导数之一：导数求导与切线方程
高考数学导数讲解：函数单调性
模块一：切线方程知识点一：导数的几何意义。
导数的几何意义：导数值等于原函数在该点处的切线斜率。
知识点二：直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程：直线过点),(00y x ，直线的斜率为k ⇒直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-。
题型一：已知切点的横坐标，求解切线方程。
模型：已知：函数)(x f 的解析式。
求解：函数)(x f 在0x x =处的切线方程。
解法设计：第一步：求切点的纵坐标。
把0x x =代入函数)(x f 得到切点的纵坐标⇒)(0x f 切点))(,(00x f x 。
第二步：求导函数。
根据函数)(x f 的解析式计算导函数)('x f 。
第三步：求切线斜率。
根据导数的几何意义得到：把0x x =代入导函数)('x f 得到切线斜率)('0x f 。
第四步：求切线方程。
根据直线的点斜式方程得到：切点))(,(00x f x ，切线斜率为)('0x f ⇒切线方程：))((')(000x x x f x f y -=-。
例题：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第6题：函数342)(x x x f -=的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A、12--=x y B、12+-=x y C、32-=x y D、12+=x y 本题解析：第一步：求切点的纵坐标。
把1=x 代入函数342)(x x x f -=得到1121)1(34-=⨯-=f ⇒切点)1,1(-。
第二步：求导函数。
342)(x x x f -=2364)('x x x f -=⇒。
第三步：求切线斜率。
根据导数的几何意义得到切线斜率：21614)1('23-=⨯-⨯=f 。
第四步：求切线方程。
根据直线的点斜式方程得到：切点)1,1(-，切线斜率为2-⇒切线方程：12221)1(2)1(+-=⇒+-=+⇒--=--x y x y x y 。
跟踪训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷理科第19题文科第19题：曲线xe x x y )(32+=在)0,0(处的切线方程为。
导数的应用曲线的切线与法线
导数的应用曲线的切线与法线导数的应用：曲线的切线与法线在微积分学中，导数是一个十分重要的概念。
导数的计算和应用广泛应用于各个科学领域，特别是在物理学和工程学中。
其中一个应用就是研究曲线的切线和法线。
一. 切线的定义和计算我们首先来了解一下切线的概念。
在数学中，切线是指与给定曲线在某一点相切的直线。
为了计算曲线的切线，我们需要先计算该点的导数。
设曲线方程为y = f(x)，我们要求曲线上一点P(a, f(a))处的切线。
首先计算曲线在点P处的导数，即求得f'(a)。
然后，我们可以使用点斜式或者截距式来表示切线方程。
点斜式表示的切线方程为：y - f(a) = f'(a)(x - a)截距式表示的切线方程为：y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))有了切线方程，我们可以计算曲线在该点处的切线了。
二. 法线的定义和计算接下来，我们来了解一下法线的概念。
在数学中，法线是切线的垂直线。
要计算曲线在某一点的法线，我们首先需要计算切线的斜率，然后求其相反数，即得到法线的斜率。
设曲线方程为y = f(x)，切线斜率为k。
则法线的斜率为-1/k。
然后，我们可以使用与切线相同的方法来表示法线的方程。
点斜式表示的法线方程为：y - f(a) = (-1/k)(x - a)截距式表示的法线方程为：y = (-1/k)x + (f(a) + a/k)有了法线方程，我们可以计算曲线在该点处的法线了。
三. 实例分析现在，我们通过一个实例来理解切线和法线的应用。
假设有以下函数：y = 2x^2 - 3x + 1。
我们要求该函数在x = 2处的切线和法线。
首先，计算曲线在x = 2处的导数。
函数的导数为f'(x) = 4x - 3。
将x = 2代入导数公式，得到f'(2) = 5。
接下来，使用点斜式表示切线方程和法线方程。
切线方程为：y -f(2) = f'(2)(x - 2)，化简得到y = 5x - 5。
导数的应用曲线的切线和法线问题
导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。
本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。
一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx。
3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。
4. 得到切线的方程。
举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。
2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。
3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。
4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。
通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。
二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。
求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。
3. 求取法线的斜率nk = -1/k。
4. 使用点斜式求取法线方程。
5. 得到法线的方程。
和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。
三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式导数与曲线的切线与法线是高中数学中的重要内容，它们在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
本文将为大家介绍导数的基本概念，并给出计算曲线切线与法线的相关公式。
一、导数的定义与计算导数是函数的重要属性之一，它可以描述函数在某一点附近的变化率。
一个函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，可以通过以下定义和计算公式得到。
定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义，则函数在x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h) - f(a)] / h这个公式的意义是，随着自变量x在点a处逐渐向左右两边靠拢，取极限可以得到函数在该点的导数。
对于常见的初等函数，我们可以通过一些基本的导数公式来计算导数。
下面是一些常用的导数计算公式：1. 常数函数的导数：f(x) = c, 其中c为常数，导数为f'(x) = 02. 幂函数的导数：f(x) = x^n, 其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)3. 指数函数的导数：f(x) = e^x, 导数为f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x) = loga(x), 导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a)), 其中a为底数以上只是一些常见函数的导数计算公式，复杂函数的导数计算可能需要利用多项式运算、链式法则、求导法则等方法。
我们在后续的内容中将会介绍一些更加复杂的导数计算方法。
二、曲线的切线公式曲线的切线是指曲线上一点处与曲线切于一点的直线。
切线的斜率等于曲线在该点处的导数，这个性质可以用以下公式表示：设曲线方程为y=f(x)，P(x0, y0)是曲线上一点，则曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)表示曲线在点P处的导数。
这个公式的意义是，如果我们知道了曲线上一点的坐标以及该点处的导数值，就可以直接写出曲线在该点处的切线方程。
导数求切线方程的步骤
导数求切线方程的步骤求切线方程的步骤如下：第一步：求导数首先，我们需要求出给定函数的导数。
导数表示了函数在给定点上的斜率，也就是该点函数曲线的切线斜率。
求导数的过程根据函数的不同而有所差异，下面将以几种不同类型的函数为例进行解释。
1.1.常数函数:常数函数的导数为零，因为它的斜率在任何点都是零。
例如，函数f(x)=3的导数为f'(x)=0。
1.2.幂函数:幂函数的导数可以使用幂函数规则求导得到。
幂函数的一般形式是f(x)=x^n，其中n是一个实数。
根据幂函数的规则，导数f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的导数为f'(x)=2*x^(2-1)=2x。
1.3.指数函数:指数函数的导数可以使用指数函数规则求导得到。
指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1、根据指数函数的规则，导数f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，对于函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = ln(e)*e^x = e^x。
1.4.对数函数:对数函数的导数可以使用对数函数规则求导得到。
对数函数的一般形式是f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1、根据对数函数的规则，导数f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log3(x)，它的导数为f'(x) = 1/(x*ln(3))。
第二步：确定切点切线是曲线上其中一点上的切线，因此我们需要确定曲线上的切点。
根据题目给出的条件，我们可以确定切点的横纵坐标。
第三步：计算斜率在给定点上，切线的斜率等于该点的导数值。
所以我们将给定点的横坐标代入到导数函数中，得到该点的导数值。
第四步：确定切线方程切线方程的一般形式是y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线在横轴上的截距。
在给定点上，我们已经确定了斜率m，并且通过给定点的坐标，可以将x和y代入切线方程。
求导证明抛物线切线方程
求导证明抛物线切线方程抛物线是我们学习数学时常见的曲线之一，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将重点讨论抛物线的切线方程，并给出详细的导数证明，通过这个证明，我们可以进一步理解抛物线的形状和变化。
首先，让我们回顾一下抛物线的定义。
抛物线是一个平面曲线，其形状类似于一个弧形，由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
抛物线可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0），它们在x轴上有一个特定的顶点。
现在我们来研究抛物线上的一个点P，它的坐标是(x,y)。
我们想要找到通过点P的一条直线，即切线。
切线的特点是与抛物线相切，且在切点的斜率等于曲线在该点的导数。
为了推导抛物线的切线方程，我们需要先求抛物线的导数。
