第一章-第五节-伯努利概型
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伯努利概型与全概公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
3
PB PAi PB | Ai i 1 0.5 0.95 0.3 0.92 0.2 0.90
0.931
23
定理(全概率公式)
完备事件组
若A1, A2 , , An是互不相容互斥的事件
即Ai Aj i j, 且A1 A2 An , PAi 0i 1,2, , n.则对任一事件B有
所以,使被冒牌者蒙到岗位旳概率及将真正旳行家 拒之门外旳概率都变小测试措施是不存旳.因而,只 能在两者中取其一.
14
例2 某射手每次击中目旳旳概率是0.6,假如 射击5次，求至少击中两次旳概率.
解: 因为每次射击是相互独立旳,且只有击中与 未击中两种成果,故能够按5重伯努利概型计算
事件旳概率.已知 p 0.6, q 0.4,则
5
P(至少击中两次) P(击中k次) k2
1 P(击中0次) P(击中1次)
1
C
0 5
(0.6)0
(0.4)5
C
1 5
(0.6)1
(0.4)4
0.913
15
练习、某导弹旳命中率是0.6，问欲以99%旳把握 命中目旳至少需要配置几枚导弹？
解：设需配置n枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以
能够看作n重伯努利试验。设A={导弹命中目的}，
由此可见，一件微不足 道的小事，只要坚持， 就会产生不可思议的结 果。
17
重 条件概率 点
回 定义 设两个事件A、B ，且 P(B)>0,
顾
则称 PA | B 为在事件B发生旳
前提下，事件A发生旳条件概率。
计算公式：
PA|
B
PAB PB
同理,若PA 0有
PB
|
A
PB PAi PB | Ai i 1 0.5 0.95 0.3 0.92 0.2 0.90
0.931
23
定理(全概率公式)
完备事件组
若A1, A2 , , An是互不相容互斥的事件
即Ai Aj i j, 且A1 A2 An , PAi 0i 1,2, , n.则对任一事件B有
所以,使被冒牌者蒙到岗位旳概率及将真正旳行家 拒之门外旳概率都变小测试措施是不存旳.因而,只 能在两者中取其一.
14
例2 某射手每次击中目旳旳概率是0.6,假如 射击5次，求至少击中两次旳概率.
解: 因为每次射击是相互独立旳,且只有击中与 未击中两种成果,故能够按5重伯努利概型计算
事件旳概率.已知 p 0.6, q 0.4,则
5
P(至少击中两次) P(击中k次) k2
1 P(击中0次) P(击中1次)
1
C
0 5
(0.6)0
(0.4)5
C
1 5
(0.6)1
(0.4)4
0.913
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练习、某导弹旳命中率是0.6，问欲以99%旳把握 命中目旳至少需要配置几枚导弹？
解：设需配置n枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以
能够看作n重伯努利试验。设A={导弹命中目的}，
由此可见，一件微不足 道的小事，只要坚持， 就会产生不可思议的结 果。
17
重 条件概率 点
回 定义 设两个事件A、B ，且 P(B)>0,
顾
则称 PA | B 为在事件B发生旳
前提下，事件A发生旳条件概率。
计算公式：
PA|
B
PAB PB
同理,若PA 0有
PB
|
A
Ch1-5 事件的独立性和伯努力概型
所以，Φ与Ω 独立且互斥。 不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一 群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户 外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称： 把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的 味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象， 仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化 学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴 上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个 问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策 划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被 奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加 奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一 群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户 外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称： 把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的 味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象， 仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化 学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴 上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个 问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策 划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被 奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加 奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。
1.5_伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
4
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
1
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定义 1：如果随机试验只有两个可能结果： A 与 A ， 其中 P(A)=p, P( A )=1-p=q, 为伯努利试验 .
__
__
0＜p＜1, 则称该试验
定义 2：独立地重复 n 次伯努利试验，称为 n 重伯 努利试验，也称伯努利概型.
在 n 重伯努利试验中，我们将事件 A 发生 k 次的概 率记作 B(k;n,p).
