【全国百强校】河北省邢台市第一中学2019年高一直升班上学期期末考试数学试题

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河北省邢台市第一中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)

河北省邢台市第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一､选择题：.1.已知集合{=M x x ≥，a = ） A. {}a M ⊆ B. a M ⊆C. {}a M ∈D. a M ∉【答案】A 【解析】【分析】M 是一个集合，a 是一个元素，且在集合M 中，由此可以选择.【详解】因为M 表示集合，a 表示一个元素，又≥ 根据集合与元素之间的关系，可记作：a M ∈；亦可记作：{}a M ⊆. 故选：A.【点睛】本题考查集合与集合，元素与集合之间的关系以及记法，属简单基础题. 2.下列函数中指数函数的个数是（）①23xy =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为1x +，不是x ，故不是指数函数；对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对⑤：幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有③④，故选：B.【点睛】本题考查指数函数的定义：只有形如(0,1)xy a a a =>≠的函数才是指数函数. 3.已知集合{}212,4,2A a a a =+-，且3A -∈，则a =（） A. -1 B. -3或1C. 3D. -3【答案】D 【解析】【分析】令集合A 中的元素24a a +与2a -分别为-3，求得a 的值，再利用集合的互异性，进行取舍. 【详解】因为3A -∈，故：令243a a +=-，解得1a =-或3a =-；当1a =-时，2423a a a +=-=-不满足集合的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足集合互异性，故3a =-；令23a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；综上所述：3a =-，故选：D.【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合的互异性；请大家注意集合互异性，可以对参数的值进行取舍，这是易错点.4.已知全集{}3,2,1,0,1,2,3,4U =---，集合(){}210A x x x =-=，集合{}2,9B x x N x =∈≤，则()U C A B ⋂=（）A. {-3，-2，2，3}B. {2，3}C. {1，2，3}D. {0，1，2，3} 【答案】B 【解析】【分析】分别求解集合A 和集合B ，然后由集合的运算法则求解即可. 【详解】对集合A ：()210x x -=，解得：0x =或1x =或1x =-；用列举法表示集合{}1,0,1A =-；对集合B ：29x ≤，解得33x -≤≤，又x N ∈ 用列举法表示集合{}0,1,2,3B = 故：{}3,2,2,3,4U C A =--，则：{}()2,3U C A B ⋂=，故选：B.【点睛】本题考查不等式的补运算、交运算、方程的求解、不等式的求解，属基础知识题. 5.集合{}1A x y x ==-，{}22B y y x ==+，则A B 等于（）A. （0，+∞）B. （1，+∞）C. [1，+ ∞）D. [2，+ ∞）【答案】C 【解析】【分析】求得函数1?y x =-的定义域即为A 集合，求得22y x =+的值域即为B 集合，最后取并集即可.【详解】对函数1?y x =-，其定义域为[)1,+∞；对函数22?y x =+，其值域为[)2,+∞；故[)1,A B ⋃=+∞，故选：C.【点睛】本题考查集合的表示方法（描述法）、集合的并运算以及简单函数定义域、值域的求解.6.图中的阴影表示的集合中是（）A. ()U A C B ⋂B. ()U B C A ⋂C. ()U C A BD. ()U C AB【答案】B 【解析】【详解】因为阴影部分属于集合B,但不属于集合A, 所以，图中阴影是集合Ｂ与Ａ的补集的交集,即U B C A ⋂．故选B.7.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（） A. 2()f x x =，2()()g x x =B. 0()1,()f x g x x == C. 3223(),()()f x x g x x ==D. 21()1,()1x f x x g x x -=+=-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：A 中定义域为，定义域为两个函数的定义域不一致,故A 中两函数不表示同一函数；B 中定义域为，,定义域为{}|0x x ≠两个函数的定义域不一致,故B 中两函数不表示同一函数；C 中两个函数的定义域和解析式均一致,故C 中两函数表示同一函数；D 中定义域为，定义域为{}|1x x ≠，两个函数的定义域不一致,故D 中两函数不表示同一函数；所以C 选项是正确的.考点：函数的三要素.【易错点晴】函数的三要素：定义域，对应关系，值域；根据函数的定义知，两个函数的定义域和对应关系一样，那么值域就一样，两个函数就相同，仅是定义域和值域一样则函数未必相同，例如，定义域均为，值域均为，但两个函数显然不一样，若两个函数的定义域不一样，则两个函数必然不是同一个函数.8. 下列判断正确的是（）A. 函数22()2x xf x x -=-是奇函数B. 函数1()(1)1xf x x x+=--是偶函数 C. 函数2()1f x x x =+-是非奇非偶函数D. 函数()1f x =既是奇函数又是偶函数【答案】C 【解析】【详解】试题分析：A 中函数的定义域为{}|2x x ≠不关于原点对称，()f x 不是奇函数；B 中函数的定义域为{}|11x x -≤<不关于原点对称，()f x 不是偶函数；C 中函数的定义域为{}|1,1x x x ≤-≥或，2()1()f x x x f x -=-+-≠，2()1()f x x x f x -=-+-≠-，所以()f x 是非奇非偶函数；D 中是偶函数，不是奇函数.故选C.考点：函数的奇偶性.【方法点睛】判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=〔或或()()0f x f x --=〕⇔函数()f x 是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有〔或或⇔函数()f x 是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否关于原点对称；②比较与()f x 的关系；③下结论.⑵图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数.⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；③若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.9.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A. 10-B. 6-C. 4-D. 2-【答案】A【解析】()28242f a b -=---=，则826a b +=-，所以()28246410f a b =+-=--=-，故选A ．10.已知函数()f x 在定义域（-1，1）内单调递减，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（） A. （-2，1） B. （0，2）C. (D. （0，1）【答案】D 【解析】【分析】由函数定义域，可得到参数的限制条件；再由单调性，可得参数的另一个限制条件，解不等式组取交集即可求得.【详解】因为函数()f x 的定义域为()1,1-，故：111a -<-<，解得：()0,2a ∈；2111a -<-<，解得：()(a ∈⋃；又该函数单调递减，且()()211f a f a -<-，故：211a a ->-，解得：()2,1a ∈-；综上所述，取交集可得：()0,1a ∈. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式，涉及不等式的求解；本题的难点是没有注意函数的定义域，从而造成错解.11.下面四个函数：①3y x =-②211y x =+③2210y x x =+-④,0,1,0.x x y x x-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.其中值域为R 的函数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B 【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R ，②的值域，③的值域为考点：函数的值域12.对,a b ∈R ，记max {,a b }=,,a a bb a b ≥⎧⎨⎩＜，函数()f x ={}max 1,2()x x x R +-∈的最小值是（） A. 0 B. 12C.32D. 3【答案】C 【解析】【分析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据1x +和2x -的大小关系，结合新定义给出函数()f x 的解析式，再通过画函数的图象即可求得最小值.【详解】由12x x +≥-，可得22(1)(2)x x +≥-，即12x ≥. ∴11,2()12,2x x f x x x ⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩作出函数()f x 的图象如图所示：∴min 113()()1222f x f ==+= 故选C.【点睛】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事 ”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二､填空题：13.函数y =______.【答案】(],0-∞ 【解析】【分析】由被开方数大于等于零，可得关于x 的指数不等式，求解即可.【详解】若使得函数y =210x --≥，整理得：112x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即：1122x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由指数函数单调性可得： 0x ≤，故答案为：(],0-∞.【点睛】本题考查指数不等式的求解，涉及函数的定义域求解.14.已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =-，则当0x <时，()f x =______ 【答案】()1x x + 【解析】【分析】当0x <时，其相反数则为正数，满足解析式，结合函数为奇函数，即可求得. 【详解】令0x <，则0x ->，故满足：()()()1f x x x -=-+，又因为()f x 为奇函数，故：()()f x f x -=-，综上()()1f x x x -=-+，解得：()()1f x x x =+，即所求.故答案为：()1x x +.【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式，属重要基础题.15.{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的取值组成的集合是______ .【答案】11032⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，【解析】【详解】解：由x 2+x-6=0，得x=-3或x=2 ∴A={-3，2} 又∵B={x|mx -1=0} 当m=0时，B=∅，满足A B=A,当0m ≠时，则解得x=-1ｍ,因此1m =3，1m =-2，解得m 的集合为11032⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，- 16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：()()()12f x y f x f y +=++，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x >时，()0f x >.给出以下结论:①()102f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12f x +为奇函数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】【分析】由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选项逐一验证可得答案．【详解】由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()12f x y f x f y +=++，可得()()()01020=++f f f ，即1(0)2f =-，故①正确；取12x =， 12y 代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，即1110222⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，解得112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ；再令12x y ==-代入可得()111122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭f f f ，故②正确；令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11()()022++-+=f x f x ，故1()2+f x 为奇函数，④正确；取1y =-代入可得()()()1112-=+-+f x f x f ，即()()()111102---=+=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<，故()f x 为R 上减函数，③错误； ⑤错误，因为11()1()22+=++f x f x ，由④可知1()()2=+g x f x 为奇函数，故11()()2()22-+--=-g x g x g x 不恒为0，故函数()1f x +不是偶函数. 故答案为①②④【点睛】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属于常考题型. 三､解答题：17.计算（或化简）下列各式：（1）1 1.5212344910.000127649--⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）1122111122222a b a b a b a ba b-+--+-【答案】(1)244770；(2)0. 【解析】【分析】（1）逐项求解，然后相加即可；（2）利用完全平方公式，以及平方差公式进行化简.