对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，我们可以使用导数定义来计算其导数。
根据导数的定义，导数是函数变化率的极限，表示为dy/dx。
在这种情况下，我们需要计算dy/dx。
使用求导法则，我们可以得出抛物线的导数。
首先，我们对方程中的每一项进行单独求导。
对于常数c，它的导数为0。
对于线性项bx，它的导数为b。
最后，对于二次项ax^2，我们将使用幂函数的导数公式，即将指数降低一个单位，并乘上原指数的系数。
因此，ax^2的导数为2ax。
将这些导数计算结果组合起来，我们得到了抛物线方程的导数。
即dy/dx = 2ax + b。
这个导数的值表示了曲线在任意一点上的斜率。
现在，我们来研究抛物线上的一个点P，并找到通过该点的切线方程。
假设P的坐标为(x,y)。
切线的斜率等于曲线方程的导数值，即切线的斜率为2ax + b。
因此，切线方程的斜率-intercept形式可以表示为y = (2ax + b)x + c'，其中c'是切线的截距。
为了确定c'的值，我们将切线通过点P并解出c'。
将点P的坐标(x,y)代入切线方程，我们得到y = (2ax + b)x + c'。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
方法技巧专题-导数与切线方程问题
的图象上 总存在一点，使得在该点
21．曲线 y ln x ax 在 x 2 处的切线与直线 ax y 1 0 平行，则实数 a _______．
22．若函数 f (x) a1nx, (a R) 与函数 g(x) x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为______．
23．已知函数 f ( x) ax2 1的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线与直线 x 8 y 0 垂直，若数列{ f 1(n)}的前 n 项和为 Sn ，
1.例题
【例 1】曲线 f x e4x x 2 在点 0, f 0 处的切线方程是（ ）
A． 3x y 1 0 B． 3x y 1 0 C． 3x y 1 0 D． 3x y 1 0
【例 2】函数 f (x) 2x ln x 的图象在 x 1 处的切线方程为（ ）
A． x y 1 0 B． x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
A． 30
B． 45
C． 60
D．135
4．已知定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x 0 时， （f x） x3 2x m ，则曲线 y （f x）在点 P（2，f（2））处的切线斜率
为（ ）
A．10
B．-10
C．4
D．与 m 的取值有关
5．过抛物线 x2 2 py p 0 上两点 A, B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点 P 1， 2 ，则直线 AB 的方程
A．0
B．1
C．2
2. 曲线 f x ln x x2 x 1在点 1,1 处的切线方程是（
D．3 ）
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值(解析版)
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值例1．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．解:（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．练习1．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.解:（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.例2．函数32()(1)31f x x a x x =+--+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，求实数a 的取值范围．解:（1）当1a =时，3()31,R f x x x x =-+∈．由2()33f x x '=-，令()0f x '>，解得1x <-或1x >；令()0f x '<，解得11x -<<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-．（2）易知原点O 不在函数()f x 的图像上，设切点为(,())(0)t f t t ≠．求导得2()32(1)3f x x a x =+--'，则()()f t f t t ='，即322(1)3132(1)3t a t t t a t t +--+=+--，整理得322(1)10t a t +--=，所以2112a t t -=-，令21()2(0)g t t t t =-≠，则32()2g t t =+'，令()0g t '>，解得0t >或1t ≤-；令()0g t '<，解得10t -<<，所以函数()g t 在区间(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上递增，故当0t <时，max ()(1)3g t g =-=-；当t →-∞时，()g t →-∞；0t →时，()g t →-∞，当0t >时，()g t 的取值范围为R ．而过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，则()()f t f t t='有三个不相等的实数根，也就是直线1y a =-与函数()y g t =的图象有三个交点，则有13a -<-，即4a >．练习2．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．解:曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝ex 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，en ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x =，f ′（x ）＝ex ，可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1，当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m ≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1化为lnm 11m m +=-，由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象有两个交点，可得方程lnm 11m m +=-有两个实根，则曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条．例3．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a .解:（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =,当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a=．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,)a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a 上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11()ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．练习3．已知()()2,R f x x x c c =-∈.(1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若03c <<，求()f x 在区间[1]2，上的最小值.解:（1）由题知，()()()3f x x c x c =--'，由题意，()()()2260f c c '=--=，得2c =或6c =，当2c =时，在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极小值，不符题意；当6c =时，在()(),2,6,-∞+∞上()0f x ¢>，在()2,6上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极大值，符合题意.综上，6c =.（2）令()0f x '=，得3cx =或x c =，由03c <<，则在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由题意，13c <，当23c ≤<时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，则()2min ()22(2)f x f c ==-，当12c <<时，()f x 在区间()1,c 上单调递减，在(),2c 上单调递增，则()min ()0f x f c ==，当01c <≤时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()2min ()1(1)f x f c ==-，综上，()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩.例4．已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ．(1)若()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值；(2)若0x 是()f x 的极大值点，且()2002f x x a <-恒成立，求a 的取值范围．解:（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=-+=．()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价于()0f x '≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2220x x a -+≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以方程2220x x a -+=的两个根分别为14，34，由根与系数的关系可得13244a =⨯，所以38a =．（2）若0x 是()f x 的极大值点，定义域为()0+∞，，则()0f x '=至少有一正根，即方程2220x x a -+=至少有一正根．若0a =，则方程2220x x a -+=的正根为1x =，因为当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点1，不符合题意．若0<a ，则方程2220x x a -+=有一正根和一负根，设为α，β，且0α>，0β<，则()()2222x x a x x αβ-+=--．因为当0x α<<时，()0f x '<，当x α>时，()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点α，不符合题意．若0a >，由题可知方程2220x x a -+=应有两个不等的正根，设为1x ，2x ，其中12x x <，则Δ48002a a =->⎧⎪⎨>⎪⎩解得102a <<．所以()()()212222x x x x x x a f x x x ---+'==．