第六章 优选法及其应用
ch6 试验最优化方法.ppt
6.2 单因素优选法
5. 多峰情况的处理
若目标函数是多峰（指的是有多个局部最优点）情况， 可以采取以下方法处理： （1）开始找一个峰，若达到要求，先采用，然后再找 其它峰. （2）先做一批分布得比较均匀的试验，若发现有多个 峰，则在每个可能出现高峰的范围内做试验，把所有 峰都找出来.
随着的增大，它们越来越接近于黄金分割数
5 1 0.6180339887
2
6.2 单因素优选法
事实上，极限
＝ lnimun
lim
n
Fn Fn 1
lim 1 5
1
2
n 1
5
1
2
5n 1n来自1 5125
n2
1
2
5
n2
lim
n 1
1
1 1
5 5
n
1
2
5
1
2
6.1 什么是优选法
单因素优选法的核心是比较与鉴别。 0.618法和 斐波那契法的比较对象是两个试验点上的试验结 果；二分法的比较对象是试验点上的试验结果与 标准；分批试验法的比较对象是每批试验中的所 有试验结果。
6.1 什么是优选法
华尔特（D.J.Wilde）把优选法分为两类：一类是 区间缩小法，即通过试验将最优值所在的范围逐 步缩小，直至缩小到要求的精度为止.前面提到的 斐波那契法、近似黄金分割法（0.618法）、二分 法等都属于这类方法.另一类是爬山法，如爬山一 样，从已知的信息逐步向更加好的方向移动，爬 山法的比较对象是前后两个试验点上的试验结果。 对极大化问题使目标函数值逐步上升，对极小化 问题使目标函数值逐步下降，直到不能再改进目 标值为止 。
数学：4.7《优选法》教案(人教A版选修)
第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目标：1．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．了解优选法和单峰函数的概念。
教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"合适"的配方；寻找"合适"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"合适"的程度；等等。
所谓"合适"、"合理"，数学上叫最优。
例如如何使产品质量最好、产量最高，或在一定质量要求下如何使成本最低、消耗原材料最少、生产周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。
怎样才能达到"最优"呢？举个最简单的例子，比如蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。
假如我们现在还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接实践的方法去摸索这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进行实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。
优选法的用途很广。
上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。
有许多例子说明优选法有许多更重要的用处。
例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属表面氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间半小时，然后还要用刷子刷。
当掌握了优选法后，克服了盲目性，用了不到一天的时间，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。
按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料表面光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。
（1）最佳点：（2）优选问题：（3）优选法：优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。
第6章 单因素与双因素优选法
y1
x1
x2
x3
b
如 y3 y2 则最大值肯定不在[x3，b]区间；则去掉（x3，b）。
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试验设计与数据处理 (Experiment Design & Data Processing)
第6章 优选法
（3）在[x1，x3]区间取一点 x4，......
y=f(x) y4 y2
0
a
x1
* x1
b
x
区间[a，b]内单变量单 峰函数f(x)
3
2015-5-31
试验设计与数据处理 (Experiment Design & Data Processing)
第6章单因素与双因素优选法
6.1.1 来回调试方法
y1
y2
y=f(x)
（1）设 x2x1 x1点试验值y1=f(x1)； x2点试验值y2=f(x2)
可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或 虽有表达式但很复杂的一类问题。
具体应用： 怎样选取合适的配方,合适的制作过程，使产品的质量最好？ 在质量的标准要求下，使产量成本最低，生产过程最快？ 已有的仪器怎样调试，使其性能最好？
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试验设计与数据处理 (Experiment Design & Data Processing)
