锐角三角函数与解直角三角形复习课件

（ 2 ）比的关系： tan α = sin α cos α ， cot α = cos α sin α
（3）倒数关系： α cot α = 1或 tan α = tan ·
1 1 ， α= cot 。 cot α tan α
5. 互余两角的三角函数之间的关系：
sin(90° − α ) = cos α， cos(90° − α ) = sin α，
∴判断可知cosα选项不可能成立，应选B。
例6.
若α为锐角， sin α + cos α =
分析：题目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考虑应用关系式： sin2α+cos2α=1解题。 4 解： sin α + cos α = ∵ 3 16 2 2
∴两边平方，得 sin α + cos α + 2 sin α· cos α =
3. 特殊角的三角函数值：
三 角 函 数 0° sin α c o sα ta n α c o tα 0 1 0 不存在
3
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2 2 2
60°
3 2 1 2
3 3 3
90° 1 0 不存在 0
1 1
4. 同一锐角α的三角函数之间的关系： （1）平方关系：sin2α+cos2α=1
一. 基础题型分析： 2 例1. 在Rt△ACB中，∠C = 90°， cos B = ，则 cot B的值是（
3
A. 3 5 B. 5 2 C. 2 5 5 D. 5 5
）
A 3x
分析：
C
2x (图 2)
B
2 如图2，可以构造直角三角形 ，∠C = 90°，利用cos B = ，可设BC = 2 x，AB = 3x, ABC 3 BC 2x 2 5 根据勾股定理，有AC = AB 2 − BC 2 = 5 x，所以， B = cot = = ，应选c. AC 5 5x
h
α
l
图2
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做 方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。
北 A
0
B
C 图3
90° (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角 叫做方向角，
D
北 A
30° 60°
西 0 东
30° 45°
C 南 图4 B
如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东60° 、南偏 东 45° 、南偏西30° 、北偏西30°。又如，东南方向，指的是南偏东45°角。
c = a 2 + b 2 = 32 2 + (32 3 ) 2 = 32 2 [1 + ( 3 ) 2 ] = 32 2 ×4 = 64 。
（ 2 ）∵ tan A =
（ 3）∠B = 90° − ∠A = 60°
a 3 = b 3
∴∠A=30°
说明：
解法二也可由 sin A =
无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解 过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。
∴△ADF≌△ADC ADF ADC ∴DF=DC=8 在 Rt△BDF 中 ， BD ∵ cot B = DF
∴ BD = DF· cot B = 8 · cot 30 ° = 8 3
例9. 如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB 相交于F，已知sinα= 5 ，求 tan B的值。 13 分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是 特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三 角形中两条边的比值问题。
解法三：找标准量45°角比较。 ∵45°<α<90° ∴sinα>sin45°，cosα<cos45° ∵sin45°=cos45° ∴sinα>cosα， 同理tanα>cotα，∴应选A。
例4. A. 等腰非等边三角形 C. 直角非等腰三角形
在△ABC中，若|sin A −
3 1 |+ (cos B − ) 2 = 0，则△ABC是（ 2 2
设CE = x，则AE = 3x，
∵∠ADC=45° ∴DE=AE
30° B
120 45° ° D C ( 图 5) E
∴ 8 + x = 3x
3 −1 ∵∠B = 30°，AE = 3x x= 8 =4 3+4
∴BE = 3x· cot 30° = 3x
∴BD = BE − DC − CE = 3x − 8 − x = 2 x − 8 = 8 3。
16 7 ∴2 sin α cos α = −1= 9 9
4 ，求 sin α − cos α的值。 3
9
∵ α −cosα)2 =sin2 α +cos2 α −2sinα·cosα = 1 − (sin
7 2 = 9 9
2 3 注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sinα与cosα的大小。 例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。 ∴ sin α − cos α = ±
）
D. cot α = m + 1
分析：根据三角函数值的取值范围，有
0 < sin α < 1， 0 < cos α < 1， tan α > 0， cot α > 0 1 1 而 sin α = < 1， cos α = m − 1 > 1， tan α = > 0， cot α = m + 1 > 0 m−1 m+1
鉴江中学 于孙潮
1. 本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。 ∠A的对边 ∠A的邻边 ② sin A = ③ cos A = ∠A的斜边 ∠A的斜边
∠A的对边 ① tan A = ∠A的邻边
B a C
c b A
在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放 在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。 2. 锐角α的取值范围及变化情况：
锐角α的函数 记法 锐角α的余弦 cosα 锐角α的正切 tanα 锐角α的余切 cotα 锐角α的取值范围 三角函数的取值范围 增减性α从 0°↗90° 0<sinα<1 0<cosα<1 tanα>0 cotα>0 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小
锐角α的正弦 sinα 0°<α<90°
7. 解直角三角形的分类：
两直角边 两边 一斜边，一直角边 已知 一锐角，一直角边 一边一角 一锐角，一斜边