列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以1x 是极大值点，2x 是极小值点，则01x x =．由120x x <<，且121x x =+，得110x 2<<．由题可知()22000002ln 2f x x x a x x a =-+<-，即00ln 220a x x a -+<当0102x <<时恒成立．令()ln 22h x a x x a =-+，102x <<，则()222a x a x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．因为102a <<，所以1024a <<．所以当02a x <<时，()0h x '>，当2ax >时，()0h x '<，所以()max ln 022a a h x h a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，解得20e a <<，又102a <<，所以此时a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，实数a 的取值范围是102⎛⎫⎪⎝⎭，．练习4．设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解:（1）23()a f x x x x=--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min3a x x ≤-,令32()3,()33g x x x g x x '=-=-,令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-，即a 的取值范围为(,2]-∞-．（2）若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x -+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立，即不存在这样的a ．练习5．已知函数()()=ln 3R f x a x ax a --∈(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图像在点()()2,2f 处的切线斜率为12，设()()m g x f x x=-，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数m 的取值范围.解:（1）(1)()(0)a a x f x a x x x-=-=>'当0a >时，()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为()0,1；当=0a 时，()f x 不是单调函数.（2）∵1(2)2f '=，∴12122a -⋅=，解得1a =-，∴()ln 3f x x x =-+-()()()ln 30m m g x f x x x x x x =-=-+-->,又()221()10m x g x x x x x x m-+'=-++=>()g x 要在区间[1,2]上单调递增，只需()0g x '≥在[]1,2上恒成立，即20x x m -+≥在[]1,2上恒成立，即()2maxm x x≥-，又在[1,2]上()2maxx x-=∴0m ≥.练习6．已知函数()(ln 1),R f x x x k k =--∈．(1)当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；解:（1）由题知，()()ln 1,R f x x x k k =--∈，所以1()ln 1ln ,0f x x k x x k x x'=--+⋅=->，当0k ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x k '=->，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值，当0k >时，令ln 0x k -=，解得e k x =，当1e k x <<时，()0f x '<，当e k x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调减区间是()1,e k ，单调增区间是()e ,k ∞+，极小值为()()e e 1e k k kf k k =⋅--=-，无极大值.（2）因为对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，所以24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,e,e t x x x x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，所以4()10t x x'=+>，所以()t x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()min e e 44e 0t x t ==-+=>，所以()0g x '>，所以()g x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以函数()()22max 8e 2eg x g ==-，要使(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812e k +>-，即281e k >-，所以实数k 的取值范围为281,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；备选1．设a 为实数，已知函数()()32211932f x x a x =-++(1)讨论()f x 的单调性(2)若过点()0,10有且只有两条直线与曲线()32111132y x a x ax =-+++相切，求a 的值.解:（1）因为()()32211932f x x a x =-++，则()()221f x x a x '=-+，由()0f x '=可得10x =，212a x +=，①当102a +=时，即当1a =-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；②当102a +<时，即当1a <-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得12a x +<或0x >，此时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；③当102a +>时，即当1a >-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得0x <或12a x +>，此时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当1a =-时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）解：设切点为()3211,1132t t a t at ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，对函数()32111132y x a x ax =-+++求导得()21y x a x a '=-++，所以，切线方程为()()()3221111132y t a t at t a t a x t ⎡⎤⎡⎤--+++=-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，将点()0,10的坐标代入切线方程整理可得()322119032t a t -++=，即()0f t =，故关于t 的方程()0f t =有两个不等的实根，①当1a =-时，函数()f t 在R 上单调递增，则方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；②当1a <-时，则()()090f t f ==>极小值，故当12a t +>时，()0f t >，此时方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；③当1a >-时，则()()090f t f ==>极大值，则()()311910224a f t f a +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭极大值，解得5a =，合乎题意.综上所述，5a =.备选2．已知函数()22ln 2x af x x x-=-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若1a =，试问过点()0,1向曲线()y f x =可作几条切线？解:（1）依题意，因为()22ln 2x af x x x-=-，所以()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22222222112142x x x a x a f x x x x ⨯----+-'=-=，若()f x 在()0,∞+上单调递减，则有()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，即()21120x a --+-≤恒成立，所以()22111a x ≥--+≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当1a =时，()22ln 2x f x x x -=-且点()0,1不在()f x 上，所以()()22112x f x x---'=，设切线方程的斜率为k ，切点为()00,P x y ，根据导数的几何意义，则有()2020112x k x---=，又切线过点()0,1，所以切线方程可设为1y kx =+，则有001y kx =+，200002ln 2x y x x -=-，所以()2002020002112ln 21x x x x x x --=---⨯+，整理得000ln 220x x x -+=，令()ln 22g x x x x =-+()0x >，则()ln 1g x x '=-，所以在x ∈()0,e 时，()0g x '<，()g x 单调递减；在()e,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在e x =处取得最小值，又()10g =，所以()g x 在()0,e 有一零点，又因为()0e e 2g =-<，()2222eeln e 2e 220g =-+=>，由零点存在性定理可知，在()2e,e x ∈必有一个根0x ，使得000ln 220x x x -+=成立，综上，方程000ln 220x x x -+=有两个解，所以过点()0,1向曲线()y f x =可作2条切线.备选3．已知函数1()2ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈.（1）若()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，判断()f x 与()2g x x =的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a 值的个数；若不存在，请说明理由.解:（1）222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，满足题意；当0a >时，要使得()f x 在(0,)+∞上单调，则恒有()0f x '≥.∴2440a ∆=-≤，解得：1a ≥.综上，1a ≥或0a ≤（2）假设()f x ，()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，则()()()()2000200000200002212ln ax x ax x f x g x f x g x a x x x x ⎧-+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎛⎫⎪⎩⎪--= '⎪'⎪⎝⎭⎩①②由①可得：()()32200000220120x ax x a x x a -+-=⇔+-=，∴002x a=>.将02a x =代入②，则222ln 2224a a a --=，即：28ln 82a a-=.令28()182x xh x n -=-，则11()4h x x x '=-，故()h x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又1(2)02h =-<，且当0x →，()h x →+∞；当x →+∞，()h x →+∞∴()h x 在(0,)+∞有两个零点，即方程28ln 82a a-=在(0,)+∞有两个不同的解.所以，()f x 与2()g x x =的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a 值有2个。
