人教版数学七年级培优和竞赛教程15整数的分类
七年级数学上册 培优强化训练15 新人教版

培优强化训练151. 绝对值不大于4的整数的积是 ( ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________.6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯-(2) -1100-(1-0.5)×31×[3-(-3)2](3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45 )-0.32÷|-0.9|(4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1 )27. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7)(2) 3x532x 35-=-(3)3y181y 961y 5--+=+8. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值.9.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD, ∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.10.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天?数学培优强化训练(十五)(答案)1. 绝对值不大于4的整数的积是 ( B ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( D ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( D )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( B )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________. 4x=6-(1-x)6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯- (2) -1100 -(1-0.5)×31×[3-(-3)2]6 解原式=011)6(31211=+-=-⨯⨯-- (3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45)-0.32÷|-0.9|解析: “+” “-”号把式子分成四部分, 分别计算再加减. 解原式=-9+9+25×(54-)-0.09÷0.9=-9+9+(-20)-0.1=-20-0.1=-20.1 (4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1)2-10997. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7) (2)3x532x 35-=- x=11 x=-9 (3)3y 181y 961y 5--+=+ y=538. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值.a+b=0, c=0, d=1 (a+b)d+d -c=19.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD,∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.解: ∠1=400, ∠BOD=900-400=50∠AOD=1800-500=1300, ∠AO C 与∠AOD 互补, ∴∠3=500, ∠2=21∠AOD=65010.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天? 解: 设乙还需做x 天, 由题意得18x83123=++, x=3。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)

数的整除(一)【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除)又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=31234能被12整除,求X。
例2己知五位数x解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,当1+2+3+4+X能被3整除时,x=2,5,84能被4整除时,X=0,4,8当末两位X∴X=8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行调整末两位数为30,41,52,63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除,那么X=__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时,59610能被7整除5当n=__________时,n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________ 88个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧(上)数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。
因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有:1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得a=bq+r(0≤r<b),且q,r是唯一的。
特别地,如果r=0,那么a=bq。
这时,a被b整除,记作b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。
2.若a|c,b|c,且a,b互质,则ab|c。
3.唯一分解定理:每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即其中p1<p2<…<p k为质数,a1,a2,…,a k为自然数,并且这种表示是唯一的。
(1)式称为n的质因数分解或标准分解。
4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为:d(n)=(a1+1)(a2+1)…(a k+1)。
5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。
因此,不等式x<y与x≤y-1是等价的。
下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有: 1.十进制表示形式:n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0; 2.带余形式:a=bq+r ;4.2的乘方与奇数之积式:n=2m t ,其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片如下图放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
七年级数学上册 培优强化训练15 新人教版

培优强化训练151. 绝对值不大于4的整数的积是 ( ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________.6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯-(2) -1100-(1-0.5)×31×[3-(-3)2](3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45 )-0.32÷|-0.9|(4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1 )27. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7)(2)3x532x 35-=-(3)3y181y 961y 5--+=+8. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值.9.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD, ∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.10.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天?数学培优强化训练(十五)(答案)1. 绝对值不大于4的整数的积是 ( B ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( D ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( D )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( B )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________. 4x=6-(1-x)6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯- (2) -1100 -(1-0.5)×31×[3-(-3)2]6 解原式=011)6(31211=+-=-⨯⨯-- (3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45)-0.32÷|-0.9|解析: “+” “-”号把式子分成四部分, 分别计算再加减. 解原式=-9+9+25×(54-)-0.09÷0.9=-9+9+(-20)-0.1=-20-0.1=-20.1(4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1)2-10997. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7) (2)3x532x 35-=- x=11 x=-9 (3)3y 181y 961y 5--+=+ y=538. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值. a+b=0, c=0, d=1 (a+b)d+d -c=19.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD,∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.解: ∠1=400, ∠BOD=900-400=50∠AOD=1800-500=1300, ∠AO C 与∠AOD 互补, ∴∠3=500, ∠2=21∠AOD=65010.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天?解: 设乙还需做x 天, 由题意得18x83123=++, x=3。
