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2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}03M x x =<<，163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()R M N ⋂=ð（）A ．{}06x x <≤B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}36x x <≤D ．{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð，再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<，可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选：D 2．复数4i1iz =+，则z =（）A ．22i --B ．22i-+C ．22i+D ．22i-【答案】D【分析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.3．函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（）A ．2B ．5C ．4D ．25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==，所以5l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l ''=+，解得5l '=，所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=，故选：D .5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数2R 变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D 后，回归效果更好，对于A ，相关系数r 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，相关系数r 变大，故A 错误；对于B ，决定系数2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，决定系数2R 变大，故B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，残差平方和变小，故C 错误；对于D ，若去掉()10,2D 后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确．故选：D ．6．已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较43342log 3,2,2-的大小，再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e 1,0e 1x x -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A7．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C ､､，则BC =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，代入22:4C y x =-，化简后由Δ0=求出m 的值，从而可得直线方程，再代入21:4C y x =化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ，设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点，与抛物线2C 相切，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩，可得2440y my ++=，所以2Δ16160m =-=，解得1m =，故直线l 的方程为1x y =+，与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,B x y C x y ，则126x x +=，所以1228BC x x =++=.故选：C.8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b .若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为（）A ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴，垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111cos s n ,i M x y y θθ+，()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选：A.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()12E X =B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A 正确；根据方差的性质，可判定B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==，则()11122E X =⨯=，故A 正确；对于B 中，由随机变量Y 的方差()2D Y =，可得()2(32)318D Y D X +==，故B 错误；对于C 中，由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=，所以C 正确；对于D 中，由随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C ．()25P B =D ．()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（）A ．()1ππn n x n-<<B ．1πn n x x +-<C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D ．()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x -<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+πk k =-<-，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题13．函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为．【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅，则()e e ln e e f =⋅=，又()ln 1f x x '=+，则()e ln e 12f '=+=，所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-.故答案为：2ey x =-14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ，然楼根据展开式的通式，令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=，解得6n =，即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =，()42441612C 60T +∴=-=故答案为：60.15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答）【答案】36【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有24A 12=种，相同的课程不是“数学文化”时，有1134C C 12=种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有24种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有1243C C 12=,所以，两位同学不同的选课方案有241236+=，故答案为：3616．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为1F N 的中点，1PN PF =，从而得到212OM F N =，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF 交1F M 延长线于点N ，因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，所以点M 为1F N 的中点，所以1PN PF =，又点O 为12F F 的中点，且1224PF PF a -==，所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=．故答案为：2．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =，12n n b -=；(2)202+593【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用12a =，515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式；再由题意得4352(2)b b b +=+，结合12b =可求出q 值，进一步可得{}n b 的通项公式；（2）由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出20T ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为12a =，所以55410302S d ⨯=+=，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，由题意知：()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =，所以12n n b -=；（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅，()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b =+【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.【详解】（1）根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅，所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+，所以()a P B a b =+.19．如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．(1)若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；(2)若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】(1)7154(2)463【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【详解】（1）证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BD AC⊥，又PA⊥平面ABCD，故PA BD⊥.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.在PBD△中，EF为中位线，故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.（2）如图：以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，()1,0,1AE =uuu r ，()0,1,1AF = ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =- ，设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ，则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ，整理得212810λλ-+=，解得16λ=或12λ=（舍去），故16PG PC = ，故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==，故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ，所以AE BC ⊥，又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ，所以AE BP ⊥，又BP BC P = ，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21．已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+，其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当102a <<时，判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点，理由见解析【分析】（1）求出()f x '，分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案；（2）由（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ，再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】（1）()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>，令()0f x '=得21,2x x a ==，当12a =时，()0f x '≥，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当102a <<时，0x a <<或12x >时，()0f x ¢>，12a x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当12a >时，102x <<或x a >时，()0f x ¢>，12x a <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当12a =时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当12a >时，函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--，且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1110x g x x x -'=-=>，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,1a ∈，22e 10,e 20a ->->，可得()2e 0f >，如下图，作出函数()f x 的大致图象，由图象可得当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,，且它的离心率12e =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点，若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ，求实数λ的取值范围【答案】（1）22186x y +=；（2）()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据t 的范围可得202λ<<，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，，，解得2286a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆的标准方程为22186x y +=.（2）因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以21t kk ++＝1，整理得212t k t-=(t≠0)．由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，因为直线l 与椭圆交于M ，N 两点，所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>＋－，将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2834kt k +，所以y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2634t k +，因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)，所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，又因为点C 在椭圆上，所以()22222834k t k λ+＋()2222634t k λ+＝1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为t 2＞0，所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋21t ＋1＞1，所以202λ<<，所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。

广东省高二下学期期末考试数学(理科)试题(含参考答案)

广东省高二下学期期末考试数学(理科)试题(含参考答案)

）
A． ? m∈ A，都有 f ( m＋ 3)>0 B ． ? m∈ A，都有 f ( m＋3)<0
C． ? m0∈ A，使得 f ( m0 ＋3) ＝ 0 D ． ? m0∈ A，使得 f ( m0＋ 3)<0
k=k+1 否
k≥3 是
输出 (x， y)
结束
7. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果为（）
（Ⅰ）求直方图中 错误！未找到引用源。 的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指
标值 错误！未找到引用源。 服从正态分布 错误！未找到
引用源。，试计算数据落在 错误！ 未找到引用源。 上的概 率．
3
参考数据：若 错误！未找到引用源。 ，则 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ．
③所有的二面角中恰有 3 个是 错误！未找到引用源。 的二面角
P4
P3
D
其中 正确 的有（ ） A. ①②③ B. ②
C.③
D. ①②
2
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（ 13）题 - 第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（ 题- 第（ 23）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分）。
（换数列，已经有了）数列的前项和为，满足 ,. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在求出；若不存在则说明理由。
18. （本小题满分 12 分） 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 由测量结果得到如图频率分布直方图：
100 件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，
进行如下折叠操作：先将矩形沿折痕 错误！未找到引用源。 折起一定角度；再

2023-2024学年广东省广州市八区高二下学期期末教学质量检测数学试卷

2023-2024学年广东省广州市八区高二下学期期末教学质量检测数学试卷

2023-2024学年广东省广州市八区高二下学期期末教学质量检测数学试卷1.在等差数列中，为其前项和，若，，则（）A．7B．8C．9D．122.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43.已知函数，则单调递增区间是（）A．B．C．D．4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）A．42B．72C．78D．965.有（）个不同的正因数A．8B．10C．12D．156.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示：34562.534 4.5根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（）A．5.15吨B．5.25吨C．5.5吨D．9.5吨7.下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为.则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关.试问游戏结束时过关的概率为（）A．B．C．D．9.设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足.则下列结论正确的是（）01230.20.10.2A．B．C．D．10.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.设第个正方形面积为，则下列结论正确的是（）A．B．C．前6个正方形面积和为D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近11.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，.则下列结论正确的是（）A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为B．任取一个零件，它是次品的概率为C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为12.若数列满足，，则_____________.13.在展开式中，含项的系数是_____________.（用数字作答）14.已知函数只有1个零点，则的取值范围是_____________.15.函数，.(1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；(2)若，，求的取值范围.16.某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82817.数列的首项，.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，①当数列的项取得最大值时，求的值；②求数列的前项和.18.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.19.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：.。

2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期期末数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期期末数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期期末数学试题的。

1.已知集合，，则( )A. B. 且C.D.2.已知空间向量，，若，则( )A. 1B.C. 2D.3.的展开式中的系数为( )A. 200B. 210C. 220D. 2404.已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形ABCD 的外接椭圆的短轴长为，则的方程为( )A.B.C.D.5.已知变量x ，y 的一组相关数据如下表：x 12345ya9若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则实数( )A. B. 5C. D. 6.已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n 项和为，，，则( )A. 6B. 7C. D.7.已知圆锥SA 的轴截面是边长为的等边三角形，顶点S 和底面圆周上的所有点都在球O 的球面上，则球O 的体积为( )A.B.C. D.8.公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用角表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用角表示，则( )A. B. C. 4 D. 8二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是( )A. 若或，则直线l与圆C相切B. 若，则圆C关于直线l对称C. 若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则D. 若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则10.在中，内角所对的边分别为，，，，则( )A. B.C. D. 的面积为或11.某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为，，现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记“顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯”，“顾客对紫外线消毒灯满意”，则( )A. B.C. D.12.已知定义在R上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则( )A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.1. 已知非空集合，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）A.B. 1C. 2D. 4. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ）A. 10B. 12C. 15D. 205. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）A. B. C. 4 D. 26. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）AB.C.D.7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是的.{}2A x a x a =<<()0,1(),0∞-()(),01,-∞⋃+∞()(),10,-∞-⋃+∞,a b ∈R a b >3322a b b a ->-()2ln f x x x =-0x y +=A A 1eel αβ--120︒A B 、l BD AC 、αβ、AC l ⊥BD l ⊥2AB AC BD ===CDABC V ,,A B C ,,a b c 222π,6,33B b a c ac ==+=ABCV 9492()2ln f x x ax x =--11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦aA. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列结论中，正确的有（ ）A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B. 若随机变量，则C. 已知经验回归方程为，且，则D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.00110. 已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ）A. 两两垂直B. 在平面的投影为的中点C. 三点共线D. 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球11. 甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（ ）A. B. C. D. 三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.12 若，则.[)1,+∞()1,+∞(),1∞-(],1-∞{}n a 1624a a a +=2416k ==5a =134947454()2~1,,(2)0.21N P ξσξ≤-=(4)0.79P ξ≤=ˆˆ 1.8y bx=+2,20x y ==ˆ9.1b =29.632χ=0.001α=2χ()0.00110.828x =,,V ABC VA VB VC ABC -==△,D E ,VA AB 90,CDE V ︒∠=ABC ,M M VAB P ,,VA VB VC P VAC VA ,,C M E V ABC -1223n n P n n K 214P =()1304P K ==11163n n P P +=+()112n n P K n +==()()28210012101(1)2(2)(2)x x a a x a x a x +⋅-=+-+-++- 01210a a a a ++++=__________.13. 已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______．14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15. 已知正项数列的前项积为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.16. 已知函数()，点A 是图像上的一个最高点，B 、C 为图像的两个对称中心，面积的最小值为．（1）求的值；（2）在区间上有20个极值点，求实数m 的取值范围．17. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若在区间内恒成立，求实数的值.18. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q ，.（1）若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 回归方程，并预测时，y 的值；（精确到1）的2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>12,,F F ABC △M BC ,AC AB M 1111ABCD A B C D -E F ､1,BC CC P 11ADD A 1PC //AEF P P AF {}n a n n T ()*31nn n T a n T =∈-N 12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n T n n M ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x ()f x ABC V πω()f x []0,m 2()ln ()ln 1f x x x x g x a x x =-=-+，()f x ()0g x ≤()0,∞+a mn m n p 1p q +=2m =12p q ==y ln y bna =+ 10n =（2）若，，，，记在每列都有白球条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.附：经验回归方程系数：，，，.19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C 上一点，且以为方向向量.（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；（2）证明：直线在曲面上；（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.的2m =2n =13p=23q =X X ()()111nmmn p q -+-≥1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx=-51ln 53i ii n y=⋅=∑ln 3.8y =S S (),,0F x y z =S (),,0F x y z =(),,0F x y z =()000,,x y z S S (),,0F x y z =(),,0F x y z =S C 2221114x y z +-=C xOz z l ()1,1,2Q ()2,0,4d =--xOy C l C C C l 'C )2Tl l '广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】BCD三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.【12题答案】【答案】2560【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】①.②. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明略；（2）．【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）；3. （2）分布列略；. （3）；证明略.【19题答案】【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由略（2）证明略 （3111432nn⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12ω=77π81π,22⎛⎤⎥⎝⎦1-2 ln 0.45y n =-+32251(1)m n p --xOy O。

高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)

高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)