比较两次试验结果，如第二个试验（x2）结果好于第一个试 验（x1）结果。则去掉1618g以上部分，然后在1000g和1618g之 间找x2的对称点x3。
x3=1618-(1618-1000)×0.618=1236g
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试验设计与数据处理 (Experiment Design & Data Processing)
优选法
7 130.3 0 15 130 0
8 130.5 0 16 130 0
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次）
试验号 项目
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次） 试验 结果 结论
阀门卡涩次数为0，蒸汽流通量平均值为130.2t/h 从跟踪结果可知，试验结果有效，能够满足下道工序生产用汽需求， 接着小组用控制图对蒸汽流量进行控制，从而解决了供汽量达不到额 定值及阀门卡涩的问题。
15.04%~ 15.04%~ 15.04%~ 15.07% 15.06% 15.06% 15.06% 15.05% 15.05% 跟踪结果证明，粗粉分离器挡板开度55%的试 验结果符合工艺要求。
该QC小组运用对分法，仅用两次选值就找到了粗粉分离 器挡板的最佳取值点，快速有效地解决了煤粉细度不符合工艺 参数据的问题。
x2 ＝（大－中）＋小
＝（2000－1618）＋1000 ＝ 1382
1000
x2 坏
1382
x4
1528
x1好
1618
x3 坏
1764
2000
x3 = （大－中）＋小
x4 ＝（大－中）＋小
＝1764
＝（2000－1618）＋1382
＝（1764－1618）＋1382 ＝1528
x4
优于
x1
，最佳点为
优选法
一、概念 1、什么是优选法？ 是一种利用数学原理，合理安排试 验点，以求方便而迅速地找到问题最优 解的一种科学方法。 2、优选法的原理 数学证明：在〔a，b〕间目标函 数为单峰的条件下，通过n次试验，可 选出n次试验中的最优试验点。
一、概念 3、优选法的用途 ⑴现场质量改进中单因素分析、试验及 选择； ⑵ QC小组活动中要因确认、对策选择、 实施； ⑶ QC小组创新成果活动课题的方案选 择和实施步骤等。
优选法课件
什么是优选法？
• 优选法：根据实际中具体问题，利用数学原理， 合理安排试验点，以求迅速找到最佳点的科学 的试验方法。 • 单因素优选法 • 适用范围：单峰函数 • 1、目标函数y=f(x)是定义在某个范围[a,b]内 的单峰函数(或单谷函数) ； • 2、不知道函数y=f(x)具体表达式，或太复杂。 • 好点，坏点。
练习
• 现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用 水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌 溉这层和其以下的所有层。如现有两台 水泵，可以安置在10层梯田中的任一层， 安置后不能移动。 • 如何安置这两台水泵，才能使所有的梯 田被灌溉而且做功最少？你能用合适的 优选法迅速找出其中的最佳点吗？
分数法的最优性
优选法的创新
•优选法的设计是用数学方 法边试边比边安排试验点
分数法
分数法
• 案例1：在配置某种清洗液时，需要加入 某种材料。经验表明，加入量大于130ml 肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入 量，该量杯的量程分为15格，每格代表 10ml。 • 用试验法找出这种材料的最优加入量。
分数法的操作
高考题中的优选法
• 2、设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈(0,1)，使得f(x)在 [0, x*]上单调递增，在[x*,1]上单调递减，则称f(x)是在[0,1]上的单 峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。对任意[0,1]上 的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。 • （1）证明：对任意的x1,x2∈(0,1)，x1<x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0,x2) 为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1,1)为含峰区间； • （ 2 ） 对 给 定 的 γ(0<γ<0.5)， 证 明 ： 存 在 x1,x2∈(0,1)， 满 足 x2x1≥2γ，使得由（1）所确定的含峰区间长度不大于0.5+γ； • （3）选取x1,x2∈(0,1)，x1<x2由（1）可确定含峰区间为(0,x2)或 (x1,1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2，类似的 可确定一个新的含峰区间。在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的 情况下，试确定x1,x2,x3的值，满足两两差的绝对值不小于0.02， 且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右 端点与左端点之差）。
优选法与统筹法
