高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性

函数专题（三）、函数的奇偶性、周期性与对称性

1.判断函数奇偶性的第一步是判断函数定义域是否关于原点对称。

2.几个初等函数的奇偶性：

（1）函数

为奇函数时，b=0；为偶函数时，a=0.

（2）函数

为奇函数时，a=c=0；为偶函数时，b=0.

（3）幂函数

为奇函数时，

为奇数；为偶函数时，

为偶数。

（4）奇函数在原点有定义时一定经过原点。

（5）定义域关于原点对称的常函数是偶函数。

（6）既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数。

3.一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该函数一定是周期函数；

函数如果满足奇偶性、周期性、对称性三个性质中的两个，则函数一定也满足剩余的那个性质。

例1.函数

，

且

，则满足条件的所有整数

的和是__________

例2.已知函数

的最大值为M，最小值为m，则M+m等于___________

变式训练：

1.（2006浦东新区一模）若曲线

上存在两个不同的点关于直线

对称，则实数

的取值范围为_____________

2.（2014崇明县一模）已知圆

及以下三个函数：①

；②

；③

；其中图像能等分圆的面积的函数个数为（）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

3.（2014虹口区一模）关于曲线

，给出下列四个命题：

①曲线

关于原点对称；②曲线

关于直线

对称；

③曲线

围成的面积大于

；④曲线

围成的面积小于

；

上述命题中，真命题的序号为（）

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

4.（2014嘉定区一模）定义在区间

上的函数

满足：①

；

②当

时，

，则集合

中的最小元素是（ C ）

A. 2；

B. 4；

C. 6；

D. 8；

5.（2015松江区一模）已知函数

，对任意

，恒有

成立，且当

时，

，则方程

在区间

上所有根的和为_________

6.（2015杨浦区一模）已知

是定义在R上的奇函数，当

时，

，当

时，

，若直线

与函数

的图像恰有7个不同的公共点，

则实数

的取值范围为_____________

7.（2016杨浦区一模）函数

是最小正周期为4的偶函数，且在

时，

，若存在

满足

，

且

，则

最小值为________

8.设函数

的最大值为M，最小值为N，那么M+N=_________

9.若函数

是偶函数，则

的最小值为___________

10.（2015徐汇区一模）设函数

的定义域为D，若对于任意

∈D，当

时，恒有

，则称点（a，b）为函数

图像的对称中心。研究函数

的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到

的值为________

11.（2014徐汇区一模）对于方程为

的曲线

给出以下三个命题：

（1）曲线

关于原点中心对称；

（2）曲线

关于

轴对称，也关于

轴对称，且

轴和

轴是曲线

仅有的两条对称轴；

（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点

，

，

，

，都在曲线

上，则四边

形

每一条边的边长都大于2；

其中正确的命题是（）

A.（1）（2）；

B.（1）（3）；

C.（2）（3）；

D.（1）（2）（3）；

12.（2013天津）已知函数

．设关于

的不等式

的解集为

，若

，则实数

的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

13.（2015崇明县一模）设函数

的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意

，都有

，则称函数

是“似周期函数”，非零常数T为函数

的“似周期”；现有下面四个命题：

如果“似周期函数”

的“似周期”为-1，那么它是周期为2 的周期函数；

函数

是“似周期函数”；

函数

是“似周期函数”；

如果函数

是“似周期函数”，那么“

”；

其中是真命题的是______________________（填序号）

14.设函数

，则不等式

的解集为______

15.设函数

是定义在R上的奇函数，当

＜0时，

，则

=________

16.给出定义：若

（其中

为整数），则

叫离实数