人教版七年级数学培优教程

比例数.
有限小数
可化为分数形式,是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式,不是有理数
有理数的分类:
正整数
整数
零
自然数
有理数(按定义分类)
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数(按符号分类) 零(零既不是正数,也不是负数)
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义,例如小数是有理数吗?下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义:能写成 m (m、n 为整数,n≠0,(m,n)=1)的数. n
例: 12 3 , 3 3 , 0.1
1
,
0.3
1
82
1
10
3
有理数:rational number,rational(有道理的)的词根为 ratio(比例),有理数可以理解为
6、数轴上:B 到 A 的距离为 1,C 到 B 的距离为 2,求 AC=________
动点(规律类) 1、数轴上:点 A 从原点向右移一个单位,再向左移动两个单位,求现在位置 2、数轴上:点 A 向左移动 3 个单位,向右移动 5 个单位到 2014,求开始的位置 3、数轴上:点 A 从原点开始按照右移 1 个单位,左移 2 个单位,右移 3 个单位,左移 4 个 单位……右移 99 个单位,左移 100 个单位的规律移动 (1)最后的位置________. (2)共移动了多少个单位长度? (3)若 A 为一个起始为 300kg 的质点,每移动一个单位减少 1kg,A 点消失的位置? 基础夯实 【例 3】(1)如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(2)倍数 约数

(2)倍数约数【知识精读】1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。
例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数,7是0的约数。
3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除例如23=3×7+2则23-2能被3整除。
【分类解析】例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32。
解:列表如下其规律是:设A=a m b n(a,b是质数,m,n是正整数)那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解:分解质因数:360=23×32×5,360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数解:∵24=23×3,90=2×32×5∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6经检验1和2不合题意,∴N=6,3例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
人教版七年级上册数学同步培优(整册)

初一上册数学培优讲义教师:学生:目录第一讲正数与负数、有理数的概念 (3)第二讲有理数的加减 (7)第三讲有理数的乘除、乘方 (11)第四讲有理数的的混合运算 (15)第五讲整式的加减 (19)第六讲解一元一次方程(一) (23)第七讲解一元一次方程(二) (27)第八讲实际问题与一元一次方程(一) (31)第九讲实际问题与一元一次方程(二) (35)第十讲图形的初步认识(一) (39)第十一讲图形的初步认识(二) (43)第十二讲有理数与整式的复习 (47)第十三讲一元一次方程复习 (51)第十四讲期末复习 (55)第一讲 正数与负数、有理数的概念考试目标解读1、正数和负数:(1)负数的定义:在正数前面加上的数叫做负数。
▲特殊数字0 (2)通常在日常生活中用正数和负数表示 的两种量。
(3)用正负数表示加工允许误差。
2、有理数:(1)有理数的定义: 。
(2)分类⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 (0不能忽视) 正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⑤ a >0时,a 是正数;a <0时,a 是负数;a ≥0时,a 是正数或0,即非负数;a ≤0时,a 是负数或0,即非正数.3、数轴(1)数轴的定义:通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
(2)数轴的三要素: 、 、 。
4、相反数(1)只有 不同的两个数叫做互为相反数。
(2)一般地,a 的相反数是 ,0的相反数是 。
(3)相反数的性质:互为相反数的两数 。
5、绝对值(1)定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。
(2)正数的绝对值是 ,负数的绝对值是 ,0的绝对值是 。
(3)绝对值的性质: ①有理数的绝对值是一个非负数,即最小的绝对值是零;②两个互为相反数的绝对值相等,即a a -=.(4)两个数比较大小的方法:根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较,数轴上的数从左到右是逐渐 。
7年级数学(人教版)培优竞赛训练—(3)质数合数

(3) 质数 合数【知识精读】1 正整数的一种分类:质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。
求这两个数解:∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a -2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解:∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵(-1)(-m )=m∴所求的两个整数是1和m 或者-1和-m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解:分解质因数:30=2×3×5适合条件的值共有: ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ,b ,c ,d 值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。
解:(本题答案不是唯一的)设N 是不大于5的所有质数的积,即N =2×3×5那么N +2,N +3,N +4,N +5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。
令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N +2,N +3,N +4,……N +(n+1)就是所求的合数。
初中数学竞赛辅导资料(初一用)

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要:如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。
0能被所有非零的整数整除。
能被7整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除)又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x ,y解:x ,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6。
∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位4x 能被4整除时,x =0,4,8∴x =8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积)①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除,那么x=__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时,n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。
2018新版人教版七年级数学上册培优资料(竞赛)

培优升级·奥赛检测
1 01. (重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为 1999 的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数 9 点的个数是( ) A. 1998 B. 1999 C. 2000 D. 2001 02. (第 l8 届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数 a、b、c 对应的点的位置如图所示,有下列四个结论: ①abc<0;②|a-b|+|b-c|=|a-c|;③(a-b)(b-c)(c-a)>0;④|a|<1-bc.其中正确的结 论有( ) A. 4个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 a b c abc 03.如果 a、b、c 是非零有理数,且 a+b+c=0.那么 + + + 的所有可能的值为( ) |a| |b| |c| |abc| A. -1 B. 1 或-1 C. 2 或-2 D. 0 或-2 04.已知|m|=-m,化简|m-l|-|m-2|所得结果( ) A. -1 B. 1 C. 2m -3 D. 3- 2m 05.如果 0<p<15,那么代数式|x-p|+|x-15|+|x-p-15|在 p≤x≤15 的最小值( ) A. 30 B. 0 C. 15 D. 一个与 p 有关的代数式 06.|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为 . 07.若 a>0,b<0,使|x-a|+|x-b|=a-b 成立的 x 取值范围 . 08. (武汉市选拔赛试题)非零整数 m、n 满足|m|+|n|-5=0 所有这样的整数组(m,n)共有 2mnp |m| |n| |p| 09.若非零有理数 m、n、p 满足 + + =1.则 = . m n p |3mnp| 10. (19 届希望杯试题)试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|的最小值.