【详解】（1）原式=()()1322122243437110383---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =18927107+-+ =244770（2）原式=211111122222211112222a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ =11112222a b a b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=0【点睛】本题考查分数指数幂的计算，第二问要注意技巧的应用，巧用完全平方公式及平方差公式.18.已知()(){}22330A x x a x a a =-+++≤，601x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭. （1）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.【答案】(1)[]6,2--；(2)()() ,91,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）A B ⋂=∅，则只需保证两个集合的端点值满足约束关系即可；（2）A B B ⋃=，则A B ⊆，由两个集合的端点值即可进行约束.【详解】对集合A ，()()22330x a x a a -+++≤，分解因式可得：()()30x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦解得：[],3A a a =+；对集合B ，601x x+<-，整理得： ()()610x x +-<，解得：B =()(),61,-∞-⋃+∞；（1）若A B ⋂=∅，则：631a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]6,2a ∈-- （2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，故：36a +<-或1a >，解得()(),91,a ∈-∞-⋃+∞【点睛】本题考查集合的相互关系，涉及不等式的求解，属重要基础题.19.集合{}22190A x x ax a =-+-=,{}2560B x x x =-+=,{}2280C x x x =+-=.（1）若A B =，求a 的值；（2）若A B ∅，A C ⋂=∅，求a 的值．【答案】（1）5a =；（2）2a =-.【解析】试题分析：（1）由A=B ，由题意求出B ，用韦达定理求a ；（2）由∅⊊A∩B，A∩C=∅，又B={2，3}，C={2，-4}，则3∈A ，2∉A ，解出a 即可．试题解析：由已知，得{}2,3B =，{}2,4C =-（1）∵A B =于是2,3是一元二次方程22190x ax a -+-=的两个根，由韦达定理知：2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩解之得5a =. （2）由A B ⋂∅⇒A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，得3A ∈，2A ∉，4A -∉，由3A ∈，得2233190a a -+-=，解得5a =或2a =-当5a =时，{}{}25602,3A x x x =-+==，与2A ∉矛盾；当2a =-时，{}{}221503,5A x x x =+-==-，符合题意. ∴2a =-.试题点睛：本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．20.设函数()21f x ax bx =++（0a ≠、b R ∈），若()10f -=，且对任意实数()x x R ∈不等式()0f x ≥恒成立．（1）求实数a 、b 的值；（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =，2b =；（2）(][),26,-∞-+∞.【解析】【详解】试题分析：（1）根据f （-1）=0，△≤0，解出即可；（2）先求出函数f （x ）的表达式，根据函数的单调性求出k 的范围即可.试题解析：（1）∵()10f -=∴10a b -+=∵任意实数x 均有()0f x ≥成立 ∴()22010140a a ab a >⎧⇒-≤⇒=⎨∆=-≤⎩ 解得：1a =，2b =（2）由（1）知()221f x x x =++ ∴()()()221g x f x kx x k x =-=+-+的对称轴为22k x -= ∵当[]2,2x ∈-时，()g x 是单调函数 ∴222k -≤-或222k -≥ ∴实数k 的取值范围是(][),26,-∞-+∞.试题点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的证明，注意运用定义法，考查推理能力，属于中档题．二次函数的单调性由函数的开口方向及对称轴判断，当含有参数时注意分类讨.21.若{},0,1A a =-，1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，且A B =，()2f x ax bx c =++. （1）求()f x 解析式；（2）若[]1,2x ∈-时，求()f x 的值域；（3）若[]1,x m ∈时，()[]1,f x m ∈，求实数m 的值. 【答案】(1)()2 22f x x x =-+；(2)[]1,5；(3)2. 【解析】【分析】（1）由集合相等，可求得,,a b c ，从而求得函数解析式；（2）简单二次函数的值域求解，配方即可；（3）由对称轴知，二次函数在该区间上单调递增，则该二次函数过点()1,1和(),m m ，解方即可.【详解】（1）由A B =，可得：1a =，1b a +=-，0b c +=，解得：1,2,2a b c ==-=，故：()222f x x x =-+.（2）()222f x x x =-+ =()211x -+故：当1x =时，取得最小值1；当1x =-时，取得最大值5.故该函数的值域为[]1,5.（3）由解析式可得，对称轴：1x =，故该二次函数在[]1,m 上单调递增，故： ()()11f f m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =，又1m >，故2m =.【点睛】本题考查集合相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质，属基础题.22.已知113a ≤≤，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的函数表达式；（2）判断并证明函数()g a 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，并求出()g a 的最小值. 【答案】(1)()1196?,? ,121112? ,?,32a a a g a a a a ⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪+-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩；(2) ()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；()1122min g a g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据动轴定区间的处理方式，进行分类讨论即可；（2）先用单调性的定义证明函数单调性，再根据单调性求解其最小值.【详解】（1）()221f x ax x =-+的对称轴为1x a=； 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故：[]11,3a ∈ 当[]11,2a ∈，即1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()()395M a f a ==-，()111N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则：()()()196g a M a N a a a=-=+- 当(]12,3a ∈，即11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()()11M a f a ==-，()111N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则：()()()12?g a M a N a a a=-=+-()1196?,? ,121112? ,?,32a a a g a a a a ⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪+-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩（2）设：121132a a ≤<<，则 ()()()121212110g a g a a a a a ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭即：()()12g a g a >，故()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减；设12112a a <<≤，则 ()()()121212190g a g a a a a a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭ 即：()()12g a g a <，故()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；综上所述：()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减；在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ()1122min g a g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数的动轴定区间、最值、单调性定义、分段函数，属函数综合题.。

2019年邢台市高中必修一数学上期末第一次模拟试题(含答案)

2019年邢台市高中必修一数学上期末第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12B ．2C ．22D ．24．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．5．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]6．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞8．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．22，2 C ．14，2 D ．14，4 9．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}10．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 16．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.23．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）24．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．5．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6．C解析：C 【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域.7．C解析：C 【解析】【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数，外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．D【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.10．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．11．C解析：C 【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．A解析：A 【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.二、填空题13．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：1-【解析】【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=，所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=，又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.14．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.15．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇解析：[2015,2019]【解析】【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论．【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤，由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤．故答案为：[2015,2019]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．16．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4- 【解析】【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）；综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.18．6【解析】【分析】由题意可得由正弦函数和一次函数的单调性可得的范围是将已知等式整理变形结合不等式的性质可得所求最大值【详解】解：函数可得由可得递增则的范围是即为即即由可得即而可得的最大值为6故答案为解析：6 【解析】【分析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增，则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+，即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈，可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.三、解答题21．