第3章运输问题
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管理运筹学第3章-运输规划1
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
c32 - z32= c32 – (u3+v2)= 9 – 6-6=-3
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
调整的步骤如下： （1）先确定最小检验数：； （2）找出以空格为一个顶点，其余顶点全是数字
-----退化解出现
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
1
2
3
4
6
7
1
14
5
5
3
5
u1=-4
7
8
4
2
7
2
8
13
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
x31进基, min{x21,x33}=min{8,6}=6, x33离基
转轴运算,重新计算检验数,确定进基、离基变量
第三章 运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题表上作业法
3.1 运输问题及其数学模型
一、一般运输问题
设某种货物有m个产地A1，A2，…,Am,产量分 别为a1,a2,…,am,有n个销地B1,B2,…,Bn,销量分 别为b1,b2,…,bn，而且从Ai到Bj的单位运价为 Cij。若产销平衡（ ai= bj），问如何制定调 运方案，可以使总运费最小？
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
第3章运输问题
13
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
----第三章 运输问题
3
A2
31
B3
B4
产量
43 3
7
12
4
A3
6
39
销量
3
6
5
6
检验数的经济解释：空格（ A1 , B1） + 1 吨，保持产销平衡
(A1 , B3) - 1 吨，
(A2 , B3) + 1 吨，
(A2 , B1) - 1 吨
检验数=调整方案使运费的改变量
15
(+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)
14
①、方法一：闭回路法
每个空格都存在唯一的闭回路---从每一空格出发，用水平 线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前 进，直到回到起始空格处为止。
例 (A1 , B1) 空格与数字格(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1)
表3.12/3.7 B1
B2
A1
ij = cij – ( ui + vj )
18
仍以例3.2所给出的初始基可行解表3.7为例：
第一步：在对应表3.7的数字格处填入单位运价
表3.7/3.14 B1
B2
B3
B4 行位势ui
A1
3
10
0
A2
1
2
-1
A3
4
5
-5
列位势 vj 2
9 3 10
第二步：增加一行和一列，列中填入行位势
ui ，行中填入列位势 vj
存的问题。设 xin+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
n
n1
xij xin1 xij ai (i 1,L , m)
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
第3章 运输问题
例.当m=4,n=5时， x25,x22 x32,x34 x14,x15 为 一闭回路，见下图：
Bj
Ai
B1 B2 B3 B4 B5
A1 A2 A3 A4
․
․ ․
․ ․
․
8
２、表上作业算法的理论依据
定理：（1）运输问题中的m+n个约束方程中只有 m+n-1个是相互独立的，而且其中任意m+n-1个方程都 是相互独立的；
1 2 n
销地 运费 产地 1 2 m
c 11 c 12 c 21 c 22 cm1 cm2
c 1n c 2n cmn
10
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 – 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配
– xij 的分配公式
( ai i 行已分配的总量 ) i 行尚余物资量 xij min (b j j 列已分配的总量 ) j 列待分物资量
• 从 zij cij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入 变量。
20
运费表{c ij }
分配表{x ij }
20 5 18
11 9 7
3 10 4
6 2 1
5 3
3
3
3
4 3 12
12 12
5 10 15
检验数按ij=cij+vj计算，这里的cij为基格处的 位势按cij = ui -(ui+vj)计算，在下表中用括号标出。 这里的cij为非基格(空格)处的单位运费 单位运费，即表中的红色数字。可先取u1 =0。
(2)运输问题中个m+n-1变量能构成一组基变量的充 要条件是：不存在一条全以此组内变量为顶点的闭回路； (3)设Δ是运输问题的一组基变量，变量xij不在Δ 内，则必存在一条唯一的全以Δ∪{xij}中变量为顶点的闭 回路；
第3章运输问题
ui + v j cij i = 1,2,..,m s.t. j = 1,..,n ui ,v j的符号不限
运输问题
解 的 最 优 性 检 验
检验数：目标函数的系数减去对偶变量之和
原问题检验数：σij=cij-(ui+vj) 特别对于m+n-1个基变量，有 σij=0
运输问题
B4 4 4 11 2 12 2 10 1 3 2 9 14 5 12 11 8 6 14 12 14
B2
B3 12
产量
16 10 22 48
ij 0, 此时的解为最优解。 z 8 2 14 5 12 4 4 11 2 9 8 6 244 246 2
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
位势：设对应基变量xij的m+n-1个i、j ， 存 在 ui,vj 满 足 ui+vj=cij,i=1,2,..,m; j=1,2 ,… ,n称这些ui , vj 为该基本可 行解对应的位势。
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
4
6
11
0
0
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
2 列 罚 3 数 4
2
2
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
运筹学 第三章 运输问题
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
2020/4/3
10
一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2020/4/3
27
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
6
对上表用位势法进行检验如下表，可知已达最优解。
2020/4/3
8
§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
2020/4/3
10
一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
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A2