它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-
人教版数学七年级讲练教程培优和竞赛二合一:3-质数合数

人教版数学七年级讲练教程(培优和竞赛二合一)(3) 质数 合数【知识精读】1 正整数的一种分类:质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。
求这两个数解:∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a -2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解:∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵(-1)(-m )=m∴所求的两个整数是1和m 或者-1和-m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解:分解质因数:30=2×3×5适合条件的值共有: ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ,b ,c ,d 值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。
解:(本题答案不是唯一的)设N 是不大于5的所有质数的积,即N =2×3×5那么N +2,N +3,N +4,N +5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。
初中数学竞赛知识点总结

初中数学竞赛知识点总结一、整数1. 整数的概念整数包括正整数、负整数和0。
整数的绝对值表示这个整数到0的距离。
2. 整数的加减法同号两个整数相加或相减,与它们的绝对值的和或差的符号相同;异号两个整数相加或相减,用绝对值相减,结果的符号取绝对值较大的数的符号。
3. 整数的乘法同号两个整数相乘,其积为正;异号两个整数相乘,其积为负。
4. 整数的除法两个不为0的整数相除,商为0时,除数与被除数的符号相同;商不为0时,商的符号与除数与被除数的符号相反。
5. 整数的乘方整数a的n次幂,即a的n次方,是指n个a的乘积。
其中,a是底数,n是指数。
a的0次方等于1。
6. 整数的除法两个整数相除,可以转换为乘法。
例如,a ÷ b = a × (1/b)。
其中,a为被除数,b为除数,1/b为倒数。
7. 整数的分数形式若a和b是整数且b≠0,则数a/b称为有理数。
8. 整数的倍数若b是a的整数倍,则b是a的倍数,a是b的约数。
9. 整数的绝对值整数a的绝对值,记作|a|,是a到0的距离。
如果a≥0,则|a|=a;如果a<0,则|a|=-a。
10. 整数的比大小当两个整数比大小时,可以比较它们的绝对值,绝对值较大的数比较大;若两个数的绝对值相等,则比较它们的正负。
11. 整数的应用整数在实际生活中有着广泛的应用,例如温度的正负、方向的左右等。
整数的应用能够帮助我们更好地理解和解决问题。
二、有理数1. 有理数的概念既包括整数,也包括分数的数为有理数。
2. 有理数的加减法有理数的加减法规则与整数的加减法规则相同。
3. 有理数的乘法有理数的乘法规则与整数的乘法规则相同。
4. 有理数的除法有理数的除法规则与整数的除法规则相同。
5. 有理数的乘方有理数的乘方规则与整数的乘方规则相同。
6. 有理数的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用,能够帮助我们更好地理解和解决问题。
三、分数1. 分数的概念分数是用整数除法表示的数,由分子和分母组成。
初中七年级培优竞赛辅导讲义全册(207页)

初中七年级培优竞赛辅导讲义目录(共207页,按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节)第01讲与有理数有关的概念第02讲有理数的加减法第03讲有理数的乘除、乘方第04讲整式第05讲整式的加减第06讲一元一次方程概念和等式性质第07讲一元一次方程解法第08讲实际问题与一元一次方程第09讲多姿多彩的图形第10讲直线、射线、线段第11讲角第12讲与相交有关概念及平行线的判定第13讲平行线的性质及其应用第14讲平面直角坐标系(一)第15讲平面直角坐标系(二)第16讲认识三角形第17讲认识多边形第18讲二元一次方程组及其解法第19讲实际问题与二元一次方程组第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组第21讲一元一次不等式(组)的应用第22讲一元一次不等式(组)与方程(组)的结合第23讲数据的收集与整理第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想.3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( ) A . -18% B . -8% C . +2% D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l5:00,纽约时问是____【例2】在-227,π,0.033.3这四个数中有理数的个数( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数分类,有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C .【变式题组】01.在7,0.1 5,-12,-301.31.25,-18,100.l ,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 .02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置 15,-19,215,-138,0.1.-5.32,123, 2.333【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14.-15,16,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.击归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007.【变式题组】 01.(湖北宜宾)数学解密:第一个数是3=2 +1,第二个数是5=3 +2,第三个数是9=5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想第六个数是 . 02.(毕节)毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法,如图则?填____. 03.(茂名)有一组数l ,2,5,10,17,26…请观察规律,则第8个数为____. 【例4】(2008年河北张家口)若l +m 2的相反数是-3,则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义,代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数,本题m2=-4,m =-8【变式题组】 01.(四川宜宾)-5的相反数是( ) A .5 B . 15 C . -5 D . -1502.已知a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,则a +b +cd =______03.如图为一个正方体纸盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数,使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数,则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A . - 1 ,2,0B . 0,-2,1C . -2,0,1D . 2,1,0 【例5】(湖北)a 、b 为有理数,且a >0,b <0,|b|>a ,则a,b 、-a,-b 的大小顺序是( ) A . b <-a <a <-b B . –a <b <a <-b C . –b <a <-a <b D . –a <a <-b< b【解法指导】理解绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|=0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想,画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出-b,-a,故选A .【变式题组】01.推理①若a =b ,则|a|=|b|;②若|a|=|b|,则a =b ;③若a ≠b ,则|a |≠|b|;④若|a |≠|b|,则a ≠b ,其中正确的个数为( ) A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个02.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,则|a|a +|b|b +|c|c = .03.a 、b 、c 为不等于O 的有理散,则a |a|+b |b|+c|c|的值可能是____.【例6】(江西课改)已知|a -4|+|b -8|=0,则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用,因为任何有理数a 的绝对值都是非负数,即|a|≥0.所以|a -4|≥0,|b -8|≥0.而两个非负数之和为0,则两数均为0.解:因为|a -4|≥0,|b -8|≥0,又|a -4|+|b -8|=0,∴|a -4|=0,|b -8|=0即a -4=0,b -8=0,a =4,b =8.故a+b ab =1232=38【变式题组】01.已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a >b >c ,求a +b +C . 02.(毕节)若|m -3|+|n +2|=0,则m +2n 的值为( ) A . -4 B . -1 C . 0 D . 403.已知|a|=8,|b|=2,且|a -b|=b -a ,求a 和b 的值 【例7】(第l8届迎春杯)已知(m +n)2+|m|=m ,且|2m -n -2|=0.求mn 的值.【解法指导】本例关键是通过分析(m +n)2+|m|的符号,挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m +n)2=0,|2m -n -2|=0,找到解题途径. 解:∵(m +n)2≥0,|m|≥O∴(m +n)2+|m|≥0,而(m +n)2+|m|=m ∴ m ≥0,∴(m +n)2+m =m ,即(m +n)2=0 ∴m +n =O ① 又∵|2m -n -2|=0 ∴2m -n -2=0 ②由①②得m =23,n =-23,∴ mn =-49【变式题组】01.已知(a +b)2+|b +5|=b +5且|2a -b –l|=0,求a -B . 02.(第16届迎春杯)已知y =|x -a|+|x +19|+|x -a -96|,如果19<a <96.a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01.观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A . 