导函数切线方程的求法
导函数切线方程的求法1. 什么是导函数？导函数是由一个函数的斜率所组成的函数。
也叫做一阶导数，常用符号为f’(x)。
导函数可以用来刻画函数的变化率和曲线在每一点的切线斜率。
2. 导函数的定义对于一个函数f(x)，其导函数定义为：f’(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示x的增量。
导函数的定义可以简化为求函数f(x)的变化率。
3. 导函数的求法导函数的求法有一些常用的方法，以下是几个常见的方法：3.1 使用定义求导根据导函数的定义，可以通过对函数进行变化求极限的方法来求解导函数。
这种方法通常适用于比较简单的函数。
步骤： 1. 写出函数f(x)。
2. 根据导函数的定义，计算lim(h→0) [f(x+h) -f(x)] / h。
3. 化简得到导函数的表达式。
3.2 利用基本导数公式求导对于一些基本的函数，存在一些常用的导数公式，可以直接利用这些公式来求解导函数。
常见的导数公式： - 常数函数：f(x) = C，导函数为f’(x) = 0。
- 变量函数：f(x) = x，导函数为f’(x) = 1。
- 幂函数：f(x) = x^n，导函数为f’(x) =nx^(n-1)。
- 指数函数：f(x) = e^x，导函数为f’(x) = e^x。
- 对数函数：f(x) = ln(x)，导函数为f’(x) = 1/x。
- 三角函数： - 正弦函数：f(x) =sin(x)，导函数为f’(x) = cos(x)。
- 余弦函数：f(x) = cos(x)，导函数为f’(x) = -sin(x)。
- 正切函数：f(x) = tan(x)，导函数为f’(x) = sec^2(x)。
通过利用这些导数公式，可以将复杂的函数简化为基本的函数求导，再进行计算。
3.3 利用导数的基本性质求导导数具有一些基本的性质，可以通过利用这些性质来求解导函数。
常见的导数性质： - 和的导数性质：(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)。
第1讲：函数的求导与切线方程有关问题
导数第1讲：函数的求导与切线方程知识点归纳考点1：函数在点处切线的斜率:，则函数在点处的切线方程可以表示为：求切线方程类型（1）已知切点（函数在某点处的切线方程），求切线方程（2）已知切线方程的斜率求切点——先求切点的横坐标（3）切点未知求切线方程（直线过点与函数相切）解题关键：设切点为，利用斜率两列方程考点2：常见函数的导数（1）（2）（3）（4）（4）（5）考点3：导数的运算性质（1）（2）（3）（4）注意特殊的导函数（1）（2）（3）考点4：复合函数的导数：例1：（1）曲线在点P（1，f（1））处的切线l的方程为。
（2）过点O（1，0）作函数f（x）=e x的切线，则切线方程为。
例2：（1）已知曲线y=的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为．（2）曲线f（x）＝lnx﹣ax在点（e，f（e））处的切线与直线ex+2y+3＝0垂直，则实数a 的值为例3：点P在曲线y=x3﹣2x2+3x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是例4：设函数，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程是．例5：已知曲线在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成三角形面积为，则a=例6：已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有交点，则k的最大值是例7：已知曲线y=lnx+2和曲线y=ln（x+1）有相同的切线，则该切线的斜率为例8：已知函数f（x）＝xlnx，若对于区间（e，+∞）内任意的x1，x2（x1≠x2），都有＞a恒成立，则实数a的取值范围为例9：曲线y＝ln（3x+1）上的点到直线l：3x﹣4y﹣3＝0的最短距离为例10：已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则a的取值范围是一：选择题1．函数f（x）＝x2+xlnx的导函数是f′（x），则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．2+ln22．已知曲线y=f（x）在（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+5，则f（5）与f′（5）分别为（）A．5，﹣1 B．﹣1，5 C．﹣1，0 D．0，﹣13．函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）＝x2ln（1﹣x），则此函数的导函数f'（x）＝（）A．x2ln（1﹣x） B．C．D．5.函数在x＝2处的切线方程为（）A．B．C．D．6.曲线y＝2xlnx在x＝e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．e2D．2e27．已知函数f（x）=alnx+的图象在x=1处切线过点（2，3），则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．78. 经过（2，0）且与曲线相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．2 B．C．1 D．39.已知函数f（x）＝e x lnx﹣e x+alnx图象在点T（1，f（1））处切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．e C．﹣e﹣e﹣1D．e﹣110.若直线y＝kx﹣2与曲线y＝1+3lnx相切，则k＝（）A．3 B．C．2 D．11.若直线l与函数f（x）＝e x和g（x）＝lnx+2都相切，则其斜率k＝（）A．2或e B．1或e C．0或1D．e12.若点A（t，0）与曲线y＝e x上点P的距离的最小值为2，则实数t的值为（）A．4﹣B．4﹣C．3+D．3+13．f（x）=，对于∀x∈[﹣1，+∞），均有f（x）﹣1≤a（x+1），则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[，）14.已知a＞0，曲线f（x）＝3x2﹣4ax与g（x）＝2a2lnx﹣b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为（）A．0 B．C．D．二：填空题1.曲线y＝xe x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的倾斜角α等于．2.若函数f（x）＝x3+（2t﹣1）x+3图象在（﹣1，f（﹣1））处的切线平行于x轴，则t＝．3.已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．4．函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=﹣x+3，设g（x）=f（x）+3x2﹣1，则y=g（x）点（2，g（2））处切线的方程为。
求导公式练习及导数与切线方程.docx
考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有, 选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。
知识点一：常见基本函数的导数公式（1 ）： f ： - ■-（ C 为常数-（2'I （n为有理数）/⑴=（3）/（A）=SE 兀，/ '⅛）=（4）了S）Fg，/ 'l⅛）==- sin K （5）了⑴ F, WZ（6） J-FIn&（7）丁（町=恤卞，了（可（8）「∙' √ ■，I- 工知识点二：函数四则运算求导法则设/（兀），宫G）均可导（1）和差的导数:UXQ±g（χ）]T0±N（χ）（2）积的导数：J ； Z . I Z I .■ ：■' 1Z 1丄I=J r gg〔补-fg 宣S（3）商的导数:一―「三二（"：「-）知识点三：复合函数的求导法则1•一般地，复合函数•- -H-对自变量K的导数」：，等于已知函数A对中间变量■- 「'儿的导数「丄，乘以中间变量仅对自变量T的导数'、，即■"--亠二或∕,J<P（⅛]=∕,⅛）-<P W题型一：函数求导练习例一：函数y=e x sinx的导数等于______________例二：函数y= （x2+ι）e x的导数为_______________例三：函数f (x) =CoS (2- 3x)的导数等于_____变式练习：1求函数y=—二的导数.2.求函数y= (1+cos2x) 2的导数.3 .求y=e2x cos3x 的导数.题型二：用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(χo, y o)及斜率，其求法为：设P(χo, y o)是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y y o f (X O)(X X o).若曲线y f (x)在点P(xω f(x°))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为X X0.下面例析四种常见的类型及解法.类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f (X),并代入点斜式方程即可.例1曲线y X33X2 1在点(1, 1)处的切线方程为( )A.y 3x 4B. y 3x 2C. y4x 3D. y 4x 5解：由 f (x) 3x26x则在点(1, 1)处斜率k f (1) 3 ,故所求的切线方程为y ( 1)3(x 1),即y 3x 2 ,因而选B.2 8待定切点法.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程类型「二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决∙例2与直线2x y 4 0的平行的抛物线y χ2的切线方程是( )A. 2xy30 B∙ 2xy30C. 2x y 1 0D. 2x y 1 0解：设P(X o, y o)为切点，则切点的斜率为y ∣χ X。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
专题一用导数求切线方程四种类