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【分析】【详解】（1）f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <,则121211()()2121xx f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0xx x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <. 所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数, ∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f . ∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 23．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可. 【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即0.51.942(2 1.94)5p+=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-,又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题. 24．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)()32f =-Q ,()12log 1032a ∴-=-,即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min 2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭,178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.25．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式. （2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值. 【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =.∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.26．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果. 【详解】（1）()2121a f +=-，()121112af +-=-因为()221x x af x +=-是奇函数.所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=-化简可得()2121x f x =+-所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥- 所以212m m ≥-，即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。

河北省邢台市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

邢台一中2022-2023学年上学期期末考试高一年级数学试题第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin(-1320o )=（）A.1 B.12-C.D.2.已知集合2121(12x x A x +-⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{}34x x -<< B.{}33x x -<< C.{}34x x -<≤ D.{}33x x -<≤3.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（）A.ln y x=- B.tan()y x =- C.3y x =- D.1y x=4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--5.命题p ：0x R ∃∈，使得200680kx kx k -++<成立．若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.[]01,B.(0,1]C.(,0)(1,)-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞⋃+∞6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A ，()cos1,B m ，()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（）A ．m n>B ．m n<C ．m n=D ．不能确定7.已知tan()22απ-=-，则31cos()sin()22π14ππααα+--+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A.22B. C.12D.18.“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系ax b y e +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C o 的保鲜时间为216小时，在20C o 的保鲜时间为8小时，那么在10C o 时，该果蔬的保鲜时间为（）小时．A ．72B ．36C ．24D ．162二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下到说法错误．．的是（）A.若α终边上一点的坐标为(3,4)(0),k k k ≠则3cos 5α=B.α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C.将函数()cos(2)3f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()cos 2g x x =的图象D.若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-10．已知b a ,为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（）A.114a b+的最小值为4 B.ba 11+的最小值为9C.(41)(1)a b ++的最大值为94D.(1)(1)a b ++的最大值为9411.已知函数()()4log 1,1,411x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（）A.3y x = B.tan y x= C.2sin y x=D.y =第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}22(28)10A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为______.14.已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.15.如图，在Rt PBO V 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧AB 等分POB V 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.16.函数()f x 为定义在00∞⋃+∞（-，）（，）上的奇函数，且(3)1f =，对于任意()1212,0x x x x ∈+∞≠，，，都有112212()()0x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为_________四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）设R a ∈，集合(){}(){}22|log 2|30A x x a B x x a x =+<=-+<，，（1）若2a =，求A B⋃（2）若R 3()A B ∈⋂ð，求a 的取值范围.18.（12分）函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=、条件②26x π=、条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()6f x π-的单调增区间.19.（12分）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）[,]46x ππ∈-时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求,a b的值。

河北省邢台市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题

河北省邢台市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于23．下列导数公式正确的是( ) A ．()nnxnx '=B ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin cos x x '=-D ．()xxe e'=4．cos 12π的值为（）5．函数()sin2xx f x e=的大致图像是（）A. B.C. D.6．若平面中，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()()2ln 1f x x =+，()1()2xg x m =-，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．已知等差数列{}n a 中，111a =，前7项的和735S =，则前n 项和n S 中( ) A.前6项和最大 B.前7项和最大 C.前6项和最小D.前7项和最小9．曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．2eB ．24eC ．22eD ．292e 10．“0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A.0x ∀>，2sin x x < B.0x ∀>，2sin x x ≤ C.00x ∃≤，002sin x x ≤D.00x ∃>，002sin x x ≤11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（） A.2- B.1-C.0D.212．已知集合，，则（）A.B.C.D.二、填空题 13．已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点到右焦点的距离为______．14．正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB AG ?________.15．已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项12017a =，前n 项和为n S ，若2a 是4a 与6a 的等差中项，则2017S =__________．16．已知非零向量,,a b c 满足：(2)(2)=0a c b c -⋅-，且不等式||||||a b a b c λ++-≥恒成立，则实数λ的最大值为________.三、解答题 17．已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间。

2019-2020学年河北省邢台市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年河北省邢台市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|22}A x x =-≤≤,{}2|log 2B x x =<,则()R A B =I ð( ) A ．{|20}x x -≤≤B ．{|20}x x -≤<C ．{|24}x x 剟D ．{|02}x x <„【答案】A【解析】解对数不等式求得集合B ，由此求得U B ð，进而求得()R A B I ð. 【详解】因为2log 2x <，所以22log log 4x <，所以{}|04B x x =<<,所以R {|0B x x =≤ð或4}x ≥,所以()R {|20}A B x x ⋂=-剟ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算，考查对数不等式的解法，属于基础题. 2．函数log (1)3a y x =++的图象恒过定点M ,则M 的坐标为( ) A ．（-1,3） B ．（0,3）C ．（3,-1）D ．（3,0）【答案】B【解析】根据对数型函数过定点，求得M 点的坐标. 【详解】令log (1)0a x +=,则0x =,故M 的坐标为（0,3）. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数型函数过定点问题，属于基础题.3．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( ) A ．3 B ．4C ．1D ．2【答案】D【解析】结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值. 【详解】∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题. 4．若函数2(1)5f x x -=+,则(2)f -=( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3【答案】B【解析】求得2-对应x 的值，由此求得函数值. 【详解】由12x -=-，解得1x =-，所以()()22156f -=-+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 5．下列函数中,既以π为周期,又在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是( ) A ．cos2x y =- B ．|sin |y x =C ．tan 1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】逐一分析四个选项中函数的单调性和最小正周期，由此确定正确选项. 【详解】 A 中函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,不合题意；B 中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,不合题意；C 中函数满足题意；D 中函数的最小正周期为4π,不合题意；综上所述,选项C 满足题意. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的周期性和单调性，属于基础题.6．已知()lg sin143a ︒=,22tan 371tan 37b ︒︒=-,22c -=,则( ) A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】利用“0,1分段法”，结合对数函数、三角恒等变换、指数函数的知识，比较出三者的大小关系. 