随机过程与随机信号的相关理论
随机过程在随机信号检测中的应用
随机过程在随机信号检测中的应用随机过程在随机信号检测中的应用随机过程在随机信号检测中具有广泛的应用。
随机过程是一种具有随机性的数学模型，能够描述随机信号在时间上的演变过程。
在随机信号检测中，通过对随机过程的分析和处理，可以有效地提取出待测信号中的有用信息，从而实现信号的检测和识别。
一、随机过程的定义和特性随机过程是指随机变量在时间上的演变过程。
它可以用数学统计的方法对信号进行建模和分析。
随机过程通常包括两个维度：时间维度和状态维度。
时间维度描述信号在时间上的变化情况，状态维度表示每个时刻信号的取值。
随机过程通常具有以下特性：1. 随机性：随机过程的演变是具有一定概率规律的，即在每个时刻信号的取值是随机的，而不是确定的。
2. 平稳性：平稳随机过程是指在时间上的统计特性不随时间发生变化。
平稳性是进行随机过程建模和分析的重要假设条件。
3. 自相关性：自相关函数是用来描述随机过程中信号的相关性的函数。
自相关函数能够刻画信号在不同时间点之间的相关性程度。
4. 功率谱密度：功率谱密度是一种分析随机过程频谱特性的工具。
它能够描述信号在不同频率上的功率分布情况。
二、随机过程在随机信号检测中的应用随机过程在随机信号检测中有着广泛的应用。
通过对随机过程的建模和分析，可以实现对待测信号的检测和识别。
以下是几种常见的应用场景：1. 噪声处理：在随机信号检测中，噪声是一种不可避免的干扰因素。
通过对噪声进行建模，可以利用随机过程的分析方法对噪声信号进行抑制和滤波，提高信号的检测性能。
2. 信号检测：随机过程可以描述信号在时间上的演变过程。
通过对待测信号和背景噪声进行建模，可以利用随机过程的检测方法实现对信号的检测和判决。
常见的检测方法包括最大似然检测和贝叶斯检测等。
3. 通信系统：在通信系统中，随机过程可以用来描述信号的调制和传输过程。
通过对随机过程的分析和建模，可以优化通信系统的设计，提高数据传输的可靠性和效率。
4. 图像处理：图像信号可以看作是二维随机过程。
随机信号名词解释
随机信号名词解释一、定义随机信号是指在任何时间都无法确定其确切值的信号。
这种信号的值是随机的，即每个样本函数都是不同的，且遵循某种统计规律。
二、特点1.随机性：随机信号的值是不确定的，其具体取值无法事前预测。
2.统计规律性：尽管随机信号的每个样本函数是不同的，但它们遵循一定的统计规律。
这些规律可以通过概率论和统计学进行描述。
3.功率谱密度：随机信号的功率谱密度是一种描述信号中各种频率分量所占的能量比例的函数。
三、产生方式随机信号可以通过自然现象或人为生成的方式产生。
例如，大气噪声、机械振动、电子噪声等都可以作为随机信号的来源。
此外，也可以通过模拟或数字方式生成具有特定统计特性的随机信号。
四、频谱分析频谱分析是研究随机信号的一个重要手段。
通过对随机信号进行频谱分析，可以了解信号中各个频率分量的能量分布情况，从而更好地理解和处理该信号。
五、相关函数相关函数是描述随机信号之间时间关联性的函数。
如果两个信号在某一时刻之前的值相同或相似，则可以说这两个信号在该时刻是相关的。
相关函数在信号处理、系统分析和物理测量等领域中有着广泛的应用。
六、随机过程随机过程是随机信号的扩展，它不仅考虑单个样本函数的随机性，还考虑多个样本函数之间的相互关系。
