x的函数解析式，并写出函数=,GP y的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内H M N G P O A B 图1 x y在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的.1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR. （1）当∠AOR=30°时，求OP长（2）设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F （点E与点A、B不重合）（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）试问△BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1）求证：三角形APQ是等边三角形（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）如果PD⊥AQ，求BP的值4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由.5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）如果PC=PD，求PB的长（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长. 当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC 相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由.2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD 的中点.（1）求证：CM=EM;（2）如果BC=3设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且∠PAM=∠CAD，连结MD.(1)当点M内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3)当△为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）.(4)求抛物线的解析式；(5)设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(6)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（4）四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（5）求y与x的函数关系式；（6）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE 于点F.（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；5（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图2，当EF=6时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A ED C B 图2 A 3(2) 3(1)(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.1AB，点P是边例题：如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=21PD，∠APD=∠ABC，连结DC并延长交边AC上的一个点，AP=2AB的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于F，交AB延长线于G，交BC于H.（1）证明：△ADE∽△GFA（2）设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域1时，求DE的长（3）当BH=43 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了.一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=54，AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC 上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式（2）用含x 的代数式表示AP 的长（3）求y 与x 的函数解析式及定义域（4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离 (2) 如果BOC BDA S △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围 (3)当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与B 、C 重合），且∠ADE=∠B ，设BD=x ，AE=y.（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D在BC上的运动过程中，△ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.3，点D是边AC上的点，2.在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=5点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC，如图2，求档x为何值时，△AEC与△BEF相似.3.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？(3)若y=m4.已知在梯形ABCD中，AD//BA，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2. 求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M ，那么（3）当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（4）当S △DMF =49S △BEP 时，求BP 的长. 5. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=4，BC=12，点E 在边BA 的延长线上，AE=2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG=x ，DF=y.（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（4）当AD=11时，求AG 的长；（5）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径.6. 如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y.(1) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙O 1与⊙O相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=31OB 时，求⊙O 1的半径；(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =AB AD (如图1所示)（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，连结AP. 当AD=23，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBC APQ S S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x .A B CO 图8 H解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值练习1.如图，在△ABC 中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF ∥BC ，点E 、F 、D 分别在AB 、AC 、BC 上（点E 与点A 、B 不重合），连接ED 、DF 。

c51程序设计之令狐文艳创作

1Franklin C-511．1令狐文艳1．2Franklin C-51数据类型Franklin C-51编译器支持下列数据类型：编译的数据类型(如结构)包含上表所列的数据类型。

由于8051系列是8位机，因而不存在字节校准问题。

这意味着数据结构成员是顺序放置的。

数据类型的转换：当计算结果隐含着另外一种数据类型时，数据类型可以自动进行转换，例如，将一个位变量赋给一个整型变量时，位型值自动转换为整型值，有符号变量的符号也能自动进行处理。

这些转换也可以用C语言的标准指令进行人工转换。

1.2数据类型的物理结构1．2．1bit“bit”类型只有1位，不允许有位指针和位数组。

位对象始终位于8051 CPU的可寻址RAM空间。

如果程序控制流允许，L51将位对象交迭。

1．2．2signed/unsigned char；data/idata/pdata 指针“char”类型标量和基于存贮器的“data/idata/pdata”指针具有1个字节长度（8 bits）。

1．2．3signed/unsigned int/short；xdata/code 指针“int”和“short”类型标量及指向xdata/code区域的指针具有2字节长度（16bits）。

整型值（或偏移）0x1234以下面方式保存在内存中：地址：+0 +1内容： 0x120x341．2．4signed/unsigned long“long”类型标量长为4个字节（32 bits），值0x12345678以下面方式放置：地址：+0+1+2+3内容： 0x12 0x34 0x56 0x781．2．5“一般”指针“一般”指针包括3个字节：2字节偏移和1字节存贮器类型：地址：+0 +1 +2内容：存贮器类型偏移高位偏移低位第一个字节代表了指针的存贮器类型，存贮器类型编码如下：存贮器类型 IDATA XDATA PDATADATACODE 值 12 345使用其它类型值可能导致不可预测的程序动作。

