非均匀采样信号的频谱分析及信号处理系统

ｄｔｋ
《电子技术应用》２００６ 年第 １１ 期
Ｔｄ
! ＝ Ｎ ｆ（ｔ）ｅ－ ｊ!ｔｋ ｄｔ＝ Ｎ Ｆ（ｊ!）
Ｔｄ ０
Ｔｄ
（７）
其 中 Ｔｄ／Ｎ 为 平 均 采 样 时 间 。将 式 （７）代 入 式 （６）， 并 结
合 式（５）， 可 知
Ｅ［Ｆ（ｅｊ!）］＝Ｎ／Ｔｄ×Ｆ（ｊ! ）
（８）
即非均匀离散傅里叶变换公式计算结果的期望是
通信技术
非均匀采样信号的频谱分析及信号处理系统
汪 安 民 １，２， 陈 良 福 ２ （１．清 华 大 学 电 子 工 程 系 ， 北 京 １０００８３； ２．清 华 同 方 电 子 信 息 技 术 研 究 所 ， 北 京 １０００８３）
摘 要 ： 非 均 匀 采 样 由 于 具 有 不 受 采 样 频 率 限 制 、频 率 分 辨 率 高 以 及 抗 混 叠 等 优 点 ， 应 用 十 分 广 泛。推导出非均匀采样信号的离散傅里叶变换方法， 分析了采样时钟抖动对非均匀离散傅里叶变换 的影响， 并给出仿真结果。研制了基于数字信号处理器和可编程逻辑器件的非均匀采样系统， 以此为 硬件平台， 实现了非均匀采样信号的频谱分析。理论和实验结果表明， 非均匀采样系统和频谱分析方 法是有效实用的。
ｙ（ｔ）＝ｓｉｎ（２!ｆ０ ｔ）＋ｓｉｎ（２!ｆ１ｔ）＋ｓｉｎ（２!ｆ２ｔ）
（３）
式 中 ， ｆ０ ＝２００Ｈｚ， ｆ１ ＝７００Ｈｚ， ｆ２ ＝１ １００Ｈｚ。 在 均 匀 采 样 下 ， 采 样 频 率 为 １ ０２４Ｈｚ， 采 样 点 数 为 １ ０２４ ， 并 对 采 样 后 的信号由傅里叶变换得到信号频谱， 如图 １ 所示。在非 均 匀 采 样 下 ， 按 照 式 （ ２ ） 定 义 的 时 刻 采 样 １ ０２４ 点 ， 并 使 用非均匀采样信号的傅里叶变换得到信号频谱， 如图 ２ 所 示 。式 （ ２ ） 的 平 均 采 样 时 间 间 隔 为 １．５ｍｓ （ 对 应 采 样 频 率 为 ６６７Ｈｚ） ， 最 大 采 样 时 间 间 隔 为 １ｍｓ （ 对 应 采 样 频 率 为 １ ０００Ｈｚ） 。 以 最 大 采 样 频 率 计 算 ， ｆ１ 和 ｆ２ 都 超 过 了 香 农采样定理的限制。
为 ＤＳＰ 和 ＣＰＬＤ 的 工 作 时 钟 。 ＤＳＰ 对 时 钟 信 号 倍 频 后 输
出 一 个 快 速 的 时 钟 信 号 到 ＣＰＬＤ， ＣＰＬＤ 以 该 时 钟 为 最 小
时 间 片 ， 进 行 延 时 和 分 频 ， 得 到 非 均 匀 的 时 间 片 。这 些 时
间 片 之 间 间 隔 发 送 到 ＤＳＰ 芯 片 中 ， 供 非 均 匀 采 样 算 法 随
Ｘｃ（! ）Ｘ＊ｃ（! ）｝／Ｎ
（１３ ）
０
３ 实时非均匀采样处理系统
非 均 匀 采 样 系 统 由 ＤＳＰ （ ＴＩ 公 司 的 ＴＭＳ３２０Ｃ６２１１ ） 、
ＡＤ、ＣＰＬＤ、ＵＳＢ 接 口 、ＦＬＡＳＨ 等 组 成 ［４］。硬 件 系 统 框 图 如
图 ３ 所示。
图 ３ 中 ， 时 钟 芯 片 提 供 均 匀 时 钟 到 ＤＳＰ 和 ＣＰＬＤ， 作
低了均匀采样引起的混叠现象， 使得采样不再受限于采
样定理。由于采样时间的随机性， 使得非均匀采样信号
