第3章运输问题

发点
9 4 1 11
发量
A1
2 -14 7 1
9
0
9 18 1 10
A2
1 9 -5 -5
10
2
11 6 8 18
5
A3
1 -3 4 5
14 12 2 16
6
收量
4975
σij ui v j cij
c33
c34
运筹学 收 点 发点
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
A2
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
A3
x31
x32
x33
x34
c31
c32
c33
c34
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
运筹学
第三章 运输问题
许弼
运筹学
3.1 运输模型
运筹学
例1.1-3
B1
B2 B3 供应量
表1.2
A1
15
21
18 200
A2
20
25
16 150
需求量 100
80
90
min z 15 x11 21x12 18 x13 20 x21 25 x22 16 x23 ,
s.t. x11 x12 x13 200, x21 x22 x23 150, x11 x21 100, x12 x22 80, x13 x23 90, xij 0 (i 1,2; j 1,2,3).
运筹学
3.2.1 最小元素法 例3.2-1
收点
发点
B1
B2 B3
B4
发量
A1
2 X 7 X9
9 18 1 10
1 9 XX
A2
11 6 8 18
10
1 XX 5
A3
14 12 2 16
6
收量
4975
运筹学
例3.2-2
收点
发点
B1
B2
B3
发量
A1
0 3 X ×03
316
A2
5XX
243
×5
A3
0X7
收点 发点
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
x32
x33
x34
c31
c32
c33
c34
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
运筹学
收点 发点
B1
B2
…
Bn
发量
A1
A2 … Am
收量
x11 x12 …
x1n
c11 c12
c1n
a1
x21
x22 …
x2n
c21 c22
c2n
a2
………… …
xm1 xm2 …
xmn
cm1 cm2
cmn
am
b1 b2 … bn
运筹学
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
s.t. xij ai , (i 1,2,, m)
运筹学
运输问题的数学描述
设某种物资有m个发点A1,A2,…, Am， 各发点的发量分别是a1,a2,…,am；有n个 收点B1,B2,…,Bn，各收点的收量分别为 b1,b2,…,bn。已知从发点Ai(i=1,2,…,m)向 收点Bj(j=1,2,…,n)运输单位物资的运价是 cij，问怎样调运这些物资才能使总运费 最少？
j 1
m
xij bj , ( j 1,2,, n)
i 1
m
n
ai bj
i 1
j 1
xij 0,
运筹学
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 11
a1
1 11
a2
1 1 1 am
1
1
1
b1
1
1
1
b2
1
1
1 bn
r( A) m n
运筹学
11 6 8 18
u53
A3
1
14 12
2
5 16
6
收量
4975
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
9 4 1 11
发量
A1
2
7
9
0
9 18 1 10
A2
19
10
2
11 6 8 18
5
A3
1
14 12
2
5 16
6
收量
4975
σij ui v j cij
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
B2
B3
B4 发量
行差
A1
3
X
1
5 ×439
9 18 1 10
88
8
8
9
A2
1 11 6
9
XX 8 18
×110
2 2 3 3 11
A3
X X 6 X ×6
14 12 2 16
10
收量 ×34 ×9 ×71 ×5
26 1 6
列 2 12 7 8
2 差2
78 7
2
运筹学 3.2.2 沃格尔近似法
收点 发点 B1
x32
x33
x34
c31
c32
c33
c34
运筹学
定理3.2 运输问题中m+n-1个变量构成基的充分 必要条件是它不包含闭回路。
收点 发点
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
x11
x12
x13
x14
c11
c12
c13
c14
x21
x22
x23
x24
c21
c22
c23
c24
x31
x32
x33
x34
c31
c32
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
v1 v2 v3 v4
发量
A1
2
7
9
u1
9 18 1 10
A2
19
u2
11 6 8 18
10
A3
1
5
6
u3
14 12 2 16
收量
4975
运筹学
收 点 B1 B2 B3 B4
发点
v91 v42 v13 v141
发量
A1
2
7
u01
9 18 1 10
9
A2
19
10
u22
A为m阶，B为n阶
A *
0 B
A B,
0 B
A *
(1)mn
A
B
x11 x12 x1n x21 x31 xm1
1
a2
1
a3
1
1
1 am 1 1 1 b1
b2
1
bn r( A) m n 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
定理3.1 运输问题的任何一个基都由m+n-1个变量组成。
运筹学
闭回路：
收点 发点
A1 A2 A3
655
×07
收量 ×50 ×3 ×7
运筹学
例3.2-2
收点
发点
B1
B2
B3
发量
A1
0
3
X3
316
5 XX
A2
243
5
0X7
A3
655
7
收量
537
运筹学
定理3.3
由最小元素法得到的各变量的值是运 输问题的一个基可行解，而所有打圈 处的变量正好构成一个基。
运筹学 3.2.2 沃格尔近似法
收点 发点 B1
1111
1111
1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
运筹学
3.2 初始基可行解的求法
运筹学
3.2.1 最小元素法 例3.2-1
收点
发点
B1
B2 B3
B4
发量
A1
2 X 7 X ×92
9 18 1 10
A2
19 XX
11 6 8 18
×110
A3
1 XX 5
14 12 2 16
×65
收量 ×421 ×9 ×7 ×5
B2
B3
B4 发量
行差
3X 1 5
A1 9 18
1 10
9
1 9 XX
A2 11 6
8 18
10
XX 6 X
A3 14 12
2 16
6
收量 4 9 7 5
88 8 22 3 10
89 3 11
26 1 6
列 2 12 7 8
2 差2
78 7
2
运筹学
3.3 最优解的获得
运筹学
1、解的最优性检验
位势法：