2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣45．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 36．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√27．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．138．（5分）已知点A 在直线x ＝2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y ＝x 3﹣x 相切，则点A 的轨迹长度为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下： 45 48 46 52 47 49 43 51 47 45 则下列结论正确的为（ ） A ．平均数为48 B ．极差为9C ．中位数为47D ．第75百分位数为51（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x =−π6对称，则（ ）A ．f(π6)=−12B ．f （x ）在区间(−π4，π6)单调递减C ．f （x ）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D ．f （x ）在区间(0，π3)有两个零点（多选）11．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ） A ．当|AM |＝|AF |时，AM ⊥lB ．当|AM |＝|AF |＝|MF |时，|AF |＝2|BF |C ．当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA ⊥MB 时，|AM |•|BM |≥2|AF |•|BF |（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x +1x 2)6的展开式中常数项是 ．（用数字作答） 14．（5分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 3﹣a 1＝3，a 4﹣a 2＝6，则S 5＝ ．15．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝2f （x +2），当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ），若方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a 的取值范围为 ． 16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +12a =c ．（1）求B ；（2）若c ＝2a ，且b =3√3，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC 的三个顶点A ，B ，C 在圆O 上，AB 为圆O 的直径，△P AC 是边长为2的正三角形，且平面PBC ⊥平面P AC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若BC =2√3，点E 为PB 的中点，点F 为圆O 上一点，且F 与C 位于直径AB 的两侧，当EF ∥平面P AC 时，求平面EFB 与平面ABC 的夹角的余弦值．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A ，B 两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A 盒内随机取出1个小球放入B 盒，再在B 盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}【解答】解：集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}， 故选：D ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i【解答】解：因为（1+i ）z ＝4﹣2i ， 所以z =4−2i 1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i ， 故z =1+3i ． 故选：B ．3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【解答】解：因tan α＝2，则cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=−35． 故选：D ．4．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣4【解答】解：由a →∥b →可得，﹣2×（﹣2）﹣x ＝0，解得x ＝4． 故选：C ．5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 3【解答】解：由题意可得该组合体的体积V ＝π×（32）2•6−13π[（32）2+12+1×32]•（6﹣2）=43π6．故选：D ．6．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√2【解答】解：由m +n ＝2及m ，n 均为正实数可得：0＜mn ≤(m+n 2)2=1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， 选项A ，函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，所以lnm +lnn ＝ln （mn ）≤ln 1＝0，A 错误；选项B ，由均值不等式，1m+1n≥2√1mn≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等．B 正确；选项C ，m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝4﹣2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等，C 错误；选项D ，（√m +√n ）2＝m +n +2√mn =2+2√mn ≤4，当且仅当m ＝n ＝1时取等，所以√m +√n ≤2，D 错误． 故选：B ．7．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．13【解答】解：设左焦点为F ′，由O 是FF ′，AB 的中点， ∴|AF ′|＝|BF |，AF ⊥AF ′，设|BF |＝m ，则|AF |＝3m ，又|AF ′|+|AF |＝2a ， ∴m =12a ，∴|AF |=32a ，|AF ′|=12a ，∴（12a ）2+（32a ）2＝（2c ）2，∴c2a2=1016∴e=ca=√104．故选：A．8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线y＝x3﹣x相切于点B（x0，y0），∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1，∴l的方程为y=(3x02−1)(x−x0)+x03−x0，把A（2，a）代入，可得(3x02−1)(2−x0)=a−x03+x0，化简得a=−2x03+6x02−2，设g（x）＝﹣2x3+6x2﹣2，g′（x）＝﹣6x2+12x，∴g（x）在区间（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，∴满足条件的x0恰有3个，∴g（0）＜a＜g（2），即﹣2＜a＜6，则点A的轨迹长度为8．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A．平均数为48B．极差为9C．中位数为47D．第75百分位数为51【解答】解：平均数是110×（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）＝47.3，选项A错误；极差为52﹣43＝9，选项B正确；按从小到大顺序排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；所以中位数是12×（47+47）＝47，选项C正确；因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=−π6对称，则（）A．f(π6)=−12B．f（x）在区间(−π4，π6)单调递减C．f（x）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点【解答】解：∵f（x）的图像关于直线x=−π6对称，∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，得φ=π3+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ=π3，则f（x）＝cos（2x+π3），则f（π6）＝cos（2×π6+π3）＝cos2π3=−12，故A正确，当−π4＜x＜π6时，−π2＜2x＜π3，−π6＜2x+π3＜2π3，则f（x）不单调，故B错误，当−π2＜x＜π2时，﹣π＜2x＜π，−2π3＜2x+π3＜4π3，则当2x+π3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确．当0＜x＜π3，0＜2x＜2π3，π3＜2x+π3＜π，则只有当2x+π3=π2时，函数f（x）＝0，即f（x）在区间(0，π3)只有1个零点，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥lB．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|＝|AF|，则AM⊥l，故选项A正确；对于选项B ：当|AM |＝|AF |＝|MF |时，△AMF 为正三角形，∴直线AB 的倾斜角为π3 设直线AB 的方程为y =√3(x −p2)，A （x 1，y 1），B （x ，y 2），由{y =√3(x −p2)y 2=2px，可得y 23−p 2=0，∴y 1=√3p ，y 2=−√33p ， ∴|AF||BF|=|y 1||y 2|=3，故选项B 错误；对于选项C ：过点A ，B 作直线垂直于l ，垂足分别为A '，B '，由B 可知A ′（−p 2，y 1），B ′（−p2，y 2），作AB 的中点N ，∵MA ⊥MB ，∴|MN|=12|AB|，由定义可知|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA ′|+|BB ′|，∴|MN |=12（|AA ′|+|BB ′|），∴M 为A 'B '的中点，∴A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：设M （−p2，y 0），直线MF 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1=y 0−p 2−p 2=−y 0p ，由B 可知k 2=y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2py 1+y 2， 由C 可知y 1+y 2＝2y 0，k 2=2p y 1+y 2=py 0，k 1k 2=−y 0p •p y 0=−1，∴MF ⊥AB ， 又∵MA ⊥MB ，|AM |﹣|BM |＝|MF |•|AB |，且|MF |2＝|AF ||BF |，由基本不等式可得|AM |•|BM |＝|MF ||AB |＝（|AF |+|BF |）•√|AF|⋅|BF|≥2|AF |•|BF |，故选项D 正确． 故选：ACD ．（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312【解答】解：当AB ＝AD ＝m 时，可知△ABD 与△BCD 为等腰三角形，取BD 中点E ， ∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∵AE ∩EC ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，可得AC ⊥BD ，故A 正确； 当AB ＝CD ＝m 时，可知四面体ABCD 的所有对棱相等， 将四面体ABCD 补为长方体，其中四面体ABCD 的各条棱为该长方体各面的对角线，∴四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，则x2+y2＝1，y2+z2＝1，x2+z2＝m2，∴外接球的半径为R=12√x2+y2+z2=12√m2+22=14√2m2+4，∴四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2，故B正确；当AB＝AD＝m时，取BD的中点E，则AE=√m2−14，CE=√32，AC＝1，则在△ACE中，由三角形性质可得√m2−14+√32＞1，√m2−14−√32＜1，解得：√2−√3＜m＜√2+√3；当AB＝CD＝m时，取CD的中点F，则AF＝BF=√1−m2 4，则在△ABF中由三角形性质可知2√1−m24＞m，∴0＜m＜√2．综上可得，0＜m＜√2+√3，故C错误；当AB＝AD＝m时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC⊥平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为√3 12；当AB＝CD＝m时，由（3）可知此时AF=BF=√1−m2 4，则△ABF的面积为12m⋅√1−m22，∴四面体ABCD的体积为16m2⋅√1−m22=16√m4(2−m2)2，设f（x）＝x4（2﹣x2），f′（x）＝2x3（4﹣3x2），当x∈（0，2√33）时，f′（x）＞0，当x∈（2√33，√2）时，f′（x）＜0，∴当x=2√33时，f（x）的最大值为3227，∴四面体ABCD体积的最大值为2√327，又√312＞2√327，∴四面体ABCD体积的最大值为√312，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：(x+1x2)6展开式的通项T k+1=C6k x6−k(1x2)k=C6k x6−3k，令6﹣3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C62=15．故答案为：15．14．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝31．【解答】解：因为等比数列{a n}中，a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝6，所以q＝2，则a3﹣a1＝4a1﹣a1＝3，所以a1＝1，则S5=1−251−2=31．故答案为：31．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为[0，34)．【解答】解：因为f（x）＝2f（x+2），所以f （x ﹣2）＝2f （x ），f （x ）=12f （x ﹣2），又因为当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ）， 所以当x ∈（2，4]时，x ﹣2∈（0，2]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）=12×4（x ﹣2）（4﹣x ）＝2（x ﹣2）（4﹣x ），当x ∈（4，6]时，x ﹣2∈（2，4]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）＝（x ﹣4）（6﹣x ），所以f （112）＝（112−4）•（6−112）=34， ……作出函数f （x ）的部分图象，如图所示：又因为方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解， 即y ＝a 与y ＝f （x ）的图象在(112，+∞)内有交点， 结合图象可知a ∈[0，34）．故答案为：[0，34）．16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 2√2+2 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 6−4√2 ． 【解答】解：设D 为AB 中点，则|CD |＝1， ∴点D 的轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1，∴|OA →+OB →|=2|OD →|，则最大值为2√2+2； 又直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0， ∴l 1⊥l 2，且l 1过定点（﹣1，﹣3），l 2过定点（﹣3，﹣1）， ∴点M 的轨迹为（x +2）2+（y +2）2＝2，∴MA →⋅MB →=(MD →+DA →)(MD →+DB →)=(MD →+DA →)(MD →−DA →)=MD →2−DA →2， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3，又∵|MD →|⩾√(1+2)2+(1+2)2−1−√2=2√2−1， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3⩾(2√2−1)2−3=6−4√2， ∴MA →⋅MB →的最小值为6−4√2． 故答案为：2√2+2；6−4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】（1）证明：依题意，由a n+1=a na n +1两边取倒数， 可得1a n+1=a n +1a n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，∵1a 1=1，∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n=1+1•（n ﹣1）＝n ，∴a n =1n，n ∈N *．（2）解：由（1）可得，b n ＝a n a n +1=1n •1n+1=1n −1n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1＝1−1 n+1=nn+1．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c．（1）求B；（2）若c＝2a，且b=3√3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcosA+12a=c，可得sinBcosA+12sinA=sinC，又∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，∴sinBcosA+12sinA=sinC=sinAcosB+sinBcosA，∴12sinA=sinAcosB∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴cosB=1 2，∵0＜B＜π，∴B=π3．（2）记△ABC的面积为S，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，及B=π3，b＝3√3可得a2+c2﹣ac＝27，将c＝2a代入上式，得a2＝9，故a＝3，c＝6，∴S=12acsinB=9√32．19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△P AC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面P AC．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若BC=2√3，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面P AC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，∵△P AC为等边三角形，∴AD⊥PC，∵平面PBC⊥平面P AC，平面PBC∩平面P AC＝PC，∴AD⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AD，∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵AC∩AD＝A，∴BC⊥平面P AC，∵BC⊂平面ABC，∴平面P AC⊥平面ABC．（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EO∥AP，又∵EO⊄平面P AC，AP⊂平面P AC，∴EO∥平面P AC，∵EF∥平面P AC，EO∩EF＝E，∴平面EOF∥平面P AC，∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，平面P AC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，由题可知BC=2√3，AB=4，取AC中点M连接PM，则PM⊥AC，∵平面P AC∩平面AFBC＝AC，由（1）可知PM⊥平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，∴P(0，0，√3)，A(1，0，0)，B(−1，2√3，0)，E(−12，√3，√32)，F(2，√3，0)，∴BF →=(3，−√3，0)，EF →=(52，0，−√32)，设平面BEF 的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{3x −√3y =0，5x −√3z =0，令x =√3，则y ＝3，z ＝5，∴m →=(√3，3，5)， 由（1）可知平面ABC 的一个法向量n →=(0，0，1)， ∴设平面BEF 与平面ABC 的夹角为θ， 则cosθ=m →⋅n →|m →⋅n →|=√37=5√3737，∴平面BEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为5√3737． （法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EO ∥AP ，又∵EO ⊄平面P AC ，AP ⊂平面P AC ，∴EO ∥平面P AC ，∵EF ∥平面P AC ，EO ∩EF ＝E ， ∴平面EOF ∥平面P AC ， ∵平面EOF ∩平面AFBC ＝FO ，平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，∴FO ∥AC ，由题可知BC =2√3，AB =4，取AC 中点M 连接PM ， 则PM ⊥AC ，∵平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，由（1）可知PM ⊥平面ABC ，连接BM ，过点E 作EH ∥PM ， ∴H 为BM 的中点，且EH ⊥平面ABC ，∵BF ⊂平面ABC ，∴EH ⊥BF ，过点H 作HN ⊥BF ，垂足为N ，连接EN ，∵EH ∩HN ＝H ， ∴BF ⊥平面ENH ，∴EN ⊥BF ，则∠ENH 为平面EFB 与平面ABC 的夹角， 在△BHF 中，FH =52，∠BFH =π6，∴HN =FHsin π6=54，∵EH=12PM=√32，由勾股定理可得EN=√374，cos∠ENH=54√374=5√3737，∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5√37 37．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，根据条件概率可知P(C)=15×C22C62=175，故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为1 75．（2）（i）X的可能取值为1，3，5，对应概率分别为：P(X=5)=25×C32C62+25×C22C62+15×C22C62=325，P(X=3)=25×C31C31C62+25×C21C41C62+15×C21C41C62=1425，P(X=1)=25×C32C62+25×C42C62+15×C42C62=825，故X的分布列为：（ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5×325+3×1425+1×825=135，甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y ，每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E （Y ）＝5E （X ）＝13． 21．（12分）已知f （x ）＝axe 2x （a ∈R ）． （1）当a ≠0时，讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝a （e 2x +xe 2x •2）＝a （2x +1）e 2x ，∵当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＜−12，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＜−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＞−12，∴当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为(−12，+∞)，单调减区间为(−∞，−12)，当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为(−∞，−12)，单调减区间为(−12，+∞)．（2）由f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0，得axe 2x ﹣2x ﹣lnx ≥0，……① 令g （x ）＝axe 2x ﹣2x ﹣lnx ，则g ′(x)=a(1+2x)e 2x −2−1x =(1+2x)(axe 2x −1)x， ∵当a ⩽0时，g （1）＝ae 2﹣2＜0不满足条件，∴a ⩽0不成立， 当a ＞0时，令k （x ）＝axe 2x ﹣1，k ′（x ）＝a （1+2x ）e 2x ＞0，∵当x →0+时，k(x)→−1，k(1a)=e 2a −1＞0，∴∃x 0∈(0，1a)，使得k （x 0）＝0，即ax 0e 2x 0=1，∴当x ∈（0，x 0）时，k （x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，k （x ）＞0，∴g （x ）在区间（0，x 0）上单调递减，在区间（x 0，+∞）上单调递增，当x ＝x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0），由ax 0e 2x 0=1，取对数得lna +lnx 0+2x 0＝0，则g(x 0)=ax 0e 2x 0−2x 0−lnx 0=1+lna ， 要使不等式①恒成立，需1+lna ⩾0，解得a ⩾1e ，∴实数a 的取值范围是[1e，+∞）．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√2，且C 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）设点A 为C 的左顶点，若过点（3，0）的直线l 与C 的右支交于P ，Q 两点，且直线AP ，AQ 与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，右焦点为（c，0），∴右焦点到渐近线的距离d=|bc|√b+a2=b＝1，由离心率e=ca=√2，有√a2+b2a=√2，解得a＝1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．（2）设直线l的方程：x＝ty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x2−y2=1x=ty+3⇒（t2﹣1）y2+6ty+8＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，Δ＝（6t）2﹣4（t2﹣1）×8＝4t2+32＞0恒成立，还需{y1y2=8t2−1＜0t2−1≠0，解得﹣1＜t＜1，∵A点坐标为（﹣1，0），∴k AP⋅k AQ=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，将y1+y2=−6tt2−1，y1y2=8t2−1代入，得k AP⋅k AQ=8t2−1t2⋅8t2−1+4t⋅−6tt2−1+16=88t2−24t2+16t2−16=−12，设AP：x＝m1y﹣1，AQ：x＝m2y﹣1，且|m1|＞1，|m2|＞1，∴1m1⋅1m2=−12，即m1•m2＝﹣2，故|m1|•|m2|＝2，∵|m2|=2|m1|＞1，∴1＜|m1|＜2，由{x2−y2=1x=m1y−1⇒(m12−1)y2−2m1y=0，∴y P=2m1m12−1，同理可得y Q=2m2m22−1，由{x2+y2=1x=m1y−1⇒(m12+1)y2−2m1y=0，∴y M=2m1m12+1，同理可得y N=2m2m22+1，∴S△APQS△AMN=12|AQ||AP|sin∠QAP12|AN||AM|sin∠QAP=|AQ||AP||AN||AM|=y Q⋅y Py N⋅y M=2m2m22−1⋅2m1m12−12m2m22+1⋅2m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12−1)(m22−1)=m12m22+m12+m22+1m12m22−m12−m22+1=5+(m12+m22)5−(m12+m22)，令t=m12+m22，由|m1|•|m2|＝2，1＜|m1|＜2，得t=m12+4m12，t∈[4，5），∴S△APQS△AMN=5+t5−t=10−t+5−1，t∈[4，5），令f（t）=10−t+5−1，t∈[4，5），∵f（t）在区间[4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为[9，+∞），∵S1S2=S MNPQS AMN=S△APQ−S△AMNS△AMN，∴S1S2的取值范围为[8，+∞）．。