的频谱分析不能直接使用均匀采样信号的傅里叶变换
方 法 。本 文 推 导 出 非 均 匀 采 样 信 号 的 傅 里 叶 变 换 方 法 并
分 析 了 其 精 度 。 非 均 匀 采 样 系 统 的 研 制 主 要 受 限 于 ＡＤ
出非均匀采样信号的傅里叶变换方法， 并使用该方法分
析 非 均 匀 采 样 信 号 的 频 谱 。本 文 还 研 制 出 基 于 数 字 信 号
处 理 器 （ ＤＳＰ ） 和 可 编 程 逻 辑 器 件 （ ＣＰＬＤ） 的 非 均 匀 采 样
和信号处理系统。在该硬件系统上， 实现了非均匀采样
信号的频谱分析。
ｔ０＋!１＋!２＋Ｌ＋!ｎ， 故 ｐｎ（ｔ）＝ｐｎ－ １（ｔ）×ｐ!（ｔ）。根 据 中 心 极 限 定 理 ，
对于一组相互独立的随机变量， 当随机变量的个数大到
一定程度时， 它们的和服从正态分布， 因此当 ｋ→∞ 时，
ｐｎ（ｔ）趋 于 正 态 分 布 。当 ｔ 增 加 时 ， 加 性 非 均 匀 采 样 点 的 概 率分布将趋于平坦， 其数值大小为 １／"。
一 个 中 断 信 号 到 ＤＳＰ 。 ＤＳＰ 收 到 该 中 断 信 号 ， 从 数 据 总 匀 采 样 系 统 平 台 上 ， 应 用 非 均 匀 采 样 信 号 的 傅 里 叶 变 换
样 频 率 的 一 半 ， 否 则 无 法 准 确 地 恢 复 出 信 号 ［１］。 均 匀 采
样信号的频谱分析可以采用经典的傅里叶变换方法实
现 。对 于 非 均 匀 采 样 ， 因 其 采 样 时 刻 的 不 确 定 性 ， 无 法 直
接使用傅里叶变换实现。
本文提出一种伪随机的加性非均匀采样方法， 推导
关键词： 非均匀采样 信号处理 频谱分析
非 均 匀 采 样 是 相 对 于 均 匀 采 样 的 一 种 采 样 方 法 。现
实中， 由于受到电子器件的限制， 均匀采样是相对的， 而
非 均 匀 采 样 是 绝 对 的 。香 农 采 样 定 理 描 述 了 均 匀 采 样 问
题， 确定了均匀采样下被采样信号最高频率必须低于采
动 ＣＰＬＤ。 ＣＰＬＤ 收 到 ＤＳＰ 命 令 后 ， 输 出 非 均 匀 时 钟 信 号 器 件 ， 目 前 还 没 有 非 均 匀 ＡＤ 器 件 可 以 使 用 ， 为 此 ， 本 文
到 ＡＤ， ＡＤ 根 据 该 时 钟 信 号 采 样 ， 每 采 样 一 个 数 据 ， 提 供 采 用 ＣＰＬＤ 控 制 ＡＤ 的 时 钟 实 现 了 非 均 匀 采 样 。 在 非 均
采 样 周 期 ， !Ｓ 为 采 样 频 率 （ 角 频 率 ） 。 假 设 非 均 匀 采 样 的
各个采样点是随机的， 且相互独立， 其概率密度分布函
数 为 ｐ（ｔ）， 采 样 点 数 为 Ｎ， 则
#" $" Ｎ
Ｎ
Ｅ
ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ ＝
Ｅ %ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ &
ｋ＝１
ｋ＝１
１ 非均匀采样
在加性非均匀采样中， 当前采样时刻是根据前一个
采样时刻来选择的， 其数学表达式为：
ｔｎ＋１＝ ｔｎ＋ !ｎ
（１）
其 中 ， !ｎ 为 服 从 同 分 布 的 一 组 随 机 变 量 ， 其 值 恒 为