MBA考研数学复习课(绝对值与重点整式公式)

（C）有无穷多个x使y取到最大值
（D）有无穷多个x使y取到最小值
（E）以上选项均不正确
提示：
− 1 − ( + 2) ≤ − 1 + + 2
即 − 1 + + 2 ≥ 3，有最小值3，当且仅当x-1和x+2异号即可取等号
三
角
不
等
式
法
经典例题
例 2 不等式 − 2 + 4 − < 无解。
o
∙
2
x
(3)y= − 2 + + 2
①找零点（端点、临界点）
②分区间讨论
③画出每个区间的函数图像
y
y= −2 + ห้องสมุดไป่ตู้2
= 2
= −2
−2
< −2
= ቐ4
−2≤ ≤2
2
>2
=4
o
-2
2
x
例 1 设 = − 1 + + 2 ,则下列结论正确的是（
）
（A）y没有最小值
> ( > 0),解得x>a或者x<-a
+ < ( > 0)或者 + > (c > 0)可利用整体等效思想来解决
ax+b
x
例如： 2 − 1 ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 2 − 1 ≤ 3 ⟺ −2 ≤ 2 ≤ 4 ⟺ −1 ≤ ≤ 2
经典例题
例 3 方程的整数解有5个
主讲老师：
日期：2020.1.15
复习课
绝对值
绝对值函数的图像
绝对值方程、不等式

河北中考数学题型分析之令狐文艳创作

—河北中考数学备考分析令狐文艳一、准确定向1、三部分内容第一部分：数与代数（60分）包括数与式、方程与不等式、函数（一次函数、二次函数、反比例函数）。

第二部分：图形与几何（48分）包括点线面三角形四边形圆等基本图形的性质、尺规作图、视图与投影、图形的变化（对称、平移、旋转）、图形的相似、证明等第三部分：统计与概率（12分）包括抽样与数据分析（三大数据代表、三种统计图）、事件的概率。

2、七大题型1.代数基本题：○1化简求值○2计算○3解方程（组）或小综合2.几何基本题：○1作图+计算○2全等+计算○3圆计算○4解直角三角形3.统计与概率：（1）数据分析：○1统计量○2统计图（2）概率：会画表和树状图（3）组合题（统计与概率组合、与函数等其它知识组合等）4.方程应用题：（加强考察）5.函数两道大题三类：(1)纯函数（2）实际应用（3）与几何知识结合6.几何两道大题两类：(1)几何证明（2）猜想结论+证明7.动态题（数形结合,一般以压轴题出现）(1)图形中的动态变化+函数性质考查(2)在图像中的动态变化（函数图像中动点、动线、动形）（注：后面大题根据难、易程度，题的位置可能发生变化）二、明确考点——近年河北中考试题分析1~18题（填空、选择题）1、题型特点：几乎所有的概念、性质、公式、法则、定理的基本辨别、运用等基础知识、核心与主干内容的基本用法等，以选择填空题的形式出现，与后八道大题相互照应、相互补充，以达突出主干、考查全面的目的。

2、攻克法宝：基础知识，不要死记，理解记忆，必须记死。

（1）实数运算（2）代数式化简求值 19题特点分析重点：基本运算能力的考查1.解方程（一元一次，二元一次方程组）2.解不等式（组）3.代数式的化简及求值（包括分式）4.数的计算（加减乘除乘方的综合运算）12年（本小题满分8分）计算：|-5|-(2-3)0+6×(13- 12)+(-1)2．09年（本小题满分8• 已知a = 2，b= -1，求 ÷ 的值．2221a b a ab--+1a10年（本小题满分8分）• 解方程： 1211+=-x x 11年（本小题满分8分）20题特点分析属于数形结合题1.能分析简单的几何图形、直角坐标系2.会简单作图后进而基本图形计算。