2017年3月25日星期六
2
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在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则事件 A 恰好发生 k 次 的概率为： k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q 定理
2017年3月25日星期六
7
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【例】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙， 其中只有一把 能打开家门． 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才把门打 开的概率 多大？
1-5事件的独立性与伯努利概型
例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
概率伯努利概型
能的值
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
伯努利概型与全概公式
伯努利概型与全概公式伯努利概型是指一类仅有两个可能结果的随机试验，比如扔一次硬币只有正面朝上或者反面朝上。
伯努利概型的特点是每次实验结果的概率都是相等的，且各次实验结果之间相互独立。
假设实验中有n个相互独立的伯努利概型，每个伯努利概型的成功概率为p，失败概率为1-p。
则在这n次实验中，成功k次的概率可以表示为二项分布的概率质量函数：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合方式数。
这个公式被称为伯努利概型的概率公式，可以用于计算一系列相关试验中的概率。
全概公式，也称作全概率公式，是概率论中的一条重要原理，用于计算一个事件的概率。
全概率公式的基本思想是将一个事件分解为多个互斥且完备的事件，然后根据这些事件的概率来计算所求事件的概率。
全概率公式的表达式如下：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，P(A)表示事件A的概率，B1、B2、..、Bn表示一组两两互斥且完备的事件，P(B1)、P(B2)、..、P(Bn)表示这些事件的概率，P(A，B1)、P(A，B2)、..、P(A，Bn)表示在事件B1、B2、..、Bn已经发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式的应用非常广泛，特别适合于利用辅助事件来计算复杂事件的概率。
例如，假设工厂生产了两个品牌的产品A和B，其中A的缺陷率为0.02，B的缺陷率为0.04、现在从工厂中随机抽取了一个产品，发现该产品有缺陷。
问这个产品是属于品牌A还是品牌B的概率是多少？根据全概率公式，我们可以将这个问题分解为两个互斥事件：产品是A品牌和产品是B品牌。
设事件A表示产品是A品牌，事件B表示产品有缺陷。
根据题目的条件，可以得到以下信息：P(A)=0.5，P(B，A)=0.02，P(B，B)=0.04应用全概率公式，可以求得产品有缺陷的概率为：P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，B)*P(B)=0.02*0.5+0.04*0.5=0.03然后，根据贝叶斯公式，可以求得产品是A品牌的条件概率为：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)=0.02*0.5/0.03≈0.333所以，这个缺陷产品属于A品牌的概率约为33.3%。
伯努利概型
e
Cnk
pk (1
p)nk
e
n
nk n!
n! k!(n
k )!
pk
(1
p)nk
(p)k
k!
e
[
nk
(1 p)]nk (n k)!
(p)k
k!
e
m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)
C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)
P( An )P(B P(B)
An )
(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1
(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(
5)
5 k 0
P(
事件的独立性与伯努利概型
利公式，得
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小 组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾 问的意见，并按多数的意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解 考察一位顾问的意见，相当于作一次
解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名 售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与 概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}； Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前 两 次 出 现 反 面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小 组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾 问的意见，并按多数的意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解 考察一位顾问的意见，相当于作一次
解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名 售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与 概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}； Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前 两 次 出 现 反 面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12
伯努利概型与全概公式-PPT文档资料
问题:(1)上述测试方法使公司被冒牌者蒙到岗位的概率有多大?
(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大? (3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的 行家拒之门外的概率都变小?
计算机数学
7
伯努利概型
设随机试验满足
(1)在相同条件下进行n次重复试验;
(2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; (3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P; (4)各次试验是相互独立的. 则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。
即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上) 的概率仅为17.19%, 所以机会是很小的.
计算机数学
12
(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断 正确的概率为0.9,即 P(A)=0.9,根据公式有:
计算机数学
4
思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽
到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1：
分析2：
4 1 26 1 2 1 P ( A ) ,P52 2 52 26 从而 P ( A ) P ( B ) P ( AB ) ，故 A ,B 相互独立。
P { k 7 } P { k 7 } P { k 8 } P { k 9 } P { k 10 }
( 120 45 10 1 )( 0 . 5 ) 0 . 1719 17 . 19 %
77 3 88 2 99 1 10 10 C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) 10 10 10 10 10
(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大? (3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的 行家拒之门外的概率都变小?
计算机数学
7
伯努利概型
设随机试验满足
(1)在相同条件下进行n次重复试验;
(2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; (3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P; (4)各次试验是相互独立的. 则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。
即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上) 的概率仅为17.19%, 所以机会是很小的.
计算机数学
12
(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断 正确的概率为0.9,即 P(A)=0.9,根据公式有:
计算机数学
4
思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽
到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1：
分析2：
4 1 26 1 2 1 P ( A ) ,P52 2 52 26 从而 P ( A ) P ( B ) P ( AB ) ，故 A ,B 相互独立。
P { k 7 } P { k 7 } P { k 8 } P { k 9 } P { k 10 }
( 120 45 10 1 )( 0 . 5 ) 0 . 1719 17 . 19 %
77 3 88 2 99 1 10 10 C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) 10 10 10 10 10
1.7伯努利概型
P( Bk ) P( ) Cnk p k q nk
Bk
事件A在n次试验中发生k次的概率为
Pn (k ) Cnk p k q nk
0 k n
这个概率常称为二项概率，记为 bk ; n, p
k k nk pq 即： b(k；n, p) Cn
k=0，1，2，…，n
解：50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中 同时开动的台数为不超过5台时都可以正常工作，而每 台机床只有“开动”与“不开动”的两种情况，且开动 的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床 k 1 k 4 10 k 中正在开动着的机床台数为 ，则 P ( k ) C10 ( ) ( ) 0 k 10
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林 科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。 许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题 （1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线” （1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题” （1700年）等。 雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685 年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著 《推测术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。 最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺 线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变 换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极 点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到 的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对 数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺 线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用 以象征死后永
1-5全概率公式贝叶斯公式1-6伯努利概型
定义 如果试验E只有两个基本事件A及A， 且P(A) p, P(A) 1 p(0 p 1), 将E独立 地进行n次，则这一系列试验称为n重伯努 利试验或n重伯努利概型，简称伯努利概型.
