第六章 优选法及其应用

二、纵横对折法
假设试验范围为一长方形， a1<x1<b1 a2<x2<b2 b2
x2
b2
x2(1)(1) x
2
B1
B1
A1
a2 b2 2
a 2 b2 2
A1
a2 a a11
a2
x1
a 1a1 b11 b 22
x1
(1 )
x1(1)
1 b1
b
分别固定到x1和 x2的中点，找到最优点B1和A1，比较A1和B1的 结果后，舍去不合适的定义域部分，并重复进行，直到满意为止。
例4－9 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇 水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓 度和用量，使分离出的白油最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％ （体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比）， 精度为±5％。
。 作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素 的0．618法选取最优浓度为80％（即图4－10）的点3。而 后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行 优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比 点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再 纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点 11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表 4－3），试验至此结束。
三、平行线法
在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一 个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个 是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。 在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假 设试验范围为一单位正方形, 即 0≤x1≤1， 0≤x2≤1
上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情 形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不 失普遍性，可以假设它是单位立方体：0≤x1≤1， 0≤x2≤1， 0≤x3≤1 又设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和0.382 处，就得到两个平行平面:0≤x1≤1， 0≤x2≤1 X3＝0.618 与0≤x1≤1， 0≤x2≤1 X3=0.382 这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用 （任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和A2（见图4－ 15）。然后比较A1和A2上的试验结果。
x1(1)
x1
(1 )
x1(2)
x1
(2)
b1
b1
( x2(2)2 ) x 2
AA3 3
x2
(1)
固定于x1(2)，优化得到x2(2) 去掉下半段（即不含A3的部分）
xx1(1) 1
(1 )
x1 X1(2)
(2)
b1
b1
依次类推，直到满意为止
• 例4－8 阿托品是一种抗胆碱药。为了提高 产量，降低成本，利用优选法选择合适的 酯化工艺条件：
第一节 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因 素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题
• 一般步骤： （1）首先应估计包含最优点的试验范围 如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为 [a，b] （2）然后将试验结果和因素取值的关系写成 数学表达式 不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏 的方法 • 方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况
( x x 2 )( x x 3 ) ( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x1 )( x x 3 ) ( x 2 x 3 )( x 2 x1 ) ( x x1 )( x x 2 ) ( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
y 0 y1
• 根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验 范围： 温度：55℃－75℃ 时间：30－210分钟
（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单 因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其 收率为41.6％ （2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温度， 得最优温度为67℃，其收率为51.5％ （3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间， 得最优时间为80分钟，其收率为56.9％ （4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选， 结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最优 条件为： 温度：67℃；时间：80分钟 采用此工艺生产，平均收率提高了15％
1 b1
b
再固定到x2(1)优化到 x1(2)
将 直 线 由 x1 x1 将 原 长 方 形 剪 成两块，剩下的试验范围为： x1 x1 b1 去掉左边部分（即不 含最优点A2的部分 a x 2 b2
(1)
(1)
a2b 2
x1
(wenku.baidu.com )
A2
b2 a 1 a1
a2
x1 x1(1)
(1 )
D
A
C
B
因素1 2000g
1000℃ 1000g
等高线的一般做法： 假设试验范围为一长 方形，a1<x1<b1 a2<x2<b2 b22 b
因素2
A1 X2(1) x2 先固定到X1(1)，优化到 x2(1) a2 a
(1)
A1
A2 A
2
因素1
2
a1 a 1
x1 X1(1)
(1 )
X1(2)
x1
(2)
四 抛物线法
前面几种方法都是通过比较实验结果的 好坏，逐步找出最好试验点。
如果通过单因素法已取得了三个试验点的数 值(往往是三个以上的实验中选取最好点及其相邻 的两点),那么在此基础上，用抛物线法就可以使
试验进一步深化,最优点位置更加准确。 如右图所示：
设在x1,x2,x3点上做试验，结果为y1,y2,y3,通过XY 平面上的三点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3,y3)做抛物线， 抛物线的顶点为( x0, y0 )为试验曲线的最优点。用 插入法可得到抛物线方程和顶点的X坐标:
如果试验(1)结果比(2)的好,则剪去左边一段,按相 同方法找出第三个试验点.
