福建省福州琅岐中学2019-2020学年高考适应性考试数学试卷含解析〖加15套高考中考模拟卷〗

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【高考模拟试卷】福建省2019届高中毕业班数学(文科)适应性练习(一)及答案

福建省2019届高中毕业班数学学科备考—数学(文科)适应性练习（一）(本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．)注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|(4)0}B x x x =-<，则A B =A.{}|04x x <<B.{}|13x x <<C.{}0,1,2,3,4D.{}1,2,32. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13515a a a ++=，416S =，则4a = A.6B.7C.8D.93. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A.2y x =±B.5y x =±C.5y x =±D.12y x =±4. 若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则πtan()4θ-= A.2- B.12-C.12D.2 5. 已知实数,x y 满足3240,0,2,x y x y x --⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥则1y z x =-的最大值为A.1B.43C.32D.26. 中国古代建筑借助榫卯（sǔn mǎo ）将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进去部分叫卯眼．某榫卯木构件的三视图及其部分尺寸（单位：厘米）如图所示，则该木构件的体积等于（单位：立方厘米） A.12 B.13 C.14D.157. 在直角ABC △中，90ABC ∠=，4BC =，点P 在BC 上，则PC PA ⋅的最小值是 A.4-B.4C.16-D.168. 从写有电子字体的“2”，“0”，“1”，“9”的四张卡片（其中“2”可作“5”用，“9”可作“6”用），随机抽出两张卡片，则能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1的概率为 A.16B.13C.12D.239. 设2log 3a =，4log 25b =，5log 9c =，则 A.a b c >>B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >>10. 如图，在下列三个正方体1111D C B A ABCD -中，G F E ,,均为所在棱的中点，过G F E ,,作正方体的截面．在各正方体中，直线1BD 与平面EFG 的位置关系描述正确的是①②③A.1BD ∥平面EFG 的有且只有①；1BD ⊥平面EFG 的有且只有②B.1BD ∥平面EFG 的有且只有②；1BD ⊥平面EFG 的有且只有①C.1BD ∥平面EFG 的有且只有①；1BD ⊥平面EFG 的有且只有②③D.1BD ∥平面EFG 的有且只有②；1BD ⊥平面EFG 的有且只有③ 11. 若函数()()2ln f x x x ax a =-∈R 有两个极值点，则a 的取值范围是A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.()0,1D.(]0,112. 如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg 0.155≈） A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数z i 为虚数单位），则z 的模是． 14. 已知函数()()211log 2,1,2,1,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩≥ 则()()21f f -+= ．15. 已知直线1y kx =-与圆22430x y y +-++=相交于,A B 两点，若AB ≥，则实数k 的取值范围．16. 已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π3π(,)22上至少有2个不同的极小值点，则ω的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2223a c b =-．（1）证明：tan 2tan CB=-；（2）若cos A =，且△ABC ，求c ．18.（12分）如图，四面体ABCD 中，90ABC ∠=︒，DA DB =，O 为AC 的中点．（1）证明：DO AB ⊥；（2）已知ACD △是边长为2正三角形．若H 为棱BD 上与B 不重合的点，且AH CH ⊥,求四面体ACHD 的体积． 19.（12分）某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜，店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收.（1）若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：斤，n ∈N ）的函数解析式；（2）水果店记录了100天草莓的日需求量（单位：斤），整理得下表：①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率.20.（12分）已知倾斜角为45的直线经过抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(12,8)P 的两条直线1l ,2l 分别交抛物线Γ于点C ,D 和E ,F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ,N .如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 过定点.21.（12分）设函数()()()2ln ln f x a x x x a =++∈R ．（1）证明：过点()0,2-的直线中有且只有一条与曲线()y f x =相切；（2）若01x <<，()2f x a <，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标系方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．23．[选修45-：不等式选讲]（10分）已知函数()2f x x a a =-+．（1）当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）设函数()21g x x =-．当x ∈R 时，()()5f x g x +≥，求a 的取值范围．福建省2019届高中毕业班数学学科备考——数学(文科)适应性练习（一）参考答案及评分建议评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1. D2.B3.A4.C5.B6.B7.A8.C9.D 10.C 11.A 12.B试题简析：1. {|(4)0}(0,4)B x x x =-<=，{123}AB =，，，故选D.2. 由13515a a a ++=，得333155a a ==，；由416S =，得2314234)4)16,822a a a a a a ++==+=（（；则23,2a d ==；437a a d =+=. 故选B.3. 由22222214b c a e a a -==-=，得渐近线方程为2b y x x a=±=±.故选A. 4. 直线3y x =的倾斜角的终边与角θ的终边相同或反向，故tan 3θ=，则πtan 11tan()41tan 2θθθ--==+. 故选C.5. 画出可行域（坐标平面的右侧开放区域），考察可行域内的动点P 与定点(1,0)连线的斜率，当P 的坐标为(4,4)时，1y z x =-取到最大值43.故选B. 6. 该木构件是从一个长为3、宽为3、高为2的长方体的上半部分中，挖去两个长为3、宽为1、高为1的长方体，再补回一个棱长为1的正方体，该木构件的体积等于33322311113⨯⨯-⨯⨯⨯+=.故选B. 7. 据图形特点，宜选择坐标法比较简单. 以B 为坐标原点，BA 为x 轴正向建立坐标系. 取(0,4)C ，设(,0)A a ，(0,)(04)P t t <<，则(,)P A a t =-，0,4)PC t =-（， 224(2)44PC PA t t t ⋅=-=--≥-.故选A.8. 用穷举法易得，从四张卡片中任选两张共有6种选法，每种选法的可能性均等. 按题意规定，能使得“两张卡片的数字之差的绝对值等于1”的选法有21，01，29共三种情况，故所求概率为3162=. 故选C. 9. 24lg9log 3log 9lg 4a ===，4log 25b =，5lg 9log 9lg 5c ==，故b a >且a c >，应选D. 10. 从图①研究起，取11A D 中点H ，通过判断截面EFHG 与对角面11BDD B 平行，可得1BD ∥平面EFG ，从而排除B,D 选项；（或者：从图②研究起，可通过证明1BD EF ⊥，1BD EG ⊥，得证1BD ⊥平面EFG ，从而排除B,D 选项）.比对A,C 选项，只需考察图③对应的结论：取1AA 中点M ，连,EM FM ，仿图②，可证1BD ⊥平面EFM ，故1BD ⊥EF ；类似可证得1BD ⊥GF （或1BD ⊥EG ）. 从而1BD ⊥平面EFG . 排除A ，应选C.①② ③11. 