第2章 1 算法的基本思想

§1算法的基本思想

学习目标 1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．

知识点一算法的概念

思考有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换一下，试用自然语言表述你的操作方法．

答案先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．

梳理一般地，算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．

同一个问题可能存在多种算法，一个算法也可以解决某一类问题．

知识点二算法的特点

思考设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？

答案若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．梳理算法的特点

(1)有限性

一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有限的操作步骤之后结束．

(2)确定性

算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的．

(3)可行性

算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．

1．算法是解决一个问题的方法．( × )

2．一个算法可以产生不确定的结果．( × )

3．算法的步骤必须是明确的、有限的．( √ )

类型一 算法的概念

例1 (1)下列对算法的理解正确的是________．(填上所有正确说法的序号)

①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；

②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；

③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；

④任何问题都可以用算法来解决．

答案 ①②③

解析 由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解

决，例如求1＋12＋13＋14＋ (1)

＋…，故④不正确． (2)给出下列叙述：

①发电子邮件：先打开电子信箱，点击写邮件，输入发送地址，输入信件内容，然后点击发送；

②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，求解；

③方程x 2－1＝0有两个根；

④求1＋2＋3＋4的值，先算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，最终结果为10. 其中是算法的是________．(写出所有是算法的序号)

答案 ①②④

解析 算法强调的是解决一类问题的方法和步骤，③只陈述了有两个根的事实，没有解决如何求两个根的问题，所以不能看成算法．

反思与感悟 判断算法的关注点

(1)明确算法的含义及算法的特征．

(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步骤之内完成．

(3)算法实际上是一种程序方法，在利用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．

跟踪训练1给出以下叙述：

①过河要走桥；

②老师提问说不会；

③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热这些步骤；

④学习要预习、听讲、质疑、练习巩固等步骤．

其中能称为算法的是()

A．①②B．②③C．③④D．①④

答案 C

解析①②不能称为算法，根据算法的含义知③④正确．

类型二算法设计

例2设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．

解算法步骤如下：

1．先将840进行素因数分解：

840＝23×3×5×7；

2．然后将1 764进行素因数分解：

1 764＝22×32×72；

3．确定它们的公共素因数：2,3,7；

4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；5．最大公因数为22×31×71＝84.

反思与感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪训练2设计一个算法，求98与63的最大公因数．

解算法步骤如下：

1．先将98进行素因数分解：98＝2×72；

2．然后将63进行素因数分解：63＝32×7；

3．确定它们的公共素因数：7；

4．确定公共素因数的指数：公共素因数的指数是1；5．最大公因数为7.

类型三 选择性执行问题的算法

例3 某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

0.53×ω，ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85，ω>50，其中ω(单位：kg)为行李的质量， 如何设计计算托运费用c (单位：元)的算法．

解 算法步骤如下：

1．输入行李的质量ω；

2．如果ω≤50，则令c ＝0.53×ω后执行第4步，否则执行第3步；

3．c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；

4．输出托运费用c .

反思与感悟 解决选择性问题的算法的步骤

(1)输入自变量的值；

(2)对自变量的范围进行判断，选择对应的解析式，求函数值；

(3)输出函数值．

跟踪训练3 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x >0，0，x ＝0，

x ＋1，x <0，

写出给定自变量x 求函数值的一个算法．

解 算法步骤如下：

1．输入x ；

2．若x >0，则令y ＝－x ＋1后执行第5步，否则执行第3步；

3．若x ＝0，则令y ＝0后执行第5步，否则执行第4步；

4．令y ＝x ＋1；

5．输出y 的值.

1．下列关于算法的说法，正确的个数为( )

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；