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多项式的整除性和带余除法

多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.
如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
为什么?
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x)
g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零.
q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可
由定义不难看出零多项式被任意一个多项式整除; 零多项式不能整除任意非零多项式; 任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
多项式的整除性和带余除法
带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得
Definition5.(整除的定义)
称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得

多项式除以多项式

多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式通常以垂直形式计算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零或余数小于除数。

除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴（x2）?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20岁以下22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。

规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．什么是综合部？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。

多项式整除

例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .

例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０００００１１１１１１１１１１１１= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １１ 1 3 6 3 6 10= c2 １１ 1 4 4 10= c3 １１ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,

则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。因而在 F x 中，这一等式仍然成立。由 q x , r x 的唯一性知，在 F x 中 g x
第二章多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章多项式
m1 x , m2 x F x
若性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有证：
f x
第二章
多项式

作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证：充分性。若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。

高等代数教案：1.3多项式的整除

第一章多项式理论
课题
授课时间
授课时数
1学时
教学目的及要求
1.使学生熟练掌握多项式的带余除法;
2.使学生牢固掌握多项式整除的定义和基本性质;
教学重点
1.多项式的带余除法定理;
2.多项式整除的定义与基本性质.
难点
1.多项式的带余除法定理;
2.多项式整除的定义与基本性质.
教学方法
讲授法
教学的主要内容和过程
例1设 , ,求除所得的商式
和余式 .
定义1设 , ,如果存在使
(2)
则称整除 ,记作 .如果这样的不存在,则称不整除 ,记作 .当时,称是的因式.
注2如果是的因式且 ,则显然有 .
下面利用带余除法给出整除性的一个判别法:
定理1.3.2若 ,则 (1)式中的 .
例2试确定使能够整除 .
们有 .
注4需要指出的是:根据商式和余式是唯一存在的这一事实可知,多项式的整除关系不因数域的扩大而改变.
例3证明:对任意多项式和任意非零常数恒有 .
例4证明: 且且 .
此处需强调!
作业
P20第1题(2),第2题Fra bibliotek参考文献
1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.
2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.
注3根据整除的定义,对任意多项式 ,如下事实成立:
(1) (零多项式);
(2) ;
(3) , 为非零常数.
下面我们为大家介绍关于整除的几个常用性质:
定理1.3.3 且 . (整除的传递性)
定理1.3.4 且 , 为非零常数.

§7.2 多项式的整除性(离散数学)

整除性质
定义.若d∣ƒ1，…，d∣ƒn，则称d是
ƒ1,…,ƒn 的公因式。如果 d 是 ƒ1,…,ƒn 的公因式，而且 ƒ1，…，ƒn的任意公因式整除 d，则称d为ƒ1，…，ƒn的最高公因。 7o 若d和d′都是ƒ1，…，ƒn的最高公因，则d′和d相通。定理7.2.3 任意多项式ƒ和g必有最高公因。定理7.2.4 ƒ，g的最高公因d中可以表为ƒ， g的倍式和，即表为：d=λƒ+μg ,其中λ ， μ 都是多项式。
整除性质
若ƒ∣g，g∣h，则ƒ∣h。若ƒ∣g，则ƒ∣gh。若ƒ∣g，ƒ∣h，则ƒ∣g±h。若ƒ整除g1，…，gn，则 ƒ∣h1g1+…+hngn。 5o 若在一等式中，除某项外，其余各项都是ƒ的倍式，则该项也是ƒ的倍式。 1o 2o 3o 4o
整除性质
6o 若ƒ∣g，g∣ƒ，则ƒ与g只差一个非0常数因子。证明：由ƒ∣g，g=h1 f, 由g∣ƒ，f= h2 g, 故， g= h1 h2 g， h1 h2 =1，所以次h1 h2 =0，即次h1 +次h2 =0，故次h1 =0，次h2 =0，即h1 ，h2是非0常数因子。两个多项式，如果只差一个非0常数因子，则称它们是相通的。
-∞+m=-∞，n+（-∞）=-∞，-∞+（-∞）=-∞，
故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+ 次g(х) 。
定理7.2.1
域F上х的多项式作成的环F[х]是整区。证明：只要证明F[х]中无零因子。若ƒ(х)≠0，g(х)≠0，则次ƒ(х)≠ -∞，次g(х)≠ -∞，故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+次g(х)≠-∞，因而ƒ(х)g(х)≠ 0。
结论：次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+ 次g(х) 证明: (1)若ƒ(х) ≠0， g(х) ≠0，设 ƒ(х)=a0хn+a1хn-1 +…+an-1х+an,a0≠0，

