2-10可逆过程和可逆体积功

•多次等外压膨胀
（3）.外压比内压小一个无穷小的值
外压相当于一堆沙子，每次取一粒，这样的膨胀过程是 无限缓慢的，每一步都接近于平衡态。所作的功：
P终 p始

一粒粒取走砂粒 (剩余砂粒相当前述一 个重物)
(iii)

即 TV 1 常 ： 数
结 pg状 方 有 合 态 程
：
pV 常 数
1
Tp

常 数
pV c

b、理想气体绝热可逆体积功
由 热 逆 程 绝 可 方 ：
V2 V1
pV p1V1
W的定义式


Wr pdV p1V1



V2
V1
V dV
V2
V2
V2
（2）理想气体绝热可逆体积功
a、 理想气体绝热可逆过程方程式
d U δWr δ Qr 0 nRT 理想气体 nCV,m d T p d V dV V
对 热 逆 程 绝 可 过 ，
CV,m dT dV R T V
pg :C p,m CV, m R γ C p,m CV, m
W p (V V 1)
' '
p终 p始 p1 P1
p'' (V '' V ' )
p2 (V2 V '' )
(ii)
P始,V始 T
V1
1 P 1,V 1 T
p2 V2
2
P2
p终V3
3 P终,V终
P2,V2 T
T
所作的功等于3次作功的加和。
可见，外压差距越小，膨胀 次数越多，做的功也越多。
结论：可逆过程中系统对环境所做的功最 大；环境对系统所做功最小。
热力学可逆过程具有下列特点：
（ⅰ）整个过程可以看成是由一系列极接近平衡的状
态所构成，这种过程称为准静态过程。其特点是动中
有静，静中寓动T外＝T±dT；p外＝p±dp 。
(ii)可逆膨胀，体系对环境作最大功；可逆压缩，环
境对体系作最小功 (iii)可 逆过程必为直接可逆过程。系统和环境能够由 终态，沿着原来的途径从相反方向步步回复，直到都恢复 原来的状态。 （ⅳ）在可逆过程进行任一瞬间，若将条件变化无穷小

p1V1 1 1 积 Wr 分 ( 1 1 ) 1 V2 V1
若已知始末态温度，更 常用的公式为： Wr U

T2
（推荐）
T1
nCV , m dT nCV ,m (T2 T1 )
p1V1 1 1 Wr ( 1 1 ) 1 V2 V1 1 p2V2 p1V1 ( 1 1 ) 1 V2 V1
CV,m dln T R dln V dln T (1 C p,m CV,m )dln V
定 ： 热 数 义 绝 指
dln T ( 1 )dln V 积 可 ： 分 得
pg :为 数 常
T2 V2 T2 V2 1- ln( ) (1- )ln( ) ( )( ) T1 V1 T1 V1
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体
dT 0
dT=0,可逆
n=1mol pg, T2= 350K p2 = 50 kPa

