材料力学课件：弯曲内力 (2)

§5-5
A
剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
q(x)
正方向的规定：x轴从左到右为正
B
q(x)向上为正
x q
FSபைடு நூலகம்
M+dM
M
dx FS+dFS
微段平衡：
FS+q(x)dx=FS+dFS M+FSdx+q(x)dx2/2=M+dM
(dFS)/dx=q(x) (dM)/dx=FS
切记：q向上为正；x向右为正。
3. 画剪力弯矩图
FS
q0l 6
q0 2l
x2
－ 2 次抛物线
M q0l x q0 x3 6 6l
－ 3 次曲线
FS
q0l 6
q0 2l
x2
0
q0l 2 / 9 3
xC l / 3
MC
q0l 6
xC
q0 6l
x3 C
q0l 2 93
思考题：
若简支梁上承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力 作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，纳维认 为最大弯矩发生在分布载荷的合力处。
FS图
_
+ qa
M图 qa2/2
qa2/2 qa/2
FN图
+ qa/2
路标支架 ——曲杆
缆车框架
➢ 平面曲杆的内力分析：
曲杆的内力：轴力，剪力，弯矩
F
一般建立极坐标来表示截面的位置
FS FN M
符号：轴力，剪力同前
弯矩：使曲率增大者为正，或
者不规定符号，画在受
F
压的一侧。
分析方法：截面法
FS=Fcos()
M=FRsin()
FN=-Fsin()
内容
弯曲内力
§5-4 剪力弯矩图 §5-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
➢ 组合梁的内力分析：
2Fa F
2Fa F1 F2 F
F1 F2
梁间铰可以传递剪 力，不能传递力偶 矩。
➢ 组合刚架的内力分析：
qa C a/2 a/2
qa
a
A
qa B
F2
F1
C
a/2 N2 N1 a/2
➢ 刚架的内力分析：
刚架的内力：轴力，剪力，弯矩 符号：轴力，剪力同前
弯矩：没有正负号规定， 画在受压的一侧
分析方法：截面法
x1
B
C
a
q
a x2
FCy
A
FAx FAy
1、求支反力 FAx=qa FAy=qa/2 Fcy=qa/2
2、建立局部坐标 3、分段进行内力分析：
CB段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0 AB段：Fs=qa-qx2 M=qax2-qx22/2 FN=qa/2
1/3qa qa
qa2 2/3qa
a
a
a
A
B
C
D
1/3qa
+
A
B
C -
D 2/3qa
1/3qa2
+
A
B
2/3qa2
2、求出特征截面的剪力弯矩值： D 3、确定各段的曲线形状：
qa/2
qa/2 4、画剪力弯矩图：
FS
qa/2
FS
+
0
A BC
M
qa2/4
qa2/4
M
+
A BC
-D qa/2
0
D
A+ B-
B+
C-
D-
Fs qa/2 qa/2 0
0 -qa/2
M 0 qa2/4 qa2/4 qa2/4 0
AB
q q=0 Fs图 直线 M图 斜线
1、截面法 —— 基本方法
2、面积法 (积分法) ：
q、F向上为正
dFS q(x)
dx
x
x左边分布载荷的面积
FS
q(x)dx C
0
=
+ x左边的集中载荷(包 括支反力)
dM dx FS
x
x左边剪力图的面积
M
0 FSdx D
=
+ x左边的集中力偶(包 括支反力偶)
M顺时针为正
例：利用微分关系画剪力弯矩图
dFS q dx
dM dx
FS
d2M dx 2
q
剪力图某点处的切线斜率 = 该截面处载荷集度的大小
弯矩图某点处的切线斜率 = 该截面处剪力的大小
该截面处载荷集度的正负 决定 弯矩图某点处的凹凸性
q(x) = 0 q(x) = c < 0 q(x)= c > 0 q(x) = ax + b q(x) = ax + b
q
(a > 0)
(a < 0)
Fs图
M图 斜线
2次凹曲线 2次凸曲线
2次凸曲线 2次凹曲线 3次曲线
3次曲线
在集中力作用处，梁微段的内力关系: 弯矩连续，剪力突变
F
q
F左
M右
F左+q(x)dx+F=F右 M左+ F左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右
M左
dx F右
dx 0
F左+ F = F右 M左 = M右
BC q=0
=0 直线
CD q<0 斜线 2次凸曲线
利用微分关系画剪力弯矩图的步骤：
求支反力
求特征截面的剪力、弯矩值 特征截面：支座一侧，集中载荷两侧， 分布载荷两侧.
根据微分关系，确定各段曲线的形状
利用剪力弯矩图的封闭特性，检查内力图的 正确性
切记：q向上为正；x向右为正。
求特征截面剪力、弯矩值的方法：
F向上为正
在集中力偶作用处，梁微段的内力关系: 剪力连续，弯矩突变
M
q
F左
M右
F左+q(x)dx=F右 M左+ F左dx+M+q(x)dx2/2=M右
M左
dx F右
dx 0
F左 = F右 M左+M = M右
M顺时针
为正
➢ 利用微分关系画剪力弯矩图
qa/2
q/2
A
BC
a/2 a/2
a
1、求支反力：FAy=qa/2 FDy= qa/2
qa
a
A
FAx
M
FAAy
qa B
qa
FBy
N1=qa F1=FBy=2qa
N2
N1
F2 F1
➢ 非均布载荷作用下，画剪力与弯矩图
q(x) q(x) R
0 xa
x
x
xb
非均布载荷的合力：R xb q( x)dx = 平面图形的面积 xa
非均布载荷对某一点的合力矩：
M R x xb x q(x)dx xa
x
平面图形的重心坐标
例：三角形分布载荷作用，画剪力与弯矩图
解：1. 求支反力
FR
qol 2
2. 建立剪力弯矩方程
FAy
qol 6
FBy
qol 3
FS
q0l 6
x 2
q0 x l
M q0l x x q0 x x 6 2 l 3
FS
q0l 6
q0 2l
x2
M q0l x q0 x3 6 6l
1）你认为纳维的结论是否正确？
2）若认为不正确，请给出正确结论。
F
q
A
B
A
B
l
最大弯矩是否发生在分布载荷的合力作用处？
q A
l a
x1 x2
B b
x3
qlb
qla
FRA a b FRB a b
M1 FRA x1
M2
FRA ( x2
a
l) 2
1 2
qx22
M3 FRB x3
dM 2 dx2
FRA
qx2
0
x2
bl ab
FS 2 FRA qx2
q A
l a
B b
x1
x3
x2
M1 FRA x1
M2
FRA ( x2
a
l) 2
1 2
qx22
M3 FRB x3
FS1 FRA FS 2 FRA qx2
FS 3 FRB
dM dx
FS
dFS q dx
q1 0 q2 q q3 0