第一章多项式

第一章多项式§1多项式的整除一、含单位根多项式的整除问多项式12++x x 能否整除1717++x x? 若∑=++++305234)(|1i i ix x f x x x x ，则)(|1x f x i -，3,2,1,0=i设n 为非负整数，则1222)1(1++++++n n x xx x 122)1()(+++-=n n n x x x f ，证明1))(,1(2=++x f x x n设i a 为非负整数，问∑=++n i a i xx x 121的充要条件是什么？设m 为大于1的整数，∑-==10)(m i i x x f ，且c x f x f m +)(|)(，试求常数c 。

设∑-==10)(n i i x x g ，n n x x x g x f -+=2))(()(，则)(|)(x f x g（苏州大学2002）设,,,k m r s 都是非负整数。

设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。

证明：()f x 整除()g x 。

苏州大学（2000）设多项式)(),(),(x h x g x f 满足0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x ，0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x证明：)(|14x g x +§2最大公因式与互素如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。

如果1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f（南京大学2001）设1F ,2F 是数域,且1F F ⊆,f (x),g (x)F ∈[x].(1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x)(2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素.(3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根.证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((=（大连理工2005 ）设)(x f ，)(x g 是数域P 上的多项式，若33)]([)]([x g x f ，证明)()(x g x f 。

2.2多项式的整除性(二)

（6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x
。记为 g x | f x
2.2.2 多项式整除的基本性质（1） hx | g x, g x | f x hx | f x
（2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x
20
数学与计算机科学学院高等代数课件
（6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x
（7） f x | g x且g x | f x f x cg x其中0 c F
4
数学与计算机科学学院高等代数课件
2.2.3 带余除法
一、整数的带余除法
定理1.4.1 设 a，b 是整数且a≠0,那么存在一对整数 q 和 r ，使得 b=aq+r 且 0≤r<|a| 满足以上条件的参数 q 和 r 是唯一确定的。 q 和 r 分别叫作以 a 除 b 所得的商和余数。
f x g xqx r x 。
8
数学与计算机科学学院高等代数课件
q 注1： x , r x 分别称为g x 除f (x)所得的商式和余式。已知多项式 f ( x)和g ( x) ，求出 qx 和 r x 的方法称为带余除法。
注2：g x 0, g x | f x r x 0。
则f1 x 有以下性质：
因为f(x)的首项已被消去
则结论已经成立，若是 f1 x 0或者 0 f1 x 0 g x ，
因为有 f ( x) g ( x)q1 ( x) f1 ( x)。
若是 f1 x 0且 0 f1 x 0 g x ，不妨设
数学与计算机科学学院高等代数课件 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响