U 0
H 0
p1 Wr nRTl n 4.034k J p2
U Q W
Q W 4.034kJ
U nCV ,m T W p外dV
例 2.10.1某双原子理想气体4 mol，从始态P1=50kPa ，160dm3
经绝热可逆压缩到末态压力P2=200kPa 。求末态温度及过程的
W、U及H。 解：
先求出始态温度
3
P1=50kPa 3 V1=160dm T1
3
Qr 0 P2=200kPa V2
总的结果是：只有第三种情况系统与环境既 没有得功，也没有失功；既没有吸热，也没 有放热。系统与环境完全复原，没有留下任 何“能量痕迹”，这正是“可逆”二字含义
所在
可逆过程演示
红线下面积为恒温可逆 过程系统与环境间交换 的体积功。 灰色标出的面积为分段 恒外压（恒温）膨胀过 程中系统对环境所做的 功。 蓝色+灰色标出的面积为 分段恒外压（恒温）压 缩过程中环境对系统所 做的功。 蓝色标出的面积为系统 恢复后环境对系统所做 的净功。
例2.10.2：某双原子理想气体1mol从始态350K， 200kPa经过如下四个不同过程达到各自的平衡 态，求各过程的Q，W，U及H。 (1)恒温可逆膨胀到50kPa
(2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡
(3)绝热可逆膨胀到50kPa
(4)绝热反抗50kPa恒外压膨胀至平衡。
(1)dT=0,可逆
量，可使过程逆向进行。
2. 可逆体积功的计算
Wr p外 d V (p d p)d V p d V
V1 V1 V1
V2
V2
V2
（1）理想气体的恒温可逆体积功
1 nRT Wr p d V d V nRT d V V V V1 V1 V1 V2 p1 nRT ln( ) nRT ln( ) V1 p2
ΔU n CV ,m (T2 T1 ) 4 2.5 8.314 (357.43 240.53) 9720 J ΔH n C p ,m (T2 T1 ) 4 3.5 8.314 (357.43 240.53) 13608 J
Q 0 W U 9720J
（2）.多次等外压压缩 第一步：用 p" 的压力将体系从 V2 压缩到 V "； 第二步：用 p'; ； 第三步：用 p1 的压力将体系从 V ' 压缩到 V1 。 整个过程所作的功为三步加和。
W p (V V2 )
'' ''
p (V V ) p1 (V1 V )
(2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体
dT 0
dT=0, p外=50kPa
n=1mol pg, T2= 350K
p2 = 50 kPa
U 0
H 0
n2 RT2 n1 RT1 ) W p环 dV p环 ( V2 V1 ) p环 ( P2 P1
=-2.183 kJ
U Q W
Q W 2.183kJ
(3)绝热可逆膨胀到50kPa
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa Q=0, 可逆 n=1mol pg, T2= ? p2 = 50 kPa
1 1
T2 p2 1.4 p CV ,m T1 1 ΔU n CV ,m (T2 T1 ) 2.379 kJ
★理想气体恒温可逆与绝热可逆的p－V 图：
绝热可逆过程因
消耗内能作功，故
p
2
1
曲线(1) 恒温可逆
曲线(2) 绝热可逆
降至相同压力时温
度也会降低，p-Vm
线更陡。
Vm
c.绝热不可逆过程体积功的计算：
绝热过程： δQ=0，δW=dU 过程可逆时，用绝热可逆方程 求出T2；但对于绝热不可逆过程，注意一定不 能用绝热可逆方程求T2。只能从绝热过程的特征出发用下式确定T2 ：
' ' '' '
（3）.外压比内压大一个无穷小的值
外压相当于一堆沙子，每次加一粒，这样的压缩过程是 无限缓慢的，每一步都接近于平衡态。所作的功：
W p外dV p dp）dV （
pdV
V1 V2
•
功与过程
功与过程 小结：
从以上的膨胀 与压缩过程看出， 功与变化的途径有 关。虽然始终态相 同，但途径不同， 所作的功也大不相 同。。
p外 p2 1 kPa
p终 p始
W＝-p外V＝-p外(V2－V1)
p终
V
P终,V终
(i)
P始,V始 T
T
体系所作的功如阴影面积所示。
（2）.多次等外压膨胀
(ⅰ)克服外压为 p '，体积从 V膨胀到 V ； ' 1 (ⅱ)克服外压为 p " ，体积从 V膨胀到 V ； ' " (ⅲ)克服外压为 p2，体积从 V "膨胀到 V2。
W U -1.559kJ
∵ Q=0
∴ ΔU=W
n CV ,m (T2 T1 ) p环 V2 V1 ) （
nRT2 nRT1 n CV ,m (T2 T1 ) p环 （ ) p2 p1
T2 275.0 K
∴ U n CV ,m (T2 T1 ) -1.559kJ
H nC p ,m ( T2 T1 ) 2.182kJ
代 绝 可 方 入 热 逆 程




1 C p ,m CV , m
（p2V2 p1V1） 1

C p ,m CV , m R
1 （p2V2 p1V1） CV , m ( nRT2 nRT ) nCV , m (T2 T1 ) 1
CV , m
p1V1 1 1 或Wr ( 1 1 ) 1 V2 V1 1 p2V2 p1V1 ( 1 1 ) 1 V2 V1