实例3 绝对值函数图像的制作

新课标数学几何画板课件制作实例教程新课标数学几何画板课件制作实例教程实例3绝对值函数的图像朱俊杰绝对值函数是新课标数学中的一个重点，同时也是学生学习的难点，下面我们就以函数f(x)=|x|的图像为例，体会一下利用几何画板绘制绝对值函数图像的方法。

【设计要点】利用几何画板的内置绝对值函数“abs()”绘制函数f(x)=|x|的图像。

【操作步骤】(1) 运行几何画板软件，新建一个几何画板文件，选择“图表”→“定义坐标系”菜单命令，定义一个新坐标系，隐藏网格，并将坐标原点标记为O。

(2) 选择“图表”→“绘制新函数”菜单命令，打开“新建函数”对话框，依次单击“”→“”→“”→“”即可绘制出函数f(x)=|x|的图像，如图1所示。

图1 函数f(x)=|x|的图像【拓展思考】绝对值函数的图像也可以利用绝对值的意义，将绝对值去掉，使之转化为分段函数，然后参照本报“绘制分段函数的图像”一文，绘制出绝对值函数的图像。

【几何画板小知识】几何画板内置函数1．余弦函数cos(x)；2．正切函数tan(x)；3．反正弦函数Arcsin(x)；4．反余函数Arccos(x)；5．反正切函数Arctan(x)；6．绝对值函数abs(x)；7．平方根函数sqrt(x)；8．自然对数函数ln(x)（注：以e为底的对数）；9．常用对数函数log(x)（注：以10为底的对数）；10．符号函数sgn(x)；11．四舍五入函数round(x)；12．截尾函数trunc(x)。

【说明】（1）本课件是用几何画板4.07版制作，方法同样适合4.0以上所有版本。

1新课标数学几何画板课件制作实例教程（2）几何画板4.01到4.06版本中的“构造”菜单，在4.07中与“作图”菜单对应。

2新课标数学几何画板课件制作实例教程。

绝对值的性质及运用之令狐文艳创作

基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）A．2 B．-2 C．±2 D．12【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）A．11a B．-11a C．-3a D．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例10】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式： ①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有．（请填写番号）时，M 有 ____种不同可能．当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =3. 若42a b -=-+，则_______a b += 【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数 3. 如果|x -1|=1-x ，那么（）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4 5.若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=_______________ 6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________ 7. 如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________8. 已知|x |=2，|y |=3，且xy ＜0，则x+y 的值为 _________【课堂检测2】1.-19的绝对值是________ 2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜0 3.对值大于1且不大于5的整数有 __________个． 4. 绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．5.当x __________时，|2-x|=x-2． 6. 如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x |-3|y +1|-|x |= ________7. 若3230x y -++=，则yx 的值是多少？模块三零点分段法 1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。

2021年高中各种函数图像画法与函数性质之令狐文艳创作

一次函数二次函数反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

指数函数y=a x(a＞0，a≠1)注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

中考数学压轴题解题技巧之令狐文艳创作

中考数学压轴题解题技巧令狐文艳数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。

综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。

压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。

下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

先以2009年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。

函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。

这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。

先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。

此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。

（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。

先看第一小问，当t为何值时，线段EG最长?我们通过观察图形，很容易能够发现t的变化，会导致点P位置的变化，点P位置的变化会引起点E位置的变化，而E点位置的变化直接决定了线段EF位置和长度的变化，而线段EF位置和长度的变化决定了线段EG位置和长度的变化，我们看到，问题最终就是回归到线段EG的长度之上。