156B . 172C . 190D . 111002.(芜湖)-6的绝对值是( )A . 6B . -6C . 16D . -1603.在-227,π,8..0.3四个数中,有理数的个数为( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 04.若一个数的相反数为a +b ,则这个数是( )A . a -bB . b -aC . –a +bD . –a -b05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是( ) A . 0和6 B . 0和-6 C . 3和-3 D . 0和3 06.若-a 不是负数,则a( )A . 是正数B . 不是负数C . 是负数D . 不是正数 07.下列结论中,正确的是( )①若a =b,则|a|=|b| ②若a =-b,则|a|=|b| ③若|a|=|b|,则a =-b ④若|a|=|b|,则a =b A . ①② B . ③④ C . ①④ D . ②③08.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ,-a ,|b|的大小关系正确 的是( )A . |b|>a >-a >bB . |b| >b >a >-aC . a >|b|>b >-aD . a >|b|>-a >b09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后,得到它的相反数的对应点,则这个数是____.10.已知|x +2|+|y +2|=0,则xy =____.11.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,求|a|a +|b|b +|abc|abc +|c|c12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a +b 也可以表示成0、b 、ba 的形式,试求a 、b 的值.13.已知|a|=4,|b|=5,|c|=6,且a >b >c ,求a +b -C .14.|a|具有非负性,也有最小值为0,试讨论:当x为有理数时,|x-l|+|x-3|有没有最小值,如果有,求出最小值;如果没有,说明理由.15.点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a-b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|.回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 , 3,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 4;⑵数轴上表示x和-1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是 |x+1|,如果|AB|=2,那么x= 1或3;⑶当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是 7.培优升级·奥赛检测01.(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为199919的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A . 1998B . 1999C . 2000D . 2001 02.(第l8届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示,有下列四个结论:①abc <0;②|a -b|+|b -c|=|a -c|;③(a -b )(b -c)(c -a)>0;④|a|<1-bc .其中正确的结论有( )A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个03.如果a 、b 、c 是非零有理数,且a +b +c =0.那么a |a|+b |b|+c |c|+abc|abc|的所有可能的值为( )A . -1B . 1或-1C . 2或-2D . 0或-2 04.已知|m|=-m ,化简|m -l|-|m -2|所得结果( ) A . -1 B . 1 C . 2m -3 D . 3- 2m05.如果0<p <15,那么代数式|x -p|+|x -15|+|x -p -15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A . 30 B . 0 C . 15 D . 一个与p 有关的代数式 06.|x +1|+|x -2|+|x -3|的最小值为 .07.若a >0,b <0,使|x -a|+|x -b|=a -b 成立的x 取值范围 . 08.(武汉市选拔赛试题)非零整数m 、n 满足|m|+|n|-5=0所有这样的整数组(m ,n)共有 组09.若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m +|n|n +|p|p =1.则2mnp|3mnp|= .10.(19届希望杯试题)试求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -1997|的最小值.11.已知(|x +l|+|x -2|)(|y -2|+|y +1|)(|z -3|+|z +l|)=36,求x +2y +3的最大值和最小值.12.电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位得k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k2向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94,试求k0所表示的数.13.某城镇,沿环形路上依次排列有五所小学,它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台,14台,为使各学校里电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小?并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1.理解有理数加法法则,了解有理数加法的实际意义.2.准确运用有理数加法法则进行运算,能将实际问题转化为有理数的加法运算.3.理解有理数减法与加法的转换关系,会用有理数减法解决生活中的实际问题.4.会把加减混合运算统一成加法运算,并能准确求和.经典·考题·赏析【例1】(河北唐山)某天股票A开盘价18元,上午11:30跌了1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,则股票A这天的收盘价为()A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时,首先将具有相反意义的量确定一个为正,另一个为负,其次在计算时正确选择加法法则,是同号相加,取相同符号并用绝对值相加,是异号相加,取绝对值较大符号,并用较大绝对值减去较小绝对值.解:18+(-1.5)+(0.3)=16.8,故选C.【变式题组】01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中,延安市最低气温为-6℃,西安市最低气温2℃,这一天延安市的最低气温比西安低()A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃02.(河南)飞机的高度为2400米,上升250米,又下降了327米,这是飞机的高度为__________03.(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848m,吐鲁番海拔高度为-155 m,则它们的平均海拔高度为__________【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)【解法指导】应用加法运算简化运算,-83与-17相加可得整百的数,+26与-26互为相反数,相加为0,有理数加法常见技巧有:⑴互为相反数结合一起;⑵相加得整数结合一起;⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起;⑷相同符号的数结合一起.解:(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+15=-85【变式题组】01.(-2.5)+(-312)+(-134)+(-114)02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)03.0.125+314+(-318)+1123+(-0.25)【例3】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项,然后邻项相消进行化简求和.解:原式=1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-=1111111 12233420082009 -+-+-++-=112009-=20082009【变式题组】01.计算1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100)02.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算11111111 248163264128256+++++++=__________.【例4】如果a<0,b>0,a+b<0,那么下列关系中正确的是()A.a>b>-b>-a B.a>-a>b>-bC.b>a>-b>-a D.-a>b>-b>a【解法指导】紧扣有理数加法法则,由两加数及其和的符号,确定两加数的绝对值的大小,然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来,即可得出结论.解:∵a <0,b >0,∴a +b 是异号两数之和又a +b <0,∴a 、b 中负数的绝对值较大,∴| a |>| b |将a 、b 、-a 、-b 表示在同一数轴上,如图,则它们的大小关系是-a >b >-b >a 【变式题组】01.若m >0,n <0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号)02.若m <0,n >0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号)03.已知a <0,b >0,c <0,且| c |>| b |>| a |,试比较a 、b 、c 、a +b 、a +c 的大小【例5】425-(-33311)-(-1.6)-(-21811)【解法指导】有理数减法的运算步骤:⑴依有理数的减法法则,把减号变为加号,并把减数变为它的相反数;⑵利用有理数的加法法则进行运算.解:425-(-33311)-(-1.6)-(-21811)=425+33311+1.6+21811 =4.4+1.6+(33311+21811)=6+55=61【变式题组】01.21511()()()()(1)32632--+---+-+02.434-(+3.85)-(-314)+(-3.15)03.178-87.21-(-43221)+1531921-12.79【例6】试看下面一列数:25、23、21、19…⑴观察这列数,猜想第10个数是多少?