4 比较第(3)和第(2)的试验结果,再找出第 (4)次试验点,并比较……, 直到满意为止。
由上边的例子可见： （1）采用0.618法安排试验时,每次剪去的长 度都是上次的0.382,无论剪右或是剪左,中 间段都将保留下来. （2） 0.618法安排试验时，是在试验范围内 找出最佳试验点，如果最初的试验范围不 准确，那么最终的结果也就不可靠。
一 0.618法 又称为“黄金分割法”或“折纸法”。 它一般适用于试验次数预先不做规定的情 况。而且目标函数为单峰函数时。
f(x)
a
单峰函数
b
例1 为了改善某油品的性能，需在油品中加 入一种添加剂，其加入量在200克/吨到400 克/吨，试确定添加剂的最佳加入量。
由于总试验次数不限，可以采用0.618法。 步骤如下：
爬山法就是先找出一个起点，通常是生产上正 在使用的生产条件，以这个点为基准做第一次试验， 选出一个因素然后在其减少（或增加）的方向找第 二个点做试验，若这个结果优于第一个结果，则按 相同的方向找第三个试验点，否则，按相反方向找 第三个试验点，反复进行，直到得到最佳结果（相 对于所选因素）。
爬山法
• 例如：
2000m 1500m
1000m
500m 0m Y
X
第三节 多因素优选法
多因素优选法通常是将多因素简化为双因素或单
因素的情况来处理。
一 平分平面法 设三个因素为x,y,z，试验范围为立方体， 即在0<x<1,0<y<1,0<z<1中找最佳点， 如图所示。
先在三个平面：x=1/2,0<y<1,0<z<1; 0<x<1,y=1/2,0<z<1; 0<x<1,0<y<1,z=1/2; 用双因素法最出最好点A1、B1、C1： A1=(1/2,y1,z1) B1=(x2,1/2,z2) C1=(x3,y3,1/2) 然后比较三个点上的试验结 果，若A1最好，且0<y<1/2,0<z<1/2，则去 掉原立方体的3/4，留下的长立体如下图示， 用同样的方法继续选优。
例如：
某润滑油中加入66‰的复合剂后质量 符合要求，为了降低成本，在保证质量的 前提下，选择复合剂的最佳加入量。 根据经验，复合剂少于18‰时不合格， 所以试验范围为18‰~66‰，第一次试验取 范围的中点，即42‰，合格，则舍去 42‰~66‰这段，取取18~42‰的中点即 30‰，若不合格，则舍去18~30‰这段，在 30~42‰的中点取值，…，直到满意为止。
二 分数法
当试验条件不能用连续数表示或预先规定 了总的试验次数时，就不能采用0.618法。 1 菲比那契数列 F1=1 F2=1 Fn+2=Fn+Fn+1 即：1，1，2，3，5，8，13，21…
2 试验点的确定
如试验范围已定，要求只做n次试验， 首先从 菲比那契数列中找到第n+2项Fn+2，把试验范围分 为Fn+2份,再找到第n+1项Fn+1，该值为第一个试验 点所在位置，即分数法的第一个试验点在试验范 围总长的Fn+1/Fn+2位置进行。以后试验点的取法均 按类似于0.618法依次进行,直到n次试验全部做完， 比较各试验结果即可得到最佳方案。
4－3 多因素方法——降维法
• 多因素问题：首先对各个因素进行分析，找出 主要因素，略去次要因素，划“多”为“少”， 以利于解决问题
y f ( x1 , x 2 , x 3 , x N ) y 为响应， x i 为因素
§4－3 多因素方法——降维法
一、等高线法
又叫坐标轮换法 （1）固定其中一个因素在适当的位置，或者放在 0.618处，对另外一个因素使用单因素优选法，找 出好点 （2）固定该因素于好点，反过来对前一个因素使用 单因素优选法，选出更好点，如此反复
例如：某化学反应的温度为120~200度， 要求只进行4次试验，找出最好的试验结果。
• 总试验次数为n=4 • Fn+2=F6=8，Fn+1=F5=5，第一次试验点在总范围 的5/8处：120+（200-120）X5/8=170 • 第二试验点采用“加二头，减中间”的方法： 200+120-170=150 • 比较试验（1）和（2）的结果，发现（2）好， 去掉170以上部分，按下式找第三试验点： 170+120-150=140 • 比较第（2）和第（3）试验结果，仍是（2）好， 去掉140以下部分，找第四试验点： 170+140150=160 • 比较试验（2）和（4），结果仍是（2）好。决 定150为最佳反应温度。
三 平分法
该方法适合于“只朝一个方向进行，而 不需比较两个试验结果”的试验，即在试验
范围内，目标函数单调，则可以选用此法
。平分法的作法为： 总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为： （a+b）/2
• 根据试验结果的满意程度，决定划去范围的哪一半。重复 上面的试验，直到找到一个满意的试验点。
如以下例子：
y2
y3
x0
1 y1 ( x x ) y 2 ( x x ) y 3 ( x x )
2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2
2 y 1 ( x 2 x 3 ) y 2 ( x 3 x1 ) y 3 ( x1 x 2 )
第二节 双因素优选法
一 坐标轮换法:
§4－3 多因素方法——降维法
• 例如：有两个因素需要考虑，一个是用量， 其范围（1000，2000），另一个是温度， 其范围（1000℃，2000℃）。
因素2 （1）固定温度于0.618处 2000℃ （2）优选出用量的最佳点A （3）固定用量于点A （4）优选温度最佳点B 1618℃ （5）固定温度于点B （6）再次优选用量最佳点C …………
具体做法是： 首先从横向或纵向(两个因素)试验范围的 0.618处划一条折线，在其上对另一因素用单 因素优选法找出较好点，然后将该因素固定在 这个较优点上，反过来对前一个因素用单因素 优选法选出更优点，如此反复进行，直到达到 满意的试验结果。
二 爬山法
在大型生产中，改变生产条件可能带来较坏的结果，从而带来难 以承受的经济损失，所以，一般来说不允许多因素同时改变，而且试 验条件也不允许大幅度地改变。
1 确定第一个试验点：
200+（400-200）X0.618=323.6 2 确定第二个试验点：
200+(400-200)X(1-0.618)=276.4
3 比较试验（1）和（2）的结果：
若试验(2)比(1)好，在323.6处把右段剪去,找出第 三个试验点的位置： 200+(323.6-200)X(1-0.618)=247.2
第六章 优选法及其应用
优选法是根据生产和科研中的不同问题，以 数学原理为指导，合理安排实验点，减少试验次 数，以求迅速找到最佳点的一类科学方法，优选 法可以解决那些实验指标与因素间不能用数学形 式表达，或者虽有表达式但很复杂的那些问题。 优选法的目标就是尽可能少做试验，尽快地 找到生产和科研的最优方案 我国从70年代初开始，首先由数学家华罗庚等 人推广，随后优选法开始在生产实际中得到大量 应用。 它适合于单因素、多因素试验。