令()'ln 120fx x ax =+-=，得ln 21x ax =-，考察函数ln y x =与21y ax =-有两个交点的条件，可得1021,02a a <<<<. 故选A. 12. 记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则1255414,...4()77n n a a a =⨯=⨯=⨯，，. 1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--. 令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯=⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个. 应选B.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13.5 14. 4 15.⎡⎤⎣⎦ 16. 711(,3)(,)33+∞ 试题简析：13. (12)(24+3z =+-i i)=i ，所以z 的模是5． 14. ()221log 43f -=+=，()11121f -==，所以()()214f f -+=．15. 圆22430x y y+-++=的圆心,2)-，半径2.AB ≥，所以圆心到直线的距离1d=≤=1≤，解得0k ≤≤.16. 由题意得()f x 图象在π3π(,)22至少有2个波谷，则该函数图象的周期必然小于π，故2ω>．当6ω>时，π3π(,)22区间至少包含了3个周期的，则必有不少于2波谷．当26ω≤≤时，根据图象伸缩变换可得情况1：3,2237,22ππωππω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩解得733ω<<；情况2：3ππ227ππ,2211π3π22ωωω⎧⋅⎪⎪⎪>⋅⎨⎪⎪<⋅⎪⎩≤，解得1173ω<<，即1163ω<≤，综上ω的取值范围是711(,3)(,)33+∞．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 本小题主要考查三角恒等变换、解三角形等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．解：（1）根据余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=， ······················································································ 2分把2223a c b =-代入可得cos a C b=-，根据正弦定理，得sin cos sin AC B=-，······························································································· 4分故有()cos sin sin sin C B A B C ⋅=-=-+，又因为()sin sin cos cos sin B C B C B C +=+， ··········································································· 5分所以2sin cos cos sin B C B C -=，又有题意中2223c a b =+，得,C B 都不是直角，故两边同除以cos cos B C ，得tan 2tan CB=-． ················································································· 6分（2）根据余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，222cos 3b c A bc+=，所以2220b c -+=， ······································································· 7分即()203b b c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故2b =或者3b =． ······················································ 8分又有sin 9A ==， ····································································································· 9分故△ABC 的面积为1sin 2bc A =． ···················································································· 10分情况1：当b =26=c = ························································ 11分情况2：当b =2=c =·························································· 12分综上所述，c =c =18. 本题考查空间直线、平面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．解：（1）取AB 的中点M ， ···························································································· 1分所以CB OM ∥，所以OM AB ⊥． ··································································· 2分又因为DA DB =，所以DM AB ⊥， ·································································· 3分又DMOM M =，所以AB ⊥面DOM ， ························································· 4分所以AB DO ⊥． ····························································································· 5分（2）由题意得，在正三角形ACD 中，DO AC ⊥，又因为DO AB ⊥，且ABAC A=，所以DO ⊥面ABC ， ······································································································· 6分所以DO BO ⊥． ····························································································· 7分在DOB △中，222DB DO OB =+，解得1BO =．……8分在AHC △中，因为90AHC ∠=︒，O 为AC 的中点，所以1OH =． ······················· 9分在DOB △中，90DOB ∠=︒，112OH BD ==，所以H 为DB 中点． ························································································ 10分四面体ACHD 的体积12A CDH A CDB V V --=⋅， ·························································· 11分又因为113A CDB D ABC V V --==⨯= 故所求的四面体AOHD······························································· 12分 19. 本小题主要考查分段函数、统计及概率的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力等，推理论证能力和应用意识，考查统计与概率的基本思想，，体现综合性、应用性及创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等素养的关注．解：（1）当日需求量17≥n 时，利润1710170y =⨯=； ···················································· 2分当日需求量16n ≤时，利润()1081718136y n n n =--=-. ·································· 3分所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为18136,16,170,17.n n y n -⎧=⎨⎩≤≥ ·················································································· 4分（2）①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则：日需求量为14斤时，利润116；日需求量为15斤时，利润134；日需求量为16斤时，利润152；日需求量不小于17时，利润170. ·························· 6分故这100天的日利润（单位：元）的平均数为：()11411622134141521617015170131706170100y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， ··· 8分解得152y =（元）. ···················································································· 9分②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤. ··································· 10分以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为0.140.160.150.130.060.64p =++++=. ······ 12分20. 