第讲双曲线

【互动探究】 3．(2011 年全国)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的
一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( B )
A. 2
B. 3
C．2
D．3
解析：通径|AB|＝2ab2＝4a 得 b2＝2a2⇒c2－a2＝2a2，选 B.
5，∴a＝
15.∴b＝
2 ，∴双曲线的方程为 5
5x2－54y2＝1.
答案：D
②与双曲线x92－1y62 ＝1有共同渐近线，且过点(6,8 2)的双曲
线方程为_6_y4_2 －__3_x6_2 ＝__1_． 解析：因为与x92－1y62 ＝1 有相同渐近线，所以可设所求双曲线
的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)．由于点(6,8 2)在双曲线上，所以有396 －11268＝λ.所以 λ＝－4.故所求双曲线方程为6y42 －3x62 ＝1.
得 2x2－4x＋3＝0，
再由 Δ＝－8<0 知所求直线不存在．
【失误与防范】中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦(过 椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点)一定 存在，但在双曲线中则不能确定，所以求得结果应该加以检验．
1．根据双曲线ax22－by22＝1 求渐近线时，只需把“1”换成“0”，即 可得双曲线的渐近线方程ax22－by22＝0(即ax±by＝0)．与双曲线ax22－by22＝ 1 共渐近线的双曲线系方程为：ax22－by22＝λ(λ≠0)．
A.
22，0
B.
25，0
C.
Fra Baidu bibliotek
26，0
D．( 3，0)
2．若 k∈R，则“k>3”是“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲线”
的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列曲线中离心率为 26的是( B )
A.x22－y42＝1
B.x42－y22＝1
2．对于双曲线的标准方程，焦点总是落在“正”的未知数对 应的轴上，若不能确定焦点的位置，要注意分类讨论．
3．当直线与双曲线的渐近线平行时(此时二次项的系数为零)， 直线与双曲线只有一个交点，因此利用根的判别式判断直线与双 曲线的焦点的个数时，要特别注意二次项的系数．
线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C
的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x52－y42＝1
B.x42－y52＝1
C.x32－y62＝1
D.x62－y32＝1
解析：由圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 得：(x－3)2＋y2＝4，因为 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心(3,0)，所以 c＝3.又双曲线的两条渐 近线 bx±ay＝0 均和圆 C 相切，所以 a32＋b b2＝2，即3cb＝2.又因为 c＝3，所以 b＝2.即 a2＝5.所以该双曲线的方程为x52－y42＝1.故选 A.
答案：Ａ
考点2 双曲线的几何性质
例 2：①(2011 年湖南)设双曲线ax22－y92＝1(a>0)的渐近线方程 为 3x±2y＝0，则 a 的值为( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 y＝±3ax，故可知 a＝
2.
②(2011 年辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b ＞0)上，C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
易错、易混、易漏 19．利用点差法求直线的方程时没有考虑根的判别式
例题：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l
与双曲线交于 P，Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求出
直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
2．讨论双曲线的几何性质时，离心率问题是重点．求离心率 的常用方法有以下两种：①求得 a，c 的值，直接代入公式 e＝ac求 得；②列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利用 b2＝c2－a2 消 去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解．
1．涉及双曲线的定义时，要把握定义中的关键词：绝对值保 证双曲线有两支；当 2a<2c 时，P 的轨迹为双曲线；当 2a＝2c 时， P 的轨迹为以 F1，F2 为端点的两条射线；当 2a>2c 时，P 的轨迹 不存在．
求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利用 双曲线的定义或待定系数法解题．若已知双曲线的渐近线方程为 ax±by＝0，可设双曲线的方程为 a2x2±b2y2＝λ(λ≠0)．与双曲线ax22－ by22＝1 共渐近线的双曲线系方程为：ax22－by22＝λ(λ≠0)．
【互动探究】 1．(2011 年山东)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近
FM ＝－32，2x31y＋1 1，
同理可得 FN ＝－32，2x32y＋2 1. 因此 FM ·FN ＝－322＋4x1＋91y1yx22＋1
－81k2 ＝94＋44kk22－＋33k＋2－k324－k23＋1＝0.