用导数求切线方程的四种种类求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的要点在于求出切点P(x，y)及斜率，其求法为：设P(x，y)是曲线yf(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：yy0f(x)(x x)．若曲线f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为xx．下边例析四种常有的种类及解法．种类一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可．例1曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（）Ａ．y3x 4Ｂ．y3x 2Ｃ．y4x3Ｄ．y4x51解：由f(x)3x26x则在点(1，1)处斜率k f(1)3，故所求的切线方程为y(1)3(x1)，即y3x2，因此选Ｂ．练习：1．设f′(x0)＝0，则曲线A．不存在C．与x轴垂直y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B．与x轴平行或重合D．与x轴斜交)答案B2.已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA )与f′(xB)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不可以确立答案B2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A．－4B．0C．4D．不存在答案B10．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．42D．6C．6＋6·Δx＋2·(Δx)答案D4．函数y＝sin2x的图像在π1处的切线的斜率是() 6，4答案D剖析将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的．分析∵y′＝2sinxcosx，πππ3∴y′|x ＝6＝2sincos＝2661在点7)处切线的倾斜角为()2．曲线y＝x3－2(－1，－33A．30°B．45°C．135°D．60°答案B6．y＝x3的切线倾斜角的范围为________．π答案[0，2)分析k＝y′＝3x2≥0.8．设点P是曲线y＝x3－ 3x＋23上的随意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是()∪5π，π26∪π，π3π答案D分析由y′＝3x2－3，易知y′≥－3，即tanα≥－3.20≤α<2或3π≤α<π.14．已知曲线C：y＝x3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．分析将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．Δy x＋Δx3－x3∵y′＝lim＝limΔxΔxΔx→0Δx→0πlim3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3ΔxΔx→0lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，Δx→0y′|x＝1＝3.∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.114．求曲线y＝sinx在点A(6，2)处的切线方程．分析∵y＝sinx，∴y′＝cosx.ππ331y′|x＝6＝cos6＝2，k＝2.3π∴切线方程为y－2＝2(x－6)．化简得6 3x－12y＋6－3π＝0.x6．曲线y＝x－2在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1答案D例3求曲线y＝1在点(4，1)处的切线方程．x2－3x2【思路剖析】将函数变形为y＝(x2－3x)－12，将其看做是由函数y＝u－12、u＝x2－3x复合而成．【分析】∵y＝1＝(x2－3x)－1，x2－3x2∴y′＝－1(x2－3x)－3·(x2－3x)′22＝－1(x2－3x)－3·(2x－3)．2211∴曲线y＝在点(4，)处的切线斜率为x2－3x21 (4235k＝y′|x＝4＝－－3×4)－·(2×4－3)＝－.22161∴曲线在点(4，2)处的切线方程为15y－2＝－16(x－4)，即5x＋16y－28＝0.研究3本题不要将函数y＝1看做是由y＝1，u＝v，vx2－3xu＝x2－3x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思虑题3(1)曲线y＝3x2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】3x－2y＋1＝01的水平切线方程是________．(2)y＝1－x2【分析】令y′＝0，得x＝0，∴y＝1.12．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积．答案x＋y＋2＝0；21x8．曲线y＝e2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()e2B．4e2C．2e2D．e2答案D11x分析∵y′＝·e2，2∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝12e2.1∴切线方程为y－e2＝2e2(x－4)．∴横纵截距分别为2，－e2，∴S＝e2，应选D.111．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案3分析f′(1)＝1，f(1)＝1×1＋2＝5，∴f(1)＋f′(1)＝3.2225．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.9 答案 28分析由题图知，切线方程为4x ＋错误!＝1，9f(2)＝·(1－4)＝4，f′(2)＝－错误!＝－错误!.9 9 9∴f(2)＋f′(2)＝4－8＝8.种类二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线2x y40的平行的抛物线y x 2的切线方程是（） Ａ．2xy30Ｂ．2xy30Ｃ．2xy10Ｄ．2xy1 02解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx 0 2x 0 2．∴x 0 1．由此获得切点(11)，．故切线方程为y12(x 1)，即2x y1 0，应选Ｄ． 评注：本题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22xb0，又因为0，得b1，应选Ｄ．练习：3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为() A．(－2，－8)B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8)11 D．(－，－)28答案B13．若曲线y＝2x3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．2x0＋Δx3－2x30分析∵y′|x＝x0＝lim＝6x 20，Δx→06x20＝6.∴x0＝±1故.(1,2)，(－1，－2)为所求．3．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为1，则切点的横坐42标为()A．3B．2C．1答案A分析1x－31131 y′＝x，由x－＝.22x2得x＝3或x＝－2.因为x>0，因此x＝3.3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．f′(x0)＝0B．f′(x0)<0C．f′(x0)>0D．f′(x0)不可以确立答案B5．假如曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B7．在曲线y＝x2π上切线的倾斜角为的点是()4A．(0,0)B．(2,4)11)11)C．(，16D．(，424答案D2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A分析∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.应选A.11．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．答案4x－4y－1＝04－1分析k＝2－－1＝1，又y′＝2x，令2x＝1，得1x＝2，从而1y＝4，∴切线方程为y－14＝1·(x－12)，即4x－4y－1＝0.13．假如曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x－y－4＝013．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案3x－y－11＝0分析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x －y－11＝0.19．设直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．答案ln2－14．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．11C．－2D．－1答案A14．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案2分析由题意得y′＝ae ax，y′|x ＝＝ae a×0＝2，a＝2.10．函数f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点P(2π，0)，而且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为()A．2πB．π答案B分析22πa. f′(x)＝acosax，∴f′(2＝π)acos2又asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z.f′(2＝π)a2coskπ＝4，∴a＝±2.2π∴T＝|a|＝π.6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是() B．25C．3 5D．0答案A2分析y′＝2x－1＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d＝|2×1－0＋3|＝5.22＋1219．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．16答案272分析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得1x1＝1或x2＝－3.114∴两个切点分别为(1,2)和(－3，－27)．切线方程为x－y＋1＝0和x－y－275＝0.5|1＋|2d＝2＝27.27种类三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说法正确的选项是()A．曲线的切线和曲线有交点，这点必定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点必定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不必定存在答案D例3求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．3解：假想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|x x03x022．∴切线方程为yy0(3x22)(x x)．y(x32x)(3x22)(xx0)．又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x032x)(3x22)(1x)．