优选法一、 一个真实案例某电子管厂从仓库中清出了积压多年的几百万米某种“废”金属丝。
为了使得这些废金属丝能够重新被利用，科研人员经过研究发现，找出准确的退火温度是使该废金属丝复活的关键。
由经验知道，退火温度的范围为[1400,1600]C C，因此，试验范围为[1400,1600]C C。
如果不考虑其他次要因素，则该金属丝的质量指标()f t 是温度t的函数，其中[1400,1600]t 。
由于目标函数()f t 的具体表达式不知道，因此，该问题的关键在于能否通过次数尽量少的调温试验，求出满足一定精度条件下的最佳退火温度。
（华罗庚先生70年代初期支援大西南三线建设期间的一个案例）分析： 尽管目标函数()f t 的具体表达式不知道，但是根据经验可知：从退火温度的最低点1400C开始，随着t 的增大，质量指标()f t 的函数值随之增大；当达到最佳退火温度0t 时，随着t 的继续增大，一直到最高点1600C，质量指标()f t 的函数值随之减少。
也就是说，()f t 是在试验区间内先增后减的单峰函数，其中只有唯一的一个最优点。
试验方法讨论： 1、 等分法通常的想法是：在试验区间[1400，1600]上均匀取点试验，就可以求得满足一定精度要求的最佳退火温度。
例如，若要求精度达到120，我们只要在 123191410,1420,1430,,1590t t t t ====各点进行试验，通过比较各点的试验结果，就能找到最佳试验点。
例如，若发现91490t =是其中最好的点，就可以断定最佳退火温度必在区间（1480，1500）上。
在生产实际中，就可以把1490C作为最佳退火温度。
问题：每一次试验都需要较高的成本，而上述等分法均匀取点，试验时没有考虑已经获得的质量指标()f t 的信息，往往需要作大量试验才能获得较好的结果。
因此等分法是一种浪费的方法。
需要找到一种更节约的方法。
2、 优选法（0.618法-黄金分割法）（受到蜂巢结构的启发） 具体步骤如下：先在试验区间的0.618处做第一次试验，第一点的温度为：(0.618160014000.61814001520C=-⨯+=-⨯+= 第一次点大小）小（）第二次试验：在第一次点关于中心对称的点，即第二次的温度为1600152014001480C =-+=-+= 第二次点大第一次点小比较上面的两次结果，如果1480C点较好，去掉1520C（称之为“坏点”）以上的温度。
第六章-优选法及其应用
例4－9 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇 水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓 度和用量，使分离出的白油最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％ （体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比）， 精度为±5％。
。 作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素 的0．618法选取最优浓度为80％（即图4－10）的点3。而 后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行 优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比 点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再 纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点 11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表 4－3），试验至此结束。
三 平分法
该方法适合于“只朝一个方向进行，而 不需比较两个试验结果”的试验，即在试验
范围内，目标函数单调，则可以选用此法
。平分法的作法为： 总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为： （a+b）/2
• 根据试验结果的满意程度，决定划去范围的哪一半。重复 上面的试验，直到找到一个满意的试验点。
如以下例子：
四 抛物线法
前面几种方法都是通过比较实验结果的 好坏，逐步找出最好试验点。
如果通过单因素法已取得了三个试验点的数 值(往往是三个以上的实验中选取最好点及其相邻 的两点),那么在此基础上，用抛物线法就可以使
试验进一步深化,最优点位置更加准确。 如右图所示：
设在x1,x2,x3点上做试验，结果为y1,y2,y3,通过XY 平面上的三点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3,y3)做抛物线， 抛物线的顶点为( x0, y0 )为试验曲线的最优点。用 插入法可得到抛物线方程和顶点的X坐标:
第六章最优化方法在化学化工中的应用简介
第六章最优化方法在化学化工中的应用简介什么是最优化方法：讨论在众多方案中什么样的方案最优及怎样找出最优方案。
实际问题数学模型（目标函数）f(x l,x2,…,x n)求f(xl,x2,…,x n)的极值调节变量x单纯形法化工调优单纯形规则：由反射、扩张和收缩所组成的一种逻辑运算。
通过这些运算寻找函数f (x )的最佳反响值。
单纯形：n 维空间中由n 十1个点构成的最简单的封闭图形。
基本思想：函数f (x )的导数是函数f (x )性态的反映。
如：斜量的负方向就是该函数在这点领域内最迅速下降的方向。
