第十二章狭义相对论

1− uυ >0 c2
′ > t′ 恒成立。因此，若 t B A ，必有 t B > t A 。
由此得出结论，互为因果关系的两事件，在任何惯性系中不会出现时序颠倒现象。这说 明狭义相对论符合因果规律。 如果两个事件不具有因果关系， 比如不同地点出生的两个婴儿， 不同惯性系中的观察者， 对于两个婴儿出生的时间先后顺序可能得到截然相反的结论， 狭义 相对论并不排斥非因果事件的时序颠倒，这一点很容易由洛伦兹变换得到证明。 例１ ２ －４ “若两个事件在某一惯性系中为同时异地事件，则在其他惯性系中必定不是同时 发生的。 ”如何解释这句话？“只有在一个惯性系中同时同地发生的事件，在另一惯性系中 才是同时同地发生的。 ”这句话对吗？ ′ ′） ［ 解］ （1）在 S ′系中同时异地发生两事件（ x1′ , t1′）和（ x2 , t2 。S 系中该二事件的坐标设为 （ x1 , t1 ）和（ x2 , t2 ） ，根据洛伦兹变换式可得 t1 和 t2 ：
第十二章
一、知识网络
狭义相对论
相对论的时空观 1． 同时性的相对性
∆t 为零， ∆t ′不一定为
相对论基本原理： 光速不变原理、 相对性原 理
相对论质速关系
m= m0 1 −υ
2
c2
零 2．长度收缩
l = l0 1 − u
2
相对论的时空变换 （洛伦兹变换）
x ′= x − ut 1−u
2
相对论动力学基本方程
x1′=
′= x2
由题意 ∆x = 0, ∆t = t2 − t1 = 4s，故
∆x ′= − u ∆t u 1 − ( )2 c
= −6 5 ×108 m
例１ ２ －６ 两惯性系 S、 S ′沿 X 轴相对运动，当两坐标原点 O、 O′重合时记时开始。若在 S 系 中 测 得 某 两 事 件 的 时 空 坐 标 分 别 为 x1 = 6 ×104 m ， t1 = 2 ×10−4 s ； x2 = 12 ×104 m ，
x= = x′ + ut ′ 1−u2 c 1.8 ×1017 + 0.8 × 3 ×108 × (−6.0 ×108 ) 1−(
= 6.0 ×1016 m
0.8c 2 ) c
5
在 π 介子参考系观测，这段距离应为 H ′= H 1 −
u2 =379m，在 π 介子一生中地球的行程为 c2 L′= u ∆t ′=599m，由于 L′> 379 m，所以 π 介子参照系观测的结果也是 π 介子能到达地球。
例１ ２ －８ 设有两个参照系 S 和 S ′，它们的原点在 t=0 和 t ′= 0 时重合在一起，且 S 系的 X 轴与 S ′系的 X ′轴重合。 有一事件， 在 S ′系中发生在 t ′= 7.0 ×10−8 s，x ′=65m，y ′= 0, z ′= 0 处， 若 S ′系相对于 S 系以速率 u=0.6c，沿 X 轴正方向运动，试求该事件在 S 系中的时空坐标。 ［ 解］ 由洛伦兹逆变换式，该事件在 S 系中的时空坐标为
这表明在 S 惯性系中不是同时发生的。 （2）本题中后一句话是对的，可解释如下： 由洛伦兹变换得
3
t2 − t1 = ′− t1′= 0, x2 ′− x1′= 0 ，所以有 由于 t2
′− t1′ (t2 )+
u ′− x1′ ( x2 ) c2 2 1−u 2 c
t2 = t1
这表明： “只有在一个惯性系中同时同地发生的事件，在另一惯性系中才是同时同地发 生的。 ”这句话是对的。 例１ ２ －５ 在惯性系 S 中，测得某两事件发生在同一地点，时间间隔为 4s，在另一惯性系 S ′ 中，测得这两事件的时间间隔为 6s。试问在 S ′系中，它们的空间间隔是多少？ ［ 解］ 在同一地点先后发生两事件的时间间隔即固有时间。在 S 系中测得的 ∆t ＝4s 是固有 时间，在 S ′系中测得的 ∆t ′＝6s 是由于相对论时间膨胀效应的结果，故有
υ= ′− x′ xB A ′− t A ′ tB
2
传递到 B 点，将 代入时间差公式中，得到
′ ′ ′ x′ A − xB = υ (t B − t A ) ′− t A ′) − (t B