选用关系式归纳为口诀： 已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除。
tan(90° − α ) = cot α， cot(90° − α ) = tan α。
任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值， 任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。 6. 解直角三角形的依据： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，除直角 外，其余五个元素之间有以下关系： （1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（互余关系） B （3）边角关系： c
解：
10 a= c + a = 12 a + c = 12 c + a = 12 3 列方程组 2 ⇒ ⇒ ⇒ 16 2 c − a = 64 (c + a )(c − a ) = 64 c − a = 3 c = 26 3
A c b
B
a (图 1)
解法二：如图6，过D作DF⊥BC于D，交AB于F。 易证得∠FAD=∠DAC=15° ∵FD⊥BC，∠ADC=45°
A
F 120 45° ° D ( 图 6) C
∴∠ADF=∠ADC=45°
在△ADF和△ADC中
∠FAD = ∠CAD AD = AD ∠ADF = ∠ADC
30° B
）
B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
1 3 ， B= ， cos 2 2
根据“两个非负数的和等于 0，则两个数都等于 0”的性质，有 sin A = 分析：
所以∠A=60°，∠B=60°，应选B。 例5. α为锐角，若m>2，下列四个等式中不可能成立的是（
A. sin α = 1 m−1 B. cos α = m − 1 C. tan α = 1 m+1
5 ∵ sin α = 13
B （图 7）
C
AE = AB − BE = 7x − 5x = 2 x
∴设MN=5x，MC=13x，
∴ tan β =
AE 2 x 2 = = 。 ME 5x 5
则NC=12x。 ∴ME=MN=NB=5x，BC=NC－NB=7x。
例10. 在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，求S△ABC 。 解法一：如图8，取AB的中点D， 连结CD，过C作CE⊥AB于E。 ∵AB=12
a 1 求出 sin A = ，求出∠ A，但应注意斜边 c不要计算错误。 c 2
例3. 当45°<α<90°时，下列各式正确的是（ ） A. sinα>cosα B. sinα=cosα C. tanα<cotα 分析：如图4，设∠A=α，则BC>AC。 解法一：利用三角函数定义。
∵ sin α = BC AC > = cos α AB AB
解法二：利用同角的三角函数的关系式。
∵sin2B+cos2B=1
2 cos B 2 5 ∴ cot B = = 3 = 。 sin B 5 5 3
2 5 ∴ sin B = 1 − cos 2 B = 1 − ( ) 2 = (sin B > 0，舍负 ) 3 3
例2.
在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 32，b = 32 3，解三角形。
解法一：在Rt△ABC中，如图3。
（1）∵ tan A = a 32 3 = = 3 b 32 3
A
32 3 B 32 (图 3) C
∴∠A=30°。
（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。
（ 3）∵ sin A =
∴c =
a 32 = = 64 。 sin A sin 30°
a c
解法二：（1）在Rt△ABC中
b a b a sin B = ， cos B = ， tan B = ， cot B = 。 c c a b
a A b (图 1 ) C
sin A =
b a b a ， cos A = ， tan A = ， cot A = ； c c b a
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解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。
C
10 a 5 ∴ cos B = = 3 = 。 c 26 13 3
二. 综合题型分析： 例 8. 已 知 ： 如 图 5 ， △ ABC 中 ， ∠ B=30° ， ∠ ADC=45° ， ∠ACB=120°，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。 A
解法一：过A作AE⊥BC的延长线于E， ∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°。
例如
8. 有关解直角三角形的应用题： 应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念： (1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫 做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。
视线
眼睛
仰角 俯角
水平线
视线 图1
(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度 的比叫做坡度，用 字母i表示，即 i = h = tgα ，如图2。 h i = = tgα l l
5 已知 sin α = ，为了应用它，要把 α放在一个直角 13 三角形中，如 α是Rt △FBC的一个
M β
A
D
E F α
N
锐角，或α是Rt△MNC的锐角，或α是Rt△EMF的一 个锐角，这样就有三种解法。 求tanβ，从图形直观上看，就是把β放在Rt△AME 中，求出AE和ME，或用某个字母x的代数式表示 AE和ME即可。 解：在Rt△MNC中，
D. tanα<1
B
∴应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。
α
C 解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。 A ∵ 45° < α < 90° ∴ 90° − α < 45° < α （ 图4） ∴根据锐角的正弦（切）的增减性可知 sin α > sin(90° α )， α > tan(90° α ) − tan − 又∵ cos α = sin(90° − α ) ， cot α = tan(90° − α ) ∴ sin α > cos α， α > cot α 应选A，其它两项也不成立。 tan