本小题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等素养的关注．解：（1）由题意可设直线AB 的方程为2p y x =-，并令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=， ································································· 1分所以123x x p +=， ···························································································· 2分根据抛物线的定义得，124AB x x p p =++=， ····················································· 4分又8AB =，所以48p =，得2p =. ····································································· 5分则此抛物线的方程为24y x =， ············································································ 5分（2）设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k， ·························································· 6分于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+，联立2(12)84y k x y x =-+⎧⎨=⎩得2432480ky y k -+-=，所以4C D y y k+=， ···························································································· 7分则241624C D x x k k +=+-，即2282(12,)M k k k+-， ················································ 8分同理将k 换成1k 得：2(1228,2)N k k k +-. ····························································· 9分所以2212()112()8()MN k k k k k k k -=---114k k =+-， ····················································· 10分则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k -=-+-+-， ································· 11分即1410k y x k ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，显然当10x =时，恒有0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). ············································································ 12分21. 本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究切线、函数的单调性、极值等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，设切点为()00,x y ，()11ln 2f x x a x'=+++．···················································································· 1分则l 的斜率为()00011ln 2f x x a x '=+++，又()00001ln 2y x x ax =++．故l 方程为：()000011ln 2y y x a x x x ⎛⎫-=+++- ⎪⎝⎭．·················································· 2分把()0,2-代入得()()000000121ln 21ln 2x x ax x a x x ⎛⎫--++=+++-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，化简得001ln x x +=， ··························································································· 3分考察函数()ln 1F x x x =-+，()11F x x'=-．可得在区间()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减； ················································ 4分故在1x =处取到极大值．即()()10F x F =≤，即ln 1x x -≤． ····························· 5分所以方程001ln x x +=的解为01x =，且是唯一的解． ················································ 6分所以过点()0,2-的直线中有且只有一条与曲线()y f x =相切.（2）设()()()1ln 21g x x x a x =++-，定义域为()0,+∞． ··············································· 7分()11ln 2g x x a x '=+++，设()11ln 2h x x a x =+++，()210x h x x-'=<，故()h x 在区间()0,1上单调递减，所以()()122h x h a >=+． ···································· 8分情况1：当1a -≥时，则()0h x ≥，即()0g x '≥，故()g x 在区间()0,1上单调递增，即()()10g x g <=，符合题意． ······························································ 9分情况2：当1a <-时，()1220h a =+<，注意到在（Ⅰ）解题过程中()ln 10x x x ->≤，可得ln 1e e x x -≤，即e e x x ≥．从而且()()()22e 1e 41e 2442e 10a a h a a a a -=+++-+=-+>≥． ············· 10分故()20e ,1a x ∃∈，满足()00h x =，又因为()h x 在区间()0,1上单调递减，故在区间()00,x ，()0h x >，即()g x 在区间()00,x 上单调递增；故在区间()0,1x ，()0h x <，即()g x 在区间()0,1x 上单调递减． ··················· 11分所以当0x x =时，取到极大值()0g x ，()()010g x g >=，所以任意1a <-皆不合题意． ·································································· 12分综上，所求的a 的取值范围是[)1,-+∞．22. 本小题主要考查椭圆、直线的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．解：（1）1C 的普通方程为2213x y +=， ······························································································· 2分 2C 的极坐标方程化为sin cos )22ρθρθ+=（， ···································································· 3分所以，2C 的直角坐标方程为：0x y +-=． ······································································· 5分（2）由题意得，设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，······························ 6分。