)()(0x x f 单纯形法的优点：不用求导，甚至没有目标函数表达式时也可使用。
6-1-1 单纯形法——基本概念6-1-2 方法原理——单纯形规则xyABCDEFG HPABC ，A 最佳，C 最差C 反射到D ，CP=PD ，AP=PB D 比A 好D 扩张到E ，PD=DEE 比B 好ABE……YYD 比B 好NABD AFD……NYD 比C 好N收缩DG=GP ABGY……N收缩PH=HC ABH…单纯形规则示意图例：色谱分离的顺序优化色谱响应函数∑==ni i p CRF 1)ln(p ——峰分离函数i ——峰个数CRF ：判断峰分离程度完全分离：p =1,CRF =0其它情形：CRF <0优化目标：使CRF 最大例：通过变化柱温和载气流速优化2，3-二甲基己烷和3-甲基庚烷的分离t /℃流量/mol·min -16011021012345678tv6-2 化工调优调优目的：调整化工生产装置的操作参数，使生产处于最佳状态。
统计调优法：用数理统计方法，从日常积累的操作数据中寻找操作条件变化对优化目标的影响，从而求得优化的操作条件。
统计调优法中的关联式型式是经验模型，描述的过程规模不宜太大，而只适用于解决某个单元设备或简单工序的问题。
模拟法调优：以描述化工过程的数学模型为基础来寻求达到某个优化目标的最佳操作条件。
20120423-第6章-优选法
9
x4
=
1 2
y1(x22 − x32 ) + y2 (x32 y1(x2 − x3 ) + y2 (x3
− −
x12 ) + y3 (x12 − x22 ) x1) + y3 (x1 − x2 )
= 1 50(202 − 322 ) + 75(322 − 82 ) + 70(82 − 202 ) 2 50(20 − 32) + 75(32 − 8) + 70(8 − 20)
2Hale Waihona Puke 2. 要预知该因素对指标的影响规律. 即能从一个实验的结果直接分析出该因素的值是取大了
还是取小了， 如果没有这一条件就不能确定舍去哪段，保 留哪段，也就无法再着手进行下一实验。
在前述例子中， 可以根据天平倾斜的方向来判断是砝码 重，还是样品重，进而可以判断样品的质量范围，即实验区 间。
3
6.1.5 抛物线法 以前的黄金分割法和分数法都是只比较两个实验结果的好
y
=
y1
(x ( x1
− −
x2 )( x − x3 ) x2 )( x1 − x3 )
+
y2
(x ( x2
− −
x3 )( x − x1) x3 )( x2 − x1)
+
y3
(x ( x3
− −
x1)( x − x2 ) x1)( x3 − x2 )
(6 − 3)
此处，当x=xi时， y=yi (i=1, 2, 3) 该函数的图形是一条 抛物线。
备课资料 12
6.1.6.2 比例分割分批实验法
假设每一批做2n+1个实验
优选法实验设计
优选试验设计优选法在生产和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低消耗的目的，需要对有关因素（如配方、配比、工艺操作条件等）的最佳点进行选择，所有这些选择点的问题，都称之为优选问题。
所谓优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。
优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。
1单因素优选法常假定f(x)是定义区间（a,b）的单峰函数，但f(x)的表达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点x0的数值f(x0)。
应用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来确定f(x)的最大值的近似位置。
这里f(x)指的是试验结果，区间（a,b）表示的是试验因素的取值范围。
1.1来回调试方法优选法来源于来回调试法，如图1，选取一点x1做试验得y1=f(x1),再取一点x2做试验得y2=f(x2)，假定x2>x1，如果y2>y1,则最大值肯定不在区间（a,x1）内，因此只需考虑在（x1,b）内求最大值的问题。
再在（x1,b）内取一点x3，做试验得y3=f(x3)，如果x3>x2,而y3<y2,则去掉（x3,b），再在（x1,x3）中取一点x4,……，不断做下去，通过来回调试，范围越缩越小，总可以找f(x)的最大值。
这种方法取点是相当任意的，只要取在上次剩下的范围内就行了；那么怎样取x1,x2,……，可以最快地接近客观上存在的最高点呢？也就是怎样安排试验点的方法是最好的？下面介绍几种减少试验次数的试验方法。
1.2黄金分割法（0.618法）所谓黄金分割指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比等于另一部分对于该部分之比，这个比例就是=0.6180339887……，它的三位有效近似值就是0.618，所以黄金分割法又称为0.618法。
黄金分割法（如图2），就是将第一个试验点x1安排在试验范围内的0.618处（距左端点a），即:x1=a+(b-a)×0.618......(1)得到试验结果y1=f（x1）；再在x1的对称点x2，即：x2=b-(b×a)×0.618=a+(b-x1)=a+(b-a)×0.382 (2)做一次试验，得到试验结果y2=f(x2)；比较结果y1=f(x1)及y2=f(x2)哪个大，如果f(x1)大，就去掉（a,x2）,如图2所示，在留下的（x2,b）中已有了一个试验点x1，然后再用以上的求对称点的方法做下去，一直做到达到要求为止。
统筹法与优选法
