广义积分

第九章 广义积分习题课

一、主要内容 1、基本概念

无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法

Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。

3、广义积分的计算

4、广义积分与数项级数的关系

5、广义积分敛散性的判别原则和程序

包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：

1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子

下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。

例1 判断广义积分⎰+∞+=0q

p x x dx

I 的敛散性。

分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。

解、记⎰+=101q

p x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dx

I

对1I ，先讨论简单情形。

q p =时，1

q p ≠，不妨设q p <，则⎰

-+=1

1)

1(p

q p x x dx

I ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。0>p 时，由于 1)

1(1

lim 0

=+-→+

p q p p

x x x x

因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1

因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。 上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}1³

时发散。

对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则⎰

+∞

-+=1

2)

1(q

p q x x dx

I ，由于 1)

1(1

lim =+-+∞

→q p q q

x x x x

因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。

此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。 上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1£

时发散。

综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1

例2 讨论21sin()m

x x I dx x +∞

+=⎰的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。

分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。

解：先分析绝对收敛性，由于

1s i n ()

1|

|m m

x x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。

当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性，

2222A 2221111|sin()||(1)sin()|11

1 |sin()()|A A A x dx x dx x x x x

x d x dx M

x x

x +=-++≤+++≤⎰⎰⎰⎰

由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。

由于

2111s i n ()2s i n ()1c o s 2()

2||m m m

x x x x x x x x x ++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+⎰收敛，21m dx x +∞⎰发散，因而，21

|sin()|m x x dx x

+∞

+⎰发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。

注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。 注、不能将积分分成如下两部分

21s i n ()m x x I d x x

+∞+=⎰＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+⎰⎰， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。

例3 讨论dx x

x I m ⎰+∞+=0)

1ln(的敛散性。 分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +→和x →+∞时的性质，进行阶的比较。

解、记dx x x I m ⎰+=101)1ln(，dx x

x I m ⎰+∞+=12)

1ln(。 对1I ， 由于