【高考模拟试卷】福建省2019届高中毕业班数学(理科)适应性练习(五)及答案

福建省2019届高中毕业班 ——数学(理科)适应性练习（五）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|P x y ==，{|ln 1}Q x x =<，则P Q =（A ）(0,2]（B ）[2,e)-（C ）(0,1]（D ）(1,e)2.已知为虚数i 单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（A ）3=a （B ）0=a （C ）0≠a （D ） 0<a3.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径为22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向银币内投掷200次且都落在银币内，其中恰有60次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（A ）25726mm π （B ）210363mm π （C ）25363mm π （D ） 220363mm π4.已知b a ,都是实数，那么“ba 22>”是“22b a >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5.已知x 为锐角，cos sin a xx-=a 的取值范围为（A ）(1,2] （B ）（C ）[2,2]- （D ） (1,2)6. 若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确．．．的是（A ）b a 20182018log log > （B ）a a c b log log < （C ）b c a c a a c a )()(->- （D ）bc a b c a b c )()(->-7.已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，设121log n n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项和为（A ）(1)2n n + （B ）(1)2n n -（C ）n （D ）(1)(2)2n n ++8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（A ）（B ）（C ）8 （D ）99.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

福州市2020高三毕业班适应性练习卷(理数)

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷理科数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz = A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．23. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π64. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为5. 已知平面α平面β，直线,l mααβ，则“m l ”是“m β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若)331231log e,e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798. 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为 A ．2B ．2C ．32D ．69. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7sh x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h xB.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g xC.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x10. 射线测厚技术原理公式为0e t I I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________． 14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．15. 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C CB -=2,a c =C 大小为_____．16. 已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.()20P K k0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A CO A BD O =⊥平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值.ODCC 1B 1A 1D 1已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．21. （本小题满分12分）已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-=（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23. （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=．（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥．。

福建省福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学(文)试题(含解析)