统筹法与优选法一、统筹法统筹法，又称为网络计划技术，是一种基于网络图形的科学管理工具，用于分析和优化一个复杂项目的计划和执行过程。
它帮助管理者对整个项目有一个全面、清晰的认识，并能有效协调和指导各部门的各项工作。
1.统筹法的应用范围统筹法广泛应用于各种复杂项目的计划和执行过程中，例如建筑工程、制造工厂的建设计划、新产品研发项目等。
它也可以用于日常生活中的时间管理和资源分配。
2.统筹法的优点（1）能够明确项目的目标和任务，并把任务分解为更小、更易于管理的部分。
（2）通过绘制网络图形，可以直观地显示项目的各个阶段和任务之间的关系，从而帮助管理者更好地理解项目的整体结构和流程。
（3）可以预测项目可能的风险和瓶颈，并提前采取措施进行优化。
（4）通过时间参数的计算，可以为项目制定合理的进度计划，确保项目按时完成。
3.统筹法的实施步骤（1）明确项目的目标和任务，并对其进行分解。
（2）绘制网络图形，包括任务的时间顺序、持续时间、资源分配等信息。
（3）对网络图形进行分析，找出可能的风险和瓶颈。
（4）优化网络图形，调整任务的时间安排和资源分配。
（5）制定详细的进度计划，包括任务的开始和结束时间、关键路径等。
二、优选法优选法是一种通过科学实验或统计方法来寻找最优解的方法。
它的基本思想是通过对问题的各种可能情况进行实验或统计分析，找到最优解或次优解。
1.优选法的应用范围优选法广泛应用于各种需要寻找最优解的问题中，例如工程设计、生产工艺优化、市场策略制定等。
它也可以用于日常生活中的决策问题，例如选择最佳的旅游路线、制定最佳的购物计划等。
2.优选法的优点（1）能够通过科学实验或统计分析，找到问题的最优解或次优解。
（2）可以通过反复实验或测试，验证并优化解决方案的有效性。
（3）可以避免主观臆断或片面思考，使决策更加客观和科学。
（4）能够提供一组可选的解决方案，为决策者提供更多的选择。
3.优选法的实施步骤（1）明确问题目标和限制条件。
优选法：选择最佳工艺参数的方法
试验号
1 2 3 4 5 6
A
80 80 80 85 85 85
B
90 120 150 90 120 150
C
5 6 7 6 7 5
转化率%
31 54 38 53 49 42
7
8 9
90
90 90 123 144
90
120 150 141 165
7
5 6 135 171
57
62 64
K1 K2
K3
2.为了使实验与上面一样继续下去,就应该使经 过取舍以后的保留的一点，始终处在新范围中 的相应位置。如果丢掉﹝x1，1 ﹞，留下 ﹝0,x1 ﹞则x2在留下的﹝0,x1 ﹞中的位置应该 与x1在﹝0，1 ﹞中的位置一致，实际上已容易 看出：x2/x1=x1/1，得x12=x2， x2 =1-x1 得： x1 ≈ 0.618， x2≈0.382
应用：在我们组装线上，工艺条件范围一 般不大，在设备上，如磨片机砂轮的转速 和碎片率、划片机的刀片的转速和双层布 线芯片铝层状况，可以考虑采用0.618法。 比如在电镀工段，对于某些添加剂量的控 制和溶液配比，也可采用这种方法，因为 这些材料的细小变化就可能造成产品质量 的显著差异。通过较少的试验可以取得最 佳点，稳定工艺。
优选法：选择最佳工 艺参数的方法
优 选 法
在生产过程中，为了取得满意的效果，需 要对工艺参数及相关因素，进行最佳点选择， 对最佳点的选择，有直接用数学的方法，而大 量使用的都是试验方法。试验方法很多，对某 一具体问题来讲，用什么方法才能迅速找到最 佳点？这就是，优选法要解决的问题。 优选法是一种根据生产和科研中的不同问 题，利用数学原理，合理安排试验,以便迅速找 到最佳点的科学试验方法。优选法有两种：一 种是单因素问题的优选法，一种是多因素问题 的优选法。
什么叫优选法经典课件人教版1
什么叫优选法经典课件人教版1（精品 课件）
什么叫优选法经典课件人教版1（精品 课件）
最优化问题 为了使某些目标（如产量、质
量或经济指标等）达到最好的结 果（如高产、优质、低消耗）， 就要找出使此目标达到最优的有 关因素（或变量）的某些值.这类 问题在数学上称为最优化问题.
什么叫优选法经典课件人教版1（精品 课件）
这里对试验一词作广义的理解， 即它可以是物理、化学、生物等实验 科学中的实验，也可以是数学实验， 还可以是生产、生活中的实践检验.
什么叫优选法经典课件人教版1（精品 课件）
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讨论 本节提出了优选问题、最佳
点、优选法等三个概念，请同学 们讨论一下三者之间的关系.
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三、试验 试验一词即它可以是物理、化学、生物等
以上所涉及的问题就属于优选 问题，如何解决这些问题呢？首先， 我们就要了解什么是优选法.
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教学目标
1. 知识与技能
（1）了解并掌握优选法的概念. （2）学会查找最佳点的方法. （3）学会如何利用优选法解决优 选问题.
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三个概念相互联系，只有了 解了前面的概念才能了解后面的 概念，教科书正是以这种顺序循 序渐进地提出它们的.
什么叫优选法经典课件人教版1（精品 课件）
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补充：
本书介绍的优选法都是直接 最优化方法.它是以数学原理为指 导，用尽可能少的试验次数，迅 速求得最优解的方法.