【详解】因为()lg sin143lg10a ︒=<=,22tan 37tan 7411tan 37b ︒︒︒==>-,212(0,1)4c -==∈,所以b c a >>. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用对数函数、三角恒等变换、指数函数的知识比较大小，属于基础题. 7．函数()ln(sin cos )f x x x =-+( )A ．,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．73,44ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．73,,444ππππ⎛⎫⎛⎤--⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．7,(0,]44πππ⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零，结合三角不等式的解法，求得函数的定义域. 【详解】由sin cos 0,0,20,x x x x ππ->⎧⎪-⎨⎪+⎩……得522,,442,k x k k x ππππππ⎧+<<+∈⎪⎨⎪-⎩Z 剟故73,,444x ππππ⎛⎫⎛⎤∈--⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 8．函数2212xx y --+=-的单调递增区间为( )A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】B【解析】利用复合函数单调性同增异减，判断出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数221y xx =--+的单调递减区间为[1,)-+∞,所以原函数的单调递增区间为[1,)-+∞.故选：B 【点睛】本小题主要考查指数型复合函数单调性的求法，属于基础题.9．已知()f x 是定义在(26,)a a -上的奇函数,且()f x 在[0,)a 上单调递减,则不等式(31)(14)f x f x --…的解集为( )A ．12,37⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．23,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,47⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．12,47⎛⎤-⎥⎝⎦ 【答案】D【解析】根据奇函数的定义域的特点求得a ，根据奇函数的单调性以及函数的定义域化简所求不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】因为()f x 是奇函数,所以260a a -+=,则2a =,所以()f x 的定义域为(2,2)-.又()f x 在[0,2)上单调递减,从而在(2,2)-上单调递减,所以由(31)(14)f x f x --…,可得231,3114,142,x x x x -<-⎧⎪--⎨⎪-<⎩„所以1247x -<„,即不等式(31)(14)f x f x --…的解集为12,47⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性、奇偶性解不等式，属于基础题.10．函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,若不等式()sin 2f x m x -„恒成立,则m 的取值范围是( )A ．32⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】根据,B C 两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用分离常数法化简()sin 2f x m x -„，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围.【详解】因为//BC x ,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()sin 2f x m x -„，等价于()sin 2f x x m -„,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 3,所以3m …故选：A【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．已知锐角θ满足22tan tan 60θθ--=,224sin 3sin cos cos a θθθθ=--,则函数2sin ()=sin x af x x a+-( )A ．没有最大值也没有最小值B ．只有最大值,且最大值为114C ．只有最小值,且最小值为194- D ．最大值是114,最小值是194-【答案】D【解析】解一元二次方程求得tan θ，利用“1”的代换以及齐次方程的方法，求得a ，由此求得()f x 解析式，利用分离常数法以及换元法，结合函数的单调性，求得()f x 的最大值和最小值. 【详解】由22tan tan 60θθ--=,得tan 2θ=或3tan 2θ=-（舍）, 则22224tan 3tan 194sin 3sin cos cos tan 15a θθθθθθθ--=--==+, 则9272sin 55()299sin sin 55x f x x x +==+--,令sin x t =,则[1,1]t ∈-,令275()295g t t =+-, 易知关于t 的函数275()295g t t =+-在区间[1,1]-上单调递减，所以()f x 的最大值是114,最小值是194-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和齐次方程，考查分式型函数最值的求法，属于中档题.12．设函数1e 1,0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x +⎧-=⎨--->⎩…则(2020)f =( )A ．eB ．11e- C ．1-e D ．-e【答案】C【解析】首先根据分段函数解析式判断出当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数，由此求得()2020f 的值. 【详解】当x >0时,由()(1)(2)f x f x f x =---,可得(1)()(1)f x f x f x +=--,两式相加得(1)(2)f x f x +=--,则当x >0时,(6)()f x f x +=,故(2020)(4)(1)(1)(0)1e f f f f f ==-=--=-.故选：C 【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的周期性，属于基础题.二、填空题13．已知()f x 是R 上的奇函数,且当(1,0)x ∈-时,()4x f x =-,则45log 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________.【答案】45【解析】利用奇函数的性质以及题目所给(1,0)x ∈-时，()f x 的解析式，化简求得45log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为4454log log 45f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,44log (1,0)5∈-, 所以544log 44544log log 4455f f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：45【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.14．已知集合{}22,4,46A a a =-+,{2,}B a =,A B B =I ,则实数a 的取值的集合为_________. 【答案】{3,4}【解析】分成24,46a a a a ==-+两种情况，结合集合元素的互异性，求得a 的取值的集合. 【详解】当4a =时,2466a a -+=,符合；当246a a a -+=,解得2a =,3a =,由集合元素的互异性,2a =舍去.故4a =或3a =. 故答案为：{3,4} 【点睛】本小题主要考查根据交集的结果求参数，考查集合元素的互异性，属于基础题. 15．已知一扇形的半径为2,弧长为π,则该扇形的圆心角所对的弦长是_________.【答案】【解析】首先计算出圆心角，然后根据勾股定理求得圆心角所对的弦长. 【详解】设扇形的弧长为l ,圆心角为θ,由l r θ=,得2θπ=,即2πθ=,故所对的弦长是=.故答案为：【点睛】本小题主要考查扇形弧长、弦长有关计算，属于基础题.16．已知函数()sin f x a x x =+的图象关于直线76x π=对称,则函数7()()5g x f x =-在7,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为________.【答案】143π 【解析】首先根据()f x 关于直线76x π=对称求得a 的值，即求得()f x 解析式.由此画出()f x 与75y =的图象，结合三角函数图象的对称性，求得函数7()()5g x f x =-在7,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和. 【详解】由题意,函数()sin )f x a x x x θ==+（θ为辅助角）.由于()f x 图象的一条对称轴的方程为76x π=,得23322a a +=+,解得1a =,所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,结合函数7()2sin(322f x x x πππ⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎭⎝⎭剟与75y =的图象可知,方程()0g x =有4个根1x ,2x ,3x ,4x （1234x x x x <<<）,且1x ,2x 关于6π对称,3x ,4x 关于136π对称,即12263x x ππ+=⨯=,341313263x x ππ+=⨯=,所以1234143x x x x π+++=.故答案为：143π 【点睛】本小题主要考查三角函数辅助角公式，三角函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知角θ的终边经过点(2,3)P -,求下列各式的值. （1）2sin 3cos sin θθθ-；（2）23cos 2cos cos(2)222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) 23-(2)0 【解析】（1）根据θ终边上一点的坐标，求得tan θ的值.将所求表达式化为只含tan θ的式子，由此求得所求表达式的值.（2）利用诱导公式、二倍角公式以及“1”的代换的方法，将所求表达式化为只含tan θ的式子，由此求得所求表达式的值. 【详解】（1）由角θ的终边经过点P （2,-3）,可知3tan 2θ=- 则2sin 2tan 23cos sin 3tan 3θθθθθ==---.（2）23cos 2cos cos(2)222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22sin 2sin cos 222sin cos 3sin 3θθθθθθ=-+--=-+-222222sin cos 3sin 2tan 3tan 33sin cos tan 1θθθθθθθθ-+-+=-=-++ 393013=-=. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 18．计算或化简:（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 3332log log 2log 36⋅--- 【答案】(1)99(2)-3【解析】（1）利用指数、对数运算，化简所求表达式. （2）利用指数、根式、对数运算，化简所求表达式. 【详解】（1）原式11233225249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- =99.（2）原式323log 313=---31422=-- =-3. 【点睛】本小题主要考查指数、根式和对数运算，属于基础题. 19．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 【答案】(1) 1()4(0)f x x x x =+≠ (2) ()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.见解析【解析】（1）利用奇函数的性质以及()15f =，列式求得,a b 的值，进而求得函数解析式.（2）利用单调性的定义，通过计算()()120f x f x -<，证得()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数,∴()()0f x f x -+=,∴0b =.由(1)5f =,得4a =, ∴1()4(0)f x x x x =+≠. （2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 证明如下: 设1212x x <<,则()()()121212114f x f x x x x x -=-+- ()12121241x x x x x x -=- ∵1212x x <<,∴120x x -<,12410x x ->,∴()121212410x x x x x x --<, ∴()()120f x f x -<,∴()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.20．已知函数()sin cos 3f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有两个不同的零点1x 和2x ,记1202x x x +=,将()f x 的图象向右平移0x 个单位长度得到函数()g x 的图象. （1）求()g x 的解析式及a 的取值范围；（2）求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】(1) 1()sin 226g x x a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0a <„. (2) 单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）利用两角和的余弦公式、辅助角公式化简()f x 解析式，根据()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有两个不同的零点1x 和2x 列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.求得0x 的值，根据函数图像变换的知识求得()g x 的解析式.