导数之一：导数求导与切线方程

本章节知识提要

考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何

意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝

x

1，y ＝x 的导数；

(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.

3.导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题.

5.定积分与微积分基本定理

(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；

(2)了解微积分基本定理的含义

导数（1）：求导与切线

〘知识点梳理〙

1. 求导公式与求导法则：

0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -=

x

x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf

法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．

法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '=

+, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭

3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=-

曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法：

①求函数f (x )的导数f ′(x ).

②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率

③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m)

〘精选例题〙

例1．求下列函数的导函数

1. x x f =)(

2.2)(e x f =

3.y=2x+3

4.x x f =

)( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x =

7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x

x x f 2ln )(+=

例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。

例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38

），求点P 处的切线的斜率及切线方程？

例4：已知曲线31433

y x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)P 的切线方程。

分析：“该曲线过点(2,4)P 的切线”与“该曲线在点(2,4)P 处的切线方程”是有区别的：过点(2,4)P 的切线中，点(2,4)P 不一定是切点；在点(2,4)P 处的切线中，点(2,4)P 是切点。

例5：曲线y =24y x =-平行的切线方程

分析：首先对y =2，再根据斜率等于2求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，

1．已知函数x x x f ln )(=，则=')(x f （ ）

A 、12+x

B 、x ln x +1

C 、ln x + 1

D 、x +1

2．y=ln x

1, 则y ’ 等于（ ） Ａ.

x 1 B.-x C. 1

12-x D. －x 1 3．.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a 等于（ ） A. 81 B. 41 C. 2

1 D. 1 4. 曲线122+=x y 在P(-1,3)处的切线方程为( )

A.14--=x y

B. 74--=x y

C. 14-=x y

D. 74-=x y

5．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3）则b 的值为（ ）

A ．3

B ．-3

C ．5

D ．-5 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

7．若函数n m mx

y -=2的导数为3

4x y =',则m=__________,n=__________ 8．若曲线y=2

4

x +x 过点P 的切线垂直于直线y=34-x ，求这条切线的方程

9．已知曲线313y x =

上一点P （2，38），求点P 处的切线的斜率及切线方程？

10．曲线22

3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行

11．已知曲线Ｃ：y=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 过点Ａ（０，－1）且关于y 轴对称，若C 在x=1处的

切线方程2x+y －2=0，求曲线C 的方程。

12．若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.

【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由

y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.

所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为

y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0).

又切线经过点(－2,2)，得

2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，①

而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ②

由①②解得x 0＝1或x 0＝－2.

则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0

13．设曲线y=x 3－3x 在点P 处的切线l 过点（0，16），试求l 的方程.