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3. 已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．【答案】C ．【解答】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫=⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】C ．【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =．6. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养．【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．94【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得AB =122y y ++=917244+=．9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养．【答案】C ．【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x =()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022*********000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养．【答案】4．【解答】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．【答案】12．【解答】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．【答案】12π．【解答】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D ．在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， ··············································· 1分又因为()()111n n na n a n n +-+=+，AB C1OO E DP所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=， ································ 3分所以{}n b 为等差数列， ·········································································· 4分其首项为111b a ==，公差1d =． ····························································· 5分所以()11n b n n =+-=．········································································· 7分（2）由（1）及题设得，2n n c n =-， ······················································ 8分所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++L L ·············································· 9分 ()1222122n n n +-⨯=-- ······································································ 11分 21222n n n++=--． ········································································ 12分 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ．（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD，求三棱锥11B A BD -的体积．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】（1）证明：依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ····················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形，····························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ···················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 5分（2）依题意，12,AA AO ==在1Rt AAO △中，11AO =， ·················································· 6分所以三棱锥1A BCD -的体积ABCD1A 1B1C1DO1A BCD V -113BCD S AO =⋅△213213⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3=． ········································· 8分由（1）知1B C ∥平面1A BD ，∴111B A BD C A BD V V --= ·············································································· 10分 1A BCD V -= ·············································································· 11分3=． ··············································································· 12分 19. （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名 50 网络报名 31 总计50频率/组距年龄/岁0.0100.0202m 2n O参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15，所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； ··································· 1分由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，即20.07m n +=，① ·············································································· 3分由中位数为34可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② ·············································································· 4分由①②解得0.020m =，0.025n =. ···························································· 5分志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）． ································································································ 7分（2）根据题意得到列联表：··································· 9分所以2K 的观测值 2100(19193131)50505050k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜， ········ 11分所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系． ······································································································ 12分说明：第（1）小题中，方程①②列对一个给2分，两个都列对给3分．20. （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】()()2ln 12f x x x a '=+++． ······················································· 1分（1）当1a =时，()22ln 3,f x x x x x =+++()()2ln 121f x x x '=+++，所以()()15,15f f '==， ········································································ 3分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()551y x -=-，即5y x =． ············ 5分（2）存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，等价于不等式22ln 3x x x a x ++-≥在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有解． ······································ 6分设()22ln 3x x x h x x++=-，则()()()2223123x x x x h x x x +-+-'=-=-， ·············· 7分当11ex <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1e x <<时，()0h x '<，()h x 为减函数． ·············································································································· 8分又213e 2e 1e e h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，故()1e 0e h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜ ················· 10分所以当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()213e 2e 1e e h x h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，··································· 11分所以23e 2e 1e a -+-＞，即a 的取值范围为23e 2e 1,e ⎛⎫-+-+∞ ⎪⎝⎭． ··················· 12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】（1）依题意，1b ==， ·················································· 2分因为离心率c e a ===，=，解得a = ··························································· 4分所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=． ····················································· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴． ············································· 6分过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， ························································································ 7分所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．① ·································· 8分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， ····································· 9分所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ ··········································································· 10分由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤ ······························································· 11分将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-． ·········································································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解答】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ·························· 2分曲线2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ····················· 5分（2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r = ··························· 6分圆心2C ()1,0到1C 的距离d == ···································· 7分所以直线1C 与圆2C 相离，P 到曲线1C 距离的最小值为d r -=；最大值d r +== ············································································ 9分所以P 到曲线1C 距离的取值范围为． ······································· 10分 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=．（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥．【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.。

2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学(文)试题(解析版)

A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同D．这四个人里恰有2个人选素描
【答案】C
【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．
【详解】
因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描.那么假设丙选择了素描，
则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描.综上，
必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确.
【详解】
从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲，乙，丙}，
{甲，乙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，丙，戊}，
{甲，丁，戊}，{乙，丙，丁}，{乙，丙，戊}，{乙，丁，戊}，
{丙，丁，戊}，共10种结果.记“甲､乙同时被抽到”为事件，
则包含基本事件{甲，乙，丙}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，戊}，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据等差数列的定义，可得是等差数列，进而求出通项公式；
（2）由已知求出的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以，又因为，
所以，即，
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，
则对于素描与摄影可能出现如下两种情况:
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
10．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得是周期函数，可将自变量，转化到，再利用奇函数对称性，即可求解

【定稿】福州市2020高三毕业班适应性练习卷(文科数学)