第n个数是多少?⑵这列数中有多少个数是正数?从第几个数开始是负数?⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律,应该从特殊到一般,找到前面几个数的规律,通过观察推理、猜想出第n个数的规律,再用其它的数来验证.解:⑴第10个数为7,第n个数为25-2(n-1)⑵∵n=13时,25-2(13-1)=1,n=14时,25-2(14-1)=-1故这列数有13个数为正数,从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+…+(15+11)+13=26×6+13=169【变式题组】01.(杭州)观察下列等式1-12=12,2-25=85,3-310=2710,4-417=6417…依你发现的规律,解答下列问题.⑴写出第5个等式;⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少?02.观察下列等式的规律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20⑴用关于n(n≥1的自然数)的等式表示这个规律;⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例7】(第十届希望杯竞赛试题)求12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+35+45)+…+(150+250+…+4850+4950)【解法指导】观察式中数的特点发现:若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加,这样极大简化计算了.解:设S=12+(13+23)+(14+24+34)+…+(150+250+…+4850+4950)则有S=12+(23+13)+(34+24+14)+…+(4950+4850+…+250+150)将原式和倒序再相加得2S=12+12+(13+23+23+13)+(14+24+34+34+24+14)+…+(150+250+…+4850+4950+4950+4850+…+250+150)即2S=1+2+3+4+…+49=49(491)2⨯+=1225∴S=1225 2【变式题组】01.计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+21002.(第8届希望杯试题)计算(1-12-13-…-12003)(12+13+14+…+12003+12004)-(1-12-13-…-12004)(12+13+14+…+12003)演练巩固·反馈提高01.m是有理数,则m+|m|()A.可能是负数B.不可能是负数C.比是正数D.可能是正数,也可能是负数02.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|为()A. 5 B.1 C.1或5 D.±1或±503.在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是()A. 1 B.0 C.-1 D.-304.两个有理数的和是正数,下面说法中正确的是()A.两数一定都是正数B.两数都不为0C.至少有一个为负数D.至少有一个为正数05.下列等式一定成立的是()A.|x|- x =0 B.-x-x =0 C.|x|+|-x| =0 D.|x|-|x|=0 06.一天早晨的气温是-6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是()A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃07.若a<0,则|a-(-a)|等于()A.-a B.0 C.2a D.-2a08.设x是不等于0的有理数,则||||2x xx值为()A.0或1 B.0或2 C.0或-1 D.0或-2 09.(济南)2+(-2)的值为__________10.用含绝对值的式子表示下列各式:⑴若a<0,b>0,则b-a=__________,a-b=__________⑵若a>b>0,则|a-b|=__________⑶若a<b<0,则a-b=__________11.计算下列各题:⑴23+(-27)+9+5 ⑵-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25⑶-0.5-314+2.75-712⑷33.1-10.7-(-22.9)-|-2310|12.计算1-3+5-7+9-11+…+97-9913.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,规定前进为正,后退为负,某天从A地出发到收工时所走的路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,-2,-8,+13,-7,+12,+7,+5⑴问收工时距离A地多远?⑵若每千米耗油0.2千克,问从A地出发到收工时共耗油多少千克?14.将1997减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,再减去余下的15……以此类推,直到最后减去余下的11997,最后的得数是多少?15.独特的埃及分数:埃及同中国一样,也是世界著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如13+115来表示25,用14+17+128表示37等等.现有90个埃及分数:12,13,14,15,…190,191,你能从中挑出10个,加上正、负号,使它们的和等于-1吗?培优升级·奥赛检测01.(第16届希望杯邀请赛试题)1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于()A.14B.14-C.12D.12-02.自然数a、b、c、d满足21a+21b+21c+21d=1,则31a+41b+51c+61d等于()A.18B.316C.732D.1564534333231303.(第17届希望杯邀请赛试题)a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数,且abcd =441,则a +b +c +d 值是( )A .30B .32C .34D .3604.(第7届希望杯试题)若a =1995199519961996,b =1996199619971997,c =1997199719981998,则a 、b 、c大小关系是( )A .a <b <cB .b <c <aC .c <b <aD .a <c <b05.11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为( )A .1B .2C .3D .4 06.(-2)2004+3×(-2)2003的值为( )A .-22003B .22003C .-22004D .2200407.(希望杯邀请赛试题)若|m|=m +1,则(4m +1)2004=__________08.12+(13+23)+(14+24+34)+ … +(160+260+…+5960)=__________ 09.19191976767676761919-=__________10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=__________ 11.求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12.已知(a +b)2+|b +5|=b +5,且|2a -b -1|=0,求aB .13.计算(11998-1)(11997-1) (11996-1) … (11001-1) (11000-1)14.请你从下表归纳出13+23+33+43+…+n3的公式并计算出13+23+33+43+…+1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1.理解有理数的乘法法则以及运算律,能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算,会利用运算律简化乘法运算.2.掌握倒数的概念,会运用倒数的性质简化运算.3.了解有理数除法的意义,掌握有理数的除法法则,熟练进行有理数的除法运算.4.掌握有理数乘除法混合运算的顺序,以及四则混合运算的步骤,熟练进行有理数的混合运算.5.理解有理数乘方的意义,掌握有理数乘方运算的符号法则,进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例1】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则,正确运用法则,一是要体会并掌握乘法的符号规律,二是细心、稳妥、层次清楚,即先确定积的符号,后计算绝对值的积.解:⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01.⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02.24(9)5025-⨯3.1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04.111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例2】已知两个有理数a、b,如果ab<0,且a+b<0,那么()A.a>0,b<0 B.a<0,b>0C.a、b异号 D.a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则,异号为负,故a、b异号,又依加法法则,异号相加取绝对值较大数的符号,可得出判断.解:由ab<0知a、b异号,又由a+b<0,可知异号两数之和为负,依加法法则得负数的绝对值较大,选D.【变式题组】01.若a+b+c=0,且b<c<0,则下列各式中,错误的是()A.a+b>0 B.b+c<0 C.ab+ac>0 D.a+bc>002.已知a+b>0,a-b<0,ab<0,则a___________0,b___________0,|a|___________|b|.03.(山东烟台)如果a+b<0,ba>,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a<0,b>0 04.(广州)下列命题正确的是()A.若ab>0,则a>0,b>0 B.若ab<0,则a<0,b<0C.若ab=0,则a=0或b=0 D.若ab=0,则a=0且b=0 【例3】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时,若不能整除,应用法则1,先把除法转化成乘法,再确定符号,然后把绝对值相乘,要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除,应用法则2,可直接确定符号,再把绝对值相除.解:⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01.⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02.⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03.113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例4】(茂名)若实数a、b满足a ba b+=,则abab=___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论,得出a、b的取值范围,进一步代入结论得出结果.解:当ab>0,2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩;当ab<0,a ba b+=,∴ab<0,从而abab=-1.【变式题组】01.若k是有理数,则(|k|+k)÷k的结果是()A.正数 B.0 C.负数 D.非负数02.若A.b都是非零有理数,那么aba ba b ab++的值是多少?03.如果x yx y+=,试比较xy-与xy的大小.【例5】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy 的值; ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘,根据乘方的符号法则,如果a 为正数,正数的任何次幂都是正数,如果a 是负数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.解:∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时,200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时,20082008(2)(1)2xy =-⨯-=- ⑵当2,1x y ==-时,332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时,3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01.(北京)若2(2)0m n m -+-=,则nm 的值是___________.02.已知x 、y 互为倒数,且绝对值相等,求()n nx y --的值,这里n 是正整数.【例6】(安徽)2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书,减轻了农民的负担,135万用科学记数法表示为( )A .0.135×106B .1.35×106C .0.135×107D .1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式,其中a 的整数位数是1位.故答案选B .【变式题组】 01.(武汉)武汉市今年约有103000名学生参加中考,103000用科学记数法表示为( ) A .1.03×105 B .0.103×105 C .10.3×104 D .103×103 02.(沈阳)沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩,253万亩用科学记数法表示正确的是( )A .25.3×105亩B .2.53×106亩C .253×104亩D .2.53×107亩 【例7】(上海竞赛)222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式=22(50)50k -+原式=2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ =222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+=49222+1++⋅⋅⋅+个=99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A .31003 B .31004 C .1334 D .11000 02.(第10届希望杯试题)已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01.三个有理数相乘,积为负数,则负因数的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .1个或3个 02.两个有理数的和是负数,积也是负数,那么这两个数( )A .互为相反数B .其中绝对值大的数是正数,另一个是负数C .都是负数D .其中绝对值大的数是负数,另一个是正数 03.已知abc >0,a >0,ac <0,则下列结论正确的是( )A .b <0,c >0B .b >0,c <0C .b <0,c <0D .b >0,c >0 04.若|ab|=ab ,则( )A .ab >0B .ab ≥0C .a <0,b <0D .ab <005.若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,则代数式a bm cd m +-+的值为( )A .-3B .1C .±3D .-3或106.若a >1a ,则a 的取值范围( )A .a >1B .0<a <1C .a >-1D .-1<a <0或a >107.已知a 、b 为有理数,给出下列条件:①a +b =0;②a -b =0;③ab <0;④1ab =-,其中能判断a 、b 互为相反数的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个08.若ab≠0,则a b a b+的取值不可能为( )A .0B .1C .2D .-209.1110(2)(2)-+-的值为( )A .-2B .(-2)21C .0D .-21010.(安徽)2010年一季度,全国城镇新增就业人数289万人,用科学记数法表示289万正确的是( )A .2.89×107B .2.89×106C .2.89×105D .2.89×10411.已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ,它们的积abcd =9,则a +b +c +d =___________.12.21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-(n 为自然数)=___________.13.如果2x y x y +=,试比较xy -与xy 的大小.14.若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-,求abc abc的值.15.若a 、b 、c 均为整数,且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01.已知有理数x 、y 、z 两两不相等,则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .0个或2个02.计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测201021-的个位数字是( )A.1 B.3 C.7 D.503.已知23450ab c d e<,下列判断正确的是()A.abcde<0 B.ab2cd4e<0 C.ab2cde<0 D.abcd4e<004.若有理数x、y使得,,,xx y x y xyy+-这四个数中的三个数相等,则|y|-|x|的值是()A.12-B.0 C.12 D.3205.若A=248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++,则A-1996的末位数字是()A.0 B.1 C.7 D.906.如果20012002()1,()1a b a b+=--=,则20032003a b+的值是()A.2 B.1 C.0 D.-107.已知5544332222,33,55,66a b c d====,则a、b、c、d大小关系是()A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.a>d>b>c08.已知a、b、c都不等于0,且a b c abca b c abc+++的最大值为m,最小值为n,则2005()m n+=___________.09.(第13届“华杯赛”试题)从下面每组数中各取一个数将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组:15,3,4.25,5.753-第二组:11 2,315 -第三组:5 2.25,,412-10.一本书的页码从1记到n,把所有这些页码加起来,其中有一页码被错加了两次,结果得出了不正确的和2002,这个被加错了两次的页码是多少?11.(湖北省竞赛试题)观察按下列规律排成一列数:11,12,21,13,22,31,14,23,3 2,41,15,24,23,42,51,16,…(*),在(*)中左起第m个数记为F(m),当F(m)=12001时,求m 的值和这m 个数的积.12.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数:11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中,使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值.13.(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数,并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明:⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=,求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2.掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3.掌握整式的概念,会判断一个代数式是否为整式.4.了解整式读、写的约定俗成的一般方法,会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式,如果不是请简要说明理由,如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式,单独一个数或一个字母也是单项式,数字的次数为0,是常数,单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解:⑴不是,因为代数式中出现了加法运算;⑵不是,因为代数式是与x的商;⑶是,它的系数为π,次数为2;⑷是,它的系数为32,次数为3.【变式题组】01.判断下列代数式是否是单项式02.说出下列单项式的系数与次数【例2】如果与都是关于x、y的六次单项式,且系数相等,求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言,是针对x或y或x、y等是有区别的,该题是针对x与y而言的,因此单项式的次数指x、y的指数之和,与字母m无关,此时将m看成一个要求的已知数.解:由题意得【变式题组】01.一个含有x、y的五次单项式,x的指数为3.且当x=2,y=-1时,这个单项式的值为32,求这个单项式.02.(毕节)写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例3】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式?