3
A3
B2
B3
5
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销量
3
6
5
B4
产量
2
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1
4
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对上表用位势法进行检验如下表，可知已达最优解。
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
第三章 运输问题的特殊解法
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1 2 1
B2
B3 5
B4
产量 75 4 1 93 20
B1 3 1 7 2
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1
B4 12 8 5 4 3
行差 0 1 2 1
3 6 3 5 6 3 6
32
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×2＋3×5十1×1十8×3＋4×6十5×3＝85(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3 4
B4 3 3 63
产量 73 41 93 20
B1 3 1 7 ①
B2 11 9 4 ④
B3 3 2 10 ③
B4 12 8 5 ⑥ ② ⑤
3 3 6 6
1 54
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×4＋12×3十1×3十2×1＋4×6十5×3＝92(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 12 8 5
（一）确定初始调运方案
1、最小元素法 、
思路：就近供应，优先安排运价最小的收发点之间 的物资调运量，然后次小，直到给出初始基可行解 解题步骤： 解题步骤：
min s = cx
矩
T
阵 形 式
（2）产大于销时 ）
min s = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
n ∑ xij ≤ ai (i = 1,2, L, m) j =1 m ∑ xij = b j ( j = 1,2, L, n) i =1 xij ≥ 0(i = 1,2, L, m; j = 1,2, L, n)
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
第3章+线性规划(运输问题)
如果第一个工厂的生产量小于第一个销售点的需求量， 则先将第一个工厂的全部产品运往第一个销售点，不 足的需求由第二个补足。
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
30
30
60 30 50
20
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。 19
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地 dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销量 分别为40，40，60，20台。从各个分厂运往 各门市部的运费如下表所示，试安排一个 运费最低的运输计划。
16
平衡运输问题的表上作业法
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
30
30
60 30 50
20
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。 19
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地 dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销量 分别为40，40，60，20台。从各个分厂运往 各门市部的运费如下表所示，试安排一个 运费最低的运输计划。
16
平衡运输问题的表上作业法
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
管理运筹学讲义 第3章 运输问题
21
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
§3.2.1 初始基本可行解的确定
与一般线性规划问题不同，产销平衡运输问题总是存在 可行解。不难验证
xij ai b j d
≥
0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n; d ai b j )
i 1 j 1
m
n
就是模型（3-1）的可行解。又因，目标函数值有下界， 故产销平衡的运输问题必有最优解。
A1、 A2、 A3 ，有四个销售点 B1、 B2、B3、 B4 销售
这种化工产品。各产地的产量、各销地的销量和各
产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所
示。
30 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
产销平衡表
运价表
销 产
A1 A2
B1
B2
B3
B4
产量 75 40
B1 3 2
B2 8 9
B3 5 4
27
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20 （产销平衡）
问应如何调运，可使得总运输费最小?
28
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
产销平衡表
运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
B4 9 8
A3
需求 35 40 55 65
80
195
6
3
7
5
问应如何调运，可使得总运输费最小?
31 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
解：用西北角法求初始基本可行解
第3章 运输问题
1
5
6
3 6 5 6
3
（ A1， B2）的检验数σ12 ＝c12－c14+c34－c32 ＝11－10+5－4＝2
Copyright 2013 © 广财大数学学院 运筹学 29
B1 A1 A2 A3 销量
3 1 1
B2
11 2 3
B3 4
2 8
B4
10
产量 7
3 4 9 3 6
3
7
9 1 4
1
10 5
1 1 1 1 1 1 m 1 1 1 P2 n 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1
其中
0 0 1 0 xij的列向量Pij 0 0 1 0 0 0
6 3 6 5
（ A2， B2）的检验数σ22 ＝c22－c23+c13－c14+c34－c32 ＝9－2+3－10+5－4＝1
Copyright 2013 © 广财大数学学院 运筹学 30
B1 A1 A2 A3 销量
3 1 1 11 2
B2
3
B3
B4
10
产量 7 3 4 9
4
2
3
7
9 1 4
1
10
24
解的最优性检验——闭回路法：
从每一个空格出发找一条闭回路，它是以某一个 空格为起点，用水平或垂直线向前划，每碰到一个数 字格转90度，继续前进，直到回到起始空格为止。
Copyright 2013 © 广财大数学学院 运筹学
25
下面以最小元素法得到的初始调运方案为例说明闭回路法.