随机过程在概率论、统计学、通信工程、金融数学等领域中有着广泛的应用。
七、信号处理对于随机信号的处理，常用的方法包括滤波、预测、估计和编码等。
这些方法可以帮助我们从大量的随机信号中提取有用的信息，或者对信号进行有效的传输和存储。
八、应用领域随机信号在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、雷达、声呐、地震学、气象学、经济学等。
在这些领域中，我们需要处理大量的随机信号数据，并从中提取有用的信息。
随机过程在随机信号处理中的应用
随机过程在随机信号处理中的应用随机过程在随机信号处理中的应用随机信号处理是一门研究随机信号的统计特性以及如何处理和分析随机信号的学科。
而随机过程是随机信号的数学模型，描述了随机信号在时间上的演变过程。
因此，随机过程在随机信号处理中扮演着重要的角色。
本文将介绍随机过程在随机信号处理中的应用。
一、时域随机过程的分析1. 自相关函数与互相关函数随机过程的自相关函数描述了信号在不同时间的相关性。
自相关函数可以通过计算信号在不同时间上的互积来得到，而随机过程的互相关函数则可以反映不同信号之间的相关性。
通过分析自相关函数和互相关函数，可以获得信号的周期性、相似性以及相关系数等信息。
2. 平均功率和功率谱密度随机过程的平均功率可以表示信号在统计意义上的能量大小。
对于平稳随机过程，其平均功率是一个常数。
而功率谱密度则是描述信号能量在频域上的分布情况。
通过分析功率谱密度，可以了解信号的频率成分以及频率成分的强弱程度。
二、频域随机过程的分析1. 傅立叶变换傅立叶变换是一种常用的频域分析方法，可以将信号从时域转换到频域。
对于随机过程而言，可以通过傅立叶变换来得到频域上的信号表示。
通过分析信号在频域上的特性，可以获得信号的频谱信息。
2. 相位谱相位谱是频域随机过程中的一个重要概念，表示了信号在频域上各个分量的相位关系。
相位谱可以用于分析信号的相位变化情况，帮助理解信号的时序特性。
三、随机过程模型1. 平稳随机过程平稳随机过程是指在时间上统计特性保持不变的随机过程。
平稳随机过程常用于建立信号的数学模型，通过分析其统计特性，可以对信号的未来变化进行预测。
2. 马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”的特点。
在随机信号处理中，马尔可夫随机过程常用于建立信号的模型，通过分析其状态转移概率，可以对信号的未来状态进行推测。
四、应用实例1. 语音处理语音信号是一种典型的随机信号，可以通过随机过程的分析方法来进行语音信号的降噪、增强、识别等处理。
第二章 随机信号与随机过程
2.2 随机信号的统计描述
随机信号是样本和时间的函数。当t固定时，随机信号 简化为随机变量。
分布函数
F[ X (t j ), t j ] p{x(t j ) x j}
分布密度
f
[ x(t j ), t j ]
F x
t tj
选择N个时刻的值，则有联合分布函数
Fn[x(t1), t1; x(t2 ), t2; x(tn ), tn ]
（3）功率谱函数的性质
Sx (w) 0
Sx (w) Sx (w) 对于实平稳随机过程
Rx (0)
1
2
Sx (w)dw
E[x2 ]
(1)随机常数 （2）随机斜坡
2.7 常用的随机信号
.
x(t) 0
.
