成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案

成都理工大学2010—2011学年

第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷（A ）

一．填空题（每小题3分，共21分）

1．函数2

2

1)ln(y

x x x y z --+

-=的定义域为 。

2．设y x z =)1,0(≠>x x ，则

=∂∂+∂∂y

z

x x z y x ln 1 。 3．函数z xy u 2=在点（1，-1，2）处沿 方向的方向导数最大。 4．区域D ：)0(222>≤+R R y x ,则积分⎰⎰+-D

dxdy y x R )(22的值为 。

5. 设L 为球面2222a z y x =++与平面y x =相交的圆周，则曲线积分

⎰

+=L

dl z y I 222= 。

6．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处的全微分dz = 。

7．级数∑∞

=1!

2n n n n

n 的敛散性为 。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1．直线

1

1

0112-+=

+=-z y x 与平面2=++z y x 的位置关系是（ ） A ．直线与平面平行 B. 直线在平面上 C ．直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交

得 分 得 分

2．22lim

y xy x y

x y x +-+→∞

→∞=（ ）

A ．1 B. 0 C. 1- D.不存在

3．已知⎰⎰⎰Ω

+=dv z y x f I ),(22，其中Ω由1=z 和22y x z +=围成，则=I （ ）

A ．⎰⎰⎰πθ20

10

1

2),(dz z r f dr d B.

⎰

⎰⎰πθ2010

1

22),(r

dz z r f rdr d

C.

⎰

⎰⎰πθ20

10

1

2

),(dz z r f rdr d D.

⎰⎰⎰πθ20

1

22

),(r dz z r f rdr d

4．微分方程x xe y y 22='-''的特解形式是（ ） A ．x e B Ax 2)(+ B. x Axe 2 C ．x e B Ax x 2)(+ D. x e Ax 22

5．函数⎩⎨

⎧≤<-≤≤-=8

46

402)(x x x x

x f 展开为周期是8的傅立叶级数为

∑∞

+∞<<-∞++02

2)(4)12(cos )12(16x x

k k ππ

，则=)100(s （ ）

A ．98- B. 94 C. 2 D. 2- 三、计算（每小题7分，共21分） 1．已知直线1L ：

130211--=-=-z y x ，2L ：1

1122z

y x =-=+，求通过1L 且与

2L 平行的平面方程。

得 分

2．设方程z

y x e z y x --=++2确定隐函数),(y x z z =，求y

x z

∂∂∂2

3．求积分⎰⎰⎰Ω

++dv z y x )(，其中Ω由三个坐标面与平面1=++z y x 围成。

四、计算（每小题7分，共21分）

1．求函数z y x u ln 3ln ln ++=在球面22225R z y x =++上的最大值。

得 分

2．求⎰⎰

∑

-

+

+dxdy

z

ydzdx

xdydz)1

(3

2，其中∑为锥面)1

0(2

2≤

≤

+

=z

y

x

z下侧。

3．求微分方程x

e

x

y

y sin

cos-

=

+'的通解。

五、计算（每小题6分，共12分）

1．求幂级数∑∞

=+0)!1(2n n n n x 的收敛域与和函数，并求∑∞

=+0

)!1(2n n

n 的和。

2．一个一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有2个特解214

1

x y -=，

2224

41x

x y --=，求这个微分方程以及它的通解。

得 分

六、证明题（每小题5分，共10分） 1．证明当)0,0(),(→y x 时，3

424

4)(),(y x y x y x f +=的极限不存在。

2．设函数)(x f 在),(+∞-∞有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，记⎰-++=L dy xy f y y

x

dx xy f y y I ]1)([)](1[1222。证明曲线积分I 与路径L 无关。

得 分