解得1．x1，或x02故所求切线方程为y (12)(32)(x1)，或y1132x1，842即xy20，或5x4y10．评注：能够发现直线 5x 4y 10其实不以(1，1)为切点，其实是经过了点(1，1)且以 1 7为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，， 2 8该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：种类四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(2，0)且与曲线y1相切的直线方程． x4解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y|xx 0 1．x 20 ∴切线方程为yy 0 1(x x 0) ，即 y 1 1(xx 0) ．x 0 2 x 0 x0 2又已知切线过点(2，0)，把它代入上述方程，得 1 1x0 2(2x 0)．x0 解得x 01，y 0 1 1，即xy20．x 0评注：点(2，0)其实是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判 断它确实切地点，充足反应出待定切点法的高效性例5 已知函数yx 33x ，过点A(016)， 作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为yx 33x ，点A(016)，不在曲线上．设切点为M(x 0，y 0)，则点M 的坐标知足y 0x033x 0．因f(x 0)3(x2 1)，故切线的方程为yy 03(x21)(x x0)．点A(016)，在切线上，则有16(x 0 3 3x 0) 3(x0 2 1)(0x 0)．化简得x 038，解得x0 2．因此，切点为M(2，2)，切线方程为9x y 160．评注：此类题的解题思路是，先判断点A能否在曲线上，若点A在曲线上，化为种类一或种类三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y＝x2，求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程．分析解法一设过A(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.y＝kx＋5－3k由y＝x2，得x2－kx＋3k－5＝0.k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0.k＝2或k ＝10.所求的直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.y′|x＝x0＝2x0.5－y0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝由已知kPA＝2x0，即3－x05.18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0B．1 C．2D．3答案D分析明显P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．P(2,2)在切线上，2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1±3.∵有三个切点，∴由P向S作切线能够作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－4C．－2D．2答案B分析f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.f′(0)＝2f′(1)＝－4.12．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()1A．4B．－41C．2D．－2答案A分析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y＝e x上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y＝15x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．分析(1)∵y′＝e x，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e.1∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k＝－e.1∴所求直线方程为y－e＝－e(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.(2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线斜率为 1.又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1.∴切线方程为5x－5y－4＝0或5x－5y＋4＝0.4．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝()D．1答案B分析由已知{y ＝ax 2＋1，y ＝x 有独一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有独一解，1∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝4.15．点P 在曲线y ＝f(x)＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．分析 设P(x 00 2 ＋1. 00，y)，则y ＝x0 x 0＋Δx 2＋1－ x 02＋1 ＝2x 0. f′(x)＝lim ΔxΔx→0因此过点P 的切线方程为y －y0＝2x0(x －x0)，即y ＝2xx ＋1－x 2.00而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，因此切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 02 2 0 y ＝－2x －1， 得x ＋1－x ，2 22x ＋2x0x ＋2－x0＝0.2 2即＝4x 0－8(2－x)＝0.±23 7解得x 0＝ 3 ，y0＝.3因此点P 的坐标为(23，7 )或(－ 2 3 3，7 )．3 3 3 17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．分析 设切点坐标为(x 0 0 0 20 0，y)，y′|x＝x ＝3x －6x ＋2＝k.若x 0 0 0 0y0 .＝0，则k ＝2.若x ≠0，由y ＝kx ，得k ＝ x ∴3x 02－6x 0＋2＝y，x0即3x0203203x－3x＋2x000－6x＋2＝x0.解之，得x＝2.3231∴k＝3×(－6×＋2＝－4.2)2综上，k＝2或k＝－1.416．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．分析∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.关于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，则4b＋c ＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.1．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．剖析(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出1直线方程；(2)求面积用S＝2a·h即可达成．分析(1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(x0,y0)，因为l1⊥l2。
导数的求导法则切线计算
第10讲变化率与导数、导数的计算诊断-基础知识知识梳理1.2.导数的运算法则⑴[f(X)±(x)] f，(X)±，(x).⑵[f(x)g(x)]，= f' (x)g(x) + f(x)g' (x).口xMxtK 2<jg, n二[gx]2 (g(x)工0).3.复合函数的导数设u = v(x)在点x处可导，y= f(u)在点u处可导，则复合函数f［v(x)］在点x处可导, 且f' (x) = f' (u) v v (x).［感悟提升］1•“过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x) “在点P(x o, y o)处的切线”与“过点P(x o, y o)的切线”的区别：前者P(x o, y o)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x o, y o)不一定为切点.2.导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，女口(4).三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式. 由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).以例求法举一反三x x 1 _ x — ?si n x ,2x + 1突破-高频考点考点一导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数： X X(1)y = e c os x ； (2)y =x — sin qcos 2；ln (2x + 1 \⑶ y=——.解 (1)y '_ (e x )' cos x + ^(cos x)'_ e <cos x — e <sln x.[In 2x + 1 ] ' x — x ' In 2x + 1x2x +1 ' 2x , o , 2x +1 X-2+ 门 2x +1 — n2x + 门 _ 2 _ 2x x _ 2x —(2x + 1 )n (2x + 1 )= 2x +1 x 2 .规律方法（i ）本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误 ②不能正确运用求导公式和求导法则，在第 （3）小题中，忘记对内层函数 进行求导.（2）求函数的导数应注意：① 求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；1 1 — 2COS x.②根式形式，先化为分数指数幕，再求导.③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.【训练1】(1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0,+x)内可导，且f(e x)= x+ e x, 则f'(1) = ____________ .⑵若f(x) = ^/3^x + e2x，贝U f' (x) = ______ .解析(1)令e x= t,则x= In t,•'f(t) = In t +1, 即卩f(x) = In x+ x.1因此f' (x)= (In x+x)' = + 1,于是f' (1)= 1 + 1 = 2.x⑵若f(x)= a3+ 2ax—x2，则f' (x)= 3a2+ 2x.( x)(3) (教材习题改编)函数y= xcosx —sin x的导函数是y'= —xsin x. (V)⑷[f(ax+ b)] '= f' (ax+ b). (x )考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013广东卷)若曲线尸kx+ In x在点(1, k)处的切线平行于x轴,则k= ________ .