广东省2023年高二下学期数学(理)期末试卷

广东省2023年高二下学期数学(理)期末试卷

广东省高二下学期数学（理）期末试卷（试卷总分150分、考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分共50分） 1.321i i =- ( ) A.1i + B.1i -C.1i -+D. 2、从211=、2231=+、23531=++、247531=+++、…、得到 ++312)12(n n =-+用的是（ ）（A ）归纳推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）特殊推理3．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 4．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种6．在8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 8．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人.9、直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积是 （ ）A ．20B ．328 C ．332 D ． 343 10．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 （ ）二、填空题（每小题5分共20分）11．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

2022-2023学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知函数f(x)=√x ，则f ′（2）＝（ ） A ．√24B ．√22C ．3√24D ．√22．已知(3x 2+1x)n 的展开式中所有项的系数之和为256，则n ＝（ ） A ．3B ．4C ．6D ．83．如表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y （单位：千元）与月份代码x 的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为y =b x +0.19，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（ ）A ．2.41千元B ．2.38千元C ．2.35千元D ．2.32千元4．某班级有50名学生，该班级学生期末考试数学成绩X 服从正态分布N （100，σ2），已知P （X ＞120）＝0.14，则X ∈[80，120]的学生人数约为（ ） A ．7B ．18C ．36D ．435．函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）A ．f ′（2）＜f ′（3）＜f （3）﹣f （2）B ．f ′（2）＜f （3）﹣f （2）＜f ′（3）C ．f （3）﹣f （2）＜f ′（3）＜f ′（2）D ．f ′（3）＜f （3）﹣f （2）＜f ′（2）6．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（ ） A ．24B ．36C ．48D ．727．盒中有3个螺口灯泡和5个卡口灯泡，现从盒中不放回地任取灯泡，直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为（）A．156B．328C．528D．3148．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，则不等式f （x+2023）﹣（x+2023）2f（﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣2024，﹣2023）B．（﹣2024，0）C．（﹣∞，﹣2023）D．（﹣∞，﹣2024）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r1，S12，R12，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r2，S22，R22，则（）A．若r1＞r2，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强B．若r12＞r22，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强C．若S12＞S22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好D．若R12＞R22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好10．已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（）A．a的取值范围是[0，1]B．存在a，使得P(X=1，Y=0)=14C．E（Y）﹣E（X）＞1D．当a=12时，D(Y)=111611．在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为Dd，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，基因型中至少含有1个显性基因D时呈显性性状．则下列说法正确的是（ ）A ．子二代中基因型为dd 的概率为13B ．子三代中基因型为dd 的概率为14C ．子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为49D ．子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为276412．已知函数f （x ）＝ax 2﹣e x 有两个极值点x 1与x 2，且x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞e2 B ．0＜x 1e x 2＜1C ．f(x 2)＞−e 2D ．若x 2≥2x 1，则a ≥1ln2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13．用5种不同的颜色对如图所示的A ，B ，C 区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有 种不同的着色方法．（用数字作答）14．已知函数f （x ）＝x +cos2x ，x ∈（0，π），则f （x ）的极大值点为 ．15．现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选．已知这一堆橙子中大果与小果比例为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05．经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为 ．16．已知函数f(x)={x 2+2ex +2，(x ≤0)lnx ，(x ＞0)，若存在实数a ＜b ＜c ，满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则af （a ）+bf （b ）+cf （c ）的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）某公司近5年产品研发年投资额x （单位：百万元）与年销售量y （单位：千件）的数据统计表如下：（1）根据上表数据画出年投资额x 与年销售量y 的散点图；（2）该公司计划用非线性经验回归方程y=e b x+a作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．参考数据与公式：∑5i=1x i z i=13.4；对于一组数（u1，v1），（u2，v2），…，据（u n，v n），其经验回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为β=∑ni=1u i v i−nu⋅v∑n i=1u i2−nu2，α=v−βu．18．（12分）已知函数f(x)=13x3+ax2−2x−1．（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x＝1是f（x）的极值点，且方程f（x）﹣m＝0有3个不同的实数解，求实数m的取值范围．19．（12分）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从（a+b）n的展开式推广到（a+b+c）n的展开式．（1）写出（a+b+c）8的展开式中含a2b3c3的项（记为T（2，3，3）），并求该项的系数；（2）写出（a+b+c）n的展开式的通项公式，并解释其正确性．20．（12分）某小型工厂生产蓝色和粉色两种颜色的手持便㩗风扇，每日生产量为200台，其中蓝色手持便拱风扇120台，粉色手持便携风扇80台．（1）若从某日生产的手持便携风扇中随机抽检2台，用X表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望；（2）若从某日生产的手持便携风扇中随机抽取10台作为样本，用Y表示样本中蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中蓝色手持便携风扇的比例估计总体中蓝色手持便携风扇的比例，求误差不超过0.1的概率，并说明在相同误差限制下，采用哪种抽取方式估计的结果更可靠．参考数据：随机变量Y 对应二项分布和超几何分布概率值参考数据（精确到0.00001）．21．（12分）某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸（单位：mm ）得到如下统计数据，其中尺寸位于[34，37）的产品为一等品，其它产品为非一等品．（1）为考察生产线（甲、乙）对产品质量（一等品、非﹣等品）的影响，请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？（2）用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用X 表示这4件产品中一等品的数量，求X 的分布列．附：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．②临界值表22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx，g(x)=xe x−1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，且对任意x1，x2∈[3，4]（其中x1＜x2）都有f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)＞−1g(x1)g(x2)，求实数a的最小值．2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知函数f(x)=√x ，则f ′（2）＝（ ） A ．√24B ．√22C ．3√24D ．√2解：∵f(x)=√x =x 12，∴f ′(x)=12x −12=12√x ＞0)，则f ′(2)=122=√24．故选：A ．2．已知(3x 2+1x )n 的展开式中所有项的系数之和为256，则n ＝（ ） A ．3B ．4C ．6D ．8解：由二项式(3x 2+1x)n 的展开式中所有项的系数之和为256， 令x ＝1，可得（3×12+1）n ＝4n ＝256，解得n ＝4． 故选：B ．3．如表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y （单位：千元）与月份代码x 的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为y =b x +0.19，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（ ）A ．2.41千元B ．2.38千元C ．2.35千元D ．2.32千元解：由已知得x =1+2+3+4+55=3，y =0.5+0.7+1+1.2+1.65=1，∵回归方程y =b x +0.19必过样本中心点为（3，1）， ∴1=3b +0.19，解得b =0.27，∴y =0.27x +0.19，∴则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为y =0.27×8+0.19=2.35千元． 故选：C ．4．某班级有50名学生，该班级学生期末考试数学成绩X 服从正态分布N （100，σ2），已知P （X ＞120）＝0.14，则X∈[80，120]的学生人数约为（）A．7B．18C．36D．43解：由题意知数学成绩X服从正态分布N（100，σ2），P（X＞120）＝0.14，故P（X＜80）＝0.14，则P（80≤X≤120）＝1﹣2×0.14＝0.72，故X∈[80，120]的学生人数约为0.72×50＝36．故选：C．5．函数y＝f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）解：f′（2）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f′（3）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2表示直线AB的斜率，由图可知0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）．故选：D．6．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（）A．24B．36C．48D．72解：能够相邻的可以是红木宫灯、檀木宫灯，也可以是楠木纱灯、花梨木纱灯、若红木宫灯、檀木宫灯相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯不相邻，则把红木宫灯、檀木宫灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放楠木纱灯、花梨木纱灯，则有A 22A 22A 32=24种，若红木宫灯、檀木宫灯不相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯相邻，则把楠木纱灯、花梨木纱灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放红木宫灯、檀木宫灯，则有A 22A 22A 32=24种，则共有24+24＝48种． 故选：C ．7．盒中有3个螺口灯泡和5个卡口灯泡，现从盒中不放回地任取灯泡，直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为（ ） A ．156B ．328C ．528D ．314解：由已知条件得前4次取出了2个螺口灯泡，2个卡口灯泡，第5次取出螺口灯泡，则前4个位置排2个螺口灯泡和2个卡口灯泡，第5个位置排螺口灯泡的排列方法有C 32C 52A 44，由古典概型概率公式可知：直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为P =C 32C 52A 44C 85A 55=328，故选：B ．8．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f ′（x ）满足xf ′（x ）﹣2f （x ）＞0，则不等式f （x +2023）﹣（x +2023）2f （﹣1）＜0的解集为（ ） A ．（﹣2024，﹣2023） B ．（﹣2024，0）C ．（﹣∞，﹣2023）D ．（﹣∞，﹣2024）解：由题意知，当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）﹣2f （x ）＞0， 设g(x)=f(x)x 2， 则g ′(x)=x 2f′(x)−2xf(x)x 4=xf′(x)−2f(x)x 3＜0，所以g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，不等式f （x +2023）﹣（x +2023）2f （﹣1）＜0等价于f(x+2023)(x+2023)2＜f(−1)(−1)2，即为g （x +2023）＜g （﹣1），所以{x +2023＞−1x +2023＜0，解得﹣2024＜x ＜﹣2023． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r 1，S 12，R 12，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r 2，S 22，R 22，则（ ）A ．若r 1＞r 2，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强B ．若r 12＞r 22，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强C ．若S 12＞S 22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好D ．若R 12＞R 22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好解：根据题意，依次分析选项：对于A 中，当r 1＝0.1，r 2＝﹣0.9时，满足r 1＞r 2，但|r 1|＜|r 2|，则第二组成对数据的线性相关关系比第一组的强，所以A 错误；对于B 中，若r 12＞r 22，可得|r 1|＞|r 2|，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B 正确； 对于C 中，若S 12＞S 22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C 正确； 对于D 中，若R 12＞R 22，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好，所以D 错误．故选：BC ．10．已知随机变量X 和Y 的分布列如下，X 与Y 的取值互不影响，则（ ）A ．a 的取值范围是[0，1]B ．存在a ，使得P(X =1，Y =0)=14 C ．E （Y ）﹣E （X ）＞1D ．当a =12时，D(Y)=1116解：对于选项A ，由已知得{0≤2−a3≤230≤a 3≤23且{0≤1−a2≤120≤a 2≤12，解得a ∈[0，1]，则选项A 正确；对于选项B ，因为X 与Y 的取值互不影响，所以P(X =1，Y =0)=P(X =1)P(Y =0)=a 3⋅12=a 6=14，解得a =32， 因为32∉[0，1]，则不存在a 值，P(X =1，Y =0)=14，则选项B 错误；对于选项C ，E(Y)−E(X)=(0×12+1×1−a2+2×a2)−(−1×13+0×2−a3+1×a3)=5+a6≤1，则选项C 错误；对于选项D ，当a =12时，E(Y)=0×12+1×14+2×14=34， 则D(Y)=(0−34)2×12+(1−34)2×14+(2−34)2×14=1116，则选项D 正确． 故选：AD ．11．在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为Dd ，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有DD ，Dd ，dd ，其中D 为显性基因，d 为隐性基因，基因型中至少含有1个显性基因D 时呈显性性状．