x(t) a, a为随机常数
（3）随机正弦 x(t) Asin(wt ), A，w, 中至少有两个随机变量
如果x(t)有一个周期性的分量，则Rn ( )也有一个周期性分量，且周期相同。 即x(t) x(t ),则Rx (t) Rx (t )
（2）互相关函数的性质
Rxy (0) Ryx(0)
Rxy ( ) Ryx ( )
1
Rxy (0) Rx (0)Ry (0) 2
设x.y相互独立 Rxy ( ) Ryx ( ) mxmy
总集：DX (t) E[ X (t) E(X )]2
1T
2
时间：E[(x
x)]t
lim
T
2T
(x
T
x)
dt
（4）自相关函数（在不同时刻的相关性）
Rx (t1,t2 ) E[x(t1), x(t2 )] dx1 x(t1)x(t2 ) f [x(t1),t1; x(t2 ),t2 ]dx2
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
随机过程模型在信号处理中的应用
随机过程模型在信号处理中的应用随机过程是一种描述随机现象演变规律的数学模型。
它是一系列统计规律不确定的随机变量的集合，能够有效地分析和预测信号处理中的随机事件。
本文将重点讨论随机过程在信号处理中的应用，并探讨其重要性和优势。
一、随机过程模型在信号处理中的基本原理随机过程模型用于描述信号在时间上的演变规律，通过对信号的统计特性进行建模与分析。
在信号处理中，随机过程模型常用于描述随机信号的统计特性，如功率谱密度、自相关函数、互相关函数等。
其中，最常见的两种随机过程模型是平稳过程和高斯过程。
1. 平稳过程模型平稳过程是指统计特性与时间无关的随机过程。
在信号处理中，平稳过程模型常用于描述周期性信号或者具有稳定统计特性的信号，如噪声信号。
通过对平稳过程进行建模与分析，可以有效地提取和分析信号中的相关信息。
2. 高斯过程模型高斯过程是指随机过程中所有时刻的任意有限个随机变量均服从高斯分布的随机过程。
在信号处理中，由于大部分自然界的随机现象都符合高斯分布，因此高斯过程模型被广泛应用于信号的建模与分析。
通过高斯过程模型可以准确描述信号的统计特性，如均值、方差、相关性等。
二、随机过程模型在信号处理中的应用案例1. 语音信号处理中的随机过程模型在语音信号的处理中，随机过程模型常用于描述语音信号的频谱、语音信号的自相关性等统计特性。
通过对语音信号进行随机过程建模，可以有效地实现语音信号的去噪、信号的识别与分析等应用。
2. 图像信号处理中的随机过程模型在图像信号处理中，随机过程模型常用于描述图像信号的纹理、噪声等统计特性。
通过对图像信号进行随机过程建模，可以实现图像的去噪、图像的分割与识别等应用。
三、随机过程模型在信号处理中的优势与挑战1. 优势随机过程模型具有灵活性高、适应性强的优势。
它能够有效地应对信号处理中的各种随机性，并能够准确地描述信号的统计特性。
通过对信号进行随机过程建模，可以提高信号处理的精度和效果。
2. 挑战随机过程模型在信号处理中的应用也面临一些挑战。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
通信原理(第3章)
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
随机过程与随机信号的相关理论
第2章
随机过程与随机信号的相关理论
本章内容
随机过程的基本概念 随机信号的基本概念
随机变量
是指对不同的实验结果取不同数值的量，即把随机实验的结果数 量化，由于实验结果的随机性，所以它的取值也具有随机性。
举例： ----抛掷硬币实验
Ω = ω = 正面，反面为随机实验的样本空间，规定实验结果出现正面的
X
(t
)
2
且对任
意 t ， T 有
（a）X (t) E X (t) （常数）
（b）RX (t,t ) R( )
其中 R( ) 是 的某个函数，则称X (t),t T 为宽平稳过程。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，反之亦然。但是如果严平稳过程有有 限的二阶矩，则它一定是宽平稳过程。而对于正态过程来说，两种平稳 过程是等价的。宽平稳过程有较强的适用性。
(t)
0
。σ
2 X
(t)
的平方根称为
随机过程的标准差，即
σX (t) =
σ
2 X
(t)
=
D X(t)
§2.1.3 随机过程的概率分布与统计分析
从统计上来说，σ
2 X
(t)
反应随机过程的样本函数偏离数学期望
μX (t)
的程度。从物理意义上讲，若X（t）为噪声电压，则
ψ
2 X
(t)
就是
X（t）消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值，σ
判为 H0
η0 < ΛzN < ΛzN 不能判决，继续观测
式中， ΛzN 表示进行N次观测的似然比。如果进过N次观测判
决，还不能满足性能要求，则需要增加检测信息。
§2.2
随机信号的基本概念
随机过程与随机信号处理课程论文
中国科学技术大学随机过程与随机信号处理课程论文姓名王誉都专业 23系信号与信息处理单位中科院上海技术物理研究所时间 2015.1.5摘要随机信号理论在它形成的初期，便在通信、雷达、导航以及密码学等领域中获得了广泛的应用。
近年来，随着对随机信号理论研究的进一步深入，人们对随机信号有了更多的认识，随机信号的实际应用也越来越多。
其应用范围从上述领域扩展到自动控制、计算机、声学和光学测量、数字式跟踪和测距系统以及数字网络系统的故障检测等方面。
