【精准解析】四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高一下学期第四学月考试数学(文)试题

4
，且 x R ，有
f
x
f
3
成立，则
f
x 图象的一个对称中心坐标是（
）
A.
2 3
,
0
B.
3
,
0
C.
2 3
,
0
D.
5 3
,
0
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的
对称中心.
【详解】由 f x sin x 的最小正周期为 4 ，得 1 ，
-8-
∵∠ABC
为
锐角，∴
BA
BC
3,
1
1
m,
m
=3+3m+m＞0，可得
m＞
3
．
4
若
BA
BC
，则有-1
（-1-m）=3m，解得
m=
1 2
．
故当∠ABC
为锐角时，实数
m
的取值范围是
3 4
,
1 2
1 2
,
，
故答案为:
3 4
,
1 2
1 2
,
．
【点睛】本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中
档题．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 f x cos2 x 2 3 sin x cos x sin2 x .
（1）求函数 f x 的最小正周期；
（2）求
f
x
在区间
6
, 3
上的最大值和最小值.
【答案】（1）
；（2）
【点睛】本题考查角度化弧度，充分利用公式1o 进行计算，考查计算能力，属于基础 180
题.
2. sin 11 的值为（ ） 3
A. 3 2
B. 1 2
1
C.
2
D. 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式直接化简即可.
-1-
【详解】 sin 11 3
sin 4
3
sin
3
3， 2
故选 A
【解析】
【分析】
先求出 BA 和 BC 的坐标，若∠ABC 为锐角，则 BA BC =3+3m+m＞0，求出 m 的范围；若
BA
BC ，求得
m 的值，实数 m 的取值范围即可．
【详解】已知向量 OA =（3，-4）， OB =（6，-3）， OC =（5-m，-3-m），
∵ BA OA OB (3, 1) ， BC OC OB (1 m, m)
第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 150 化成弧度制为（ ）
A. 5 6
B.
4
C. 2 3
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用角度化弧度公式可将150 化为对应的弧度数.
【详解】由题意可得150o 150 5 ，故选 A. 180 6
故 S40﹣S30＝80，S40＝150．
故答案为 150．
【点睛】本题考查了等比数列前 n 项和公式的性质，属于基础题．
16. 已知向量 OA =（3，-4），OB =（6，-3）， OC =（5-m，-3-m），若∠ABC 为锐角，则实数
m 的取值范围是__．
【答案】
3 4
,
1 2
1 2
,
但是偶函数，故答案
B
错误．函数
y
sin
π 2
2
x
=cos2x
的周期为
，但为偶函数，故答
案
C
错误．函数
y
cos
3π 2
2x
=-
sin
2
x
是奇函数且周期为
，故答案 D 正确．
考点：三角函数的诱导公式、周期性及奇偶性．
5.
已知
a
与
b
的夹角为
120
，
a
3，
a b
13 ，则 b （
）
A. 2
【答案】C
齐次式，然后分子分母中同时除以 cos2 ，可实现弦化切.
15. 设各项都是正数的等比数列{ an }，Sn 为前 n 项和，且 S10=10，S30=70，那么 S40=______
【答案】150 【解析】 【分析】
根据数列{ an } 是等比数列，Sn 为前 n 项和，且 S10＝10≠0 可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣
奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检
验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
9. ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ．若 a 13, b 3, A 60 ，则边 c （ ）
A. 1 【答案】C 【解析】
2020 年春四川省宜宾市叙州区第二中学高一第四学月考试 文科数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
2
因为
f
x
f
3
恒成立，所以
f
x
max
f
3
，
即 1 2k k Z ，
23
2
由
2
，得 ，故 3
f
x
sin
1 2
x
3
，
1
令
x
k
k Z ，得 x
2k
2
k Z，
23
3
故ห้องสมุดไป่ตู้
f
x
图象的对称中心为
2k
2 3
,
0
k
Z
，
当
k
0
时，
f
x
图象的对称中心为
2 3
, 0
cos2 ，可转化为关于 tan 的代数式进行计算.
【
详
解
】
由
题
意
可
得
cos 2
cos2
sin 2
cos2 cos2
sin2 sin2
cos2
cos2 cos2
sin2 cos2
sin2
1 tan2 1 tan2
cos2 cos2
1 1
1
9 1
8 9 9 10
4 5
故选 A
8. 函数 y sin2x 的部分图像大致为 1 cosx
A.
B.
C.
4
D.
5
D.
【答案】C 【解析】
由题意知，函数
y
sin 2x 1 cos x
为奇函数，故排除
B；当
x
π
时，y
0
，故排除
D；当
x
1
时，
y
1
sin 2 cos 2
0
，故排除
A．故选
C．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的
【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
3. 为了得到函数 y sin(2x π ) 的图象，只需把函数 y sin 2x 的图象上所有的点 3
π
A. 向左平行移动 个单位长度
3 π
B. 向右平行移动 个单位长度
3 π
C. 向左平行移动 个单位长度
6 π
D. 向右平行移动 个单位长度
【点睛】本题考查通过平面向量的数量积运算求向量模，考查运算能力．
6. 在等差数列{an} 中，若前10 项的和 S10 60 ， a7 7 ，则 a4 ( )
A. 4
B. 4
C. 5
【答案】C
D. 5
【解析】
试题分析： S10
10 a1
2
a10
5 a4
a7
60, a4
5
.