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3. 已知12,e e均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．【答案】C ．【解答】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫=⎪⎝⎭2758-=1308＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】C ．【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =．6. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养．【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．94【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得AB =122y y ++=917244+=．9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养．【答案】C ．【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养．【答案】B ．【解答】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养．【答案】4．【解答】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．【答案】12．【解答】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．【答案】12π．【解答】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =．在1Rt OO D △中，OD 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， ··············································· 1分又因为()()111n n na n a n n +-+=+，ABC1O OE DP所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=，································ 3分所以{}n b 为等差数列， ·········································································· 4分其首项为111b a ==，公差1d =． ····························································· 5分所以()11n b n n =+-=． ········································································ 7分（2）由（1）及题设得，2n n c n =-， ······················································ 8分所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++L L ·············································· 9分 ()1222122n n n +-⨯=-- ······································································ 11分 21222n n n++=--． ········································································ 12分 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ．（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】（1）证明：依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ····················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形，····························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ···················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 5分（2）依题意，12,AA AO ==在1Rt AAO △中，11AO ， ·················································· 6分所以三棱锥1A BCD -的体积ABCD 1A 1B 1C 1D O1A BCD V -113BCD S AO =⋅△213213⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3=． ········································· 8分由（1）知1B C ∥平面1A BD ，∴111B A BD C A BD V V --= ·············································································· 10分 1A BCD V -= ·············································································· 11分 3=． ··············································································· 12分 19. （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名 50 网络报名 31 总计50频率/组距年龄/岁0.0100.0202m 2n O参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15，所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； ··································· 1分由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，即20.07m n +=，① ·············································································· 3分由中位数为34可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② ·············································································· 4分由①②解得0.020m =，0.025n =. ···························································· 5分志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）． ································································································ 7分（2）根据题意得到列联表：··································· 9分所以2K 的观测值2100(19193131)50505050k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜， ········ 11分所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系． ······································································································ 12分说明：第（1）小题中，方程①②列对一个给2分，两个都列对给3分．20. （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】()()2ln 12f x x x a '=+++． ······················································· 1分（1）当1a =时，()22ln 3,f x x x x x =+++()()2ln 121f x x x '=+++，所以()()15,15f f '==， ········································································ 3分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()551y x -=-，即5y x =． ············ 5分（2）存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，等价于不等式22ln 3x x x a x ++-≥在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有解． ······································ 6分设()22ln 3x x x h x x++=-，则()()()2223123x x x x h x x x +-+-'=-=-， ·············· 7分当11ex <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1e x <<时，()0h x '<，()h x 为减函数． ·············································································································· 8分又213e 2e 1e e h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，故()1e 0e h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜ ················· 10分所以当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()213e 2e 1e e h x h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ··································· 11分所以23e 2e 1e a -+-＞，即a 的取值范围为23e 2e 1,e ⎛⎫-+-+∞ ⎪⎝⎭． ··················· 12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】（1）依题意，1b ==， ·················································· 2分因为离心率c e a ====，解得a = ··························································· 4分所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=． ····················································· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴． ············································· 6分过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， ························································································ 7分所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．① ·································· 8分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， ····································· 9分所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ ··········································································· 10分由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤································································ 11分将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-． ·········································································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解答】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ·························· 2分曲线2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ····················· 5分（2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r = ··························· 6分圆心2C ()1,0到1C 的距离d == ···································· 7分所以直线1C 与圆2C 相离，P 到曲线1C 距离的最小值为d r -==；最大值d r +== ············································································ 9分所以P 到曲线1C 距离的取值范围为． ······································· 10分 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=．（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥．【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.。

福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试线上试题文2-含答案师生通用

福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试（线上）试题文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f = A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. ··············································································································· （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和． 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ．（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；1A 1B 1C 1D（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积．19. ··············································································································· （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？年龄/岁22参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. ··············································································································· （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．21. ··············································································································· （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=．（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥．福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2019年最新(统考)福建省高三适应性考试数学(理)试卷及答案解析