初一(七年级)数学绝对值练习题及答案解析之令狐文艳创作

初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题令狐文艳基础检测：1．－8的绝对值是，记做。

2．绝对值等于5的数有。

3．若︱a︱= a , 则 a 。

4．的绝对值是2004，0的绝对值是。

5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点到的距离。

6．如果 x ＜ y ＜ 0, 那么︱x ︱︱y︱。

7．︱x － 1 ︱ =3 ，则 x ＝。

8．若︱x+3︱+︱y －4︱= 0，则 x + y = 。

9．有理数a ，b在数轴上的位置如图所示，则a b,︱a︱︱b︱。

10．︱x ︱＜л，则整数x = 。

11．已知︱x︱－︱y︱=2，且y =－4，则 x = 。

12．已知︱x︱=2 ，︱y︱=3，则x +y = 。

13．已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数，则︱x ︱+︱y︱= 。

14. 式子︱x +1 ︱的最小值是，这时，x值为。

15. 下列说法错误的是（）A 一个正数的绝对值一定是正数B 一个负数的绝对值一定是正数C 任何数的绝对值一定是正数D 任何数的绝对值都不是负数16．下列说法错误的个数是（）（1）绝对值是它本身的数有两个，是0和1（2）任何有理数的绝对值都不是负数（3）一个有理数的绝对值必为正数（4）绝对值等于相反数的数一定是非负数A 3B 2C 1D 017．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则 a + b + c 等于（）A －1B 0C 1D 2拓展提高：18．如果 a ， b 互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子a ba b c +++ + m －cd 的值。

19．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A 地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）+10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14（1）若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油多少升？（2）据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？距A地多远？20．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5个乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标准？初一(七年级)数学上册绝对值同步练习答案基础检测：1．－8的绝对值是 8 ，记做︱－8︱。

几何画板怎样画绝对值函数

几何画板怎样画绝对值函数
几何画板是一些数学爱好者经常使用的作图工具，利用几何画板能够很准确的画出自己想要画出的函数图像，可是有的时候函数解析式中带有了绝对值，那么怎样利用几何画板画绝对值函数图像呢？
具体步骤如下：
1.在几何画板窗口中，选择“绘图”——“绘制新函数”。

在“绘图”中选择“绘制新函数”
2.输入函数解析式，例如f（x）=|cosx|，在新建函数窗口中选择“函数”按钮，在下拉菜单中选择“abs”函数。

在新建函数窗口中的“函数”选择abs函数
3.确定后绘图区域自动出现函数图象，如图所示。

绝对值函数示例
以上内容向大家介绍了几何画板绝对值函数的绘制方法，操作简单。

绝对值函数是几何画板函数功能中默认的一种，可以直接绘制。

利用几何画板函数功能可以绘制出很多函数，例如对数函数。

[原创]绝对值函数的作图

[原创]绝对值函数的作图
绝对值函数的作图
大罕
含绝对值的函数分为三种情况。

一是函数式的一部分含有绝对值另一部分不含（称为部分“绝”）；二是函数式整个在绝对值之下（称为整体绝）；三是凡x处含有绝对值（称为x绝）。

本文的独到之处就是总结出以上三种情况，这样教给学生，脉络清晰，易懂好记，效果显著。

一部分“绝”——化为分段函数，分段画；
例⑴ y=|x-2|(x+1)
例⑵ y＝|x2－2x－3|－x
二整体绝——上留下翻（x轴上方的图像保留，x轴下方的图像翻转上去）
例⑶ y＝|2x2+x－1| ；
例⑷ y=|1/(x-1)| ；
三 x绝——右留翻左（y轴右方的图像保留，并把它翻转到y轴左方去）
例⑸ y＝2x2+|x－1| ；
例⑹ y=1/(|x|-1) ．。

七年级上册数学笔记之令狐文艳创作

七年级上册数学笔记令狐文艳第一单元有理数。

1、大于0的数叫做正数，在正数前加上符号(﹣)的数叫做负数。

0既不是整数，也不是负数。

2、如果问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。

3、0是正数与负数的分界。

0℃是一个确定的温度，海拔0 m 表示海平面的平均高度。

0的意义已不仅是表示“没有”。

4、正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数。

⑴分三类⑵分二类正数正整数整数正整数有正分数有0理零理负整数数负整数数正分数负数分数负分数负分数5﹑在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(2)通常规定直线上从原点向右(或上)，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2,3，……；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，……6、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

7、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于圆点对称。

8、一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(距离只能是正数和0，绝对不会是负数。

所以绝对值是正数或0。

某数与0的距离就是它的绝对值。

由绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

9、数学中规定:在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

10、一般地:正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

11、有理数加法法则:①同好两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。