江西省中考数学总复习 第2部分 专题突破 专题八 圆的综合课件.pptx
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∴∠AOD＝90°.∴∠DOC＝90°. 又∠ODE＝∠ACB＝90°，∴四边形ODEC 是矩形． ∵OD＝OC，∴矩形ODEC是正方形．
13
2．如图3，在△ABC中，
AB＝AC，以AB为直径的半圆
O交BC于点D，DE⊥AC，垂足
为E.
(1)求证：点D是BC的中
点；
图3
(2)判断DE与⊙O的位置关
2018 江西
专题八 圆的综合
1
考情分析 6年5考，除2016年出现在第18 题，2012年出现在第24题外，2017,2014,2013年 均在第21或22题出现，分值8～10分．题目重点 考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、解直 角三角形、全等三角形的判定与性质等．
2
例 如图1，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交 ⊙O于点D，点E为BO的延长线与⊙O的交点，点 C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边三角形
∵OB＝4，∴CD为OB边的中线，且OB＝
2CD．△OCB为直角三角形，∠OCB＝90°，
∴OC⊥CB．∴BC与⊙O相切．
5
②解：点A在⊙O上； 理由：如答图1，连接OA，∵∠OCB＝ 90°，∠COD＝60°， ∴∠CBO＝30°. ∵△ABC为等边三角形，∴∠CBA＝60°，
BC＝BA．
∴∠CBO＝∠ABO.
21
当 B 的位置如答图 5 时，同理可得 直线 AB 的解析式为 y＝ 5x＋12 5. 综上，直线 AB 的解析式为 y＝ 55x＋125 5或 y＝ 5x＋12 5.
答图 5
22
4．如图5，AB是⊙O的直 径，BC是⊙O的切线，D是⊙O 上的一点，且AD∥CO.
(1)求证：△ADB∽ △OBC；
9
训练 1.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点
D作⊙O的切线，交BC于E.
(1)求证：DE＝BE；
(2)当∠B＝45°时，
判断以O，D，E，C为顶
点的四边形是什么特殊四
边形？说明理由．
图2
10
解：(1)证明：如答图 2，连接 DO，
答图 2 ∵∠ACB＝90°，AC 为直径， ∴EC 为⊙O 的切线．
图4
备用图
17
(1)当 α＝60°时，求点 B 的坐标； (2)当 α 为何值时，BC 与⊙P 相切？说明理 由； (3)当 OC＝2 5时，求直线 AB 的解析式．
18
解：(1)如答图 4，作 BE⊥
OA 于点 E，∵A(－12,0)，∴直
径 OA＝12.在 Rt△PBE 中，PE
＝PB·cos∠OPB＝6×21＝3，BE
6
在△CBO 与△ABO 中， BC＝BA， ∠CBO＝∠ABO， BO＝BO，
∴△CBO≌△ABO(SAS)．∴OA＝OC．∴点
A 在⊙O 上．
7
(2)解：当点 C 与点 D 重合时，△ABC 面积
最小，S△ABC＝12×2×2×sin 60°＝ 3.
当点 C 运动至与点 E 重合时，△ABC 的面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ11
∵ED为⊙O的切线，∴EC＝ED．
又∠EDO＝90°， ∴∠BDE＋∠ADO＝90°. ∵∠ADO＝∠A，∴∠BDE＋∠A＝ 90°.∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B， ∴DE＝BE.
12
(2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方 形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝45°.
(3)当 B 的位置如答图 4 时，在 Rt△PBE 中， PB＝6，BE＝OC＝2 5，∴PE＝ PB2－BE2＝
36－20＝4.
20
∴OE＝OP－PE＝6－4＝2，即点 B 的坐标 为(－2,2 5)．
设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋12k， 把点 B 的坐标代入得－2k＋12k＝2 5，解 得 k＝ 55. 即直线 AB 的解析式为 y＝ 55x＋125 5；
＝ PB·sin ∠ OPB ＝ 6×
3 2
＝
3
3，OE＝OP－PE＝6－3＝3，
∴点 B 的坐标为(－3,3 3)．
答图 4
19
(2)当 α＝90°时，BC 与⊙P 相切； 理由：若 α＝90°，则在四边形 PBCO 中，∠ OPB＝∠POC＝∠BCO＝90°，∴∠PBC＝90°.∴
PB⊥BC．∴BC 与⊙P 相切．
最
大
，
S
△
ABC
＝
1 2
×6×6×sin
60°＝ 9
3.∴ 3
≤S≤9 3.