正 。设 !ｎ 的 概 率 密 度 函 数 为 ｐ!（!ｎ）， 其 均 值 为 " ， 由 于 ｔｎ＝
２
］
｝
ｋ＝１
Ｎ
" ＝
Ｅ ｛ｆ（ｔｋ）ｅ Hale Waihona Puke Baidu ｊ!ｔ ｋ ·ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ ｝
ｋ＝１
ＮＮ
"" ＋
Ｅ ｛ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ ·ｆ（ｔｌ）ｅ － ｊ!ｔｌ ｝
ｋ＝１ ｌ＝ｋ
（１０ ）
" ! Ｎ Ｅ ｛ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔｋ ·ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔｋ ｝＝Ｎ· Ｔ ［ｆ（ｔ ）ｅ － ｊ!ｔ ］２·ｐ （ｔ ）ｄｔ （１１ ）
有限个数目的不连续点， 并且每个不连续点都必须是有
限 值 ， 则 ｆ（ｔ）的 傅 里 叶 变 换 存 在 。当 ｆ（ｔ）经 过 采 样 后 ， 得 到
离 散 序 列 ｆ（ｎＴ）， 其 中 Ｔ 为 采 样 周 期 。 用 ｆ（ｎ）代 表 ｆ（ｎＴ），
则 序 列 ｆ（ｎ）的 离 散 时 间 傅 里 叶 变 换 表 示 如 下［２］：
＋∞
" Ｆ（ｅｊ!）＝ ｆ［ｎ ］ｅ － ｊ!ｎ
（４）
ｎ＝－ ∞
根据采样定理， 时域上的采样， 将使信号频谱在频
域上发生搬移， 若采样频率大于奈奎斯特频率， 则不会
发生频谱重叠。从而
＋∞
" Ｆ"（ｅｊ!）＝
１ Ｔ
Ｆ（ ｊ（!－
ｋ＝－ ∞
ｋ!Ｓ））
（５）
其 中 ， Ｆ"（ｅｊ!） 为 采 样 后 得 到 的 离 散 序 列 的 频 谱 ， Ｔ 为
时调用。
系统软件框图如图 ４ 所示。系统上电初始化后， 启
本 刊 邮 箱 ：ｅ ｔａ ＠ｎｃｓ ｅ ． ｃｏｍ ． ｃｎ
１１９
通信技术
横 坐 标 为 频 率 ， 最 大 值 点 对 应 的 频 率 为 １８．７５ＭＨｚ， 检 测
误 差 为 ０．５１‰ 。
非均匀采样由于采样时间的随机性， 最大程度地降
原始信号频谱。
由于采样时刻的随机性， 虽然计算得到的信号频谱
的期望是信号的真实频谱， 但还必须考察频谱计算的精
度 。 非 均 匀 离 散 傅 里 叶 变 换 的 方 差 推 导 如 下 ［３］：
令 ＸＤ（! ）代 表 由 非 均 匀 离 散 傅 里 叶 变 换 计 算 得 到 的
频 谱 ， ＸＣ（! ）代 表 信 号 的 实 际 频 谱 ， 则
２ 非均匀采样的傅里叶变换
如 果 信 号 ｆ（ｔ）满 足 下 列 条 件 ： （１） ｆ（ｔ）绝 对 可 积 ， 即
＋∞
! ｆ（ｔ） ｄｔ ＜∞； （２）在 任 何 有 限 区 间 内 ， ｆ（ｔ）只 存 在 有 限 个
－∞
数 目 的 最 大 值 和 最 小 值 ； （ ３） 在 任 何 有 限 区 间 内 ， ｆ （ｔ）有
Ｎ ＋∞
" ! ＝
ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ ｐ （ｔｋ）ｄｔｋ
（６）
ｋ＝１ － ∞