在这些应用中，随机信号（或序列）的产生是至关重要的，而产生随机信号的性能也对其在实际应用中的效果有着很大的影响。
论文首先对一些随机信号的产生方法进行了介绍，以及随机信号的应用实例。
接下来讨论了随机数发生机制，包括均匀分布、高斯分布和指数分布的随机数的实现方法。
在文章的最后对非平稳随进信号进行了介绍。
关键字：随机信号，随机过程，随机数，非平稳随机过程目录摘要第一章绪论1.1随机信号概述.....................................................................................................................................................................1.2随机信号的应用................................................................................................................................................................1.2.1在蒙特卡罗（Monte Carlo）方法中的应用 .....................................................................................................1.2.2在扩频通信中的应用 ..................................................................................................................................................1.2.3在密码学中的应用 .......................................................................................................................................................1.2.4在随机信号雷达中的应用.........................................................................................................................................1.3数字随机信号的产生 ......................................................................................................................................................第二章随机数发生机制2.1均匀分布的随机数实现方法 .......................................................................................................................................2.2高斯分布的随机数实现方法 .......................................................................................................................................2.3指数分布的随机数实现方法 .......................................................................................................................................第三章非平稳随机信号简介3.1非平稳随机信号的分析、处理与应用....................................................................................................................3.1.1语音信号处理 .................................................................................................................................................................3.1.2雷达与声呐信号处理 ..................................................................................................................................................3.1.3非平稳随机振动分析 ..................................................................................................................................................3.2非平稳随机信号参数模型法简介..............................................................................................................................参考文献第一章绪论1.1随机信号概述随机信号是指没有确定的变化形式，变化的过程不可能用一个或几个时间的确定函数来描述的信号。
