排列组合(平均法)

解不定向分配题的一般原则： 先分组后排列。
• 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人， 每人至少一本，有多少种分法？
• 分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”
，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先
分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三
组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本
、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。
• 例7 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定 义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有 多少个？
• 分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中 的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集 合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是 分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分 为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种) 分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
所以根据加法原理，分组法是 + + C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
C16C52C33
C
4 6
C
1 2
C
1 1
A
2 2
=90(种)。再考虑排列，即再乘以
A
3 3
。所以一共有540种不同的分法。
• 例6 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需 1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 有多少种？
• 结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组， 各组内元素数目分别为m１ ，m ２，…，mＰ ， 其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是
C C C C m1 m2
m3
mp
n nm1 nm1m2
mp
Akk
• 三 基本的分配的问题 • １定向分配问题 • 例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同
• 分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组 各一人，另一组二人，共有Ｃ１０ ４＊Ｃ４２(种)分法。 再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承 担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任 务，全排。
• 共Ｃ１０ ４＊Ｃ４２＊Ａ２２ =2520(种)不同的选法。
• 四 分配问题的变形问题
• ２不定向分配问题
• 例3 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配 方法？
• (1) 每人两本
• (2) 一人一本、一人两本、一人三本
• (3) 一人四本、一人一本、一人一本
• 分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给 三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组， 再将这三组分给甲、乙、丙三人”，
同的分配方法？ • (1)每组两本（均分三堆）１５ • (2)一组一本，一组二本，一组三本６０ • (3)一组四本，另外两组各一本１５
• 分析：
• (1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(种) • 这90种分组实际上重复了6次。
• 我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。
的分配方法？ • (1) 甲两本、乙两本、丙两本. • (2) 甲一本、乙两本、丙三本. • (3) 甲四本、乙一本、丙一本. • 分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问
题，由分布计数原理不难解出： • （１）Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(种) • （２）Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３=60(种) • （３）Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)。
排列组合中的分组分配问题
６个学生平均分成3组，有多少种分法？ ６个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？ 头痛了吧？
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组 合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方wk.baidu.com来解决。
• 一 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
• n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为 分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；
• 考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分 组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分 组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数 Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(种)。
• (2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么还要不要除以Ａ３３？ 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
• 例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒 子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
• 分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别 为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分 为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有 (种)， 然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同 对象)中的3个的排列问题，即共有 =144(种)。
• 将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
• 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三 种情况。
• 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要 元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同， 但因对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后 排列。
• 二 基本的分组问题 • 例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不
• (3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)
•
其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两
组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际
分法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１／Ａ２２=15(种)。
• 通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组 问题的一般方法。
• 因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６ ，即
• （１）１５＊６=90(种)
• （２）６０＊６=360(种)
• （３）１５＊６=90(种)。
• 结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几 个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素 个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的 问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列 数。