黄金分割与优选法
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6.3 对分法
上面介绍的是在实验范围内存在最优 点的情况。但是,在许多情况下 在许多情况下,面对的函数 点的情况。但是 在许多情况下 面对的函数 是单调上升或单调下降。 是单调上升或单调下降。例如用某种贵金 属来保证产品质量,贵金属越多越好 贵金属越多越好。 属来保证产品质量,贵金属越多越好。但贵 金属太贵,要节约使用 要节约使用,只要保证一定量就行 金属太贵 要节约使用 只要保证一定量就行 这类问题是,每次实验都放在现行实验 了。这类问题是 每次实验都放在现行实验 区间的中点进行。这样,实验一下子可以缩 区间的中点进行。这样 实验一下子可以缩 短一半。 短一半。
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下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤。 下面通过实例 ， 说明黄金分割法设计实验的具体步骤 。 目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。 例２ 目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。 为了因 地制宜，对于没有石油乙烯的地区， 地制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化 下一步合成乙苯的新工艺： 下一步合成乙苯的新工艺： ＯＨ— Ｃ ６ Ｈ ６ ＋Ｃ ２ Ｈ ５ ＯＨ — → Ｃ ６ Ｈ ５ Ｃ ２ Ｈ ５ ＋Ｈ ２ Ｏ 筛选了多种组成的催化剂， 筛选了多种组成的催化剂 ， 其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温 就是用黄金分割法通过实验找出的。 度 ， 就是用黄金分割法通过实验找出的 。 初步实验找出， 初步实验找出，反应温度范围在 340－420℃之间。在苯与乙醇的摩 － ℃之间。 的条件下,苯的转化率 尔比为 5：1，重量空速为 11.25h-1 的条件下 苯的转化率 XB 是 : ： ， 340℃ ℃ 420℃ ℃ 10.98% 15.13%
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实际配置时稍有偏差,C 第一个实验点应选在 C1=14.6/2=7.3 处。 实际配置时稍有偏差 1=7.88。 。 实验结果得 K=0.55。 。 实际配置时仍稍有偏差,C 。 第二个实验点应选在 C1=7.88/2=3.04 处 。 实际配置时仍稍有偏差 1=3.24。实验结果得 K=0.65。 。 附近。实验结果是:C 第三个实验点应选在 C1=3.24/2=1.62 附近。实验结果是 1=1.71,K=0.73。 。 附近。 第四个实验点应选在 C1=1.71/2=0.86 附近。实验结果是 C1=0.93,K=0.85。 。 的用量。 。 。 第五个试验点再减少 AlCl3 的用量。C1=0.49,K=0.95。这时 K 值已经大于 0.90。 第六个试验点应选在 C1=0.93 和 0.49 的中间,即 0.71 附近。实验结果:C1=0.68 时 K=0.90。 的中间 即 附近。实验结果 。 至此,任务已经完成。这就是说,如果要求 至此 任务已经完成。这就是说 如果要求 K=0.90 或小于 0.90,C1 不应小于 0.68。 任务已经完成 。 为 了 观 察 所 得 结 果 的 可 信 程 度 , 又 在 C1=0.49/2=0.245 附 近 进 行 一 次 实 验 。 结 果 是 : 的结果是可信的。 用量的确不能再降低。 C1=0.238,K=1.30。看来 AlCl3 用量的确不能再降低。C1=0.68 时 K=0.90 的结果是可信的。 。
优选法基础知识
（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单 因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其 收率为41.6％
（2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温 度，得最优温度为67℃，其收率为51.5％
（3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间， 得最优时间为80分钟，其收率为56.9％
（4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选， 结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最 优条件为：
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§2-9 单因素优选法
对于第一种情形，x1的对称点x
3，在x
安排第三次试
3
验，用对称公式计算有：
x3 x2 b x1
x2
x1 x3
b
对于后一种情形，第三个试验点x3应是好点x2的对称 点，也就是：
x3 a x1 x2
a
x3 x2
x1
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§2-10 单因素优选法
如果f(x1)与f(x2 )一样，则应该具体分析，看最优点可能 在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉(a,x1 ) 和(x2,b)，仅留中点的(x2 , x1)，把x2看成新a, x1看成新b，然 后在范围(x2 , x1)内重新安排试验 这个过程重复进行下去，知道找出满意的点，得出比较好 的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试 验差别不大时也可终止试验 另：公式(5-2),(5-2)'还可用折纸的办法得到
用此法
f(x)
f(x)
a
b
连续单调
a
b
间断单调
点安排试验，中点公式为：
中点＝ a＋b 2
根据试验结果，如下次试验在高处（取值大
些），就把此试验点（中点）以下的一半范
围划去；如下次试验在低处（取值小些），
优选法与统筹法的具体实例
优选法的具体实例一、 一个真实案例某电子管厂从仓库中清出了积压多年的几百万米某种“废”金属丝。
为了使得这些废金属丝能够重新被利用，科研人员经过研究发现，找出准确的退火温度是使该废金属丝复活的关键。
由经验知道，退火温度的范围为[1400,1600]C C，因此，试验范围为[1400,1600]C C。
如果不考虑其他次要因素，则该金属丝的质量指标()f t 是温度t的函数，其中[1400,1600]t 。
由于目标函数()f t 的具体表达式不知道，因此，该问题的关键在于能否通过次数尽量少的调温试验，求出满足一定精度条件下的最佳退火温度。
（华罗庚先生70年代初期支援大西南三线建设期间的一个案例）分析： 尽管目标函数()f t 的具体表达式不知道，但是根据经验可知：从退火温度的最低点1400C开始，随着t 的增大，质量指标()f t 的函数值随之增大；当达到最佳退火温度0t 时，随着t 的继续增大，一直到最高点1600C，质量指标()f t 的函数值随之减少。