（2）利用三角函数单调性的求法，求得()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【详解】（1）由题意,1()sin cos sin cos 322f x x x a x x x a π⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2(1cos 2)sin 244234x x a x a π⎛⎫=--+=+-+ ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 若232x ππ+=,解得12x π=.因为()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有两个不同的零点1x 和2x ,则(0)0,10,122f a f a π=⎧⎪⎨⎛⎫=> ⎪⎪⎝⎭⎩„0a <„. 又120212x x x π+==,则11()sin 2sin 2212326g x x a x a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）由（1）可知,1()sin 226g x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72666x πππ+剟,当262x ππ+=时,6x π=, 则由正弦函数的单调性可知, 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 单调递增；当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 单调递减. 即()g x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.21．已知二次函数()21f x ax x =++,且()()141f x f x x --=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()()g x f x mx =-在[]1,2上的最大值为-1,求m 的值以及()g x 的最小值.【答案】(1) 2()21f x x x =++ (2) 6m =,最小值为178-. 【解析】（1）利用()()141f x f x x --=-列方程，对比系数后求得a 的值.（2）由（1）求得()g x 表达式，根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合()g x 在区间[]1,2上的最大值列方程，由此求得m 的值以及()g x 的最小值.【详解】（1）由()(1)41f x f x x --=-,得221(1)(1)141ax x a x x x ++-----=-,所以2141ax a x -+=-,所以2a =,故2()21f x x x =++,（2）22()212(1)1g x x x mx x m x =++-=+-+. ①当1342m -≤,即7m …时,max ()(2)1121g x g m ==-=-,得6m =, 此时()g x 的图象的对称轴为1544m x -==,min 517()48g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ②当1342m ->,即7m >时,max ()(1)41g x g m ==-=-,得5m =,无解. 综上所述,6m =,()g x 的最小值为178-. 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查二次函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22．如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R （R 为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF 和一个三角形的水池FCG .其中GC GF =,O 为圆心,120AOB ∠=︒,C ,G ,F 在扇形圆弧上,D ,E 分别在半径OA ,OB 上,记OG 与CF ,DE 分别交于M ,N ,GOC θ∠=.（1）求△FCG 的面积S 关于θ的关系式,并写出定义域；（2）若R =10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取3=1.732）【答案】(1) 2sin (1cos )03S R πθθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭. (2)17320元【解析】（1）利用圆的几何性质证得GM CF ⊥，利用θ表示出,FC GM ，由此求得三角形FCG 面积的表达式，并求得θ的取值范围.（2）求得MN ，由此求得矩形CDEF 面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形CDEF 面积的最大值，从而求得最高造价.【详解】（1）连接OF ,因为GC GF =,所以GOF GOC ∠=∠,易得OOF GOC V V ≌,所以MGF MGC ∠=∠.因为GC GF =,所以GM CF ⊥,所以cos GM R OM R R θ=-=-,sin MC R θ=, 所以21sin (1cos )023S FC GM R πθθθ⎛⎫=⋅=-<< ⎪⎝⎭.（2）因为sin 333ON ND MC R θ===,所以cos sin MN OM ON R θθ=-=,所以222sin cos CDEF S FC MN R θθθ⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭矩形2112sin 2(1cos 2)232R θθ⎡⎤=-⨯-⎢⎥⎣⎦2sin 2363R πθ⎡⎛⎫=+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦. 因为52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,CDEF 矩形S 最大.故矩形花坛的最高造价是230017320R =元. 【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.。

【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

绝密★启用前【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x 2=2x}，则A ∪B =（） A ．{−1,0,1,2} B ．{0} C ．{−1,1,2} D ．{1,2} 2．若45∘角的终边上有一点(4−a,a +1)，则a =（） A ．3 B ．−32C ．1D ．323．已知sinαtanα<0，tanαcosα<0，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知幂函数y =f(x)的图像经过点(2,√22)，则f(log 2√2)=（）A ．√2B ．√3C ．12 D ．15．设向量e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 是平面内的一组基底，若向量a =−3e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ 与b ⃑ =e 1⃑⃑⃑ −λe 2⃑⃑⃑ 共线，则λ=（）A ．3B ．13 C ．-3 D ．−136．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为Q =100−5x ，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（）A ．15元B ．13元C ．11元D ．10元7．设函数g(x)={−1,x ∈{x|x =2k −1,k ∈Z}，则下列结论不正确的是（）○…………※※订※※线※※内○…………A ．g(x)的值域为{−1,1} B ．g(x)不是单调函数 C ．g(x)是奇函数 D ．g(x)是周期函数8．已知P 1(0,5)，P 2(2,−1)，P 3(−1,4)，则向量P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影是（） A ．4 B ．2√10 C ．2√2 D ．√1059．函数f(x)=sin(ωx +ϕ) (ω>0,|ϕ|<π2)的部分图像如图所示，以下说法： ①f(x)的单调递减区间是[2k +1,2k +5]，k ∈Z ； ②f(x)的最小正周期是4；③f(x)的图像关于直线x =−3对称；④f(x)的图像可由函数y =sin π4x 的图像向左平移一个单位长度得到. 正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．设a =log 63，b =lg5，c =log 147，则a,b,c 的大小关系是（） A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b11．已知奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，当x ∈[0,π2)时，f(x)=1−cosx ，则当x ∈(5π2,3π]时，f(x)的解析式为（）A ．f(x)=−1−sinxB ．f(x)=1−sinxC ．f(x)=−1−cosxD ．f(x)=1−cosx12．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，cosA =56，若O 为ΔABC 的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则n −2m =（） A ．199 B ．−4122 C ．−111 D ．1711第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB=2√2，则该扇形的弧长是__________．14．函数f(x)=x+1x−1，x∈[2,6]的最大值为__________．15．已知tan(α+β)=1，tan(α−β)=7，则tan2β=__________．16．若函数f(x)={2x−a,x<1x2−4ax+3a2,x≥1恰有2个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题17．已知集合A是函数y=log2(6−2x)+√2x−1的定义域，集合B={x|−1<x−a≤1}.（1）当a=−1时，求A∪B；（2）当A∩B=B时，求实数a的取值范围.18．已知α为第二象限角，f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π).（1）化简：f(α)；（2）若tanα=−34，求f(α)的值.19．设单位向量e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 的夹角是π3，且a=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )，b⃑=4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ .（1）求|a |；（2）求a与b⃑的夹角.20．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)+a−2的图像经过点(π4,1).（1）求a的值以及f(x)的单调递减区间；（2）当x∈[−π2,π2]时，求使f(x)<1成立的x的取值集合.21．设a=(sinx,sin(x+π4))，b⃑=(cosx,sin(π4−x))，f(x)=2a·b⃑.（1）当x∈[−π2,0]时，求f(x)的最大值和最小值；（2）已知f(−α2)=√33，且当π2≤α≤2π时，求f(α)的值.22．已知函数f(x)=log a(√x2+1−x)（a>0且a≠1）.（2）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并证明你的结论；（3）当a>1时，若不等式f(√x2+1)−f(−mx)<0对于x∈(0,+∞)恒成立，求m的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】解二次方程，化简集合A，B，进而求并集即可.【详解】因为A={−1,1}，B={0,2}，所以A∪B={−1,0,1,2}.故选：A【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．D【解析】【分析】利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.【详解】因为tan450=a+14−a =1，所以a=32.故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．C【解析】【分析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限.【详解】因为sinαtanα<0，所以角α在第二或第三象限，又tanαcosα<0，所以角α在第三或第四象限，故角α在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．A【解析】【分析】设f(x)=x a，点(2,√22)在图像上，解得a值，进而得到结果.【详解】设f(x)=x a，则2a=√22=2−12，故a=−12，f(12)=(12)−12=212=√2故选：A【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】利用向量共线可得−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，从而可得λ值.【详解】因为a与b⃑共线，所以存在μ∈R，使得a=μb⃑，即−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，故μ=−3，−λμ=−1，解得λ=−13.故选：D【点睛】本题考查平面向量共线的等价条件，考查函数与方程思想，属于基础题.6．B【解析】【分析】设每天获利y元，可得y=(100−5x)(x−6)−100（0<x≤20），结合二次函数的图像与性质求最值即可.【详解】设每天获利y 元，则y =(100−5x)(x −6)−100=−5(x −13)2+145 由x >0，Q =100−5x ≥0，得0<x ≤20，故当x =13时，每天获利最大. 故选：B 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．C 【解析】【分析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】A,B 选项显然正确；因为x 与−x 的奇偶性相同，所以g(−x)=g(x)，故g(x)是偶函数，C 选项不正确； g(x)是以2为周期的周期函数，D 选项正确. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力. 8．C 【解析】【分析】求出P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，利用|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |即可得到结果. 