如 果 ｐ（ｔ）在 信 号 持 续 时 间 上 服 从 均 匀 分 布 ， 则
Ｎ ＋∞
Ｎ Ｔｄ
" ! " ! ｋ＝１
ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ ｐ （ｔｋ）ｄ ｔｋ＝
－∞
１ Ｔｄ
ｋ＝１
０
ｆ（ｔｋ）ｅ － ｊ!ｔ ｋ
由 于 !ｎ 随 机 分 布 ， 使 得 采 样 时 刻 不 再 是 简 单 的 线 性 关 系 。设 置 ｔ０＝１ｍｓ ， !ｎ 为 均 匀 分 布 在 （ ０ｍｓ ， １ｍｓ ） 之 间 的 随 机 数 。 式 （１）变 为 下 式 ：
ｔｎ＝ｎ＋!ｎ ｎ＝１，２，３， … ， Ｎ
（ ２）
假定三正弦合成信号如下：
从图 ２ 还可以看出， 非均匀采样出现一定幅值的频 谱噪声， 这是非均匀采样的一个缺点。其主要原因是采 样时间随机设置， 每个采样时刻的采样频率都不一样， 混 叠 信 号 根 据 不 同 的 采 样 频 率 分 布 到 不 同 的 频 率 点 。也
就是在每个采样时刻， 仍然存在均匀采样的频谱混叠现 象。但是每个采样时刻都非常短， 使得当前时刻的混叠 频 谱 的 能 量 较 小 ， 反 映 到 频 谱 上 的 幅 度 较 小 。总 的 来 看 ， 由于采样频率随机分布， 使得混叠信号随机分布， 最终 表现出整个频谱出现小幅度噪声。实际上， 相当于将图 １ 中的混叠频谱均匀分布到整个频率段， 大大减小了混 叠频谱的幅度， 远远低于真实信号频谱的幅度， 从而检 测出真实信号。
ｖａｒ｛ＸＤ（! ）｝＝Ｅ｛［ＸＤ（!）］２｝－ ［Ｅ｛ＸＤ（!）｝２］
（９）
假 设 所 设 置 的 采 样 时 刻 ｛ｔｋ｝为 相 互 独 立 、同 分 布 的 随
机 变 量 ， 并 且 其 概 率 密 度 函 数 为 ｐ（ｔ）， 故
Ｎ
" Ｅ ｛［ＸＤ（! ）］２ ｝＝ Ｅ ｛［
ｆ（ｔｋ）ｅ
－
ｊ!ｔ ｋ
比较图 １ 和图 ２， 均匀采样出现了频谱混叠现象， 原 因 有 两 点 ： （１）信 号 中 存 在 超 过 一 半 采 样 频 率 的 信 号 成 分 ； （２）均 匀 采 样 的 周 期 性 使 得 信 号 出 现 频 谱 周 期 。从 图
１１８ 欢迎网上投稿 ｗｗｗ．ａｅｔｎｅｔ．ｃｎ ｗｗｗ．ａｅｔｎｅｔ．ｃｏｍ．ｃｎ 《电子技术应用》２００６ 年第 １１ 期
通信技术
１ 中无法分辨哪个是真实信号，哪个是混叠信号的频谱。
（ 实 际 情 况 下 ， 图 １ 中 ｆ ０、ｆ １ 和 ｆ ２ 分 别 是 真 实 信 号 ｆ０、ｆ１ 和 ｆ２ 的 混 叠 信 号 ） 。
为了消除频谱混叠现象， 采用非均匀采样， 采样不 再 有 周 期 性 ， 而 是 呈 随 机 性 。从 图 ２ 中 可 以 看 出 ， 信 号 频 谱没有混叠现象， 即使此时信号中存在超过采样频率的 信号成分， 非均匀仍然可以准确地检测出信号。
ｋ＝１
０
ＮＮ
"" － Ｅ ｛ｆ（ｔｋ ）ｅ
ｊ!ｔ ｋ
·ｆ（ｔｌ）ｅ － ｊ!ｔｌ
｝＝ Ｎ（Ｎ－
１ ）Ｘｃ（! ）Ｘ＊ｃ（!）
（１２ ）
ｋ＝１ ｌ＝ｋ
将 式 （ １０ ） 、（ １１ ） 和 （ １２ ） 代 入 式 （ ９ ） ， 可 得
! ｖａｒ ｛ＸＤ（! ）｝＝ ｛Ｔ
Ｔ
－
［ｆ（ｔ）ｅ
ｊ!ｔ
］２ｄｔ －