也就是说，()f t 是在试验区间内先增后减的单峰函数，其中只有唯一的一个最优点。
试验方法讨论： 1、 等分法通常的想法是：在试验区间[1400，1600]上均匀取点试验，就可以求得满足一定精度要求的最佳退火温度。
例如，若要求精度达到120，我们只要在 123191410,1420,1430,,1590t t t t ====各点进行试验，通过比较各点的试验结果，就能找到最佳试验点。
例如，若发现91490t =是其中最好的点，就可以断定最佳退火温度必在区间（1480，1500）上。
在生产实际中，就可以把1490C作为最佳退火温度。
问题：每一次试验都需要较高的成本，而上述等分法均匀取点，试验时没有考虑已经获得的质量指标()f t 的信息，往往需要作大量试验才能获得较好的结果。
因此等分法是一种浪费的方法。
需要找到一种更节约的方法。
2、 优选法（0.618法-黄金分割法）（受到蜂巢结构的启发） 具体步骤如下：先在试验区间的0.618处做第一次试验，第一点的温度为：(0.618160014000.61814001520C=-⨯+=-⨯+= 第一次点大小）小（）第二次试验：在第一次点关于中心对称的点，即第二次的温度为1600152014001480C =-+=-+= 第二次点大第一次点小比较上面的两次结果，如果1480C点较好，去掉1520C（称之为“坏点”）以上的温度。
优选法与二分法、黄金分割间的联系
优选法与二分法、黄金分割间的联系优选法概述优选法,是以数学原理为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法。
例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。
把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。
也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。
最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。
实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。
如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。
优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法,优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。
二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b ①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
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第一节 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因 素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题
• 一般步骤： （1）首先应估计包含最优点的试验范围 如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为 [a，b] （2）然后将试验结果和因素取值的关系写成 数学表达式 不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏 的方法 • 方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况
例4－9 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇 水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓 度和用量，使分离出的白油最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％ （体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比）， 精度为±5％。
。 作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素 的0．618法选取最优浓度为80％（即图4－10）的点3。而 后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行 优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比 点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再 纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点 11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表 4－3），试验至此结束。
爬山法就是先找出一个起点，通常是生产上正 在使用的生产条件，以这个点为基准做第一次试验， 选出一个因素然后在其减少（或增加）的方向找第 二个点做试验，若这个结果优于第一个结果，则按 相同的方向找第三个试验点，否则，按相反方向找 第三个试验点，反复进行，直到得到最佳结果（相 对于所选因素）。
爬山法
• 例如：
三、平行线法
在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一 个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个 是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。 在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假 设试验范围为一单位正方形, 即 0≤x1≤1， 0≤x2≤1
上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情 形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不 失普遍性，可以假设它是单位立方体：0≤x1≤1， 0≤x2≤1， 0≤x3≤1 又设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和0.382 处，就得到两个平行平面:0≤x1≤1， 0≤x2≤1 X3＝0.618 与0≤x1≤1， 0≤x2≤1 X3=0.382 这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用 （任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和A2（见图4－ 15）。然后比较A1和A2上的试验结果。
二 分数法
当试验条件不能用连续数表示或预先规定 了总的试验次数时，就不能采用0.618法。 1 菲比那契数列 F1=1 F2=1 Fn+2=Fn+Fn+1 即：1，1，2，3，5，8，13，21…