福建省高考高三适应性考试理科数学试题(时间：120 分钟；满分：150分)注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{14}A x x =<<，{lg(1)}B x y x ==-，则AB =（ A ）A ．{12}x x <<B ．{12}x x ≤<C ．{12}x x -<<D ．{12}x x -≤<2．复数512i iiz ++=的共轭复数为( A ） A ．i 21- B ．i 21+ C ．1-i D ．i -1 3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( B ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4.已知函数()2sin cos f x x x =-在0x 处取得最大值，则0cos x =( A )A ．BC ．D 5. 阅读程序框图，该算法的功能是输出（ D ） A ．数列{}12n - 的前 4项的和B ．数列{}21n-的第4项 C. 数列{}2n的前5项的和D ．数列{}21n-的第5项6. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ D ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 7．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ A ） A ．关于点(0)6π,对称 B ．关于点(0)3π,对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称8．如图，正方体-1111ABCD A B C D 中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( A )9. 已知0AB BC ⋅=，1AB =，2BC =，0AD DC ⋅=，则BD 的最大值为（ C ）A.B. 2C.D. 10. 实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ B ） A ．2 B ．3C ．4D ．511.已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ．若点P ，M ，F 三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆面积的5倍，则双曲线C 的离心率为（ C ）12. 若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立。

福建省福州市琅岐中学2024届高考模拟试卷(2)数学试题

福建省福州市琅岐中学2024届高考模拟试卷（2）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（）A ．20B ．30C ．50D ．602．复数12i2i+=-（）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -3．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（）A 33B 3C ．33D ．235．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（） A ．760B ．16C ．1360D ．146．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．17．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A ．15B ．25C ．310D ．148．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（） A ．4B ．8C ．9D ．279．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（）A ．625-B ．627-C ．63-D ．962-10．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（） A ．15B ．13C ．35D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省2019届高三备考关键问题指导系列适应性练习数学试卷(三)(文)(含解析)