B1
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B2
B3
B4 发量
行差
3X 1 5
A1 9 18
1 10
9
1 9 XX
A2 11 6
8 18
10
XX 6 X
A3 14 12
2 16
6
收量 4 9 7 5
88 8 22 3 10
89 3 11
26 1 6
列 2 12 7 8
2 差2
78 7
2
运筹学
3.3 最优解的获得
运筹学
1、解的最优性检验
位势法：
收点 发点
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
x32
x33
x34
c31
c32
c33
c34
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
运筹学
3.2.1 最小元素法 例3.2-1
收点
发点
B1
B2 B3
B4
发量
A1
2 X 7 X9
9 18 1 10
1 9 XX
A2
11 6 8 18
10
1 XX 5
A3
14 12 2 16
6
收量
4975
运筹学
例3.2-2
收点
发点
B1
B2
B3
发量
A1
0 3 X ×03
316
A2
5XX
243
×5
A3
0X7
x32
x33
x34
c31
c32
c33
c34
运筹学
定理3.2 运输问题中m+n-1个变量构成基的充分 必要条件是它不包含闭回路。
收点 发点
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
x32
x33
x34
c31
c32
A为m阶，B为n阶
A *
0 B
A B,
0 B
A *
(1)mn
A
B
x11 x12 x1n x21 x31 xm1
1
a2
1
a3
1
1
1 am 1 1 1 b1
b2
1
bn r( A) m n 1
定理3.1 运输问题的任何一个基都由m+n-1个变量组成。
运筹学
闭回路：
收点 发点
A1 A2 A3
B2
B3
B4 发量
行差
A1
3
X
1
5 ×439
9 18 1 10
88
8
8
9
A2
1 11 6
9
XX 8 18
×110
2 2 3 3 11
A3
X X 6 X ×6
14 12 2 16
10
收量 ×34 ×9 ×71 ×5
26 1 6
列 2 12 7 8
2 差2
78 7
2
运筹学 3.2.2 沃格尔近似法
收点 发点 B1
运筹学
运输问题的数学描述
设某种物资有m个发点A1,A2,…, Am， 各发点的发量分别是a1,a2,…,am；有n个 收点B1,B2,…,Bn，各收点的收量分别为 b1,b2,…,bn。已知从发点Ai(i=1,2,…,m)向 收点Bj(j=1,2,…,n)运输单位物资的运价是 cij，问怎样调运这些物资才能使总运费 最少？
运筹学
收点 发点
B1
B2
…
Bn
发量
A1
A2 … Am
收量
x11 x12 …
x1n
c11 c12
c1n
a1
x21
x22 …
x2n
c21 c22
c2n
a2
………… …
xm1 xm2 …
xmn
cm1 cm2
cmn
am
b1 b2 … bn
运筹学
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
s.t. xij ai , (i 1,2,, m)
11 6 8 18
u53
A3
1
14 12
2
5 16
6
收量
4975
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
9 4 1 11
发量
A1
2
7
9
0
9 18 1 10
A2
19
10
2
11 6 8 18
5
A3
1
14 12
2
5 16
6
收量
4975
σij ui v j cij
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
1111
1111
1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
运筹学
3.2 初始基可行解的求法
运筹学
3.2.1 最小元素法 例3.2-1
收点
发点
B1
B2 B3
B4
发量
A1
2 X 7 X ×92
9 18 1 10
A2
19 XX
11 6 8 18
×110
A3
1 XX 5
14 12 2 16
×65
收量 ×421 ×9 ×7 ×5
运筹学
第三章 运输问题
许弼
运筹学
3.1 运输模型
运筹学
例1.1-3
B1
B2 B3 供应量
表1.2
A1
15
21
18 200
A2
20
25
16 150
需求量 100
80
90
min z 15 x11 21x12 18 x13 20 x21 25 x22 16 x23 ,
s.t. x11 x12 x13 200, x21 x22 x23 150, x11 x21 100, x12 x22 80, x13 x23 90, xij 0 (i 1,2; j 1,2,3).
655
×07
收量 ×50 ×3 ×7
运筹学
例3.2-2
收点
发点
B1
B2
B3
发量
A1
0
3
X3
316
5 XX
A2
243
5
0X7
A3
655
7
收量
537
运筹学
定理3.3
由最小元素法得到的各变量的值是运 输问题的一个基可行解，而所有打圈 处的变量正好构成一个基。
运筹学 3.2.2 沃格尔近似法
收点 发点 B1
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
v1 v2 v3 v4
发量
A1
2
7
9
u1
9 18 1 10
A2
19
u2
11 6 8 18
10
A3
1
5
6
u3
14 12 2 16
收量
4975
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
v91 v42 v13 v141
发量
A1
2
7
u01
9 18 1 10
9
A2
19
10
u22
发点
9 4 1 11
发量
A1
2 -14 7 1
9
0
9 18 1 10
A2
1 9 -5 -5
10
2
11 6 8 18
5
A3
1 -3 4 5
14 12 2 16
6
收量
4975
σij ui v j cij
j 1
m
xij bj , ( j 1,2,, n)
i 1
m
n
ai bj
i 1
j 1
xij 0,
运筹学
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 11
a1
1 11
a2
1 1 1 am
1
1
1
b1
1
1
1
b2
1
1
1 bn
r( A) m n
运筹学
c33
c34
运筹学 收 点 发点
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12c13
c14
A2
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
A3
x31
x32
x33
x34
c31
c32
c33