2 试验点的确定
如试验范围已定，要求只做n次试验， 首先从 菲比那契数列中找到第n+2项Fn+2，把试验范围分 为Fn+2份,再找到第n+1项Fn+1，该值为第一个试验 点所在位置，即分数法的第一个试验点在试验范 围总长的Fn+1/Fn+2位置进行。以后试验点的取法均 按类似于0.618法依次进行,直到n次试验全部做完， 比较各试验结果即可得到最佳方案。
四 抛物线法
前面几种方法都是通过比较实验结果的 好坏，逐步找出最好试验点。
如果通过单因素法已取得了三个试验点的数 值(往往是三个以上的实验中选取最好点及其相邻 的两点),那么在此基础上，用抛物线法就可以使
试验进一步深化,最优点位置更加准确。 如右图所示：
设在x1,x2,x3点上做试验，结果为y1,y2,y3,通过XY 平面上的三点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3,y3)做抛物线， 抛物线的顶点为( x0, y0 )为试验曲线的最优点。用 插入法可得到抛物线方程和顶点的X坐标:
• 根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验 范围： 温度：55℃－75℃ 时间：30－210分钟
（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单 因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其 收率为41.6％ （2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温度， 得最优温度为67℃，其收率为51.5％ （3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间， 得最优时间为80分钟，其收率为56.9％ （4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选， 结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最优 条件为： 温度：67℃；时间：80分钟 采用此工艺生产，平均收率提高了15％
1 b1
b
再固定到x2(1)优化到 x1(2)
将 直 线 由 x1 x1 将 原 长 方 形 剪 成两块，剩下的试验范围为： x1 x1 b1 去掉左边部分（即不 含最优点A2的部分 a x 2 b2
(1)
(1)
a2b 2x1(1 )源自A2b2 a 1 a1
a2
x1 x1(1)
(1 )
2000m 1500m
1000m
500m 0m Y
X
第三节 多因素优选法
多因素优选法通常是将多因素简化为双因素或单
因素的情况来处理。
一 平分平面法 设三个因素为x,y,z，试验范围为立方体， 即在0<x<1,0<y<1,0<z<1中找最佳点， 如图所示。
先在三个平面：x=1/2,0<y<1,0<z<1; 0<x<1,y=1/2,0<z<1; 0<x<1,0<y<1,z=1/2; 用双因素法最出最好点A1、B1、C1： A1=(1/2,y1,z1) B1=(x2,1/2,z2) C1=(x3,y3,1/2) 然后比较三个点上的试验结 果，若A1最好，且0<y<1/2,0<z<1/2，则去 掉原立方体的3/4，留下的长立体如下图示， 用同样的方法继续选优。
第六章 优选法及其应用
优选法是根据生产和科研中的不同问题，以 数学原理为指导，合理安排实验点，减少试验次 数，以求迅速找到最佳点的一类科学方法，优选 法可以解决那些实验指标与因素间不能用数学形 式表达，或者虽有表达式但很复杂的那些问题。 优选法的目标就是尽可能少做试验，尽快地 找到生产和科研的最优方案 我国从70年代初开始，首先由数学家华罗庚等 人推广，随后优选法开始在生产实际中得到大量 应用。 它适合于单因素、多因素试验。
例如：
某润滑油中加入66‰的复合剂后质量 符合要求，为了降低成本，在保证质量的 前提下，选择复合剂的最佳加入量。 根据经验，复合剂少于18‰时不合格， 所以试验范围为18‰~66‰，第一次试验取 范围的中点，即42‰，合格，则舍去 42‰~66‰这段，取取18~42‰的中点即 30‰，若不合格，则舍去18~30‰这段，在 30~42‰的中点取值，…，直到满意为止。
( x x 2 )( x x 3 ) ( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x1 )( x x 3 ) ( x 2 x 3 )( x 2 x1 ) ( x x1 )( x x 2 ) ( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
y 0 y1
例如：某化学反应的温度为120~200度， 要求只进行4次试验，找出最好的试验结果。
• 总试验次数为n=4 • Fn+2=F6=8，Fn+1=F5=5，第一次试验点在总范围 的5/8处：120+（200-120）X5/8=170 • 第二试验点采用“加二头，减中间”的方法： 200+120-170=150 • 比较试验（1）和（2）的结果，发现（2）好， 去掉170以上部分，按下式找第三试验点： 170+120-150=140 • 比较第（2）和第（3）试验结果，仍是（2）好， 去掉140以下部分，找第四试验点： 170+140150=160 • 比较试验（2）和（4），结果仍是（2）好。决 定150为最佳反应温度。
一 0.618法 又称为“黄金分割法”或“折纸法”。 它一般适用于试验次数预先不做规定的情 况。而且目标函数为单峰函数时。
f(x)
a
单峰函数
b
例1 为了改善某油品的性能，需在油品中加 入一种添加剂，其加入量在200克/吨到400 克/吨，试确定添加剂的最佳加入量。
由于总试验次数不限，可以采用0.618法。 步骤如下：
如果试验(1)结果比(2)的好,则剪去左边一段,按相 同方法找出第三个试验点.
4 比较第(3)和第(2)的试验结果,再找出第 (4)次试验点,并比较……, 直到满意为止。
由上边的例子可见： （1）采用0.618法安排试验时,每次剪去的长 度都是上次的0.382,无论剪右或是剪左,中 间段都将保留下来. （2） 0.618法安排试验时，是在试验范围内 找出最佳试验点，如果最初的试验范围不 准确，那么最终的结果也就不可靠。
§4－3 多因素方法——降维法
• 例如：有两个因素需要考虑，一个是用量， 其范围（1000，2000），另一个是温度， 其范围（1000℃，2000℃）。
因素2 （1）固定温度于0.618处 2000℃ （2）优选出用量的最佳点A （3）固定用量于点A （4）优选温度最佳点B 1618℃ （5）固定温度于点B （6）再次优选用量最佳点C …………
三 平分法
该方法适合于“只朝一个方向进行，而 不需比较两个试验结果”的试验，即在试验
范围内，目标函数单调，则可以选用此法
。平分法的作法为： 总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为： （a+b）/2
• 根据试验结果的满意程度，决定划去范围的哪一半。重复 上面的试验，直到找到一个满意的试验点。
如以下例子：
二、纵横对折法
假设试验范围为一长方形， a1<x1<b1 a2<x2<b2 b2
x2
b2
x2(1)(1) x