⑵设f(x) = xln x + 1，若f' (x o) = 2,贝U f(x)在点(x o, y o)处的切线方程为1解析(1)函数y= kx+ In x的导函数y' = k+ x,入由导数y'E仁0,得k+1 = 0,则k=— 1.(2)因为f(x) = xln x+ 1,1所以f' (x)= In x+x • = In x+ 1.x因为f' (x o) = 2,所以In x o+ 1 = 2, 解得x o= e,所以y o= e+ 1.由点斜式得，f(x)在点(e, e+ 1)处的切线方程为y—(e+ 1) = 2(x—e),即2x—y —e + 1 = o.答案(1)— 1 (2)2x—y —e+ 1 = o规律方法(1)导数f' (x o)的几何意义就是函数y= f(x)在点P(x o, y o)处的切线的斜率•第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为o,进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力.⑵在求切线方程时，应先判断已知点Q(a, b)是否为切点，若已知点Q(a, b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程.【训练2】（1）（2012新课标全国卷）曲线y=x（3ln x+ 1）在点（1,1）处的切线方程为（2）若函数f（x）= e x cos x,则此函数图象在点（1, f（1））处的切线的倾斜角为（）•A •0 B •锐角C •直角D •钝角3解析(1)了= x(3ln x+ 1),.°y' = 3ln x+ 1 + x x= 3ln x+ 4,「k= y' |x= 1= 4, 入所求切线的方程为y—1= 4(x- 1)，即4x-y-3 = 0.(2)f‘ (x) = e x cos x—e x sin x= e x(cos x—sin x),•■f' (1)= e(cos 1— sin 1).n n••2>1>4・而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1.•f (1)<0,即卩f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率k<0,f •切线的倾斜角是钝角.答案(1)4x —y — 3 = 0 (2)D考点三导数运算与导数几何意义的应用In x 【例3】(2013北京卷)设I为曲线C: y=业在点(1,0)处的切线.X⑴求I的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线I的下方.导数几何意义审题路线⑴求f' (1) ——> 点斜式求直线I的方程转化运用导数⑵构建g(x) = x— 1 —f(x) --- >g(x)>0对x>0且X M 1恒成立------- >研究函数y =g(x)的性质一获得结论解⑴设f(x) = I：X,则f' (x)= 1 F x.1 —In 1 ••• f' (1)= 1= 1,即切线I的斜率k= 1.由I过点(1,0),得I的方程为y= x— 1.⑵令g(x) = x— 1 —f(x)，贝U除切点之外，曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(?x>0, X M 1).2x —1 + In x g(x)满足g(1) = 0,且g' (x)二1—f' (x)二x2 .当0<x<1 时，x2—1<0, In x<0,••• g' (x)<0，故g(xx)在(0,1)上单调递减；当x>1 时，x—1>0, In x>0, g' (x)>0, g(x)单调递增.所以，g(x)>g(1)= 0(? x>0, X M 1).所以除切点之外，曲线C在直线I的下方.规律方法(1)准确求切线I的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线I的ae 2+ ae 2—位置关系转化为函数g(x) = x — 1 — f(x)在区间(0,+x )上大于o 恒成立的问题, 进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用.(2)当曲线y =f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线 方程为x = x o ；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 . 1【训练3】(2014济南质检)设函数f(x)= ae x + x + b(0<a<1).ae (1) 求f(x)在［0,+x )内的最小值；3(2) 设曲线y =f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y =㊁x ，求a 和b 的值. . , x 1 (ae —1( ae + 1)解(1)f (x) = ae — ae x =ae x. 1令 f ' (x) = 0，得 x = In >0.a 1当 0<x<ln 时，f ' (x)<0;a 1当 x>ln ，f ' (x)>0.a••• f(x)在0，In 1上递减，在lln a ，+^ '上递增. 从而f(x)在［0,+x )上的最小值f In a = 2+ b. 3⑵T y =f(x)在点(2，f(2))处的切线为y = 2x ， 3••• f(2)= 3,且 f ' (2) = 3， 1ae 2+ b = 3 ae1 32 = ae 2 1 2解之得b = 2且 a = e 2.理解导数的概念时，要注意f'(X0), (f(X0))'与f' (x)的区别：f' (x)是函数y=f(x)的导函数，f' (x o)是f(x)在x= x o处的导数值，是常量但不一定为0, (f(x o))'是常数一定为0, 即(f(x o))' = 0.培养-解题能力教拣解邇提进能力易错辨析3――求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014杭州质检)若存在过点0(0,0)的直线I与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 和y=x2+ a都相切，则a的值是().1A - 1 B.641 1c. 1或64 D - 1或—鬲［错解］V 点0(0,0)在曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 上,•••直线I与曲线y=f(x)相切于点O.则k= f' (0) = 2,直线I的方程为y= 2x.又直线I与曲线y= x2+ a相切，•'x2+ a —2x= 0 满足△= 4 —4a= 0, a= 1,选A.［答案］A［错因］(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x相切这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误：一是当点0(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.--K又203x 0 + 2, C . In 2［正解］易知点0(0,0)在曲线f(x) = X 3— 3X 2+ 2x 上， ⑴当0(0,0)是切点时，同上面解法.⑵当0(0,0)不是切点时，设切点为 P(X 0, y 0),则y ° = x 3— 3x 0 + 2x 0,且k = f '(X 0)=3x 0— 6x 0 + 2.由①，②联立，得X 0= 2(x 0= 0舍)，所以k = — 4, 1•••所求切线I 的方程为y = — 4x.「 1出 y = — 4x ， /曰 2 1 c 由 得 x + 4x + a = 0.I 2 | 4y = x + a ,1 1 1 依题意，16— 4a = 0,「a = §4.综上，a = 1 或 a = §4.［防范措施］(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键, 分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异.(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算.【自主体验】1函数y = In x(x>0)的图象与直线y =2x + a 相切，贝U a 等于().A . 2ln 2B .In 2 + 1D .In 2 — 1y f I r p解析设切点为(x o, y o)，且y' = X,.・. =X = 2，则x o= 2, y o= InX X0 212. 又点(2, In 2)在直线y=2x+ a上，1.n 2 = 2X2+ a,「a= In 2 —1.课时-题组训练_ 阶梯训擦竦出富分对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 •若函数f(x)= ax4+ bx2+ c满足f' (1) = 2,则f' (—1)等于().A1 B 2 C. 2 D . 0解析f' (x) = 4ax3+ 2bx,.f' (x)为奇函数且f' (1)= 2,.' (—1)= —2. 答案B2.y= —x+ 8,贝U f(5) + f' (5)=如图,C.—2 D . 4解析 ■•yx — 1 — x + 1X - 12212 ,y k=(X —1)—23=2 =3- 1 212，・•—a = 2，即解析 如图可知，f(5) = 3, f ' (5)=— 1,因此 f(5) + f ' (5) = 2. 答案 A3. （2014济南质检）设曲线 尸 在点（3,2）处的切线与直线ax + y + 1= 0垂直,X — 1 则 a =（）.A . 2B . — 21 1C .— 2 D.Q =—2. 答案 B1 2 14•已知曲线y = ^x 2— 3ln x 的一条切线的斜率为一刁则切点横坐标为（）. A . — 2 B . 3 C . 2 或—3 D . 2I1 313 1 解析 设切点坐标为（x o , y o ）,，.y ' = ?x — x ，： = 2x 0 — x 0 = — 2，即卩 x 0+x o — 6= 0,解得 x o = 2 或一 3（舍）. 答案 D5. （2014湛江调研）曲线y = e —2x+ 1在点（0,2）处的切线与直线y = 0和y =x 围成 的三角形的面积为（）.A1 f 1A? B .1C.3 D .1解析y' |x=o= (—2e-2x)|x=o= —2,故曲线y= e"2x+ 1在点(0,2)处的切线方程为y= —2x+ 2,易得切线与直线y= 0和y=x的交点分别为(1,0), |，故围成1 2 1的三角形的面积为心1X 3二3.二、填空题6. _________________________________________________ 已知函数f(x) = f' J4C0S x+ sin x,则的值为_________________________________ .解析f (x)= —f' ；Sin x+ cos x,.f —f' ©sin :+ cos ；, f ©=\n n n2—1,--f4二(2—1)cos 4+ sin 4二1.答案17. (2013南通一调)曲线f(x)= f e1 e x—f(0)x+ 1x2在点(1, f(1))处的切线方程为________ .解析f‘(x)=f e1 e x—f(0)+x? f ' (1)=f j1 e1—f(0)+1? f(0) = 1.在函数f(x)D Df ' f 1 \ 1 1=e e x—f(0)x+ ?x2中，令x= 0,则得f ' (1)= e所以f(1)= e—?,所以f(x)在1 1(1, f(1))处的切线方程为y= e(x—1)+ f(1) = ex—?,即y= ex —1答案y= ex—28 .