则下列说法正确的是（ ）A ．子二代中基因型为dd 的概率为13B ．子三代中基因型为dd 的概率为14C ．子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为49D ．子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为2764解：对于A ，由题意可知子二代中基因型有DD ，Dd ，dD ，dd ，其中Dd ，dD 为同类基因型， 故子二代中基因型为dd 的概率为14，A 错误；对于B ，由于子二代中基因型有DD ，Dd ，dd ，比例为1：2：1， 故d 出现的概率为12×12+14=12，故子三代中基因型为dd 的概率为12×12=14，B 正确；对于C ，子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为34，故子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为C 32×(34)2×14=2764，C 错误；对于D ，结合B 的分析可知D 出现的概率为12×12+14=12，则子三代中DD 出现的概率为12×12=14，Dd 出现的概率为1−14−14=12，故子三代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为14+12=34，故子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为C 32×(34)2×14=2764，D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）＝ax 2﹣e x 有两个极值点x 1与x 2，且x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞e2B ．0＜x 1e x 2＜1C ．f(x 2)＞−e 2D ．若x 2≥2x 1，则a ≥1ln2解：对于选项A ：已知f （x ）＝ax 2﹣e x ，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）＝2ax ﹣e x ，因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， 即f ′（x ）有两个变号零点， 易知当x ＝0时，不符合题意，则方程2a =e xx （x ≠0）有两个根，不妨设g （x ）=e xx ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 可得g ′（x ）=(x−1)e xx 2，当x ＜1且x ≠0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减； 当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以当x ＝1时，函数g （x ）取得极小值，极小值g （1）＝e ， 易知当x ＜0时，g （x ）＜0，当直线y ＝2a 与函数g （x ）的图象有两个交点时，满足条件， 此时2a ＞e ，解得a ＞e2，故选项A 正确；对于选项B ：因为x 1，x 2为直线y ＝2a 与函数g （x ）图象两个交点的横坐标， 因为函数g （x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，且x 1＜x 2， 所以0＜x 1＜1＜x 2， 又e x 1x 1=e x 2x 2，且e x 1＞1，所以x 1e x 2=x 2e x 1＞1，故选项B 错误； 对于选项C ：令f ′（x 2）＝0，解得2a =e x 2x 2，此时f （x 2）=e x 2x 2•x 22−e x 2=（x 22−1）e x 2，不妨设h （x ）＝（x2−1）e x ，函数定义域为（1，+∞），可得h ′（x ）=(x−1)2e x＞0， 所以函数h （x ）在（1，+∞）上单调递增， 则h （x ）＞h （1）=−e2， 即f （x 2）＞−e2，故选项C 正确； 对于选项D ：因为e x 1x 1=e x 2x 2， 所以当x 2＝2x 1时，e x 1x 1=e 2x 12x 1，即e x 1=e 2x 12，整理得2e x 1=e 2x 1， 解得e x 1=2， 所以x 1＝ln 2， 则g （x 1）＝2a =2ln2， 解得a =1ln2， 当x 2＞2x 1＞x 1＞0时，易知2a ＝g （x 1）＝g （x 2）＞g （2x 1）=e 2x 12x 1，所以e x 1x 1＞e 2x 12x 1，解得e x 1＜2， 所以x 1＜ln 2＜1，此时函数g （x ）在（0，1）上单调递减， 满足2a ＝g （x 1）＞g （ln 2）=2ln2， 解得a ＞1ln2，综上，当x 2≥2x 1时，a ≥1ln2，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13．用5种不同的颜色对如图所示的A ，B ，C 区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有 80 种不同的着色方法．（用数字作答）解：若A 和C 区域着色相同时，有C 51C 41种不同的着色方法； 若A 和C 区域着色不相同时，有C 51C 41C 31种不同的着色方法； 所以三块区域不同的着色方法有C 51C 41+C 51C 41C 31=80种．故答案为：80．14．已知函数f （x ）＝x +cos2x ，x ∈（0，π），则f （x ）的极大值点为 π12．解：因为f （x ）＝x +cos2x ，x ∈（0，π）， 所以f ′（x ）＝1﹣2sin2x ， 令f ′（x ）＝1﹣2sin2x ＝0， ∴sin2x =12， 由于x ∈（0，π）， 故2x ∈（0，2π）， 则2x =π6或2x =5π6， 故x =π12或x =5π12，当0＜x ＜π12以及5π12＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，f （x ）在(0，π12)和(5π12，π)上单调递增， 当π12＜x ＜5π12时，f ′（x ）＜0，f （x ）在(π12，5π12)上单调递减， 故x =π12为f （x ）的极大值点． 故答案为：π12．15．现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选．已知这一堆橙子中大果与小果比例为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05．经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为147152．解：根据题意，记事件A 1表示“放入水果分选机的苹果为大果”，事件A 2表示“放入水果分选机的苹果为小果”，事件B 表示“水果分选机筛选的苹果为‘大果’”， 则P （A 1）=35，P （A 2）=25，P （B |A 1）＝1﹣0.02=4950，P （B |A 2）＝0.05=120， 所以P （B ）＝P （A 1）P （B |A 1）+P （A 2）P （B |A 2）=35×4950+25×120=76125， 所以P （A 1B ）＝P （A 1）P （B |A 1）=35×4950=147250， 所以P （A 1|B ）=P(A 1B)P(B)=14725076125=147152．故答案为：147152．16．已知函数f(x)={x 2+2ex +2，(x ≤0)lnx ，(x ＞0)，若存在实数a ＜b ＜c ，满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则af （a ）+bf （b ）+cf （c ）的最小值为 ﹣e ． 解：作出f （x ）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣2e，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣2e）lnc，由图可知，2﹣e2＜f（c）≤2，∴e2−e2＜c≤e2，设g（x）＝（x﹣2e）lnx，其中x∈（e2−e2，e2]，g′（x）＝lnx+1−2ex，显然g′（x）在x∈（e2−e2，e2]上单调递增，∵g′（e2−e2）＝2﹣e2+1−2ee2−e2＜0，g′（e2）＝3−2e＞0，∴g′（x）在∈（e2−e2，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为x0，在g（x）在（e2−e2，x0）上单调递减，在（x0，e2]上单调递增，且g′(x0)=lnx0+1−2ex0=0，解得x0＝e．则g（x）在（e2−e2，e2]上的最小值为g（x0）＝（x0﹣2e）lnx0＝﹣elne＝﹣e．故答案为：﹣e．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）某公司近5年产品研发年投资额x（单位：百万元）与年销售量y（单位：千件）的数据统计表如下：（1）根据上表数据画出年投资额x与年销售量y的散点图；（2）该公司计划用非线性经验回归方程y=e b x+a作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．参考数据与公式：∑5i=1x i z i=13.4；对于一组数（u1，v1），（u2，v2），…，据（u n，v n），其经验回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为β=∑ni=1u i v i−nu⋅v∑n i=1u i2−nu2，α=v−βu．解：（1）年投资额x与年销售量y的散点图如图：（2）y=e b x+a，则lny=b x+a，记z=lny，则z=b x+a，z=−0.7+0+0.4+1.1+1.75=0.5，x=3，b=1×(−0.7)+2×0+3×0.4+4×1.1+5×1.7−5×3×0.555−5×32=0.59，a=0.5﹣0.59×3＝﹣1.27，∴z=ln y=0.59x﹣1.27，可得y=e0.59x﹣1.27．18．（12分）已知函数f(x)=13x3+ax2−2x−1．（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x＝1是f（x）的极值点，且方程f（x）﹣m＝0有3个不同的实数解，求实数m的取值范围．解：（1）∵f(x)=13x3+ax2−2x−1，∴f′（x）＝x2+2ax﹣2，则f（0）＝﹣1，f′（0）＝﹣2，故函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y+1＝﹣2x，即2x+y+1＝0．（2）f′（x）＝x2+2ax﹣2，由题意f′（1）＝1+2a﹣2＝0，解得：a=1 2，故f（x）=13x3+12x2﹣2x﹣1，f′（x）＝x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值＝f（﹣2）=73，f（x）极小值＝f（1）=−136，若方程f（x）﹣m＝0有3个不同的实数解，则−136＜m＜73，即m的取值范围是（−136，73）．19．（12分）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从（a+b）n的展开式推广到（a+b+c）n的展开式．（1）写出（a+b+c）8的展开式中含a2b3c3的项（记为T（2，3，3）），并求该项的系数；（2）写出（a+b+c）n的展开式的通项公式，并解释其正确性．解：（1）由二项展开式可知(a+b)8=∑8r=0C8r a8−r b r，r=0，1，2，⋯，8，则(a+b+c)8=[c+(a+b)]8=∑8r=0C8r(a+b)r c8−r=∑8r=0C8r∑r k=0C r k a r−k b k c8−r，其中0≤k≤r≤8，且r，k为自然数，故T（2，3）的系数为k＝3，r＝5时C8r C r k的值，即有T(2，33)=C85C53a2b3c3=560a2b3c3，系数为560．（2）（a+b+c）n的展开式的通项公式为T(r−k，k，1r−r)=C8r C r k a r−k b k c n−r，其中0≤k≤r≤n，且r，k为自然数．解释：由二项展开式可知(a+b)n=∑n r=0C n r a n−r b r，r=0，1，2，⋯，n，则(a+b+c)n=[c+(a+b)]n=∑n r=0C n r(a+b)r c n−r=∑n r=0C n∑r k=0C r k a r−k b k c n−r其中0≤k≤r≤n，且r，k为自然数，故（a+b+c）n的展开式的通项公式为T(r−k，k，n−r)=C n r C r k a r−k b k c n−r，其中0≤k ≤r ≤n ，且r ，k 为自然数．20．（12分）某小型工厂生产蓝色和粉色两种颜色的手持便㩗风扇，每日生产量为200台，其中蓝色手持便拱风扇120台，粉色手持便携风扇80台．（1）若从某日生产的手持便携风扇中随机抽检2台，用X 表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X 的分布列及数学期望；（2）若从某日生产的手持便携风扇中随机抽取10台作为样本，用Y 表示样本中蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中蓝色手持便携风扇的比例估计总体中蓝色手持便携风扇的比例，求误差不超过0.1的概率，并说明在相同误差限制下，采用哪种抽取方式估计的结果更可靠． 参考数据：随机变量Y 对应二项分布和超几何分布概率值参考数据（精确到0.00001）．解：（1）对于有放回抽检，每次抽到蓝色手持便携风扇的概率为120200=35，设X 1表示抽检蓝色手持便携风扇的台数， 则X 1～B(2，35)，此时X 1的取值可能为0，1，2，则P(X 1=0)=C 20(1−35)2=425，P(X 1=1)=C 21×35×25=1225， P(X 1=2)=C 22×(35)2=925，故X 1的分布列为： 数学期望为E(X 1)=2×35=65；对于不放回抽检，设X 2表示抽检蓝色手持便携风扇的台数， 设X 2表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，X 2的取值可能为0，1，2， 则P(X 2=0)=C 1200C 802C 2002=158995，P(X 2=1)=C 1201C 801C2002=480995， P(X 2=2)=C 1202C 80C 2002=357995，故X 2的分布列为：数学期望为E(X 2)=0×158995+1×480995+2×357995=65； （2）样本中蓝色手持便携风扇的比例f 10=Y10是一个随机变量， 有放回抽取时，P(|f 10−35|≤0.1)=P(5≤Y ≤7) ＝0.20066+0.25082+0.21499＝0.66647，不放回抽取时，P(|f 10−35|≤0.1)=P(5≤Y ≤7) ＝0.20407+0.25732+0.21769＝0.67908，因为0.66647＜0.67908，故在相同误差限制下，采用不放回抽取方式估计的结果更可靠．21．（12分）某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸（单位：mm ）得到如下统计数据，其中尺寸位于[34，37）的产品为一等品，其它产品为非一等品．（1）为考察生产线（甲、乙）对产品质量（一等品、非﹣等品）的影响，请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？（2）用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用X 表示这4件产品中一等品的数量，求X 的分布列．附：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．②临界值表解：（1）根据题意，可得列联表如下：故K 2=200×(80×25−75×20)2100×100×155×45≈0.7168＜3.841，故根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联； （2）根据题意，由（1）的结论，甲生产线生产生产的零件为一等品的概率为80100=45，乙生产线生产生产的零件为一等品的概率为75100=34，X 可取的值为0、1、2、3、4，则P （X ＝0）＝（1−45）2×（1−34）2=1400，P （X ＝1）=C 21×45×（1−45）×（1−34）2+（1−45）2×C 21×34×（1−34）=14400， P （X ＝3）=C 21×45×（1−45）×342+452×C 21×34×（1−34）=2150，P （X ＝4）＝（45）2×（34）2=72200，则P （X ＝2）＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）﹣P （X ＝4）=73400， 故X 分分布列为：22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx，g(x)=xe x−1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，且对任意x1，x2∈[3，4]（其中x1＜x2）都有f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)＞−1g(x1)g(x2)，求实数a的最小值．解：（1）已知f（x）＝x﹣1﹣alnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−ax=x−ax，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以对任意x1，x2∈[3，4]（x1＜x2），都有f（x1）＜f（x2），已知g(x)=xe x−1，可得g′（x）=1−xe x−1，当x∈[3，4]时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以对任意x1，x2∈[3，4]（x1＜x2），都有g（x1）＞g（x2），易知当x∈[3，4]时，g（x）＞0，因为f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)＞−1g(x1)g(x2)，所以f（x1）﹣f（x2）＞−g(x1)−g(x2) g(x1)g(x2)，整理得f（x2）﹣f（x1）＜1g(x2)−1g(x1)，不妨设h（x）=1g(x)=e x−1x，函数定义域为[3，4]，可得h′（x）=e x−1(x−1)x2＞0，所以函数h（x）在定义域上单调递增，则f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），所以当x1，x2∈[3，4]时，f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）恒成立，不妨设k（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx﹣1−e x−1x，函数定义域为[3，4]，可得k′（x）＝1−ax−e x−1(x−1)x2≤0恒成立，所以a≥x−e x−1+e x−1x在[3，4]恒成立，不妨设m（x）＝x﹣e x﹣1+e x−1x，函数定义域为[3，4]，可得m′（x）＝1﹣e x﹣1+e x−1(x−1)x2=1﹣e x﹣1[（1x−12）2+34]，当3≤x≤4时，e x﹣1[（1x −12）2+34]＞34e2＞1，所以m′（x）＜0，m（x）单调递减，则m（x）≤m（3）＝3−23e2，可得a≥3−23e2，故实数a的最小值为3−23e2．。