随机过程及其在信号处理领域的应用
随机过程及其在信号处理领域的应用随机过程是一种重要的数学工具，它描述了随机现象随时间（或其他指标）的变化规律。
随机过程在很多领域都有广泛的应用，比如金融、物流、通信、控制等等。
在信号处理领域，随机过程也是一个非常重要的应用领域，本文将介绍随机过程的基本概念和信号处理领域中的应用。
随机过程概述随机过程是一个描述随机变量随时间变化的数学模型。
它可以用来描述一些随机现象的规律性，比如股票走势、气温变化、信号传输等。
在随机过程中，我们通常会定义一个随机变量族${X_t}$，表示时间$t$时的随机变量。
这个随机变量族每一项都是一个随机变量，有着一定的概率分布规律。
在实际应用中，我们通常会根据具体问题进行随机变量的选取，以便更好地描述实际随机过程。
除了随机变量族${X_t}$，随机过程还需要定义一些其他概念，比如样本空间、事件集合、概率测度等等。
这些概念使得我们可以针对随机过程进行概率分析和预测。
在随机过程中，我们通常会关注一些统计性质，比如期望、方差、自相关函数、功率谱密度等等。
这些统计性质使得我们可以更好地理解随机过程的行为规律。
信号处理中的随机过程应用在信号处理领域，随机过程有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用。
1. 随机信号的建模和分析信号通常会受到一些随机的影响，而随机过程正是针对这种情况设计的数学工具。
在信号处理中，我们通常会将信号看作是一种随机过程，从而可以用随机过程的方法进行建模和分析。
在信号处理中，有很多不同类型的随机信号，比如高斯白噪声、马尔可夫过程、泊松过程等等。
不同类型的随机信号具有不同的性质，在建模和分析时需要根据具体问题进行选择。
2. 信号滤波和降噪在信号处理中，我们通常需要对信号进行滤波和降噪，以去除一些无用的信息和噪声。
随机过程可以用来描述信号和噪声的统计特性，从而设计出合适的滤波器和降噪算法。
在滤波和降噪中，我们通常会使用一些常见的滤波器，比如Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器等等。
随机信号分析-1 随机过程(1)
X(ξ , t) 是随机过程的一个样本
X(ξ , t) 是一个随机变量 X(ξ , t) 是一个确定值
14
随机过程的定义
随机过程判断举例 例1.1 随机初相正弦波X(t)=A cos(ω0t+Φ )， A和ω0是正常数， Φ服从[0, 2π]上的均匀分布。判断其是否为随机过程. 从定义1的角度考虑： Φ是随机变量，每次观测其取值是随 机的，从而得到不同的样本函数，且该函数是时间函数； 从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量Φ的函数，也
18
随机过程的概率分布
根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足 一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机 变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率 统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。 随机过程的一维概率分布 定义3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，对任意固定t1∈T 和实数x1 ∈R， 称Fx (x1 ; t1)=P {X(t1) ≤ x1} 为该过程的一维分布函数；若Fx
f X x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn
1
2
n 2
1 ' 1 exp X C X 1 2 2 C
C是协方差矩阵，X=(x1 , x2 , …, xn）
24
随机过程的数字特征
有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性， 但有时得到该函数族相当困难，甚至不可能 幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可； 这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、 方差、相关函数等。 数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于实际测量； 对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然 后用随机变量的分析方法来计算。
随机信号-1随机过程(2)解析
X j mX t j
平稳正态随机过程
若正态过程X(t)满足：
mi
mX
,
2 X
RX (ti , tk ) RX ( ki )
ki tk ti , i, k 1, 2, , n
则称其为宽平稳正态随机过程；
此时，协方差矩阵为：
KX (0)
K