若以曲线y= Jx3+ bx2+ 4x+ c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是_____________ .2 2解析y ' = x + 2bx + 4 ,与'> 0 恒成立，二△二4b —16< 0,A-2< b< 2.答案[—2,2]g(X)min = g(2)=92,•a>9,a^ —1 2.、解答题9.已知函数f(x) = x3+ (1 -a)x2—a(a+ 2)x+ b(a, b€ R).⑴若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3,求a, b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x—a(a + 2).⑴由题意得I0芒二+ 2 一3, 解得 b = 0, a= — 3 或 1.⑵•/曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，•••关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a+ 2)= 0有两个不相等的实数根,•••4(1 —a)2+ 12a(a+ 2)>0,即4a2+ 4a + 1>0,10.已知函数f(x) = x3—ax2+ 10.(1)当a= 1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)在区间［1,2］内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围. 解(1)当a= 1 时，f' (x) = 3x2—2x, f(2)= 14,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率k=f'⑵=8,•曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—14= 8(x—2),即卩8x—y —2 = 0.3x3+ 10 10⑵由已知得a>x x2 = x+x0,入入设g(x) = x+ x0(1w x<2), g' (x) = 1—2；0,•/ 1< x< 2,•g' (x)v0,「. g(x)在［1,2］上是减函数.能力提升题组(建议用时：25分钟)•a的取值范围是一、选择题1. (2014北京西城质检)已知P, Q为抛物线x2= 2y上两点，点P, Q的横坐标分别为4,—2,过P, Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A. 1B. 3C.—4D. —8解析依题意，得P(4,8), Q( —2,2).2x由y= 2，得y，= x.•••在点P处的切线方程为y—8 = 4(x—4)，即y= 4x —8.①在点Q处的切线方程为y—2= —2(x+ 2),即卩y= —2x—2•②联立①，②得点A(1,—4).答案C2. 已知f(x)= log a x(a>1)的导函数是f' (x),记A= f，(a), B = f(a+ 1)—f(a), C =f，(a+ 1),则().A. A>B>C B . A>C>BC. B>A>CD. C>B>Af(a+ 1)— f(a) 解析记M(a, f(a)), N(a+ 1, f(a+ 1)),则由于B= f(a+ 1)—f(a)= ,(a+ 1 —a表示直线MN的斜率，A= f，(a)表示函数f(x)= log a x在点M处的切线斜率；C=f，(a+ 1)表示函数f(x) = log a x在点N处的切线斜率.由图象得，A>B>C.答案A、填空题3. (2014武汉中学月考)已知曲线f(x) = x n + 1(n€ N*)与直线x= 1交于点P,设曲线y= f(x)在点P处的切线与X轴交点的横坐标为X n,贝U log2 013X1 + log2 013X2+… + lOg2 013X2 012 的值为 __________________ .解析f' (x)= (n+ 1)X n, k= f' (1) = n+ 1,点P(1,1)处的切线方程为y— 1 = (n+ 1)(x-1),1 n 阳n令y= 0,得x= 1 —= ，即X n= ,n+ 1 n+ 1 n+ 11 2 3 2 011 2 012 1•'X1 X2 … X2 012= 2X3X4^^X 2 012X2 013= 2 013，贝卩log2 013x1 + log2 013x2 + …+ lOg2 013X2 012=lOg2 013(X1X2 …X2 012) =—1.三、解答题4. (2013福建卷改编)已知函数f(x) = X—aln x(a€ R).(1) 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程；(2) 当实数a>0时，求函数f(x)的极值.a解函数f(x)的定义域为(0,+^), f' (x)= 1—.X2(1)当a=2 时，f(x) = x —2ln x, f' (x)= 1 —(x>0),X因而f(1)=1, f' (1) = —1,所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y—1 = —(x—1)，即x+ y—2= 0.a x—a⑵由f' (x) = 1—x= x, x>0.令f' (x) = 0,得x= a>0.当x€ (0, a)时，f (x)<0;当x€ (a,+x)时，f (x)>0.从而函数f(x)在x= a处取得极小值，且极小值为f(a)= a —aln a,无极大值.。
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本章节知识提要
考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何
意义.
2.导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝
x
1，y ＝x 的导数；
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题.
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2)了解微积分基本定理的含义
导数（1）：求导与切线
〘知识点梳理〙
1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -=
x
x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf
法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '=
+, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭
3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=-
曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法：
①求函数f (x )的导数f ′(x ).
②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率
③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m)
〘精选例题〙
例1．求下列函数的导函数
1. x x f =)(
2.2)(e x f =
3.y=2x+3
4.x x f =
)( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x =
7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x
x x f 2ln )(+=
例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。
例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38
），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
例4：已知曲线31433
y x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)P 的切线方程。
分析：“该曲线过点(2,4)P 的切线”与“该曲线在点(2,4)P 处的切线方程”是有区别的：过点(2,4)P 的切线中，点(2,4)P 不一定是切点；在点(2,4)P 处的切线中，点(2,4)P 是切点。
例5：曲线y =24y x =-平行的切线方程
分析：首先对y =2，再根据斜率等于2求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，
1．已知函数x x x f ln )(=，则=')(x f （ ）
A 、12+x
B 、x ln x +1
C 、ln x + 1
D 、x +1
2．y=ln x
1, 则y ’ 等于（ ） Ａ.
x 1 B.-x C. 1
12-x D. －x 1 3．.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a 等于（ ） A. 81 B. 41 C. 2
1 D. 1 4. 曲线122+=x y 在P(-1,3)处的切线方程为( )
A.14--=x y
B. 74--=x y
C. 14-=x y
D. 74-=x y
5．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3）则b 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．5
D ．-5 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
7．若函数n m mx
y -=2的导数为3
4x y =',则m=__________,n=__________ 8．若曲线y=2
4
x +x 过点P 的切线垂直于直线y=34-x ，求这条切线的方程
9．已知曲线313y x =
上一点P （2，38），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
10．曲线22
3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行
11．已知曲线Ｃ：y=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 过点Ａ（０，－1）且关于y 轴对称，若C 在x=1处的
切线方程2x+y －2=0，求曲线C 的方程。
12．若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.
【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由
y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.
所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0).
又切线经过点(－2,2)，得
2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，①
而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ②
由①②解得x 0＝1或x 0＝－2.
则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0
13．设曲线y=x 3－3x 在点P 处的切线l 过点（0，16），试求l 的方程.。