(高二下数学期末20份合集)广东省广州市高二下学期数学期末试卷合集

(高二下数学期末20份合集)广东省广州市高二下学期数学期末试卷合集
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广东省2021年高二下学期数学期末试卷(附答案)

广东省2021年高二下学期数学期末试卷(附答案)

广东省高二下学期数学期末试卷本卷共100分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号分别填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内容。

答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡、答题纸的整洁，考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回。

参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<-则图中阴影部分表示的集合为A ．}13|{-<<-x xB ．}03|{<<-x xC ．{x|x ＞0}D ．}1|{-<x x 2． i 是虚数单位，若复数Z=)31(i i +，则复数Z 的虚部是A ．-3 B.3i C ．1 D ．i 3. 已知平面向量()(),3,4,2a b a b λ=-=-⊥，若，则实数λ等于A.32 B. 32- C.6- D.64. 设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ; 那么q p 是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的 方程是A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 A.15 B.25 C.20 D.30 7．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A. 22B. 4C. 3D. 238. 在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =，则AC 的长度为A ． 43B ． 23C ． 3D ． 322222904,11124124.....x y x y m m m m A B C D <<-=-=--若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等10. 定义在R 上的函数)(x f ，如果存在函数b kx x g +=)((k ,b 为常数），使得)()(x g x f ≥ 对一切实数x 都成立，则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数．现有如下命题： ①对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个． ②函数x x g 2)(=为函数xx f 2)(=的一个承托函数． ③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数． 其中正确命题的序号是A ．①③B ．①C ．①②D ．②③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11-13题）11．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为_______．12．阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为______________．13．已知点),(y x P 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1,y y x x y 则目标函数2zx y =-的最大值为_______.FECB A（二）选做题（ 14、15小题，考生只能从中选做一个小题） 14.（几何证明选做题）如图，ABC 中，6BC =， 以BC 为直径的半圆交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =， 则EF = .15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. (本小题满分12分)已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1) 求4f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2) 若4cos 5θ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.17. (本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．频率分布直方图 茎叶图（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．18．(本小题满分14分)如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，⊥1AA 底面ABC ，M 为11B A 的中点． （1）求证：C B 1∥平面1AMC ；（2）若15BB =，且沿侧棱1BB 展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为13，求三棱锥11B AMC -的体积．19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S n N *+=∈，．（1）求1a ； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设()21n n a n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．20.（本小题满分14分）如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3，与椭圆2C ：22221x y a b+=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点。