定理 在n重伯努利试验中，设每次试验中 事件A发生的概率为p(0 p 1), 则在n次重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率为
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
中去接待站是等可能的.
17 27
37
47
172
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712种.
12 2
32
42
122
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212种.
解 设 A 为事件 "产品合格".
B 为事件 "机器调整良好". 则有
P( A B) 0.98, P( A B) 0.55,
P(B) 0.95, P(B) 0.05, 由贝叶斯公式得所求概率为
P(B A)
P( A B)P(B)
P(AB)P(B) P(AB)P(B)
0.98 0.95
0.97.
解 设X表示这一年内的死亡人数, 则 保险公司在1年的收入是2500120=300000元
保险公司这一年里付出20000X元
当20000X ＞300000, 即X ＞ 15人时公司亏本
于是, P{公司亏本} =P{ X ＞ 15} =1-P{X≤ 15}
15
P{公司亏本} 1
Ck 2500
(0.002)k
贝叶斯公式
P ( Bi
A)
概率论与数理统计1.5
例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、 、 这三个事件是 这三个事件是两两相互独立 这表明 、B、C这三个事件是两两相互独立 但不是相互独立的． 的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 试验序列 如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立 则称该试验序列为一个独立试验序列 独立试验序列。 的，则称该试验序列为一个独立试验序列。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验 伯努利试验。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。 有些试验的基本结果虽然不只两个， 有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本 结果， 的对立事件作为另一个基本结果， 结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 发生的概率则称为成功概率 成功概率。 验成功， 验成功，而A发生的概率则称为成功概率。 由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列 称为伯努利试验序列 如果重复的次数是n 伯努利试验序列， 称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试 验序列为n重伯努利试验。 验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n
伯努利概型ppt课件
n次试验是相互独立的； 每次试验中P(A)=p不变.
3
定理1.4伯努利定理（二项概率公式）： 设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次伯
努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
pn (k) Cnk pk (1 p)nk
pn (k)
n
k
pk (1
p)nk
4
代数中有二项式定理 n ( x y)n Cnk xk ynk k0
7
解: 记Ak={恰有k件次品}, k=0,1,2,…,5. A={恰有3件次品}, B={至多有3件次品},则
A A3 , B A0 A1 A2 A3 .
P(
A)
P(
A3
)
C
3 5
(0.2)3 (0.8)2
0.0512.
P(B) 1 P(B) 1 P( A4 ) P( A5 )
1 C54 (0.2)4(0.8) C55 (0.2)5(0.8)0
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
1
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行，各 次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
2
二、二项概率公式重复n次做同一试验，每次试验 只有两个可能结果A,A；
0.9933.
6
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。
解:设事件A={采用三盘两制甲胜}，A1= {甲前两盘获胜} A2= {甲前两盘一胜一负而第三盘获胜}，则
P(A)=P(A1)+P(A2) p2 C21 p1 p p 3 p2 2 p3.
3
定理1.4伯努利定理（二项概率公式）： 设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次伯
努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
pn (k) Cnk pk (1 p)nk
pn (k)
n
k
pk (1
p)nk
4
代数中有二项式定理 n ( x y)n Cnk xk ynk k0
7
解: 记Ak={恰有k件次品}, k=0,1,2,…,5. A={恰有3件次品}, B={至多有3件次品},则
A A3 , B A0 A1 A2 A3 .
P(
A)
P(
A3
)
C
3 5
(0.2)3 (0.8)2
0.0512.
P(B) 1 P(B) 1 P( A4 ) P( A5 )
1 C54 (0.2)4(0.8) C55 (0.2)5(0.8)0
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
1
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行，各 次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
2
二、二项概率公式重复n次做同一试验，每次试验 只有两个可能结果A,A；
0.9933.
6
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。
解:设事件A={采用三盘两制甲胜}，A1= {甲前两盘获胜} A2= {甲前两盘一胜一负而第三盘获胜}，则
P(A)=P(A1)+P(A2) p2 C21 p1 p p 3 p2 2 p3.