②当直线 BC 与 x 轴垂直时，方程为 x＝2， 则 B(2,3)，C(2，－3)．AB 的方程为 y＝x＋1， 因此 M 点的坐标为12，32， FM ＝－32，32. 同理可得 FN ＝－32，－32. 因此 FM ·FN ＝－322＋32×－32＝0. 综上 FM ·FN ＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
解析：注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点 为 F′(4,0) ， 于 是 由 双 曲 线 性 质 |PF| － |PF′| ＝ 2a ＝ 4. 而 |PA| ＋ |PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P， F′三点共线时等号成立．
考点3 直线与双曲线的位置关系 例 3：(2010 年四川)已知定点 A(－1,0)，F(2,0)，定直线 l：x ＝12，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2
第2讲 双曲线
考纲要求
考纲研读
高考对双曲线的要求比椭圆要
1.了解双曲线的定义、几何图形 低．能结合定义或待定系数法求
和标准方程，知道它的简单几何
性质．
双曲线的方程．利用 a，c 的齐 次式求双曲线离心率．重视双曲
2．理解数形结合的思想.
线所特有的渐近线的性质.
1．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( C )
考点1 求双曲线的标准方程
例 1：①(2011 届广东汕头水平测试)已知双曲线ax22－by22＝1 的 一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，
则该双曲线的方程为( )
A．5x2－45y2＝1 C.y52－x42＝1
B.x52－y42＝1 D．5x2－54y2＝1
解析：抛物线焦点为(1,0)，∴c＝1.即 a2＋b2＝1.又∵e＝ac＝1a＝
则xx2221－ －yy222221＝ ＝11，
⇒(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)·(y1＋y2)．
因为 A(1,1)为 P，Q 的中点，所以 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 若 x1≠x2，则直线 l 的斜率 k＝2， 其方程为 2x－y－1＝0.
y＝2x－1， 由x2－y22＝1
x1＋x2＝k24－k23， 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2＝4kk22－＋33. y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] ＝k24kk22－＋33－k28－k23＋4＝－ k2－9k32. 因为 x1，x2≠－1，所以直线 AB 的方程为 y＝x1y＋1 1(x＋1)． 因此 M 点的坐标为12，2x31y＋1 1.
答案：2
渐近线是双曲线特有的几何性质，焦点在 x 轴(y ＝±bax)和在 y 轴(y＝±abx)的渐近线很容易混淆，简便记法：将ax22－by22 ＝1 中的“1”改成“0”即可，即ax22－by22＝0.
【互动探究】
2．已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA |的最小值为___9__.
C.x42－y62＝1
D.x42－1y02 ＝1
4 ． (2011 年广东湛江测试) 双曲线 x2 －3y2 ＝3 的离心率为
23 ____3_______.
5．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为 F(10,0)，两条
渐近线的方程为 y＝±43x，则该双曲线的标准方程为__3x_62_－__6y_42_＝__1__.
解析：方法一：点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1 上，则a42－b92＝ 1.又由于 2c＝4，∴a2＋b2＝4.解方程组a42－b92＝1， 得 a＝1.∴
a2＋b2＝4， 离心率为 e＝ac＝2.
方法二：∵双曲线的焦距为 4，∴双曲线的两焦点分别为 F1(－ 2,0)、F2(2,0)．点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为 2，即 2a＝ 2.∴a＝1.离心率 e＝ac＝2.
倍．设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交 l 于点 M，N.
(1)求 E 的方程； (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由．
解析：(1)设 P(x，y)，则 x－22＋y2＝2x－12. 化简得 x2－y32＝1(y≠0)． (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时， 设 BC 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)． 与双曲线 x2－y32＝1 联立消去 y 得 (3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0. 由题意知 3－k2≠0 且 Δ＞0.