u ′− t A ′) υ (t B 2 c tB − t A = u 1 − ( )2 c uυ ′− t A ′)(1 − 2 ) (t B c = u 2 1−( ) c 根据狭义相对论的理论， u < c,υ < c ，故
u x′ A c2 tA = u 1 − ( )2 c ′+ tA u ′ xB c2 tB = u 1 − ( )2 c ′+ tB
则时间差为
tB − t A = ′− t A ′) + (t B u ′ − x′ ( xB A) c2 u 1 − ( )2 c
由于 A 事件是 B 事件的原因，则 x′ A 处 A 事件的影响必以某种信息运动方式以速度
∆t = ∆t ′ 1−u
2
= 31.6 ×10−6 s c2
即在地球观测者看来， π 介子一生可飞行距离为
L = u ∆t = 0.998 × 3 ×108 × 31.6 ×10 −6 = 9460 m
由于 9460m＞6000m，可判断 π 介子能达到地球。 （2）在与 π 介子共同运动的参考系中， π 介子是静止的，地球以速率 u =0.998c 接近 π 介子。从地面到 π 介子产生处为 H=6000m 是在地球参考系中测得的，由于空间收缩效应，
u x′ 2 1 c t1 = 2 1−u 2 c t1′+ u x′ 2 2 c t2 = 2 1−u 2 c ′+ t2
则由两式相减得到
t2 − t1 = ′− t1′= 0, x2 ′− x1′≠ 0 ，所以有 因为 t2 t2 − t1 ≠ 0 ′− t1′ (t2 )+ u ′− x1′ ( x2 ) c2 2 1−u 2 c
2
c2
=
∆t 2 ) ∆ x(1 − u 2 ) ∆x = c 2 2 1−u 2 1−u 2 c c
2
= ∆x 1−u
c2
= (12 − 6) ×104 × 1 −
1 4
= 3 3 ×104 m
例１ ２ －７ 离地面 6000m 的高空大气层中， 产生一 π 介子以速度 u =0.998c 飞向地球。 假定 π −6 介子在自身参照系中的平均寿命为 2 ×10 ，根据相对论理论，试问： （1）地球上的观测者判 断 π 介子能否到达地球？（2）与 π 介子一起运动的参照系中的观测者的判断结果又如何？ ［ 解］ （1） π 介子在自身参照系中的平均寿命 ∆t ′= 2 ×10−6 s 为固有时间。由于时间膨胀效 应，地球上观测者，测得 π 介子的寿命为
t2 −
解得
u=
u u x = t1 − 2 x1 2 2 c c
c 2 (t2 − t1 ) c －1 = − = −1.5 ×108 ms x2 − x1 2
式中负号表示 S ′系沿 X 轴负向运动。 ′，由洛伦兹变换得 （2）设在 S ′系中测得两事件的空间坐标分别为 x1′、 x2
′− x1′= ∆ x ′= x2 ∆ x(1 − u ∆ x − u ∆t 1−u
∆t ′= ∆t u 1 − ( )2 c 1 3 = u 2 2 1−( ) c
u=
5 －1 c = 5 ×108 ms 3 x1 − ut1 u 1 − ( )2 c x2 − ut2 u 1 − ( )2 c
3 = − × 5 × 4 ×106 2
根据洛伦兹变换，在 S ′中测得两事件的空间坐标分别为
t2 = 1.0 ×10−4 s，而在 S ′系中测得该两事件同时发生。试问：
（1） S ′系相对 S 系的速度如何？ （2） S ′系中测得这两事件的空间间隔是多少？
4
［ 解］ （1）设 S ′系相对 S 系的速度为 u，由洛伦兹变换，在 S ′系中测得两事件的时间坐标 分别为
u x 2 1 c t1′= u 1 − ( )2 c u t2 − 2 x2 c ′= t2 u 1 − ( )2 c t1 − ′= t1′，即 由题意 t2
r u r d mυ F= dt 1 −υ 2 c2
c2
c2
y ′= y z ′= z ux c2 t ′= 2 1−u 2 c t−