1-5事件的独立性
2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1） P(B|A)>0 3） P(A|B)=0 2） P(A|B)=P(A) 4） P(AB)=P(A)P(B)
定理2：若两事件A、B独立，则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(A B)= P(A - A B) = P(A)- P(AB) A、B独立 = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)]= P(A) P( B) 故A与 B 独立 .
其中 P ( C D E ) 1 P (C D E )
P(F G ) 1 P(F G ) 1 P ( F ) P (G )
1 P (C DE ) 1 P (C ) P ( D) P ( E ) 09375. P (W ) 0.782. 0.973
解得
故至少应配置 6 门炮才能达到要求.
解 (2) 设命中率为 p, 由
P( B) C p q
k 1 k 3 k
3
3 k
0.99
得
1 q 3 0.99.
解此不等式得 q 0.215, 从而得 p 0.785, 即每 门炮的命中率至少应为 0.785. 注: 对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题, 应先求出事件的概率(含所求参数), 从而得到所求 参数满足的方程或不等式, 再解之.
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次
概率为 pk (1 p)n k
k n
, 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有C 种 k 且是 Cn 种两两互不相容事件的并. k 则 b( k; n, p) C n p k (1 p)nk
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B3= {甲前四盘两胜两负而第五盘获胜}，则 P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)
p3 C32 p2 1 p p C42 p2 1 p2 p 10 p3 15 p4 6 p5.
解:设事件A={采用三盘两制甲胜}，A1= {甲前两盘获胜} A2= {甲前两盘一胜一负而第三盘获胜}，则
P(A)=P(A1)+P(A2) p2 C21 p1 p p 3 p2 2 p3.
设事件B={采用五盘三制甲胜}，B1= {甲前三盘获胜} B2= {甲前三盘两胜一负而第四盘获胜}，
p的k次项.
故又称为二项概型。
例.从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5件，每次抽 取一件，分别求抽到恰有3件次品以及至多3件次品的概率。
解: 记Ak={恰有k件次品}, k=0,1,2,…,5. A={恰有3件次品}, B={至多有3件次品},则
A A3 , B A0 A1 A2 A3 .
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行， 各次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
二、二项概率公式
定义1.11、n重伯努利试验（或n重伯努利试验）
在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试 验只有两个可能结果A,A；
n次试验是相互独立的； 每次试验中P(A)=p不变.
定理1.4伯努利定理（二项概率公式）： 设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次
伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
pn (k) Cnk pk (1 p)nk
pn (k)
n
k
pk (1
p)nk
代数中有二项式定理
n
( x y)n
C
k n
xk
ynk
k0
用伯努里定理中的p和q 1 p代入上式
可得
n
n
( p q)n Cnk pkqnk C事件A发生k次的概率为( p q)n展开后的
P(
A)
P( A3
)
C
3 5
(0.2)3 (0.8)2
0.0512.
P(B) 1 P(B) 1 P( A4 ) P( A5 )
1
C
4 5
(0.2)4
(0.8)
C
5 5
(0.2)5
(0.8)0
0.9933.
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。
p3 C32 p2 1 p p C42 p2 1 p2 p 10 p3 15 p4 6 p5.
解:设事件A={采用三盘两制甲胜}，A1= {甲前两盘获胜} A2= {甲前两盘一胜一负而第三盘获胜}，则
P(A)=P(A1)+P(A2) p2 C21 p1 p p 3 p2 2 p3.
设事件B={采用五盘三制甲胜}，B1= {甲前三盘获胜} B2= {甲前三盘两胜一负而第四盘获胜}，
p的k次项.
故又称为二项概型。
例.从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5件，每次抽 取一件，分别求抽到恰有3件次品以及至多3件次品的概率。
解: 记Ak={恰有k件次品}, k=0,1,2,…,5. A={恰有3件次品}, B={至多有3件次品},则
A A3 , B A0 A1 A2 A3 .
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行， 各次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
二、二项概率公式
定义1.11、n重伯努利试验（或n重伯努利试验）
在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试 验只有两个可能结果A,A；
n次试验是相互独立的； 每次试验中P(A)=p不变.
定理1.4伯努利定理（二项概率公式）： 设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次
伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
pn (k) Cnk pk (1 p)nk
pn (k)
n
k
pk (1
p)nk
代数中有二项式定理
n
( x y)n
C
k n
xk
ynk
k0
用伯努里定理中的p和q 1 p代入上式
可得
n
n
( p q)n Cnk pkqnk C事件A发生k次的概率为( p q)n展开后的
P(
A)
P( A3
)
C
3 5
(0.2)3 (0.8)2
0.0512.
P(B) 1 P(B) 1 P( A4 ) P( A5 )
1
C
4 5
(0.2)4
(0.8)
C
5 5
(0.2)5
(0.8)0
0.9933.
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。