【详解】因为P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−6)，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4，|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2，所以|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2=2√2.故选：C【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题．9．B【解析】【分析】由图像可知f(x)的周期为8，可得ω，进而得到φ，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由图像可知f(x)的周期为8，故ω=2π8=π4，f(x)=sin(π4x+φ)，将点(1,1)代入解析式，得1=sin(π4+φ)，故π4+φ=2kπ+π2，所以φ=2kπ+π4，k∈Z因为|φ|<π2，所以φ=π4，所以f(x)=sin(π4x+π4)，故①②错，③④正确.故选：B【点睛】已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 10．A【解析】【分析】构造函数f(x)=log x x2，利用单调性比较大小即可.【详解】构造函数f(x)=log x x2=1−log x2=1−1log2x，则f(x)在(1,+∞)上是增函数，又a=f(6)，b=f(10)，c=f(14)，故a<b<c.故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.11．C 【解析】【分析】当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2),结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，所以f(π+x)+f(−x)=0，且f(−x)=−f(x)，所以f(π+x)=f(x)，故f(x)是以π为周期的函数. 当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2)，故f(3π−x)=1−cos(3π−x)=1+cosx 因为f(x)是周期为π的奇函数，所以f(3π−x)=f(−x)=−f(x) 故−f(x)=1+cosx ，即f(x)=−1−cosx ，x ∈(5π2,3π] 故选：C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．D 【解析】【分析】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，从而得到OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，又OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，同理OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AE⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |2−nAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，所以1−2m 2×4−5n =0，又OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，所以1−2n 2×9−5m =0，联立方程组{1−2m2×4−5n =01−2n2×9−5m =0，解得{m =−922n =811 ，所以n −2m =1711. 故选：D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．π 【解析】【分析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】在ΔOAB 中，AB 2=OA 2+OB 2=8，故∠AOB =π2，故弧长l =π2×2=π故答案为：π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．3 【解析】【分析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】因为f(x)=x+1x−1=1+2x−1在[2,6]上单调递减，所以f(x)max =f(2)=3 故答案为：3 【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题. 15．−34 【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=1−71+1×7=−34, 故答案为：−34【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题. 16．{α|13≤a <1或a ≥2}或写成[13,1)∪[2,+∞) 【解析】【分析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】①当a ≥2时，因为当x <1时，2x <2，故f(x)=2x −a 无零点，所以，当x ≥1时，f(x)=x 2−4ax +3a 2=(x −a)(x −3a)有2个零点，x 1=a ，x 2=3a ，故a ≥2；②当0<a <2时，因为当x <1时，f(x)=2x −a 有1个零点x =log 2a ，所以当x ≥1时，f(x)=(x −a)(x −3a)只能有1个零点，x =3a ，故{a <13a ≥1，解得13≤a <1； ③当a ≤0时，f(x)无零点综上，实数a 的取值范围是{a|13≤a <1或a ≥2}.故答案为：{α|13≤a <1或a ≥2} 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．（1）A ∪B ={x|−2<x <3}（2）{a|1≤a <2} 【解析】【分析】(1) 当a =−1时,化简集合A 与B ，进而求并集即可；（2）由A ∩B =B 可知B ⊆A ，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】（1）依题意得：{6−2x >02x −1≥0，即{x <32x ≥20，解得0≤x <3，即A ={x|0≤x <3} 当a =−1时，B ={x|−1<x +1≤1}={x|−2<x ≤0} 所以A ∪B ={x|−2<x <3} （2）集合B ={x|a −1<x ≤a +1} 由A ∩B =B ，得B ⊆A ，故{a −1≥0a +1<3 ，解得1≤a <2. 故实数a 的取值范围为{a|1≤a <2}. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．（1）f(α)=−cosα（2）45【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；（2）利用同角关系即可得到f(α)的值. 【详解】（1）因为f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π)所以f(α)=cosαsinαtanα−tan(α+π)[−sin(α+π)] 所以f(α)=cosαsinαtanα−tanαsinα=−cosα（2）因为tanα=sinαcosα=−34，所以sinα=−34cosα，代入得cos2α=1625，因为α为第二象限角，所以cosα=−45，故f(α)=−cosα=45【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.19．（1）√7（2）π2【解析】【分析】(1)利用|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2结合数量积定义即可得到结果；（2）利用数量积的定义与运算律可得a·b⃑=0，从而得到结果.【详解】（1）因为e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 为单位向量，所以|e1⃑⃑⃑ |=|e2⃑⃑⃑ |=1，因为|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2=4e1⃑⃑⃑ 2+4e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ 2即|a |2=4|e1⃑⃑⃑ |2+4|e1⃑⃑⃑ ||e2⃑⃑⃑ |cosπ3+|e2⃑⃑⃑ |2，所以|a |2=4×12+4×12×cosπ3+12=7，解得：|a |=√7（2）因为a·b⃑=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )(4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ )=−8e1⃑⃑⃑ 2+6e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +5e2⃑⃑⃑ 2=−8×12+6×12×cosπ3+5×12=−8+3+5=0，所以a⊥b⃑，即a与b⃑的夹角为π2.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.20．（1）a=1,f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z；（2）{x|−π2<x<π4}【解析】【分析】（1）根据函数f （x ）的图象过点(π4,1)求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：（1）因为函数f(x)=2sinx(sinx +cosx)+a −2的图像经过点(π4,1)，所以1=2×√22×√2+a −2，解得a =1又f(x)=2sinx(sinx +cosx)−1=2sin 2x +2sinxcosx −1 =1−cos2x +sin2x −1=√2sin(2x −π4), 由π2+2kπ≤2x −π4≤3π2+2kπ,k ∈Z ，得3π8+kπ≤x ≤7π8+kπ,k ∈Z故f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z（2）由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22当x ∈[−π2,π2]时，−5π4≤2x −π4≤3π4故−5π4<2x −π4<π4，解得：−π2<x <π4故使f(x)<1成立的x 的取值集合为{x|−π2<x <π4}. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 21．（1）最大值1，最小值−√2（2）2−√53【解析】【分析】（1）利用数量积运算性质、诱导公式与两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质即可得出f(x)的最大值和最小值；（2）由题意可得cosα−sinα=√33，进而得到cosα+sinα=−√153，从而得到结果．【详解】（1）f(x)=2sinxcosx +2sin(x +π4)sin(π4−x) =sin2x +2sin(x +π4)cos(x +π4),=sin2x +cos2x , =√2sin(2x +π4),当x ∈[−π2,0]时，−3π4≤2x +π4≤π4，所以当2x +π4=π4，即x =0时，f(x)的最大值为√2sin π4=1 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)的最小值为√2sin(−π2)=−√2（2）因为f(−α2)=√33，所以√2sin(π4−α)=√33，所以cosα−sinα=√33两边平方，得1−2sinαcosα=13，所以2sinαcosα=23>0 又π2≤α≤2π，所以sinα<0，cosα<0，又(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=1+23=53，所以cosα+sinα=−√153所以sin2α=2sinαcosα=23cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα−sinα)(cosα+sinα)=√33×(−√153)=−√53, 所以f(α)=√2sin(2α+π4)=√2(sin2αcos π4+cos2αsin π4)=2−√53.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，三角函数的恒等变形，考查转化思想，是一道中档题．22．（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性的定义判断即可；（3）利用函数性质化抽象不等式为√x 2+1>mx 对x >0恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】（1）因为函数f(x)=log a (√x 2+1−x)的定义域为R ，所以f(−x)=log a (√x 2+1+x)=log a (√x 2+1−x)=−log a (√x 2+1−x)=−f(x)所以函数f(x)为奇函数.（2）f(x)=log a(√x2+1−x)=log a(√x2+1+x)=−log a(√x2+1+x)当a>1时，f(x)在(0,+∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：f(x)=log a(√x2+1−x)=−log a(√x2+1+x)任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=log a(√x22+1+x2)−log a(√x12+1+x1)因为x2>x1>0，所以x22>x12，√x22+1>√x12+1，所以√x22+1+x2>√x12+1+x1所以当a>1时，log a(√x22+1+x2)>log a(√x12+1+x1)，f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.所以当0<a<1时，log a(√x22+1+x2)<log a(√x12+1+x1)，所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知，f(x)是奇函数，f(√x2+1)+f(−mx)<0，即f(√x2+1)<f(mx).当a>1时，由（2）知，f(x)在(0,+∞)上是减函数，从而在(−∞,+∞)上是减函数，故√x2+1>mx对x>0恒成立，即m<√1+1x2对x>0恒成立.因为y=√1+1x2在(0,+∞)上是减函数，所以y=√1+1x2的值域为(1,+∞).所以m≤1，故实数m的最大值为1.【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．。