3．时间延缓
∆t = ∆t0 1−u
2
相对论动能
Ek = mc 2 − m0 c 2
c2
质能关系
4．因果事件的时序不 会颠倒 相对论速度变换
1
解题时应确切理解固有时和固有长度的意义，切记固有时最短，固有长度最长。 4．狭义相对论动力学中几个基本公式（质能关系式、动能公式、能量公式、能量动量 关系式）和动量守恒定律、能量守恒定律的应用。
三、典型例题
例１ ２ －１ 力学相对性原理与爱因斯坦相对性原理有什么区别？ ［ 解］ 力学相对性原理也称伽利略相对性原理， 它指出了牛顿力学规律在所有惯性系中都相 同，即在所有惯性系中力学规律具有相同的数学表述形式，也称具有协变性；而爱因斯坦相 对性原理指出：所有物理定律在所有惯性系中都相同，即对于物理规律的数学描述，所有惯 性系都是等价的。在两个原理中，后者包括了前者，后者又是前者的推广。比如对于机械能 守恒定律，根据力学相对性原理，相对所有惯性系都是成立的；根据爱因斯坦相对性原理， 它相对于所有惯性系也都成立。但对麦克斯韦方程组来说，根据力学相对性原理，它不具有 协变性，而根据爱因斯坦相对性原理，它具有协变性，对所有惯性系都适用。 例 １ ２ －２ 狭义相对论的相对性原理与光速不变原理的实质是什么？两条基本原理共同表 达了什么？ ［ 解］ 狭义相对论的相对性原理的实质是， 否定了绝对静止不动的参照系以及相对于电的绝 对运动是不存在的，从而将绝对空间的概念从整个物理学中排除出去。 光速不变原理的实质是，同时性的概念和时间的量度都与参照系有关，具有相对性。从 而将绝对时间的概念也从物理学中排除出去。 这两条基本原理共同表达了狭义相对论的时空观， 这一时空观的数学表达是洛伦兹时空 坐标变换。 例１ ２ －３ 如果 A、 B 是 S ′惯性系中互为因果关系的两个事件 （A 是 B 的原因， 先于 B 发生） 。 试问：能否找到一个惯性系，在该系中测得 B 先于 A 发生，出现时间顺序颠倒的现象？ ［ 解］ 不能。理由如下： ′, x ′ ′ ′ ， S ′系相对 S 系以 u 的速 设 A、B 事件在 S ′系的时空坐标分别为（ t A A ）和（ t B , xB ） 度沿 X 轴正向运动，则根据洛伦兹变换，在 S 系中测得两事件发生的时间 t A 和 t B 为
x= x′ + ut ′ u 1 − ( )2 c y = y ′= 0
t′ +
=
65 + 0.6 × 3 ×108 × 7.0 ×10−8 1−( 0.6c 2 ) c z = z ′= 0
=97m
u 0.6 × 65 x ′ 7.0 ×10−8 + 2 c 3 ×10 8 = 2.5 ×10−7 s t= = u 0.6c 2 1 − ( )2 1− ( ) c c
例１ ２ －９ 一宇宙飞船沿 x 方向离开地球（S 系） ，以速率 u=0.80c 航行，宇航员推算出在自 己的参考系中（ S ′系） ，在时刻 t ′= −6.0 ×108 s， x ′= 1.80 ×1017 m， y ′= 1.20 ×1017 m， z ′= 0 处 有一超新星爆发。试求： （1）在地球参照系中该超新星爆发事件的时空坐标； （2）在何时刻（ S ′系中）超新星的光到达飞船； （3）假定宇航员在他看到超新星时立即向地球发报，在什么时刻（S 系中）地球上的 观察者收到此报告； （4）在什么时刻（S 系中）地球上的观察者看到该超新星。 ［ 解］ （1）由洛伦兹变换得
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E = mc 2
动量和能量关系
2 4 E 2 = P 2 c 2 + m0 c
二、基本题型
1．关于狭义相对论两条基本原理和相对论时空观的理解。 2．利用洛伦兹变换计算时空坐标以及时间间隔和空间间隔。 在应用洛伦兹变换时，应注意同时事件和同地事件的特点，恰当地选择变换形式，会给 解题带来方便。 3． 利用相对论长度收缩和时间延缓效应计算时间间隔 （包括固有时间） 和空间间隔 （包 括固有长度） 。