8
方法总结 切线的判定主要有两种途径：(1)证明 圆心到直线的距离等于半径；(2)证明直线经过圆 的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：(1) 若圆心与切点无连线，需先连接圆心与切点；(2) 解题过程中经常利用圆周角定理得到角的度数或 角之间的数量关系，利用两弧相等得到两线段或 两角相等．
系，并证明你的结论；
(3)如果⊙O 的直径为 9，cos B＝13，求 DE 的长．
14
(1)证明：如答图3，连接AD，
∵AB为直径，∴AD⊥BC．
又AB＝AC，
∴D是BC的中点．
(2)解：DE是⊙O的切线；
证明：如答图3，连接OD，
答图 3
∵BD＝DC，OB＝OA，∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切
ABC．
图1
3
(1)当点C在DE上方，且∠COD＝60°时． ①求证：BC与⊙O相切； ②试判断点A是否在⊙O上，并说明理由； (2)设△ABC的面积为S，求S的取值范围． (1)①证明：如答图1，连接CD， ∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△OCD为等 边三角形．
4
∴CD＝OC＝2.
答图 1
线．
15
(3)解：∵AB＝9，cos B＝13，∴BD＝3.∴CD ＝3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴cos C＝13.∴CE
＝CD·cos C＝1，DE＝ CD2－CE2＝ 32－12＝2 2.
16
3．如图4，在平面直角坐标系中，OA是⊙P 的直径，A在x轴上，且点A坐标为(－12,0)，y轴 是半圆的切线，点B是半圆上的一动点(不与点 O，A重合)，过点B作BC⊥y轴于点C，记∠OPB ＝α.
(2)若∠OCB＝30°，AB＝ 2，求劣弧AD的长；
(3)连接CD，求证：CD是 ⊙O的切线．
图5
23
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝ 90°.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∴∠ADB＝∠OBC． ∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽ △OBC．
13
2．如图3，在△ABC中，
AB＝AC，以AB为直径的半圆
O交BC于点D，DE⊥AC，垂足
为E.
(1)求证：点D是BC的中
点；
图3
(2)判断DE与⊙O的位置关
2018 江西
专题八 圆的综合
1
考情分析 6年5考，除2016年出现在第18 题，2012年出现在第24题外，2017,2014,2013年 均在第21或22题出现，分值8～10分．题目重点 考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、解直 角三角形、全等三角形的判定与性质等．
2
例 如图1，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交 ⊙O于点D，点E为BO的延长线与⊙O的交点，点 C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边三角形
∵OB＝4，∴CD为OB边的中线，且OB＝
2CD．△OCB为直角三角形，∠OCB＝90°，
∴OC⊥CB．∴BC与⊙O相切．
5
②解：点A在⊙O上； 理由：如答图1，连接OA，∵∠OCB＝ 90°，∠COD＝60°， ∴∠CBO＝30°. ∵△ABC为等边三角形，∴∠CBA＝60°，
BC＝BA．
∴∠CBO＝∠ABO.
21
当 B 的位置如答图 5 时，同理可得 直线 AB 的解析式为 y＝ 5x＋12 5. 综上，直线 AB 的解析式为 y＝ 55x＋125 5或 y＝ 5x＋12 5.
答图 5
22
4．如图5，AB是⊙O的直 径，BC是⊙O的切线，D是⊙O 上的一点，且AD∥CO.
(1)求证：△ADB∽ △OBC；
9
训练 1.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点
D作⊙O的切线，交BC于E.