河北省邢台市高一上学期期末测试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知全集，集合，，则（） Z U ={}1,0,1,2M =-{}1,2,3N =()U M N ⋂=ðA ． B ． {}1,0-{}1,2C ． D ．{}3{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】根据集合补集和交集运算方法计算即可.【详解】表示整数集Z 里面去掉这四个整数后构成的集合， U M ð1,012-,,∴. (){}3U M N ⋂=ð故选：C.2．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C ．3．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（） A ． B ． 13y x =5x y =C ． D ．2log y x =1y x -=【答案】A【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意； 5x y =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 1y x -=故选：A.4．函数的零点所在的一个区间是（）()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()3,2--()2,1--()1,0-()0,1【答案】B【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为． ()f x ()2,1--故选：B5．已知函数是定义域为R 的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式()f x [0)，+∞1()02f =的解集为（） ()0f x <A ．B ．11(,(0,22-∞- 11(,)22-C ．D ．11(,0)(,)22-+∞ 11(,)(,)22-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【详解】是定义在R 上的偶函数，且在区间，上单调递增，()f x [0)∞+若，则不等式等价为，∴1()02f =()0f x <1()()2f x f <即，即， 12x <1122x -<<故不等式的解集为：.11(,)22-故选：B ．6．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．B ．C ．D ．21600cm 23200cm 23350cm 24800cm 【答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以1r 2r θ1216080r r θ==122r r =1240r r -=180r =，， 240r =该扇形玉雕壁画面积（）．1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=2cm 故选：D ．7．设，，，则，，三者的大小关系是（） 0.5log 0.3a =4log 6b =2log 3c =a b c A ． B ． a b c <<b a c <<C ． D ．a cb <<b<c<a 【答案】D【分析】根据对数的运算变形、210log 3a =2logb =【详解】解：，，因为函1120.521010log 0.3log log 33a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭242221log 6log 6log 6log 2b ====数，所以，即， 2log y x =1033<<22210log log 3log 3<<b<c<a 故选：D8．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，θx (4sin ,cos )P θθ3(,2πθπ∈则( ) tan θ=AB ．C D ．1213【答案】B【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解. 【详解】由题意知，故，又，2cos 11tan tan 4sin 4tan 4θθθθθ==⇒=1tan 2θ=±3(,)2πθπ∈∴. 1tan 2θ=故选：B二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数=学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响<>深远．若，，，则下列命题正确的是（） a b R c ∈A ．若，则B ．若，则 0b a >>11a b>a b >ac bc >C ．若，，则 D ．若，则a b >c d >a c b d +>+22ac bc >a b >【答案】ACD【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B 中为0的情况. c 【详解】选项A ：，在不等式两边同除以得，A 正确； 0b a >> 0.ab ∴>b a >ab 11a b>选项B ：当时，，B 错误；0c =ac bc =选项C ：同向不等式相加，不等号方向不变，C 正确；选项D ：，，两边同除以得，，D 正确. 22ac bc > 20c ∴>2c a b >故选：ACD.10．下列各式中值为1的是（） A ．B ．tan12tan 331tan12tan 33︒+︒-︒︒sincos1212ππC ．D sin 72cos18cos 72sin18︒︒+︒︒22cos sin 88ππ⎫-⎪⎭【答案】ACD【分析】逆用两角和的正切公式、二倍角公式、两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】A ：，符合题意；tan12tan 33tan(1233)tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒B ：，不符合题意； 11sincossin(212122124πππ=⨯=C ：，符合题意；sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=D ，符合题意， 22cossin 18884ππππ⎫-=⨯==⎪⎭故选：ACD11．已知，，且，则下列说法中正确的是（） 0x >0y >1x y +=A ．有最大值为B ．有最小值为9xy 1414x y +C ．有最小值为 D ．有最小值为3 222x y +341y x y+【答案】ABD【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为xy 14x y+，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将代入14144()5y x x y x y x y x y+=++=++1y x =-，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 222x y +1x y =+1y x y+【详解】由，，且，可知， 0x >0y >1x y +=x y +≥21(24x y xy +≤=当且仅当时取等号，故A 正确； 12x y ==， 14144()559y x x y x y x y x y+=++=++≥+=当且仅当即时取等号，故B 正确； 4y x x y =12,33x y ==由，，且，可知，故， 0x >0y >1x y +=01x <<222222)322(14x x x x x y =+-=-++当时，取得最小值为，故C 错误； 2(0,1)3x =∈2223422x x y x +=-+422342933⨯-⨯+=，当且仅当，即时取等号，11213y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=y x x y =12x y ==故D 正确，故选：ABD12．下列关于函数的说法正确的是（）tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增B ．最小正周期是,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2πC ．图象关于点成中心对称 D ．图象关于直线成轴对称5,012π⎛⎫⎪⎝⎭12x π=-【答案】BC【解析】由函数式可化为，结合正切函数的性质有函数在上递减，tan(2)3y x π=--71212x ππ-<<-最小正周期为，关于点成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误. 2T π=5,012π⎛⎫⎪⎝⎭【详解】，tan 2tan(2)33y x x ππ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭令，得， 2,232k x k k Z πππππ-+<-<+∈5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈∴时，，所以在上单调递减，A 错误.1k =-71212x ππ-<<-tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由上知：最小正周期为，B 正确.2T π=当时有，所以关于点成中心对称，C 正确. 512x π=232x ππ-=tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5,012π⎛⎫⎪⎝⎭由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D 错误. 故选：BC【点睛】关键点点睛：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项的正误.三、填空题13．已知函数是幂函数，且过点，则___________. ()f x ()8,2--()27f =【答案】3【分析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解()f x x μ=13μ=【详解】由题意，设，过点()f x x μ=()8,2--故，解得(8)2μ-=-13μ=故 ()13f x x =则 ()1327273==f 故答案为：314．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=346x y ==21x y+=____________. 【答案】2【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以，,346x y ==log 6x =log 6y =所以，，61log 3x=61log 4y =所以，26666666212log 3log 4log 4log 3log 4log 9log 362x y +=+=+=+==故答案为：.215．若，且均为锐角，则________．43cos ,cos()55ααβ=+=,αβsin β=【答案】##0.28 725【分析】先求得的值，由可求得的值. ()sin ,sin ααβ+()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦sin β【详解】解：由于是锐角，所以，,αβ0αβ<+<π所以，()34sin ,sin 55ααβ==+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦. 44337555525=⨯-⨯=故答案为：. 725四、双空题16．已知函数，若函数有4个零点，，，，则()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x ____________；若关于的方程有个不相等的实数1234x x x x +++=x 25()()02f x f x a -+=()a R ∈8根，则的取值范围是____________． a 【答案】 2-325,216⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据指数函数与二次函数的性质，作出函数的图象，结合函数图象的对称性，即可()f x 求解的值，再令令，根据有8个不等的实数根，转化1234x x x x +++()f x t =25()()02f x f x a -+=为在有2个不同的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.2502t t a -+=(1,2)t ∈【详解】由题意，函数，()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，()2114f x x x =--+2x =-在坐标系中作出函数的图象，如图所示，()f x 函数有4个零点，，，，3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x 可得，所以； 34122,122x x x x ++=-=12342x x x x +++=-令，则方程可化为，()f x t =25()()02f x f x a -+=2502t t a -+=因为有8个不等的实数根， 25()()02f x f x a -+=则方程必有4个实数根，所以， ()f x t =12t <<所以在有2个不同的实数根，2502t t a -+=(1,2)t ∈令，可得其对称轴的方程为，()252h t t t a =-+54t =则满足，解得，()()5252504168511022450h a h a h a ⎧⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+>⎨⎪=-+>⎪⎪⎩325216a <<所以实数的取值范围是.a 325(,216故答案为：；.2-325(,216五、解答题17．（1）计算：； 213log 3081(8)lg 25lg 4log 2-⎛⎫--++++（2）已知，求的值. tan 2α=()()πcos 2sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-【答案】（1）；（2）2 52【分析】（1）利用指数，对数的运算性质即可化简求解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．【详解】解：（1）； 213log 3028135(8)lg 25lg 4log 21lg1002327422-⎛⎫--++++=-+-+= ⎪⎝⎭（2）因为，所以．tan 2α=()()πcos sin tan 222sin cos 2πsin cos tan 121αααααααα⎛⎫+ ⎪---⎝⎭====-+--+-+-+18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以， 23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以， {|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即， x AB ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数． ()2cos cos )f x x x x =+（I ）求函数的最小正周期和对称中心坐标； ()f x （II ）讨论在区间上的单调性．()f x [0,2π【答案】（Ⅰ），对称中心为；（Ⅱ）增区间；减区间 T π=,0()122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解.()2sin(26f x x π=+（Ⅱ）由（1）可知，根据和三角函数的图象与性质，即可求解.