广东省东莞市2023-2024学年高二下学期7月期末考试-数学含解析

广东省东莞市2023-2024学年高二下学期7月期末考试-数学含解析

2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x=-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)P X P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.133.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.374.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.5217.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.13218.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e ln e zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x>> D.y x z>>二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a<- D.3b a>-11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑15734.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑.16,25≈≈.18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11ex f x x x +>-.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x =-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-【答案】B 【解析】【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可.【详解】由()sin cos f x x x =可得()()()22sin cos sin cos cos sin f x x x x x x x '''=+=-，即()22cos sin f x x x =-'.故选：B2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)PX P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.13【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布对称性得出概率.【详解】因为()()34,1P X P X <=<所以()()()()341,331P X P X P X P X <=<<+≥=,又因为正态分布的对称轴为2，所以()()31P X P X ≥=<,所以()()()14111,1,5P X P X P X <+<=<=所以()()()11132312122510P X P X P X <<=<<=-<=-=.故选：C.3.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.37【答案】B 【解析】【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可.【详解】因为2345645x ++++==，代入10.24 5.2ˆ46y=⨯+=,所以()4652546586536⨯-+++=.故选：B.4.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间(0,1)上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD 不合题意，对A 选项，函数在(0,0)处的切线斜率等于1，且在(0,1)上，切线斜率不断增大，则()1f x '>恒成立，故A 正确.故选：A.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种【答案】D 【解析】【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果.【详解】分两种情况讨论：不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有34C 种选法，四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有2343C A 种选法，故报名的情况有323443C C A 144=种；1人选羽毛球，则14C 种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则24C 种选法，其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则1232C A 种，故报名的情况有12124432C C C A 144=种.所以他们报名的情况总共有144144288+=种.故选：D6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.521【答案】A 【解析】【分析】先明确4X =所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得：()54435443454343524532498769876987698769876p X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+54325555555987663636312612612614⨯⨯⨯=+++++=.故选：A.7.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.1321【答案】D 【解析】【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过320C 2024<和420C 2024>结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解.【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为()32020!C 114020243!!203==-<，从左往右第5个数为()42020!C 484520244!!204==->，所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有214213-⨯=个大于2024，故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为1321.故选：D .8.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e lne zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x >> D.y x z>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算法则将等式变形，根据指数函数值域及对数不等式可得,x z 的范围【详解】由e ln e y x x y =得ln e ex y x y=，由1e ln e z xz x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<，所以0e e z yz y =-<，又e 0z >，所以0z <，利用01y <<得ln 0e ex y x y=>，又e 0x >，所以ln 0x >，即1x >，所以10x y z >>>>，即x y z >>，故选：A二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <【答案】AC 【解析】【分析】根据点B 的特点判断选项C ，D ；由于去掉B ，其它点的线性关系更强，从而可判断A ，B 选项．【详解】因为共8个点且离群点B 的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C 正确，而D 错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以221212r r R R <<，，故B 错误，A 正确.故选：AC ．10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a <-D.3b a>-【答案】ABC 【解析】【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A ，B ；根据函数在1x =处取到极大值，则函数在1x =的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C ，D.【详解】因为()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.函数在1x =处取到极大值1.则()(1)11320f a b c d f a b c =+++=⎧⎨=++='⎩，则A 正确；两式子相减，得到21a b d ---=，即21d a b =++，则B 正确；由前面知道，32c a b =--，则()23232f x ax bx a b =-'+-，由于函数在1x =处取到极大值，则函数1x =的附近单调性为“左增右减”.则()23232f x ax bx a b =-'+-，对于1x +→时，()232320f x ax bx a b =+--<'，即23(1)2(1)0(1)a x b x x +-+-<→，即3(1)20(1)a x b x +++<→，即623(1)20(1)a b a x b x ++<++<→，即620(1)a b x ++<→，则3b a <-.则C 正确，D 错误.故选：ABC.11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =【答案】ACD 【解析】【分析】()()()()P A B P A P B P AB +=+-,求出()P AB ，利用()()()P AB P AB P B +=可判断A ，由()1()P P B AB A =-+可判断B ，由条件概率公式可判断D.【详解】由2()()()()3P A B P A P B P AB +=+-=，因为7()12P A =，则7()112125P A =-=，所以1()4P AB =，因为()()()P AB P AB P B +=，所以()111244P AB =-=，故A 正确；则5()()()()6P A B P A P B P AB +=+-=，所以()61()1A PB P A B =-+=，故B 错误；由于()1(|)(2)P AB P A B P B ==，所以C 正确；由于()()()P AB P AB P A +=，则()()711()1243P AB P A P AB =-=-=，所以(4(|)()7P AB P B A P A ==，故D 正确；故选：ACD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n rr r n T ab -+=即可得到结果.【详解】依题意，521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551()(r r r r r r r T C ax C a x x---+==，当1034r -=时，2r =，此时5235580r rC a C a -==，所以2a =.故答案为：2.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++即可得解.【详解】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则1A 、2A 、3A 相互互斥，所以由全概率公式得：()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++()5132211104104104242x x x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=≥++++，3x ⇒≥，故整数x 的最小值为3.故答案为：3.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.【答案】2ln 2-【解析】【分析】设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,ex x -，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到m 的值.【详解】e 2x y =-和1e x y -=分布求导，得到e x y '=和1e x y -'=.设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,e x x -，则切线方程分别为，()()111e 2exx y x x --=-，()22112e e x x y x x ---=-，化简得，1111e e e 2xxxy x x -+=-，2221112ee e x x x y x x ---+-=.依题意上述两直线与y kx m =+是同一条直线，所以，12112211112e e e e 2e e x x x x x x x x ---⎧=⎨-+-=-+⎩，解得1ln2x =，所以11ln 21n21e e 2ln 2e e 22ln 2xxm x =-+-=-+-=-故答案为：2ln 2-.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数几何意义以及切线方程即可求解.（2）先由（1）得()f x 解析式，再由解析式结构特征结合导数工具分1x >和01x <≤两段研究()f x 的值的情况即可得证.【小问1详解】由题()()22sin cos sin cos sin x ax x a x x x xf x ax ax ax '--⎛⎫=== ⎪⎝⎭'，所以由导数几何意义以及切线方程得()2πcos πsin π11ππππf a a -==-=-'，1a ⇒=.【小问2详解】由（1）()sin xf x x=，因为[]sin 1,1x ∈-，故当1x >时()1f x <恒成立；令()sin ,01g x x x x =-≤≤，则()1cos 0g x x ='-≥在[]0,1上恒成立，且当且仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在[]0,1上单调递增，所以()()00sin 00g x g ≥=-=，所以当(]0,1x ∈时sin 0x x ->即sin x x <恒成立，所以当(]0,1x ∈时，()sin 1x xf x x x=<=，综上得：若0x >，()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；（2）1225.【解析】【分析】（1）根据题意补全22⨯列联表，计算2χ的值，作出判断；（2）由条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题可得50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；22⨯列联表如下：性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男45550女401050合计8515100所以22100(4510540)1001.9615050851551χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为1.961 3.841<，根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼.【小问2详解】设A 事件为其中一份是“没有时间”，B 事件为另一份是“没有运动伙伴”，2114411215C C C 64410()C 10521P A ++===，1146215C C 248()C 10535P AB ===，所以()()12(|)25P AB P B A P A ==17.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑1573 4.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑.16,25≈≈.【答案】（1）ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系（2）（i ）10ln 5ˆy x =+；（ii ）20【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i ）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii ）求出()r x 的解析式，结合导数研究()r x 的单调性，即可求解.【小问1详解】设ˆˆˆy bx a =+模型的相关系数为1r ，设ˆˆˆln y d x c =+模型的相关系数为2r ，所以()()10.975niix x y y r --=∑，()()20.994nii y y r μμ--==≈∑，由于120r r <<，所以ˆˆˆln y d x c =+模型拟合更好，即ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系【小问2详解】（i ）由(1)知y 关于x 的经验回归方程为ˆˆˆln y d x c =+，由题可得：()()()12115.99.9375101.ˆ6niii ni i y y dμμμμ==--===≈-∑∑，73 4.8ˆˆ10555cy d =-μ=-⨯=，所以10ln 5ˆyx =+（ii ）由题可得()1110ln 5310ln 222r x x x x x =+--=-+()1x ≥，所以()1012022x r x x x -'=-=，令()2002xr x x-'==解得：20x =当120x ≤<时，()0r x '>，当20x >时，()0r x '<则()r x 的单调增区间为()1,20，单调减区间为(20,)+∞，所以当20x =时，日利润()r x 最大18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11e xf x x x +>-.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意得()g x ，求导得()222(1)1(1)x a x g x x x +'-+=+，对a 分类谈论，判断函数单调性即可.（2）由（1）得，ln 2()11x x x <-+，因为(0,1)x ∈，整理得ln 211x x x >-+，只需证211ex x x +>-即可，即证()2()2e 10x h x x =-+>，对()h x 求导分析单调性，求出最小值即可证明.【小问1详解】由题可得()()1ln ,01a x g x x x x -=->+，则()()2222212122(1)1(1)(1)(1)x ax ax a x g x x x x x x x +-+-+=-==++'+，①当24(1)40a ∆=--≤，即02a ≤≤时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当24(1)40a ∆=-->，即a<0或2a >时，（i ）当a<0时，()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-=>恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当2a >时，由()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-==得11x a =-，21x a =-+断得120x x <<，当()0g x '>时，10x x <<或2x x >，当()0g x '<时，12x x x <<，()g x ∴在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.综上所述，当2a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，()g x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.（其中11x a =-，21x a =-）.【小问2详解】由（1）得，当2a =，()1ln 2(1x g x x x -=-+在(0,1)上单调递增，()(1)0g x g ∴<=，∴ln 2()11x x x <-+，(0,1)x ∈ ，ln 211x x x ∴>-+，下面证211e x x x +>+，(0,1)x ∈，即证()2()2e 10x h x x =-+>在(0,1)x ∈上恒成立，()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，令()x ϕ=()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，()x ϕ'=2e 20x ->在(0,1)x ∈恒成立，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，()(0)220h x h ''∴>=-=恒成立，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)2110h x h ∴>=-=>恒成立，()22e 10x x -+>，即211ex x x +>-，(0,1)x ∈，ln 11e x x x x +∴>-，即()11ex f x x x +>-.【点睛】导数含参二次型讨论单调性的参数分类方法：求导后能通分则通分，通分后对分子因式分解，若不能因式分解，则讨论开口方向或是否为二次函数，接下来分为：①0∆≤时，()0f x '≥，则()f x 单调递增；②0∆>时，()0f x '=时，()f x 有两个根，然后需判断两根是否在定义域内.结合以上情况可以确定参数分类.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.【答案】（1）5n =（2）{}92028,1821P X Y ===-（3）答案见解析【解析】【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B 的个数为21n -个.运用对立事件概率求法，221(3)1(1)(2)21n n P X P X P X --≥=-=-==-，解出即可.（2）当非空集合B 中的最小元素和最大元素分别为8,18时，分析出集合B 可能情况有92个，若20n =，非空集合B 的个数为2021-.古典概型相除求出概率即可.（3）与上面方法一样，求出当最小值X i =的概率()()21,2,,21n in P X i i n -===- .求出当最大值Y j =的概率()()121,2,,21j n P Y j j n -===- .则{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑.运用求和规则，慢慢将式子展开，变形，得出结论即可.【小问1详解】非空集合B 的个数为1231C C C C 2n n n n n n ++++=- 个.所以1222221(3)1(1)(2)1212121n n n n n n P X P X P X ----≥=-=-==--=---因为2217(3)2131n n P X --≥==-，解得228n -=，则5n =.【小问2详解】当非空集合B 中最小元素和最大元素分别为8,18时，集合B 中元素一定有元素8,18，一定没有元素1,2,3,4.5,6,7,19,20,可有可无元素有9,10,11,12,13,14,15,16,17,则集合B 可能情况有92个.若20n =，非空集合B 的个数为2021-.所以{}92028,1821P X Y ===-.【小问3详解】非空集合B 的个数为21n -个，最小值X i =的集合B 的个数为2(1,2,,)n i i n -= 个，则()()21,2,,21n in P X i i n -===- .最大值Y j =的集合B 的个数为12(1,2,,)j j n -= 个，则()()121,2,,21j n P Y j j n -===- ，{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑{}{}1111,,n n n n i j i j iP X i Y j jP X i Y j =======+==∑∑∑∑{}{}1111,,n n n ni j i j i P X i Y j P X i Y j j =======+==∑∑∑∑11{}{}n ni j iP X i jP Y j ====+=∑∑()()E X E Y =+111222121n i j nn n n i j i j --===+--∑∑1122(1)2121n k n knn n n k k k n k --===+-+--∑∑11221n n k n k n -=+=-∑11212112nn n n ⎛⎫+-==+ ⎪--⎝⎭所以()11222X Yn E E X Y ++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】知识方法点拨：新问题的求解策略：1、遇到新问题，应耐心读题，分析新问题的特点，弄清新问题的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.2、若新问题与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.3、若新定义与集合的运算有关，首先分析题意，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.。

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若A32n=10A3n，则n=( )A. 7B. 8C. 9D. 102.设某商场今年上半年月销售额y(万元)关于月份x(x=1,2,…,6)的经验回归方程为y=1.2x+a，已知上半年的总销售额为120万元，则该商场12月份销售额预计为( )A. 24B. 27.8C. 30.2D. 323.已知函数f(x)=ln x−ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围为( )A. a≥1B. a>1C. a≥13D. a>134.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，则P(2≤X<4)=( )A. 12B. 35C. 710D. 9105.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<2)等于( )A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.16.将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有( )A. 90种B. 150种C. 180种D. 250种7.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−2f(x)<0,f(0)=1，则( )A. e2f(−1)<1B. f(1)>e2C. f(2)>e4D. f(2)<e2f(1)8.在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：C11+C12+ C13+⋯+C1n=C2n+1，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )A. 2C 32023−2B. 2C 32024−2C. C 42024−2D. C 42023−2二、多选题：本题共3小题，共15分。

广东省广州三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期末考试

广东省广州三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期末考试

广东省广州三校（广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学）2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，且1492324a a a ++=，则11S =（ ） A ．33B ．44C ．66D ．882．已知随机变量X 的分布列为()1,1,2,3,2kP X k k ===L ，则()16P X <≤=（ ） A ．1732B ．1532C ．3364D ．31643．若()2ln f x a x bx x =++在1x =和2x =处有极值，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦4．某学校校医研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为()8,25．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用,m n 代替，已知1824m ≤≤，2634n ≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．在,m n 确定的条件下，去掉样本点()8,25，则样本的相关系数r 增大B ．在,m n 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6yx a =+，则ˆ4a = C ．在,m n 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6y x a =+，则当12x =时，残差为0.4D ．事件“20m =，28n =”发生的概率为155．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C 右支上的一点，0PF OP PF OF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，u u u r FO 在FP u u u r 上的投影向量的模为45OF u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在x 的展开式中含3x 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第3项7．对于函数()f x ，当0x >时，()()f x f x '>.锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos cos cos b C c B a C c A +>+，设1a x b=，2sin sin A x B =，3A x B =，则（ ）A ．()()()312123e e e x x x f x f x f x >> B ．()()()312123e e e x x x f x f x f x << C ．()()()312123e e e x x x f x f x f x => D ．()()()312123e e e x x x f x f x f x =< 8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A ．209277B ．210277C ．211277D ．212277二、多选题9．已知随机变量()2,X B p :，且()23E X =，则下列说法正确的是（ ） A ．13p =B ．()89D X =C ．157229P X ⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭D ．()7213E X +=10．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（ ）A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C ．表演成功的环节个数的期望为3D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3411．函数ln ()ln x axf x b x x x=+++（a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A ．当0a =，不等式()0f x ≤恒成立，则b 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当0a =，函数()f x 有两个零点，则b 的取值范围是1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当1a =，函数()f x 有三个不同的零点，则b 的取值范围是211,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．当1a =，函数()f x 有三个零点123,,x x x 且123x x x <<，则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1．三、填空题12．在等比数列{}n a 中，123453116a a a a a ++++=，314a =，则1234511111a a a a a ++++=．13．某校数学建模社团对校外一座山的高度h (单位：m )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h =；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占()2,N ξμσ:，则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.14．若12()e ln x x x x f x x x --=+-，设()f x 的零点分别为12,,,n x x x L ，则[]1ni i x ==∑.（其中[]a 表示a 的整数部分，例如：[2.1]2,[π]3==）四、解答题15．记()()23*2,n n S x x x x x x n =++++-∈∈R N L .(1)当2x =时，()2n S 为数列{}n a 的前n 项和，求{}n a 的通项公式；(2)记()2024S x '是()2024S x 的导函数，求()20242S '. 16．已知函数()2e xf x =，()()()21g x m x m =+∈R ，()()()h x f x g x =-.(1)当1m =时，求函数()h x 的最小值；(2)若直线()y g x =是曲线()y f x =的切线，求证：对任意的a b >，都有()()22e 2a h a h b a b-<--.17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．(1)求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；(2)已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B的夹角的余弦值为1DE EC 的值．18．四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。