多项式除法

关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幕排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法,2用竖式进行计算.例如，我们来计算(7x + 2 + 6x) - (2x + 1)，仿照672十21,计算如下：3 2 3s 22 1)6 7 2 + l)6x2 +7x 十26 3 6s2 + 3s4 2 4莖+ 24 2 4玉+ 2Q 02••• (7x + 2 + 6x ) - (2x + 1)=3x + 2.由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2+ 3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x + 2,再把4x + 2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止.上式的计算结果，余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式.整式除法也有不能整除的情况. 按照某个字母降幕排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式.例如，计算(9x2+ 2x3+ 5) + (4x - 3+ x2).解：所以商式为2x + 1,余式为2x + 8.与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2+ 2x3+ 5= (4x —3+ x2)(2x + I) + (2x + 8).这里应当注意，按照x的降幕排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位•当然，也可用补0的办法补足缺项.当除式、被除式都按降幕排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数•因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去•这种方法叫做分离系数法•按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：”11 十0 + 52讥-61十4—弓于是得到商式=2x+ 1,余式=2x+ 8.3 2对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x —5x—4)(3x —7x + 8)按分离系数法计算如下:2+ 0- 5-43- 7 十8-14 丰0 + 35+ 28+ 16+ 0-40-32 6-14+V23-12-32所以，3 2(2x —5x —4)(3x —7x + 8)5 4 3 2=6x —14x + x + 23x —12x —32.如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题.3 21 . (6x + x —1) - (2x —1).32. (2x + 3x —4) - (x —3).3 2 23. (x —2x —5)(x —2x —1).2 24. (x + y)(x —xy + y ).【本讲教育信息】教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二.重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。

多项式除以多项式.docx

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式的除法和余式定理

多项式的除法和余式定理多项式的除法是数学中常见的运算之一，它可以用于求解多项式的商和余数。

除法运算在代数学、数值计算和离散数学等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍多项式的除法运算规则和余式定理，并通过具体例子进行说明。

1. 多项式的除法运算规则对于两个多项式f(x)和g(x)来说，其中f(x)是被除式，g(x)是除式，假设g(x)≠0。

多项式的除法运算遵循以下规则：（1）将被除式和除式按照降幂排列。

（2）将两个多项式的首项对齐。

（3）用除式的首项除以被除式的首项，将得到的商作为商项。

（4）将商项乘以除式，得到中间结果。

（5）将中间结果和被除式相减，得到新的被除式。

（6）将上述过程重复，直到被除式的次数低于除式或者为零时为止。

下面通过一个具体的例子来说明多项式的除法运算规则。

例子：求解多项式f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 g(x) = x - 2。

首先按照降幂排列，将f(x)和g(x)写成:f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4g(x) = x - 2将f(x)和g(x)的首项对齐，得到:x^2--------------x - 2 | x^3 - 2x^2 + 3x - 4用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^3，得到商项为 x^2。

将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^3 - 2x^2。

将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 5x^2 + 3x - 4。

重复上述过程，继续求解新的被除式和除式的商项。

x--------------x - 2 | x^2 + 5x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^2，得到商项为 x。

将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^2 - 2x。

将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 7x + 3。

继续重复上述过程，求解新的被除式和除式的商项。

7--------------x - 2 | 7x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 7x，得到商项为 7。

多项式的综合除法与因式分解

多项式的综合除法与因式分解二、整系数多项式的因式分解整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 r ，多项式对线性因子 x-r 做多项式除法，逐步降低次数。

1. 试有理根试根定理：设 f(x) 为 n 次整系数多项式（ n \geq 1 ），其形式为：f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a_0 \neq 0若 x = \frac{p}{q} 为 f 的有理根（ p,q 互质，公约数只有 \pm 1 ），则 p 必为常数项 a_0 的整数因子， q 必为首项 a_n 的整数因子。

根据多项式除法原则，有f(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k) ，从而，若 k 是 f(x) 的根，则 f(k)=0 .基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 k_i ，再验证是否满足 f(k_i)=0 ，就可以确定 k_i 是否为根。

例. 多项式 2x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：分子： 12 的整数因子， 1,2,3,4,6,12分母： 2 的整数因子， 1,2故可能的有理根为： \Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} =\Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}2. 综合除法若 k_i 是 f(x) 的根，则 f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x) 为 n-1 次多项式。

为了得到 g(x) ，就需要用 f(x) 除以 (x - k_i) .与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：优化上述算法：（1）变量 x 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即（2）观察同一列的 -5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到（3）继续优化，因子 x-3 对应的根是 3 ，把（2）中的 -3 换成 3 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 -1 变号，得到结果是，下面的 2,3,4 结合对应的 x 幂次，得到商 2x^2 + 3x +4 ，余数是 0 .这就是“综合除法”。