()2sin(2)6f x x π=+[0,]2x π∈【详解】（Ⅰ）由题意，函数 2()2cos cos )1cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-， 2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以函数的最小正周期， ()f x 222T w πππ===令，即，即，解得 ()0f x =2sin(206x π+=2,6x k k Z ππ+=∈122k x ππ=-+,k Z ∈所以函数的对称中心为. ()f x (,0),122k k Z ππ-+∈（Ⅱ）由（1）可知，()2sin(2)6f x x π=+令，解得，222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈令，解得， 3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z 又因为，[0,]2x π∈当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.0k =()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本（万元）.()C x 经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本；若年产量x 千21()1011002C x x x =++件不低于100千件时，则这x 千件产品成本.每千件产品售价为100万4500()120540090C x x x =+--元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) 21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根L 0100x <<据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.L 100x ≥L 【详解】（1）当时，； 0100x <<2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-当时，. 100x ≥45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭所以 21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩（2）当时，. 0100x <<2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+当时，取得最大值，且最大值为950.90x =L 当时，当且100x≥(45002252034002090160020160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭仅当时，等号成立.105x =因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元. 1000950>21．已知. 25())2sin ()1224f x x x ππ=+--（1）求在区间上的最小值； ()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，求满足的x 的取值范围.()y f x =4π()g x ()0g x≥【答案】（1）最小值为；（2）. 1-7|,2424x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用降次公式、诱导公式、辅助角公式化简解析式.根据三角函数最值的求法，()f x 求得在区间上的最小值. ()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎣⎦（2）求得的解析式，化简不等式得到，解三角不等式求得满足()g x ()0g x ≥1sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的x 的取值范围.()0g x ≥【详解】（1） 1cos 2512()22122x f x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⨯ ⎪⎝⎭52cos211212x xππ⎛⎫⎛⎫=++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin2112212x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552sin211212x xππ⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，532sin212sin211234x xπππ⎛⎫⎛⎫=++-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦352,444xπππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦所以，当时，的最小值为.35244xππ+=()f x1-（2），3()2sin212sin21444g x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由可得，则，()0g x≥1sin242xπ⎛⎫+≥⎪⎝⎭5222646k x kπππππ+≤+≤+所以，，72424k x kππππ-≤≤+k∈Z即对应的x取值的集合是.()0g x≥7|,2424x k x k kππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【点睛】要解决三角函数最值、值域、单调区间、最小正周期、对称轴等问题，首先要将函数转化为的形式.()sinA x Bωϕ++22．已知函数.(,R2()2)xxbbxaaf+∈=+（1）若，解关于x的不等式；4,8a b=-=-1()2f x<（2）已知为定义在R上的奇函数.()f x①当时，求的值域；(,0]x∈-∞()f x②若对任意成立，求m的取值范围.2()(1)(0)f mx f mx f+->x R∈【答案】（1）；（2）①；②.{}2|2log12x x<<(1,0]-04m<…【解析】（1）将代入函数解析式，不等式即为，令，4,8a b=-=-1()2f x<281242xx-<-2(0)x t t=>不等式即为，解得，即，进而求得不等式的解集；8142tt-<-412t<<4212x<<（2）①根据其为奇函数，得到，求得，再根据，解得，从而(0)0f=1b=-()()0f x f x+-=1a=求得函数解析式，利用换元思想，结合函数单调性求得函数值域；②利用函数单调性的定义证明其为增函数，结合奇函数的条件，将转化2()(1)(0)f mx f mx f+->为相应不等式组，求得结果.【详解】（1），时，由可得，令，得， 4a =-8b =-1()2f x <281242x x -<-2(0)x t t =>8142t t -<-解得，即，所以.412t <<4212x <<{}2|2log 12x x <<（2）①因为为上的奇函数，所以，即，则，()f x R (0)0f =020b +=1b =-所以，根据为上的奇函数可得. 21()2x x f x a-=+()f x R ()()0f x f x -+=所以，即对任意恒成立， 2121022x x x x a a ----+=++()()()21(1)0212x x x a a a --=⋅++x ∈R 所以，1a =令，令，则. 2()121x f x =-+21(0)x t x =+…12t <…所以原函数的值域转化为的值域， 21(12)y t t=-<…又因为在上单调递增，所以的值域为. 21y t =-(1,2]()f x (1,0]-②，设任意，且， 2()121x f x =-+12,x x ∈R 12x x <则， ()()()()()212112212222211021212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增.()f x R 又因为对任意成立，且为上的奇函数， ()2(1)(0)f mx f mx f +->x ∈R ()f x R 所以对任意成立，()2(1)f mx f mx >-x ∈R 所以对任意成立.210mx mx -+>x ∈R 当时，满足题意；0m =当时，解得， 0m ≠20,40,m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<综上所述，.04m <…【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数性质的问题，解题方法如下：（1）将参数代入函数解析式，解不等式即可得结果；（2）①根据奇函数的定义，求得参数值，进而求得函数的值域；②利用单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性以及奇偶性，将不等式转化，得到结果.。

邢台市重点中学市联考2019年数学高一上学期期末学业水平测试试题

邢台市重点中学市联考2019年数学高一上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（） A ．0d <B ．0d >C ．160a <D ．160a >2．已知0a >且1a ≠，函数()24,0()log 1,0a x a x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨+>⎪⎩，满足对任意实数1212,()x x x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A.(]1,2B.(]2,3C.72,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()2,33．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象经过点P （8π，0）和相邻的最低点为Q （98π，-2），则f （x ）的解析式（） A ．()12sin 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()1152sin 216f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()32sin 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()1152sin 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4．若32()2f x x x x a =+-+在区间[1,1.5]内的零点通过二分法逐次计算，参与数据如下表：那么方程20x x x a +-+=的一个近似根为（精度为0.1）( ) A.1.2B.1.3C.1.4D.1.55．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=r，a R ∈，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（）A.3B.2C.1D.06．函数()221xx f x x∙=-的部分图像大致为（） A ． B ． C ．D．7．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )22A C A C -+-=，则三角形的面积为（） ABC或D．8．若直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为 A.3210x y +-= B.2310x y +-= C.3210x y ++=D.2310x y --=9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则之间的距离为A．B．C ．D ．11．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()xx f x e e=*的最小值为 A ．2 B ．3C ．6D ．812．若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（）．A．或 B ．或 C ．或 D ．或二、填空题13．已知函数()2log ,0815,82x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是______．14．函数2()31|4311(0)x xf x m m =---+在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 15．已知圆22:5O x y +=,则圆O 在点(2,1)A -处的切线的方程为________. 16．过点P(-1,3)，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为______ 三、解答题17．已知4a =，8b =，a 与b的夹角是120（1）计算：①a b +，②42a b -r r；（2）当k 为何值时，2a b +（）与ka b -（）垂直？18．已知函数2()log f x x =，(0,)x ∈+∞. （1）解不等式：2()3()4f x f x +≥；（2）若函数2()()3()F x f x f x m =+-在区间[1,2]上存在零点，求实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 的反函数为()G x ，且()()()G x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，试比较(1)g -与1()h -的大小.19．已知函数f （x ）=x 2-ax ，h （x ）=-3x+2，其中a ＞1．设不等式f （1）+f （-1）≥2|x|的解集为A ．（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若对任意x 1∈A ，存在x 2∈A ，满足2f （x 1）=h （x 2），求a 的取值范围．20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点.求证：MN PAD //平面 .21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A +=0，a =2b =． (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ∆的面积．22．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x≤0时，()()2log 1f x x =-．（1）当x ＞0时，求函数()f x 的表达式；（2）记集合M ＝()(){}2log 11x f x x =-+，求集合M ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．()8,10 14．()3,4 15．250x y -+=16．203x y y x +-==-或三、解答题17．（1）①2）7k =-. 18．（1）{|2x x ≥或10}16x <≤；（2）[]0,4；（3）()()11g h -<-。