2023-2024学年广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷1.以下八个数据：的第80百分位数是（）A ．68B ．70C ．71D ．70.52.甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（）A ．B ．C ．D ．3.已知随机变量的分布列如下：236则的值为（）A ．20B ．18C ．8D ．64.某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（）（若，则）A ．1359B ．2718C ．3414D ．47735.的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（）A ．160B ．20C ．D ．6.曲线在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．7.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．五位二进制数与出现的概率相同8.若，且，则（）A ．B ．C．D．9.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（）A．函数在上只有一个极小值点B．函数在上有两个极大值点C．函数在上可能没有零点D．函数在上一定不存在最小值10.变量的一组样本数据如下表所示：681012632通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为，则（）A．变量之间呈负相关关系B．变量之间的相关系数C．D．样本点的残差为11.校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）A．A与相互独立B．与互斥C．D．12.某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______．13.一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有______种不同的去法．（用数字作答）14.近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______．（参考公式：决定系数，参考数据：）；15.已知函数（）(1)求的单调区间；(2)当有3个零点时，求的取值范围．16.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．(1)求直方图中的值；(2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；(3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望．17.某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．(1)完成如下列联表：单位：人性别满意合计是否男女合计根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？(2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）附：．0.050.0250.0053.841 5.0247.879 18.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：．19.现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．(1)将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；(2)将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．。