KX (t1 tn )
KX (tn t1)
随机信号分析
通信工程学院 张南
nzhang@
正态随机过程
一维正态r.v.
X
N
(mX
,
2 X
)
fX (x)
1
2 X
exp
(x
mX
2
2 X
)2
CX ()
exp
jmX
1 2
2
2 X
二维正态r.v.
(X1, X2)
X1
N
(mX1
,
2 X1
),
X
2
N
(mX2
,
X
(k 2
)
...X
( n
k
)
T
为n维正态随机变量序列，
若X(k)均方收敛于X=[X1,X2┄Xn]T，即对每个i=1,2,…n有
lim
k
E
X (k) i
Xi
2
0,
1i n
则X为正态分布的随机变量
性质5：若正态随机过程{X(t), t∈T}在T上是均方可微的，则
•
其导数过程{X t ,t T} 也是正态过程
对正态过程来说，宽平稳与严平稳等价，其n维概率密度函数 可写作：
fX (x1, x2,
, xn;t1,t2 ,
基于随机过程的信号处理理论研究
基于随机过程的信号处理理论研究随机过程是信号处理领域一个非常重要的研究方向，它对于数字信号处理、信号估计、通信和红外波段探测等领域都有着非常重要的应用价值。
本文将从定义、特点、分类、自相关函数、功率谱密度等方面展开对随机过程的研究。
一、定义随机过程是一个函数集合，它对应于某个随机事件在一些时间（或空间）上的随机演化。
简单地说，随机过程就是一个随时间变化的随机信号。
随机过程可以用f(t, ξ)这种形式来表示，其中t表示时间，ξ表示随机变量。
二、特点1. 随机过程是随机的，它的特征是不确定性。
因此，随机过程会出现在各种各样的信号和系统中，例如自然噪声、无线通信等。
2. 随机过程是时间变化的。
它的定义与时间有关，因此，它是随时间变化的。
3. 随机过程的输出是一个函数，这个函数的输入是时间。
这意味着，它需要通过离散化或采样才能在数字计算机中表示。
三、分类根据随机过程的值域类型，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。
其中，离散随机过程是指值域为离散的、随机变量序列。
而连续随机过程是指值域为连续的、随机变量序列。
四、自相关函数自相关函数是刻画随机信号本身性质的一种指标，它描述了信号在不同时刻对自身进行相关性的衡量。
自相关函数可以用于信号分类、估计等方面。
自相关函数的定义如下：其中E表示数学期望，X(t)表示随机过程在时刻t的取值，X(t+ τ)表示随机过程在时刻t + τ的取值，τ表示时间延迟。
五、功率谱密度功率谱密度是描述随机信号频率特性的一种指标，它表示在不同频率上随机过程的平均功率密度。
功率谱密度与自相关函数有着密切的关系，两者可以通过傅里叶变换相互转换。
功率谱密度的公式如下：其中F(ω) 表示傅里叶变换，R(τ)表示自相关函数。
六、总结随机过程是一个涵盖多个领域的非常重要的研究方向，它可以用于数字信号处理、信号估计、通信和红外波段探测等领域。
本文从随机过程的定义、特点、分类、自相关函数、功率谱密度等方面进行了探讨。
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
k0 j0
k 0
2rm r2k
k 0
2rm
1 r2
例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 2 (m) ，线性
系统的单位冲激响应是
h(n) rn n 0,| r |1
求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
[解]
H(z)
h(k ) z k
k 0
rk zk
k 0
1 1 rz1 ,|
H (0 )
0
0
H () 2 d
e
0
H ()
2
max
等效原则：理想系统 与实际系统在同一白 噪声激励下的输出平 均功率相等，且理想 系统的增益为实际系 统的最大增益。
性质：
✓ 噪声等效通带只能由线性系统特性确定；
H () 2 d
fe
0
2
H ()
2
max
✓ 对于带通系统，输出平均功率
RY (0) feN0 H (0 ) 2
时域法
变换域方法
微分方程法 冲击响应法 频谱法
系统特 性描述
适用 范围
特点
微分方程和初 始值
h(t)
平稳和非平稳 平稳和非平稳
运算繁琐
h(t)较简单时， 较方便
H( )
平稳 方法简单
时域（冲击响应法）
频域（频谱法）
RXY ( ) h( ) RX ( )
RYX ( ) h( ) RX ( )
h(t1) h(t2 ) RX (t1,t2 )
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
m (t )
X
h(t )
mY (t )
RX (t1, t2 ) RX (t1, t2 )
第二章 随机过程
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机信号分析 第二章随机信号概论
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
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第2章
随机过程与随机信号的相关理论
肖海林 hailinxiao@
本章内容
随机过程的基本概念 随机信号的基本概念
随机变量
是指对不同的实验结果取不同数值的量，即把随机实验的结果数 量化，由于实验结果的随机性，所以它的取值也具有随机性。
举例： ----抛掷硬币实验