(1)求证：DE＝BE；
(2)当∠B＝45°时，
判断以O，D，E，C为顶
点的四边形是什么特殊四
边形？说明理由．
图2
10
解：(1)证明：如答图 2，连接 DO，
答图 2 ∵∠ACB＝90°，AC 为直径， ∴EC 为⊙O 的切线．
图4
备用图
17
(1)当 α＝60°时，求点 B 的坐标； (2)当 α 为何值时，BC 与⊙P 相切？说明理 由； (3)当 OC＝2 5时，求直线 AB 的解析式．
18
解：(1)如答图 4，作 BE⊥
OA 于点 E，∵A(－12,0)，∴直
径 OA＝12.在 Rt△PBE 中，PE
＝PB·cos∠OPB＝6×21＝3，BE
6
在△CBO 与△ABO 中， BC＝BA， ∠CBO＝∠ABO， BO＝BO，
∴△CBO≌△ABO(SAS)．∴OA＝OC．∴点
A 在⊙O 上．
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(2)解：当点 C 与点 D 重合时，△ABC 面积
最小，S△ABC＝12×2×2×sin 60°＝ 3.
当点 C 运动至与点 E 重合时，△ABC 的面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ11
∵ED为⊙O的切线，∴EC＝ED．
又∠EDO＝90°， ∴∠BDE＋∠ADO＝90°. ∵∠ADO＝∠A，∴∠BDE＋∠A＝ 90°.∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B， ∴DE＝BE.
12
(2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方 形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝45°.
(3)当 B 的位置如答图 4 时，在 Rt△PBE 中， PB＝6，BE＝OC＝2 5，∴PE＝ PB2－BE2＝
36－20＝4.
20
∴OE＝OP－PE＝6－4＝2，即点 B 的坐标 为(－2,2 5)．
设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋12k， 把点 B 的坐标代入得－2k＋12k＝2 5，解 得 k＝ 55. 即直线 AB 的解析式为 y＝ 55x＋125 5；
＝ PB·sin ∠ OPB ＝ 6×
3 2
＝
3
3，OE＝OP－PE＝6－3＝3，
∴点 B 的坐标为(－3,3 3)．
答图 4
19
(2)当 α＝90°时，BC 与⊙P 相切； 理由：若 α＝90°，则在四边形 PBCO 中，∠ OPB＝∠POC＝∠BCO＝90°，∴∠PBC＝90°.∴
PB⊥BC．∴BC 与⊙P 相切．
最
大
，
S
△
ABC
＝
1 2
×6×6×sin
60°＝ 9
3.∴ 3
≤S≤9 3.
8
方法总结 切线的判定主要有两种途径：(1)证明 圆心到直线的距离等于半径；(2)证明直线经过圆 的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：(1) 若圆心与切点无连线，需先连接圆心与切点；(2) 解题过程中经常利用圆周角定理得到角的度数或 角之间的数量关系，利用两弧相等得到两线段或 两角相等．
系，并证明你的结论；
(3)如果⊙O 的直径为 9，cos B＝13，求 DE 的长．
14
(1)证明：如答图3，连接AD，
∵AB为直径，∴AD⊥BC．
又AB＝AC，
∴D是BC的中点．
(2)解：DE是⊙O的切线；
证明：如答图3，连接OD，
答图 3
∵BD＝DC，OB＝OA，∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切
ABC．
图1
3
(1)当点C在DE上方，且∠COD＝60°时． ①求证：BC与⊙O相切； ②试判断点A是否在⊙O上，并说明理由； (2)设△ABC的面积为S，求S的取值范围． (1)①证明：如答图1，连接CD， ∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△OCD为等 边三角形．
4
∴CD＝OC＝2.
答图 1
线．
15
(3)解：∵AB＝9，cos B＝13，∴BD＝3.∴CD ＝3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴cos C＝13.∴CE
＝CD·cos C＝1，DE＝ CD2－CE2＝ 32－12＝2 2.
16
3．如图4，在平面直角坐标系中，OA是⊙P 的直径，A在x轴上，且点A坐标为(－12,0)，y轴 是半圆的切线，点B是半圆上的一动点(不与点 O，A重合)，过点B作BC⊥y轴于点C，记∠OPB ＝α.
(2)若∠OCB＝30°，AB＝ 2，求劣弧AD的长；
(3)连接CD，求证：CD是 ⊙O的切线．
图5
23
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝ 90°.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∴∠ADB＝∠OBC． ∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽ △OBC．