⑵这个多项式最高次项是多少?二次项系数是什么?常数项是什么?【解法指导】 n个单项式的和叫多项式,每个单项式叫多项式的项,多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解:⑴这个多项式是七次四项式;(2)最高次项是,二次项系数为-1,常数项是1.【变式题组】01.指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02.指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例4】多项式是关于x的三次三项式,并且一次项系数为-7.求m+n-k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数,单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解:因为是关于x的三次三项式,依三次知m=3,而一次项系数为-7,即-(3n+1)=-7,故n=2.已有三次项为,一次项为-7x,常数项为5,又原多项式为三次三项式,故二次项的系数k=0,故m+n-k=3+2-0=5.【变式题组】01.多项式是四次三项式,则m的值为()A.2 B.-2 C.±2 D.±102.已知关于x、y的多项式不含二次项,求5a-8b的值.03.已知多项式是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求n的值.【例5】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由,现阶段还不能求出x的具体值,所以联想到整体代入法.解:由得由(3【变式题组】01.(贵州)如果代数式-2a+3b+8的值为18,那么代数式9b-6a+2的值等于()A.28 B.-28 C.32 D.-3202.(同山)若,则的值为_______________.03.(潍坊)代数式的值为9,则的值为______________.【例6】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关,只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明:原式=∴无论m的值为何,原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01.已知,且的值与x无关,求a的值.02.若代数式的值与字母x的取值无关,求a、b 的值.【例7】(北京市选拔赛)同时都含有a、b、c,且系数为1的七次单项式共有()个A.4 B.12 C.15 D.25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数,再依x+y+z=7来确定x、y、z的值.解:为所求的单项式,则x、y、z都是正整数,且x+y+z=7.当x=1时,y=1,2,3,4,5,z =5,4,3,2,1.当x=2时,y=1,2,3,4,z=4,3,2,1. 当x=3时,y=1,2,3,z=3,2,1.当 x =4时,y=1,2,z=2,1.当 x=5时,y=z=1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1=15,故选C.【变式题组】01.已知m、n是自然数,是八次三项式,求m、n值.02.整数n=___________时,多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01.下列说法正确的是()A.是单项式 B.的次数为5 C.单项式系数为0 D.是四次二项式02.a表示一个两位数,b表示一个一位数,如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是()A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b03.若多项式的值为1,则多项式的值是()A.2 B.17 C.-7 D.704.随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某品牌电脑原售价为n元,降低m 元后,又降低20%,那么该电脑的现售价为()A. B. C. D.05.若多项式是关于x的一次多项式,则k的值是()A.0 B.1 C.0或1 D.不能确定06.若是关于x、y的五次单项式,则它的系数是____________.07.电影院里第1排有a个座位,后面每排都比前排多3个座位,则第10排有_______个座位.08.若,则代数式xy+mn值为________.09.一项工作,甲单独做需a天完成,乙单独做需b天完成,如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10.(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式;⑵请你写出第n个单项式.11.(安徽)一个含有x、y的五次单项式,x的指数为3,且当x=2,y=-1时,这个单项式值为32,求这个单项式.12.(天津)已知x=3时多项式的值为-1,则当x=-3时这个多项式的值为多少?13.若关于x、y的多项式与多项式的系数相同,并且最高次项的系数也相同,求a-b的值.14.某地电话拨号入网有两种方式,用户可任取其一.A:计时制:0.05元/分B:包月制:50元/月(只限一部宅电上网).此外,每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时,请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用;(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时,你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01.(扬州)有一列数,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为()。
新人版数学七年级上册培优强化训练15 新人教版

培优强化训练151. 绝对值不大于4的整数的积是 ( ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________.6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯-(2) -1100-(1-0.5)×31×[3-(-3)2](3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45 )-0.32÷|-0.9|(4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1 )27. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7)(2)3x532x 35-=-(3)3y181y 961y 5--+=+8. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值.9.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD, ∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.10.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天?数学培优强化训练(十五)(答案)1. 绝对值不大于4的整数的积是 ( B ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -12. 关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数, 则整数a 的值为 ( D ) A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或33. 下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是 ( D )4. 设 “〇、△、□” 表示三种不同的物体, 现用天平称了两次, 情况如图所示, 那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是 ( B )A. □〇△B. □△〇C. △〇□D. △□〇5. 方程2x 3 =1-1-x6 去分母后得___________________. 4x=6-(1-x)6. 计算题. (1) 41)54(6)5(⨯-⨯⨯- (2) -1100 -(1-0.5)×31×[3-(-3)2]6 解原式=011)6(31211=+-=-⨯⨯-- (3) -32+(-3)2+(-5)2×(-45)-0.32÷|-0.9|解析: “+” “-”号把式子分成四部分, 分别计算再加减. 解原式=-9+9+25×(54-)-0.09÷0.9=-9+9+(-20)-0.1=-20-0.1=-20.1(4) (-2×5)3-(-179 )×(-34 )2-(-10.1)2-10997. 解方程. (1) 5(x+8)-5=6(2x -7) (2)3x532x 35-=- x=11 x=-9 (3)3y 181y 961y 5--+=+ y=538. 若a 、b 互为相反数, c 是最小的非负数, d 是最小的正整数, 求(a+b)d+d -c 的值. a+b=0, c=0, d=1 (a+b)d+d -c=19.如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD,∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.解: ∠1=400, ∠BOD=900-400=50∠AOD=1800-500=1300, ∠AO C 与∠AOD 互补, ∴∠3=500, ∠2=21∠AOD=65010.一项工程由甲单独做需12天完成, 由乙单独做需8天完成, 若两人合作3天后, 剩下部分由乙单独完成, 乙还需做多少天?解: 设乙还需做x 天, 由题意得18x83123=++, x=3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(15)整数的分类
【知识精读】
1.余数的定义:在等式A=mB+r中,如果A、B是整数,m是正整数,
r为小于m的非负整数,那么我们称r是A 除以m的余数。
即:在整数集合中被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)
例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1
(∵-1=5(-1)+4。
-9=5(-2)+1。
)
2.显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。
3.整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。
例如:m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1}(k为整数)
m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}.
