哈尔滨工业大学理论力学第七版第5章 点的运动学

0 0 t t
dx = vdt
A −Bt v = v0 − (e −1) （火箭的速度方程） B
t t
x = x0 + v0t + ∫ (∫ adt)dt
0 0
A A −Bt = x0 + v0t + t + 2 (e −1) （火箭的运动方程） B B
§5 - 3
• 弧坐标
自然法
M
( + )
s = f (t)
v = v0 + at t = −2 + 4× 2 = 6 m /s 2 at = 4 m /s （常量） 2 v 36 2 an = = =9m /s ρ 4
a = a + a = 16 + 81 = 97 m /s
2 t 2 n 2
抛射角为 ϕ 为 :
一斜抛物体，初速为 ， v0 。已知抛物体的轨迹方程
M
r r
矢径 O M2
• 点的加速度
r 2r r dv d r a= = 2 dt dt
矢端曲线
M1
r v1 r r2
M2
r r 1
O
r v2
M3
O
r v1
r r3
r v3
r v3
r r v2 a1
r a3
r a2
矢径矢端曲线
速度矢端曲线
§5 - 2
• 运动方程
x = f1(t) y = f2 (t) z = f3 (t)
r
r
• 点的速度
r r ∆r v = lim ∆t →0 ∆t ∆s = lim ∆t →0 ∆t ds = dt
ds v= dt r r ds r v = vτ = τ dt
• 点的切向加速度和法向加速度
r r r dv dv r dτ a= = τ +v dt dt dt
dτ dτ ds v r = n 代入 = dt ds dt ρ r r
at = −g sin ϕ
2 0 2 0
an = g cosϕ
v v ρ= = an g cosϕ
an =
v2
ρ
a = a +a
2 t
2 n
（ 直线运动：ρ → ∞，an ≡ 0 1 ） (2) 圆周运动：ρ＝常数
（）曲线匀速运动：v = 常数, at ≡ 0, 3 s = s0 + v0t
（）曲线匀变速运动：at = 常数, v = v0 + att, 4 1 2 s = s0 + v0t + att 2
正确答案是：A
点沿螺线自外向内运动，如图所示。 它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点 的加速度是越来越大，还是越来越小？这点 越跑越快，还是越跑越慢？
解：
s = kt
ds v = = k (常数） dt
这点的速度保持不变
dv =0 at = dt
an =
2 n
v2
ρ
=
k2
ρ
（ρ 越来越小）
a = a +a
2 t
加速度越来越大
点作曲线运动，若其法向加速 度越来越大，则该点的速度_________。 （A） 越来越大； （B） 越来越小； （C） 大小变化不能确定。
正确答案是：C
当点作曲线运动时，点的加速度a 是 恒矢量，如图所示。问点是否作匀变速运动？
r a1t
r a1n
r a2t
r a2n r a3n
则t =0时的切向加速度 , 法向加速 ρ 度 和曲率半径 各为多少？
1 2 x = v0t cosϕ , y = v0t sin ϕ − gt 2 an at
wenku.baidu.com
解：
dx ax = 2 = 0, dt
d2 y ay = 2 = −g, dt
2
r at
a = −g,
r ϕ a n r r a = ay
O S
( - )
（以弧坐标表示的点的运动方程）
• 自然轴系
切线 主法线 副法线
τ
r
r n r b
r r r b =τ × n
曲率半径 ρ
1
曲率
ρ
∆ϕ dϕ = lim = ρ ∆s→0 ∆s ds 1
∆ϕ ∆τ = 2τ sin = ∆ϕ & 2 r r
dτ ∆τ ∆ϕ r 1 r = lim = lim n= n ds ∆s→0 ∆s ∆s→0 ∆s ρ
运 动
静力学 运动学
学
动力学
研究物体运动的几何性质的科学
轨迹、运动方程、速度、加速度等 参考体、参考系
第五章 点的运动学
§5 - 1 §5 - 2 §5 - 3 矢量法 直角坐标法 自然法
§5 - 1
• 运动方程 r r r = r (t ) • 点的速度 r
r dr v= dt
矢量法
M1 轨迹
dvz d z az = = 2 dt dt
2
x
y
一火箭沿直线飞行，它的加速 −Bt a = Ae 度方程为 ，其中 A 和 B v0 x，初位置坐标 均为常数。设初速度为 0 为 ，求火箭的速度方程和运动方程。
解：火箭作直线运动
dv = adt
v = vo + ∫ adt = v0 + ∫ Ae−Bt dt
设点作曲线运动，试问图示的各种速度 与加速度情形，哪几种是可能的，哪几种是 不可能的？为什么？
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
可能
不可能
不可能
(d)
(e)
(f)
可能
不可能
可能
如图，圆盘作定轴转动，若某瞬时其边缘 上A、B、C三点的速度、加速度如图所示， 则__________的运动是不可能的。 （A）点A，B； （B）点A，C； （C）点B，C； （D）点A，B，C。
z M z
r k
r r
r j
y
rO i
x
y x
• 点的加速度
r r r r r dv dvx r dvy r dvz r a= = i+ j+ k = axi + ay j + az k dt dt dt dt dvx d2 x z ax = = 2 M dt dt r r r dvy d2 y k z y = 2 ay = rO r dt dt i j x
则
r dv r v2 r a= τ + n dt ρ r r = atτ + ann
dv d2s at = = 2 （切向加速度） dt dt
1 ds an = = （法向加速度） ρ ρ dt v
2 2
a = a + a （全加速度） (ab = 0)
2 t 2 n
dv at = dt
r a3t
答：匀变速运动：at = 常数, 该点不是作匀变速运动
点M 沿半径为R 的圆周运动，其速 度为v ＝ kt，k 是常数。则点M 的全 加速度大小为_____。
kt 正确答案是：k 1+ 2 R
2 4
点沿半径为 4 m R= 的圆周运动，初瞬时速 2 m v0 = − /s 度 at = 4 m 2 ，切向加速度 2 s /s t= （为常量）。求 时，该点速 度和加速度的大小。 解：点做匀加速运动
直角坐标法
z
r k
r r
r j
y
M z x
rO i
x
y
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r r r r r = xi + y j + zk
• 点的速度 r
dx vx = dt dy vy = dt dz vz = dt
r r r r dr dx r dy r dz r = i+ v= j + k = vxi + vy j + vz k dt dt dt dt