福建省 2019 届高三备考关键问题指导系列数学（文）适应性练习（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，,则()A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵全集 U＝{1，3，5，7}，集合 A＝{1，3}，B＝{5，3}，∴A∪B＝{1,3,5}，∴ 故选：B．{7}，2.欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数的虚部为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】复数ii 的虚部为．故选：C． 3.为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是 2016 年 1 月至 2017 年 12 月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是 A. 2016 年各月的仓储指数最大值是在 3 月份 B. 2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为 54% C. 2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性更大 D. 2017 年 11 月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好【答案】D 【解析】2016 年各月的仓储指数最大值是在 11 月份；2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为 52%；2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性小；2017 年 11 月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好，所以选 D. 4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为 16S，由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为，故选：A. 5.若，则()A.B.C.D.【答案】D 【解析】tan（α-β）＝3，tanβ＝2，可得3，∴，解得 tanα．故选：D．6.函数在区间上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，由，可得函数的零点为，可排除选项；当时，，对应点在轴下方，可排除选项，故选 B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为，根据三角形面积公式有.8.已知函数 2,4,8，则的单调递增区间是( )的图象与直线A.B.C.D.【答案】A【解析】因为函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的三个相邻交点的横坐标分别为与直线 y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8所以函数的周期为：6，所以 ω，并且函数的 x＝3 时取得最大值，所以故选:A9.已知偶函数的图象经过点，且当成立的的取值范围是A.B.C.D.函数的单调增区间为：[6k，3+6k]（k∈Z）．时，不等式恒成立，则使得【答案】C【解析】由题意，当时，不等式恒成立，所以函数在时是减函数，又由偶函数的图象经过点，所以函数在时是增函数，，当时，由，得，即当时，由，得，即，所以，的取值范围是10.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等；②存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等；③存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等.其中真命题的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】①存在一个平面 AB1D1 与正方体的 12 条棱所成的角都相等，故①正确； ②存在一条直线 AC1 与正方体的 12 条棱所成的角都相等，故③正确； ③存在一条直线 AC1 与正方体的 6 个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．11.如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（）A.B.C.【答案】B【解析】由题得：，得 OB=OC=1 又D. ,由三角函数定义得:,,,12.已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )A. 【答案】B 【解析】B.C.与的内切圆切于点，∴D. ,由双曲线定义=,当且仅当A,B, 共线时取等故选：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知向量，.若向量的夹角为 ,则实数的值为____.【答案】【解析】| |，| |2，3 m，∵向量，的夹角为，∴3 m•2 • ，解得 m．故答案为14.若满足约束条件则【答案】【解析】作出实数 x，y 满足条件的最小值为____. 的可行域如图：化为 y=x+z,即当 y=x 平移到过 A 时，直线截距最大，即 z 最大，由，解得 A（2，6），∴故答案为 4.15.椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于，是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________ 【答案】【解析】如图设 A（﹣a，0），可得 a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，线段 AF 的中点为 B（，0），圆 F 的圆心为 F（1，0），半径 r＝|BF|，设 D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），由△BDE 为等腰直角三角形，可得 kBD＝1，即1，即 n＝m，由 D 在圆 F：（x﹣1）2+y2＝（）2 上，可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，解得 m＝1 或 m（舍去），则n，将 D（1，）代入椭圆方程，可得1，化简可得 a＝2 或（舍去），则圆 F 的标准方程为（x﹣1）2+y2 ，故答案为：（x﹣1）2+y2 ．16.习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚 A 测得山顶 B 的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了 40 米后到达 C，在 C 处测得山顶 B 的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过 C 做 CM⊥BD 于 M,CN⊥AD 于 N,设 BM=h, 则 CM=h=20(),∴BD=h+20三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.,解得17.已知数列满足，，设，.（1）判断数列是否为等比数列，说明理由并求的通项公式；（2）求数列的前项和 .解：（1）{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列.由条件可得，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以，所以，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列.所以，即，所以.（2）由（1）可，所以，所以，所以数列的前项和.18.如图，四棱锥的底面是边长为 2 的菱形，.已知.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥（Ⅰ）证明：连接交于点的体积.又是菱形而⊥面⊥（Ⅱ）解：由（Ⅰ） ⊥面则19.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图 1.（1）记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中（单位：年）表示二手车的使用时间，（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中）；①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程； ②该汽车交易市场对使用年以内(含年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间年以上(不含年) 的二手车收取成交价格的佣金.在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注:①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为②参考数据：解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为所以（2）①由得，即关于的线性回归方程为因为所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为②根据①中的回归方程和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：万元20.已知是直线上的动点，点的坐标是，过的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点 .（1）求点的轨迹的方程;（2）设曲线上的动点关于轴的对称点为，点的坐标为 ,直线与曲线的另一个交点为 ( 与不重合)，是否存在一个定点，使得三点共线?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，，即曲线为抛物线，其焦点为，准线方程为：，所以曲线的方程为．（2）设，则，直线的斜率为，直线的方程为．由方程组得．设，则，，，所以，又，所以的方程为．令，得．即直线与轴交于定点．因此存在定点，使得，，三点共线．21.设函数.（1）讨论的单调区间；（2）若，求证：.（1）解：依题意定义域为，，令，则，①当时，当时，，在单调递减，当调递增；②当时，当时，，在单调递增，当调递减；综上，当时，在单调递减，在单调递增；当时，在（2）证明：①当单调递增，在时，设②当时，设单调递减. ，；时，时，则，当时，，单调递减，，在单，在单当所以时，，单调递增，；设，则，所以故单调递增，所以；因为即即解法二：（1）同解法一；（2）设，所以 .，则，所以即单调递增，，所以，，设，则，设所以又因为，则，，所以，所以在上单调递增，在上单调递增，，，即，所以恰有一个零点；即，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，设，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即.解法三：（1）同解法一；（2）同解法二得，设，因为，所以设则所以当当所以时，，单调递减，时，，单调递增，，即，所以在上单调递增，则，所以，即.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为，的极坐标方程为．（1）求直线 l 和的普通方程；（2）直线 l 与有两个公共点 A、B，定点 P，求解：（1）直线 l 的普通方程为：，的值．因为圆的极坐标方程为，所以所以圆的普通方程（2）直线 l：；的参数方程为：（t 为参数），代入圆的普通方程，则，，消去 x、y 整理得：23.设函数（1）当时，求不等式（2）若关于 x 的不等式解：（1）当时，即或.．的解集；有解，求的取值范围．，即，或，所以或，所以原不等式的解集为；（2）因为不等式所以，即所以的取值范围是有解，，，．。