例如将随机过程的分为：高斯（正态）过程、瑞利过程、马尔可 夫过程、泊松过程等。
它们具有特定的概率分布或密度函数形式和统计特征值函数。
§2.1.2 随机过程的分类
4. 按过程的物理特性分类
在工程应用中还可以把随机过程分为：平稳、非平稳、严平稳、 宽平稳、遍历、非遍历等。
平稳过程： 若形成某随机过程的主要条件在所研究的时间范围内不变，
Ω = ω = 正面，反面为随机实验的样本空间，规定实验结果出现正面的
事件为“1”’，出现反面的事件为“0”，即 X(正面) = 1 ，X(反面) = 0 。 这样，X(ω)为随机变量。
随机变量的分类
根据随机变量可能取得的值，常把的随机变量分为有两种
1. 离散型随机变量 若随机变量只可能取得有限个或可列无限多个数值，则称该 随机变量为离散随机变量。（如：一批灯泡的次品数）
§2.1.2 随机过程的分类
3) 随机过程的遍历性
-----遍历性的条件要求比较宽，实际工程中遇 见的平稳过程大多是遍历过程
若有下式依概率为1成立：
E
V X (t)
P
V x(t)
lim
1
T /2 V x(t)dt
T T T / 2
2. 连续型随机变量 若随机变量可取某一区间内的任何数值，则称连续随机变量。 （如：炮击中弹着点与炮击目标之间的距离，车床加工的零 件尺度与标准尺度的偏差等）
§2.1 随机过程的概念
随机过程
对于本章开始的投币试验的例子： 规定正面朝上事件用正弦信号表示，反面朝上事件用余弦信号表示，
这两条曲线称为这一试验的样本函数，试验之前我们无法预测会出现哪一 条曲线，但可以肯定必将出现其中的一条曲线。
值 X(ωi ,；ti )
④ 若 ω 和 t 均为变量，则 X(ω,t)为所有样本的集合或所有随机变量的
集合，即随机过程 X(t) 。
§2.1.2 随机过程的分类
1. 按时间和状态进行分类
➢ 1) 连续型随机过程——时间 t 连续、状态 X(ti ) 连续；
➢ 2) 离散型随机过程——时间 t 连续、状态 X(ti ) 离散；
也就是说在研究的时间范围内随机过程现在的状态和过去的状态， 都对未来的状态产生很强的影响，则可视该过程为严平稳随机过程
设X(t),t T 为一个随机过程 ，若对任意 n 个不同的 t1 , t2 , , tn
与 h T ，随机向量 X (t1), X (t2 ), , X (tn ) 与随机向量 X (t1 h), X (t2 h), , X (tn h)
§2.1.2 随机过程的分类
2. 按样本函数的性质进行分类
➢ 1) 确定性随机过程 如果随机过程 X(t) 的任意一个样本函数的未来值，都能由过去
的观测值确定，即样本函数有确定的形式。
例如：正弦信号 X(t) = Acos(ω0t + θ0 ) ，其中振幅 A 、角频率ω0 和相位 θ0 都是已知的常量。对于每次试验，得到的样本函数
有相同的分布函数，即
Ft1 ,t2, tn (x1, x2 , xn ) Ft1 h, tn h (x1, x2 , xn )
则称 X (t),t T 为严平稳过程。
§2.1.2 随机过程的分类
2) 宽平稳随机过程 -----适用于工程应用
设X(t),t T
为一个随机过程
，若对任意
t T
，E
② 若将时间 t 固定为 ti ，只有随机因素 ω 变化，则可以得到一个随机变 量，记为 X(ti )；（随机变量 X(ti )称为随机过程 X(t) 在 t = ti 时的状
态）
§2.1.1 随机过程的基本描述
③ 若将 ω 固定为 ωi ，且将时间 t 固定为 ti ，则 X(ω,t) 变为一个确定
X
(t
)
2
且对任
意 t ， T 有
（a）X (t) E X (t) （常数）
（b）RX (t,t ) R( )
其中 R( ) 是 的某个函数，则称X (t),t T 为宽平稳过程。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，反之亦然。但是如果严平稳过程有有 限的二阶矩，则它一定是宽平稳过程。而对于正态过程来说，两种平稳 过程是等价的。宽平稳过程有较强的适用性。
对于这类随机现象，就不能只用一个随机变量来描述，而需要用一族 相关的随机变量来描述。
这族相关的随机变量就是随机过程
§2.1.1 随机过程的基本描述
随机过程的定义
设随机试验的样本空间 Ω = ω ，对其每个元素 ω ，根据某个 规则得出一个样本函数 X(ω,t) ，由全部元素 ω 所得到的一族样本
函数 X(ω,t) 称为随机过程。（通常把 X(ω,t) 简一记为 X(t) ）
§2.1.1 随机过程的基本描述
X(ω,t) 在不同情况下的意义
① 若将 ω 固定为 ωi ，只有时间 t 变化，则可以得到一个特定的时间
函数 X(ωi ,t) ，它是一个确定的样本函数，即某次实验的一个实现 （如投币实验中，出现正弦曲线或余弦曲线）；
对连续型随机过程进行随机取样，并经量化后保持各个取样值。
➢ 3) 连续型随机序列——时间 t 离散、状态 X(ti ) 连续；
对连续型随机过程进行等间隔取样。
数字信号
➢ 4) 离散型随机序列——时间 t 离散、状态 X(ti ) 离散；
对离散型随机过程进行等间隔取样，并将其量化成若干个固定的离散值。
是确定的；
§2.1.2 随机过程的分类
➢ 2)不确定的随机过程 如果随机过程 的任意一个样本函数的未来值，都不能由过去
X(t)
的观测值确定，即样本函数无确定形式。 如：如本章开始的投币实验，任何一次试验结果都是不确定的。
§2.1.2 随机过程的分类
3. 按概率分布或统计特征进行分类
按随机过程的概率分布形式或它的统计特征量进行划分是一种更 为本质的方法。