多项式的整除性

多项式的整除性4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。

理解和掌握带余除法。

授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。

一、多项式整除的概念及性质 1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。

此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。

如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地，0|0.2?)(|,x f c F c ∈?.3?,c d F ?∈,0≠c ，有d c |.如2|0。

4?高次多项式不能整除低次多项式。

多项式的除法运算

多项式的除法运算多项式的除法运算是数学中一种重要的运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数的结果。

在本文中，将介绍多项式的除法运算的基本概念、步骤和实际应用。

1. 多项式的基本概念首先，我们需要明确多项式的基本概念。

在代数中，多项式是由常数和变量的乘积再相加而成的表达式。

一个多项式包括项，每一项由系数与指数的乘积组成。

例如，多项式f(x) = 3x^2 + 2x + 1包含三项。

2. 多项式的除法步骤多项式的除法运算有一定的步骤，以下是多项式的除法步骤：- 首先，将被除数和除数按照降序排列。

- 将被除数的首项与除数的首项相除，得到商的首项。

- 将得到的商的首项与除数的每一项相乘，并将结果减去被除数的对应乘积项。

- 将所得的差作为新的被除数，并重复以上步骤，直到无法再继续相除为止。

3. 实际应用举例多项式的除法运算在实际问题中有广泛的应用，以下是一个例子：假设有一个多项式f(x)表示某公司的总利润，另一个多项式g(x)表示该公司的成本。

我们希望计算该公司的盈利情况。

被除数：f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 2 （总利润）除数：g(x) = x^2 + 2 （成本）根据除法步骤，我们进行多项式的除法运算：- 首先，将被除数和除数按降序排列：f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 2g(x) = x^2 + 2- 将被除数的首项与除数的首项相除，得到商的首项：首项：2x^3 / x^2 = 2x- 将得到的商的首项与除数的每一项相乘，并将结果减去被除数的对应乘积项：2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x(2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) - (2x^3 + 4x) = 5x^2 - 7x + 2- 将所得的差作为新的被除数，并重复以上步骤：新被除数：5x^2 - 7x + 25x^2 / x^2 = 55(x^2 + 2) = 5x^2 + 10(5x^2 - 7x + 2) - (5x^2 + 10) = -7x - 8继续重复以上步骤：- 新被除数：-7x - 8- -7x / x^2 = -7/x- (-7/x)(x^2 + 2) = -7x - 14- (-7x - 8) - (-7x - 14) = 6最后的结果：商：2x + 5余数：6 / (x^2 + 2)4. 结论通过以上的步骤，我们成功进行了多项式的除法运算，并得到了商和余数的结果。

多项式的除法

21
Байду номын сангаас
-8 + 5 -8 -16
21
∴商式＝4x-8 ，餘式＝21
12
隨堂練習(p42)
例: 求 x2÷(x+5)的商式及餘式。
解:
x -5
x+5) x2+0x +0 x2 +5x
1 1+5)1
1
-5x +0
-5x -25
25
-5 +0 +0 +5
-5 + 0 -5 -25
25
∴商式＝ x-5 ，餘式＝25
-X-3 -X-3
(X+3)和(2X-1) 是 (2x2+5x-3)的因式。
餘式
0
20
隨堂練習(P44)
例: 判別 (x2+10x-12)是不是(x-3)倍式。
解:
21
隨堂練習(P44)
例: 判別 (2x+4)是不是(x2+6x+8) 因式。
解:
22
自我評量及習作
(1)自我評量(p47) (2)習作(1-2)
(1) 求 (2x2+4X+5)÷(x2+x+1)的商式及餘式。 (2) 求 (4x2-2X+1)÷(2x2+2x+1)的商式及餘式。 (3)求 (-x2-4x)÷(x+4)的商式及餘式。 (4)求 x2÷(x+5)的商式及餘式。 (5)求 (x2-1)÷(x-1)的商式及餘式。
15
因式與倍式
□ 因數與倍數: 甲數可以被乙數整除，我們就說甲數是乙數的倍數；乙數是甲數的因數。例: 6 ÷ 2＝3；∴6是2的倍數；2是6的因數。