利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿

利用导数解决恒成立能成立问题

利用导数解决恒成立能成立问题

一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

(1)恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是 ______ ．

2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 _________ ．

3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g（x 2）成立，则a 的取值范围为 _________ ．

4．若不等式|ax 3

﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是 _________ ．

15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知

，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a 的范围是_________ ．

6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为_________ ．

7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是_________ ．

8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是__ ．

9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_________ ．10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的

x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为

_________ ．

11．若关于x 的不等式x 2+1≥kx 在[1，2]上恒成立，则实数k 的取值范围是 _________ ．

12．已知f （x ）=ln （x 2+1），g （x ）=（）x ﹣m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数m 的取值范围是（ ）

A ． [，+∞）

B ． （﹣∞，]

C ． [，+∞）

D ． （﹣∞，

﹣] 13．已知，，若对任意的x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），则m 的取值范围是（ ）

A ． [0，]

B ． [，0]

C ． [，]

D ． [，1]

二利用导数解决能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如

14．已知集合A={x∈R|≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=﹣1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立}，则

A∩B=（）

A．{x|x ＜}B．{x|x≤或

x=1}C．{x|x＜或

x=1}

D．{x|x ＜或

x≥1}

15．设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（2）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g

（x0）成立，求p的取值范围．

16．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：

（1）在D内的单调函数；

（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设（a＞0

且a≠1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是．

17．存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t 的取值范围是_________ ．

18．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是_________ ．

19．已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立，则实数a的取值范围是_ ．

20．存在实数a使不等式a≤2﹣x+1在[﹣1，2]成立，则a的范围为_________ ．

21．若存在x∈，使成立，则实数a的取值范围为______ ．

22．设存在实数，使不等式成立，则实数t的取值范围为_________ ．

23．若存在实数p∈[﹣1，1]，使得不等式px2+（p﹣3）x ﹣3＞0成立，则实数x的取值范围为_________ ．24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．

25．等差数列{a n}的首项为a1，公差d=﹣1，前n项和为

S n，其中a1∈{﹣1，1，2}

（I ）若存在n∈N，使S n=﹣5成立，求a1的值；．

（II）是否存在a1，使S n＜a n对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a1的值；否则，说明理由．

参考答案

1若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，]．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．

专综合题．

题：

分析：把等价转化为lnx≥a﹣1﹣，得到lnx+≥a﹣1，从而原题等价转化为y=x+

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1，由此利用导数知识能够求出a的取值范围．

解答：解：∵=a ﹣1﹣，

∴lnx+≥a﹣1，

∵在x∈[1，+∞）上恒成立，∴y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1，

∵，

令=0，得x=1，或x=﹣1（舍），∴x∈[1，+∞）时，＞0，

∴y=x+在x∈[1，+∞）上是增函数，

∴当x=1时，y=x+在x∈[1，+∞）上取最小值