2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知1a =

，b =

2c =

，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）

A. a b c <<

B. a c b <<

C. b a c <<

D.b c a <<

2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）

A ．

3

B ．

3

C ．

3

D ．

3

4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18

-

. B ．0. C ．1. D ．

98

.

5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2323

11224()x x x x +=-+，则实数p

的所有可能的值之和为 （ B ）

A ．0.

B ．34

-

. C ．1-. D ．54

-

.

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）

A ．36个.

B ．40个.

C ．44个.

D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b

c

a

+

=+

=+

=，则t =1±．

2．使得521m

⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．

3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则B C A P ＝

． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，

2

2

2

431

31

31

9

a b c

a a

b b

c c +

+

=

------，则

222

a b c ++＝

332

．

第二试 （A ）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.

根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以

22

(30)(30)450235a b --==⨯⨯，

因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是2

2

305,

3023,

a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩

所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为

1694

π.

二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2

AD BD CD =⋅.

证明：连接OA ，OB ，OC.

∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.

又由切割线定理可得2PA P B P C =⋅，∴P B P C P D P O ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴

P D B D C D

O D

=，∴2

AD PD OD BD CD =⋅=⋅.

三．（本题满分25分）已知抛物线2

16

y x bx c =-

++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、

B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点

C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2

-，若AM//BC ，

求抛物线的解析式.

解 易求得点P 2

3(3,

)2

b b

c +，点C (0,)c .

设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2

106

x

b x

c -

++=的两根，所

以13x b c =

，

23x b =+

AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE

＝.

因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2

A E P E D E =⋅，即