或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。
m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4}
或{5k},{5k±1},{5k±2},其中5k-2表示除以5余3。
4.余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。
举例如下:
①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 (余数1+1=2)
②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3(余数1×3=3)
③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4(余数22=4)
以上等式可叙述为:
①两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。
②两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。
③如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是
4或9。
余数的乘方,包括一切正整数次幂。
如:∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26=64)
5.运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。
【分类解析】
例1. 今天是星期日,99天后是星期几?
分析:一星期是7天,选用模m=7, 求99除以7的余数
解:99=(7+2)9,它的余数与29的余数相同,
29=(23)3=83=(7+1)3它的余数与13相同,
∴99天后是星期一。
又解:设{A}表示A除以7的余数,
{99}={(7+2)9}={29}={83}={(7+1)3}={13}=1
例2. 设n为正整数,求43 n+1 除以9的余数。
分析:设法把幂的底数化为9k+r形式
解:43 n+1=4×43n=4×(43)n=4×(64)n=4×(9×7+1)n
∵(9×7+1)n除以9的余数是1n=1
∴43 n+1 除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数
解:设三个连续整数为n-1,n,n+1
M=(n-1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)
把整数n按模3,分为三类讨论。
当n=3k (k为整数,下同)时,M=3×3k[(3k)2+2]=9k(9k2+2)
当n=3k+1时,M=3(3k+1)[(3k+1)2+2]=3(3k+1)(9k2+6k+3)
=9(3k+1)(3k2+2k+1)
当n=3k+2时,M=3(3k+2)[(3k+2)2+2]=3(3k+2)(9k2+12k+6)
=9(3k+2)(3k2+4k+2)
∴对任意整数n,M都是9的倍数。
例4. 求证:方程x2-3y2=17没有整数解
证明:设整数x按模3分类讨论,
①当x=3k时,(3k)2-3y2=17, 3(3k2-y2)=17
⑵当x=3k±1时,(3k±1)2-3y2=17 3(3k2±2k-y2)=16
由①②左边的整数是3的倍数,而右边的17和16都不是3的倍数,
∴上述等式都不能成立,因此,方程x2-3y2=17没有整数解
例5. 求证:不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除
证明:把n按模5分类讨论,
当n=5k时,n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1
当n=5k±1 时,n2+n+1=(5k±1)2+5k±1+1
=25k2±10k+1+5k±1+1=5(5k2±2k+k)+2±1
当n=5k±2时,n2+n+1=(5k±2)2+5k±2+1
=25k2±20k+4+5k±2+1=5(5k2±4k+k+1)±2
综上所述,不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除
又证:n2+n+1=n(n+1)+1
∵n(n+1)是两个连续整数的积,其个位数只能是0,2,6
∴n2+n+1的个位数只能是1,3,7,故都不能被5整除。
【实战模拟】
1.已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)
填写表中各数除以3的余数。
a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5
2. 376÷7的余数是_____
3.今天是星期日,第2天是星期一,那么第2111天是星期几?
4.已知m,n都是正整数,求证:3n m(n2+2)
5. 已知a是奇数但不是3的倍数,求证:24(a2-1)
(提示a可表示为除以6余1或5,即a=6k±1)
一二三四五
1 2 3 4
6. 把正整数按表中的规律排下去,问100 将排在哪一列?答:___ 7. 已知正整数n 不是4的倍数 求证:1n +2n +3n +4n 是10的倍数 8. 任给5个整数,必能从中找到3个,
其和能被10整除,这是为什么?
9对任意两个整数,它们的和、差、积中
至少有一个是3的倍数,试说明理由。
10.任意10个整数中,必有两个,它们的差是9的倍数。
这是为什么?如果改为任意n +1个,则必有两个,它们的差是n 的倍数,试说明理由。
11.证明 x 2+y 2-8z=6没有整数解
12.从1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止 即
位
1981234 那么这个数用9除之,余数是___
练习
2. 1
3. 日
4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论
6. 100除以8余数为4,故在第五列
7. 可列表说明n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k 时,其和均为0
8. 整数除以3,余数只有0,1,2三种,按5个整数除以3的余数各种情况讨论………
10. 整数除以9余数只有9类,而10个………
11. ∵x 2+y 2=8z+6, ∴右边除以8,余数 是6,左边整数x,y 按除以4的余数,分为4类,4k,4k+1,4k+2,4k -1, 则x 2+y 2除以8的余数………
8. 6
8 7 6 5 9 10 11 12
16 15 14 13。