考点：等差数列的基本概念.
y
sin( x ) 的图象．
4. 下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( )
A. y tan 2x
B. y sin x
C.
y
sin
π 2
2x
【答案】D
【解析】
D.
y
cos
3π 2
2x
-2-
试题分析：函数 y tan 2x 是奇函数但周期是 ，故答案 A 错误．函数 y sin x 周期是 ，
故选 C
第 II 卷 非选择题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知向量 p 2, 3 ， q x, 6 ，且 p //q ，则 p q 的值为________.
-6-
【答案】 13
【解析】
【分析】
ur r 利用共线向量的坐标表示求出 x 的值，可计算出向量 p q 的坐标，然后利用向量的模长公式
4 5
，故答案为
4 5
.
9
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及弦化切思想的应用，弦化切思想主要应用于以下两
个方面：
（1）当分式为关于角 的 n n N 次分式齐次式时，可在分子分母中同时除以 cosn ，实
现弦化切；
-7-
（2）当代数式是关于角 的二次整式时，可先除以 cos2 sin2 化为关于角 的二次分式
S30 也成等比数列，即可得到结果．
【详解】根据数列{ an }是等比数列，Sn 为前 n 项和，且 S10＝10≠0 可得数列 S10，S20﹣S10，S30
﹣S20，S40﹣S30 成等比数列， 因此有（S20﹣S10）2＝S10（S30﹣S20），即（S20﹣10）2＝10（70﹣S20），
故 S20＝﹣20 或 S20＝30，又 an 0 ，S20＞0，因此 S20＝30，S20﹣S10＝20，S30﹣S20＝40，
设
OC
mOA
nOB
m,n
R
，则
m
的值为（
）
n
5
A. 2
B.
C. 3
D. 4
2
【答案】C
【解析】
【详解】
如图所示，建立直角坐标系．由已知 OA 1, OB 3, ，
，则 OA （1，0），OB （0，3），OC mOA nOB （m，3n），
tan30
3n m
3， 3
m 3． n
要注意“ ”的影响，变换有两种顺序：一种 y sin x 的图象向左平移 个单位得
y sin(x ) 的图象，再把横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变，得 y sin( x ) 的图
象，另一种是把
y
sin
x
的图象横坐标变为原来的
1
倍，纵坐标不变，得
y
sin x
的图象，
再向左平移
个单位得
sin x 1时， f (x) 取得最大值 5，选 B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 sin x 3 时，函数 y 2(sin x 3)2 11 取
2
22
得最大值.
12. 已知 OA 1 ， OB
3 ，OA OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 OC 与 OA 的夹角为 30°，
ur r 可求出 p q 的值.
ur
r
ur r
r
【详解】Q p 2, 3 ，q x, 6 ，且 p//q ，3x 2 6 ，解得 x 4 ，q 4, 6 ，
ur r
ur r
则 p q 2,3 ，因此， p q 22 32 13 ，故答案为： 13 .
【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，同时也考查了向量模的坐标运算，考查
B. 2
C. 4
D. 6
-4-
试题分析： a2 c2 b2 2cb cos A 13 c2 9 2c 3 cos 60 ，即 c2 3c 4 0 ，解
得 c 4 或 c 1（舍去）．
考点：余弦定理，正弦定理．
10.
已知函数
f
x sin x
0,
2
的最小正周期为
B. 1
C. 4
D. 3
【解析】 【分析】
由已知条件对 a b
13
两边平方，进行数量积的运算即可得到 |
b
|2
3 |
b
|
4
0
，解该方
程即可得出| b | ．
【详解】解：根据条件， a 3 ， a b 13 ，
则
(a
b)2
2
a
2
a
b
2
b
9
3|
b
|
|
b
|2 13
，
解得
|
b
|
4
，或
1
（舍去）．
故选：C．
计算能力，属于基础题.
14. 若 tan 1 ，则 cos 2 ________. 3
4
【答案】
5
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式得出 cos 2 cos2 sin2 ，然后在代数式 cos2 sin2 上除以
cos2 sin2 化为有关角 的弦的二次分式齐次式，并在分式的分子和分母中同时除以
6
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 ， 为 得 到 函 数 y sin(2x ) sin[2(x )] 的 图 象 ， 只 需 把 函 数
3
6
y sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动 π 个单位长度，故选 D. 6
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数 f (x) Asin( x ) 的图象平移变换中
.
故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算
-5-
问题，属于基础题.
11. 函数 f (x) cos 2x 6 cos( π x) 的最大值为 2
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 f (x) 1 2 sin2 x 6 sin x 2(sin x 3)2 11 ，而 sin x [1,1] ，所以当 22
-3-
7.
sin
已知
sin
cos cos
1 2
，则 cos 2
的值为（
A. 4 5
3
B.
5
【答案】A
）
C. - 3 5
【解析】
sin
∵
sin
cos cos
1 2
，∴
tanα 1 tanα 1
1 ，tanα 2
3.
∴
cos2
=
cos2 cos2
sin 2 sin 2
1 tan2 1 tan2