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高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列求导运算正确的是( )A.()sin 'cos x x =-B.()cos 'sin x x =C.'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()'122x x x -=⋅2.已知a 是实数，()()1a i i ++是纯实数，则a 等于（ ）A.2B.1C.1-D.2- 3.已知向量(3,1,2),(,,4)x y =-=-a b ，且//a b ，则x y +=（ ）A.8B.4C.4-D.8-4.已知椭圆2221(0)9x y a a +=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）5.设集合{}{}13,(3)0M x x N x x x =-<<=-<，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，则瞬时速度为1m/s 的时刻是（ ）A.55s 98B.65s 98C.55s 49D.65s 497.下列选项中，说法正确的是( )A.命题“若21x =,则1x =”的否命题．．．为:“若21x =,则1x ≠”. B.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题．．．是真命题. C.命题“210x R x x ∀∈-+≥,”的否定．．是:“200010x R x x ∃∈-+≤,”. D.命题“若x y =,则cos cos x y =”的逆否命题．．．．为真命题. 8.抛物线22y x =的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且||2MF =，则双曲线的离心率为（ ）2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.定积分320x dx ⎰= .10.在二项式61(2)x x-的展开式中,含2x 项的系数是 .11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种.（用数字作答） 12.已知随机变量X 的分布列是X 0 1 2Pt 0.4t则DX = .13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽 4米，水位上升1米后，水面宽 米.14.若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d .类似地，若正项等比数列{}n b 的公差为q ，前n 项和为n T .则数列 {}nnT 为等比数列，公差为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列， （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若a 、b 、c 成等比数列, 求证:ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图像过点(1,(1))P f ，且在点P 处的切线方 程为86y x =-. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.第13题17.（本小题满分14分）已知A 盒中有2个红球和2个黑球.B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中.（Ⅰ）求A 盒中有2个红球的概率；（Ⅱ）求A 盒中红球数ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分14分）如图，在等腰直角三角形RBC 中，90RBC ∠=， 2RB BC ==.点A 、D 分别是PB ，RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA AB ⊥，连结PB ，PC . （Ⅰ）求证:BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角A CD P --的平面角的余弦值.第18题19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线l 的方程为1y =-，过点()0,1A 且与直线l 相切的动圆的圆心为点M ，记点M 得轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程;（Ⅱ）若直线1y kx =+与曲线E 相交于B ，C 两点，过B 点作直线l 的垂线，垂足为D ，O 为坐标原点，判断D ，O ，C 三点是否共线？并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln 1f x x x =+（Ⅰ）若0x >时，函数()y f x =的图像恒在直线y kx =上方，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明：当时n *∈N ，1111ln(1)2341n n +>+++++.参考答案高二数学（理科）说明：1． 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与 参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.9 10. 240 11. 60 12.0.6 13.三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由A B C 、、成等差数列，有2=B A C +， ………2分 因为A B C 、、为ABC ∆的内角，所以A B C π++=， ………3分∴B =分（Ⅱ）由a b c 、、成等比数列，2b ac =， ………6分由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， ………8分 代入得22a c ac ac +-=，即()2=0a c -，因此=a c ， ………10分从而=A C ， 由此可得，3A B C π===， ………11分所以ABC ∆为等边三角形. ………12分16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵点P 在切线上，∴2)1(=f .∴1=+b a . ………1分 又函数图象在点P 处的切线斜率为8，∴ 8)1('=f ， ………2分 又b ax x x f ++=23)('2， ………3分 ∴52=+b a . ………4分 解方程组，可得3,4-==b a ． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得383)('2-+=x x x f ， 令'()0f x =解得133x x =-=或 …………8分 由0)('>x f ，可得313>-<x x 或； ………9分 由0)('<x f ，可得313<<-x . …………10分 ∴函数)(x f 的单调增区间为),31(),3,(+∞--∞，单调减区间为)31,3(-.………12分17．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A 盒中还有2个红球有下面两种情况：①互换的是红球，将该事件记为1A ，则：()11221114515C C P A C C ==； ………3分 ②互换的是黑球，将该事件记为2A ，则：()112321145310C C P A C C ==； ………6分 故A 盒中有2个红球的概率为()()121315102P P A P A =+=+=； ………8分（Ⅱ） A 盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3. ………9分而()112311453110C C P C C ξ===；()122P ξ==； ()11221145135C C P C C ξ===；………12分 因而ξ的分布列为：RFRADBCP………13分∴31119123102510E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………14分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵点A D 、分别是RB 、RC 的中点， ∴//,AD BC ………1分∵AD PA ⊥，∴ BC PA ⊥, ------2分 ∵A AB PA AB BC =⊥ ,, ---------3分 ∴BC ⊥平面PAB . --------4分 ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. -------5分（Ⅱ）法1：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ． -------6分 ∵1==AD RA , ∴RC AF ⊥. -------7分 ∵,APAB AP AD , ∴⊥AP 平面RBC . -------8分∵⊂RC 平面RBC , ∴AP RC ⊥. -------9分 ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF . -------10分 ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥. -------11分 ∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. --------12分 在Rt△RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt△PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ----------13分 ∴ 二面角P CD A --的平面角,332622cos ===∠PF AF AFP . -----14分 法2：由题意知,,APAB AP AD AB AD ，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． ------6分则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）. ------7分∴DC =（－1，1，0），DP =（1，0，1）,-----8分设平面PCD 的法向量为,,nx y z ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0z x DP n y x DC n， ---------9分令1=x ，得1,1-==z y ， ----------10分 ∴n=（1，1，－1）. -----------11分显然，PA 是平面ACD 的一个法向量，PA =（,0,01-）． ----------12分∴cos<n，PA33131=⨯=PA． ---------13分∴二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. --------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解法1：由题意, 点M 到点A 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点A 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………2分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………4分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………2分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………4分 （Ⅱ）答：,,D O C 三点共线. ……………5分 证明: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， ……………6分依题意得，2211224,4x y x y ==. ……………7分由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， ……………9分解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………11分∴直线OC 的斜率22222244OCx y xk x x ===， ……………12分 直线OD 的斜率2114OD x k x -==， ……………13分 ∴OC OD k k =，故,,D O C 三点共线. … ………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当()0,x ∈+∞时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方，等价于当()0,x ∈+∞时，ln 1x x kx +>恒成立， ………1分即ln 11ln x x k x x x+<=+恒成立， ………2分 令()1ln g x x x =+，()0,x ∈+∞，则()22111'x g x x x x-=-= ………3分 当()+∞∈,1x 时，()'0g x >，故()1ln g x x x=+在()1,+∞上递增， 当()0,1x ∈时，()'0g x <，故()1ln g x x x=+在()0,1上递减，………4分 ∴()1g为()1ln g x x x=+在区间()0,+∞上的极小值，仅有一个极值点故为最小值， ∴()0,x ∈+∞时，()()11g x g ≥= ………5分所以实数k 的取值范围是(),1-∞ ………6分（Ⅱ）证明1(构造函数法)：由（1）知当0x >，1x ≠时，x x x >+1ln ,即1ln 1x x………8分 令n n x 1+=，则111ln +->+n nn n ， ………10分即得11ln )1ln(+>-+n n n ………11分 ∴11ln )1ln(312ln 3ln ,211ln 2ln +>-+>->-n n n ，， ………12分 1ln 1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln()1ln(+-++--+-+=+∴）（）（）（ n n n n n11112n n ……………13分 即11413121)1ln(+++++>+n n …………………14分证明2（数学归纳法）： ①当1n =时，由2ln 2ln 41，知1ln 22成立； ………7分 ②假设当n k =时命题成立，即1111ln(1)2341k k 那么，当1n k =+时，1111123412kk1ln(1)2kk………8分下面利用分析法证明：1ln(1)ln(2)2k k k ………9分 要证上式成立，只需证：1ln(2)ln(1)2kkk只需证：121ln21k k k k ………10分令21k xk ，只需证：11ln x x，(1)x ………11分只需证：ln 1xx x ，(1)x由（1）知当1x >时，x x x >+1ln 恒成立. ………12分 所以，当1n k =+时，1111123412k k ln(2)k 也成立，……13分由①②可知，原不等式成立. ………14分高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{|A x y ==，集合3{|log ,},B y y x x A ==∈则()U A C B =（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3 C. (2,9] D ．(3,9] 2．设i 为虚数单位，若复数12aii+-为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 12-B. 2-C. 12D. 2 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．92 B ．5 C ．112D. 6 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知首项1a =13，且对任意正整数,m n 都有m n m n a a a +=⋅，若n S k <恒成立，则实数k 的最小值为（ ）A.13 B. 12 C. 32D. 3 5．已知ABC ∆为锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为（sin cos ,cos sin A B A C --），则()f θ=sin()cos()22|cos ||sin |ππθθθθ+++的值为 （ ）A ．2-B ．0C ．2D ．与θ的大小有关6． 给出下列四个命题：①已知函数()22,xxf x -=+则(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称；②平面内的动点P 到点(2,3)F -和到直线:210l x y ++=的距离相等，则点P 的轨迹是抛物线； ③若向量,a b 满足0,a b ⋅<则a 与b 的夹角为钝角；○4存在0(1,2),x ∈使得02000(32)340x x x e x -++-=成立，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知点P 是曲线22:14x C y -=上的任意一点，直线:2l x =与双曲线C 的渐近线交于,A B 两点， 若,(,,OP OA OB R λμλμ=+∈O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）俯视图左视图A ．2212λμ+≥B ．222λμ+≥C ．2212λμ+≤ D ．222λμ+≤ 8. 若平面直角坐标系中两点P 与Q 满足：○1P 、Q 分别在函数(),()f x g x 的图像上；○2P 与Q 关于点（1,1）对称，则称点对（,P Q ）是一个“相望点对”（规定：（,P Q ）与（,Q P ）是同一个“相望点对”），函数21x y x -=-与2sin 1(24)y x x π=+-≤≤的图像中“相望点对”的个数是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．29. 已知函数2349923499()1,()12349923499x x x x x x x x f x x g x x =-+-+--=+-+-++， 设()F x =(1)(1)f x g x -⋅+且函数()F x 的零点在区间[,1]a a +或[,1](,,)b b a b a b Z +<∈内，则a b +的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4 10.在函数cos ([,])22y x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的图形中，直线:(,)22l x t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦从点A 向右平行移动至B ，l 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的函数()S f t =的图像可表示为（ ）x2πAx t=B y2π-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．“求方程512()()11313x x +=的解”有如下解题思路：设512()()()1313x x f x =+，因为()f x 在R 上单调递减，且(2)1,f =所以原方程有唯一解为 2.x =类比上述解题思路，不等式632(23)32x x x x -+<+-的解集为 .12．随机输入整数[1,12],x ∈执行如右图所示的程序框图， 则输出的x 不小于39的概率为 .13．已知点P 是面积为1的ABC ∆内一点（不含边界），若,PAB ∆,PBC ∆PCA ∆的面积分别为,,,x y z 则1y z x y z+++的最小值为 . 14. 若数列{}n a 满足：1234212n n a a a a a a -<><>><>，则称数列{}n a 为“正弦数列”，现将1,2,3,4,5这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为a ，则二项式6的展开式中含2x 项的系数为 ．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分.15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相等的长度单位建立极坐标系，若直线:cos()4l πρθ+=14cos :4sin 3x C y αα=⎧⎨=-⎩(α为参数)相交于,A B两点，则线段AB 长度为_________.（2）（不等式选做题）若存在实数x ，使不等式2|23||21|3x x a a +--<-成立,则实数a 的取值范围为_________. 四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222()CA CB c a b ⋅=-+．（1）求角C 的大小； （2）求24sin()23A B π--的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17.（本小题满分12分）某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望.18.（本小题满分12分）如图所示，在边长为3的等边ABC ∆中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且满足1,2AD CE DB EA ==现将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结11,A B A C . （1）求证：1A D BCED ⊥平面；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？ 若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 具有性质：○11a 为整数；○2对于任意的正整数,n 当n a 为偶数时，1;2nn a a +=当n a 为奇数时，112n n a a +-=． （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）若1a 为正整数，求证：当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a =．20.（本小题满分13分）定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，O 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的“准圆”.已知椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为3，直线:250l x y -+=与椭圆C 的“准圆”相切.DBCEA 1B(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作斜率存在且不为0的两条不同的直线12,l l ， 使得1l ，2l 与椭圆都相切，试判断1l 与2l 是否垂直？并说明理由.21.（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =，()()ag x a R x=∈，设()()()()()(),F x f x g x G x f x g x =+=⋅ （1） 求函数()F x 的单调区间；（2） 若以函数()()(0,2)y F x x =∈图像上任一点()00,P x y 为切点的切线斜率为12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3） 当1a =时，对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x <，已知存在()012,x x x ∈使得()()()21/021G x G x G x x x -=-，求证：012x x x <参考答案1-5 CDBBC 6-10 CACBD32sin 3A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ （9分）20,3333A A ππππ<<∴<+<当32A ππ+=即6A π=时，2423cossin()23A B π--的最大值为23+，此时6B π= 2423cos sin()23A B π∴--的最大值为23+，取得最大值时，6A B π== （12分） 17、解：（1）14442421243C P A ⨯⨯=== （4分）X ∴的分布列为 X20-5-1020P381314124（10分）()()3111352051020834246EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=- （12分）18、解：（1）等边三角形ABC 的边长为3，且AD 1=DB 2CE EA =，1,2AD AE ∴== 在ADE ∆中，60DAE ︒∠=，由余弦定理得3DE =222AD DE AE ∴+=AD DE ∴⊥，折叠后有1A D DE ⊥ （3分）二面角1A DE B --为直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊆平面1A DE ，1A D DE ⊥1A D ∴⊥平面BCED （5分）（2）假设在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒由（1）证明，可知DE DB ⊥，1A D BCED ⊥平面，以D 为坐标原 点，以射线1,,DB DE DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图过点P 作PH BD ⊥，垂足为H ，连接1,A H PH 设()2023PB a a =≤≤，则,3,2BH a PH a DH a ===-()()()10,0,1,23,0,3,0A P a a E ∴- （7分） ()12,3,1PA a a ∴=--1ED A BD ⊥平面，1A BD 平面的一个法向量为()0,3,0DE = （9分） 1PA 与1A BD 平面所成的角为60︒PBEDA 1yzH12133sin 6024453PA DE a PA DEa a ︒⋅∴===-+⨯，解得54a = （11分） 522PB a ∴==，满足023a ≤≤，符合题意 ∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =（12分） 19、解：（1）设122,a k a k ==，123,,a a a 成等差数列，3322,0k a k a ∴+=∴= （2分）○1当k 为偶数时，230,0,22a ka k ===∴=此时10a = （4分） ○1当k 为奇数时，23110,1,22a k a k --===∴=此时12a = 综合上述，可得1a 的值为2或0 （6分） （2）211log n a >+，211log n a ∴->，112n a -∴< （7分）又由定义可知，1212n nn n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数12n n a a +∴≤， 112n n a a +∴≤ （9分）1121111121112122n n n n n n n n a a a a a a a a a ------∴=⋅⋅≤<⋅= ,0n n a N a ∈∴=综上可知，当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a = （12分）（2）由（1）知椭圆C 的“准圆”方程为225x y +=设点()00,P x y ，则22005x y += （7分）设经过点()00,P x y 与椭圆C 相切的直线为()00y k x x y =-+联立()0022132y k x x y x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()2220000236360k x k kx y x kx y +--+--= 由0∆=，化简得()()22200003230x k x y k x ----= （10分）x设直线12,l l 的斜率分别为12,k k . 直线1l ，2l 与椭圆C 相切12,k k ∴满足方程()()22200003230x k x y k x ----=121k k ∴⋅=-，故直线1l 与2l 垂直 (13分)21、解：（1）由题意可知()()()()ln 0aF x f x g x x x x=+=+> ()'221a x aF x x x x-∴=-= （1分） ○1当0a ≤时，()'0F x >在()0,+∞上恒成立 ()F x ∴的增区间为()0,+∞ ○2当0a >时，令()'0F x >得x a >；令()'0F x <得0x a << ()F x ∴的增区间为(),,a +∞减区间为()0,a 综合上述可得：当0a ≤，增区间为()0,+∞；当0a >时，增区间为(),,a +∞减区间为()0,a （4分）()'0h x ∴< ()h x ∴在()0,2上是减函数，即()'G x 在()0,2上是减函数要证012x x x ()''012G x G x x >，即证()(''0120G x G x x ->对任意()12,0,2x x ∈，存在()012,x x x ∈使得()()()21'21G x G x G x x x -=-()2112''210122112ln ln 1ln x x x x x x G x G x x x x --∴-=-()()()22221221111112212121111ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1202x x <<< 21210,1x x x x ∴⋅>> 2110x x ∴->∴只需要证22211111ln 102x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即要证：21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+高二下学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R ，集合},12|{},0|{2Z n n x x N x x x M ∈+===-=，则集合N C M U ⋂为（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．φ2．23sin =α是3πα=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的值域是（ ）A.｛－1，1｝B.｛－1,1，3｝C. ｛1,3｝D.｛－1，3｝4. 已知5sin 7a π=，213=b ，)21(log 3=c ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>5．函数()(01)xx f x a a x=⋅<<的大致图像形状是( )6.若0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则0x 属于区间（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．下列叙述正确的是（ ）A ．3tan y x =的定义域是RB ．log (1),(1)a y x a =->恒过定点（1,0）C ．1y x=-的递增区间为()(),00,-∞+∞D ．2222x xx xy ---=+在定义域上为奇函数9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程+=a x b y 中的b 为9．4，据型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元10．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ． ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .上面命题正确个数有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．311．已知x=1是函数()ln 1g x a x x =--的唯一零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．[)+∞,0 B ． [){}1,0-⋃+∞ C ．[]0,1- D ．(]1,-∞-12.下列说法：①“32,>∈∃xR x ”的否定是“32,≤∈∀xR x ”；②命题“函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πϖx y 的最小正周期是π，则2=ϖ”是真命题；③命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00/=x f ”的否命题是假命题；④()x f 是()()+∞⋃∞-,00,上的偶函数，0>x 时()x f 的解析式是()3x x f =，则0<x 时()x f 的解析式是()3x x f -=．其中正确的说法是（ ）A ．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，只要求在答卷．．中直接填写结果．） 13．复数ii-12的实部 ． 14．计算：7log 203log 27lg25lg47(9.8)+++-＝ ．15．若函数()x f 满足：对于任意0,021>>x x 都有()()0,021>>x f x f ，且()()()2121x x f x f x f +<+成立，则称函数()x f 为“守法函数”．给出下列四个函数：①y x =()1log 2+=x y ；③12-=x y ；④cos y x =；其中“守法函数”的所有函数的序号是 ．16．已知()00,y x P 是抛物线px y 22=()0>p 上的一点，过P 点的切线斜率可通过如下方式求得：在px y 22=两边同时对x 求导，得p yy 22/=，则ypy =/，所以过P 的切线 的斜率为0y p k =．类比上述方法，求出双曲线1222=-y x 在P ()2,2处的切线方程为 ．三、解答题（6小题，共74分．在答卷．．中应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）求值：︒⋅︒+︒-⋅︒+︒⋅︒1050tan 120tan )870cos(930cos 150sin 690sin ； （Ⅱ）已知角α的终边上有一点()2,1P ,求ααααcos 3sin 5cos 2sin 4+-的值.18、（本小题满分12分）已知命题():,2000110p x R x a x ∃∈+-+<使得,命题q ：2y x ax =-在区间[),1+∞没有极值，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）右图为())sin(ϕω+=x A x f （()0,,0,0πϕϖ-∈>>A ）的图象的一段，（Ⅰ）求其解析式．(Ⅱ)将()x f 图象上所有的点纵坐标不变，横坐标放大到原来的2倍，然后再将新的图象向左平移2π个单位， 得到函数()x g 的图象，求函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域. 20．（本小题满分12分）牧场中羊群的最大养殖量为m ，为了保证羊群的生长空间,实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量x m -．已知羊群的年增长量y 与“实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积”成正比，比例系数为)0(>k k ．（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； （Ⅱ）求羊群年增长量的最大值；（Ⅲ）当羊群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．21．（本小题满分12分）设()x f 是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2， 当10≤≤x 时，()x x f =．（Ⅰ）求()πf 的值；（Ⅱ）作出当44≤≤-x 时函数()x f 的图象，并求它与x 轴所围成图形的面积； （Ⅲ）直接写出函数()x f 在R 上的单调区间．22．（本小题满分14分）设函数()()R x a x x x f ∈--=,2，其中R a ∈．（Ⅰ）当0≠a 时，求函数()x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）当3>a 时，是否存在实数[]0,1-∈k ，使不等式()()x k f x k f 22cos cos -≥-对任意的R x ∈恒成立,若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由．即72.62k ππϕπ+=+∴22.3k πϕπ=-+ 取2.3πϕ=-∴所求解析式为 23)3y x π=-┄┄6分 （Ⅱ）将()x f y =图象上所有的点纵坐标不变，横坐标放大到原来的2倍，得到)32sin(3π-=x y ，再将新的图象向左平移2π个单位得到)6sin(3π-=x y 所以)6sin(3)(π-=x x g ┄┄┄┄┄8分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-3,66πππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-23,21)6sin(πx ，所以函数()x g y =的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23┄┄┄┄12分 20．解：（Ⅰ）()0m x ky kx x m x x m m m-==-<≤，()m x ,0∈ ┄┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）2()()024k k m kmy x m x x x m m m =-=--+<≤，()m x ,0∈┄┄┄┄┄┄┄6分 因为函数2()()024k k m km y x m x x x m m m =-=--+<≤在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0m 上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛m m ,2上是减函数．所以 当2m x =时，max 4km y = ．所以羊群年增长量的最大值为max 4km y =． ┄┄┄┄┄┄┄8分 （Ⅲ）由题意知24m kmm +≤ ┄┄┄┄┄┄┄10分 得02k <≤ ┄┄┄┄┄┄┄11分答：当羊群年增长量达到最大值时，k 的取值范围为02k <≤． ┄┄┄┄┄┄┄12分①若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞， 3a3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，a ()a +，∞()f x '-+ 0-因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． ┄┄┄┄┄┄┄4分②若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x()a -∞，a 3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3a3a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞()f x '-+ 0-因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ┄┄┄┄┄┄┄6分高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 2．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= （A ）32 （B ）32- （C ）55 （D ）55- 3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 （A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >> 4．下列函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x =- （D ）sin cos y x x =+ 5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如图所示，为了得到()sin 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象 （A ）向右平移12π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度6．已知22ππθ-<<，且10sin cos 5θθ+=，则tan θ的值为 （A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13- 7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，则“223x <<”是“ABC ∆有两个解”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件8．已知函数1)(-=xe xf ，34)(2-+-=x x x g ，若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则b 的取值范围是 （A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+-9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，对于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心； ④当2π=x 时，)(x f y =一定取得最大值．其中正确结论的序号是第5题（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示：集合A={}0))((=-t x g f x 与集合B={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ， 则b a -的值不．可能是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α=__ ▲ _． 12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=⋅，则角C =__ ▲ _． 13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _．14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是__ ▲ _．15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是__ ▲ _．16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，若,,a b c 分别是角,,A B C所对的边，则2c ab的最小值为__ ▲ _．17．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对 称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）． 已知函数2(1),0()1,k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ ▲ _．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数xy a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的定义域为R ，若P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,1a A b c ==-=，求,b c 和,B C ．20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，若[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域． 21．已知函数()()2log f x x a =+.（Ⅰ）当1a =时，若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）若定义在R 上奇函数)(x g 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g x ，若关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，若()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，若()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设0a <且a b ≠，若()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．一、 二、 三、 四、五、 参考答案 六、七、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

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