大学物理第4章功和能
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大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
大学物理 第四章功和能(必看)
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
《大学物理》第四章功和能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
第四章 功和能
第一篇力学第4章功和能第4章功和能Work & Energy第1节功功率第2节动能动能定理第3节保守力势能第4节功能原理机械能守恒定律d rαrr 'ab Fod d A F r =⋅所做的总功d b ab a A F r =⋅⎰d cos b F S α=⎰d cos b aF r α=⎰Work & Power第1节功功率1.功——力的空间积累效应将质点由a 移动到b ，F力相应于元位移d rF , 力对质点所做的功为:——元功tt +d t合力做的功：注意：d b ab aA F r=⋅⎰可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。
若有多个力同时作用在质点上，则d bab a A F r =⋅⎰ d 12(...)b a F F r=++⋅⎰d d 12...b b a a F r F r =⋅+⋅+⎰⎰...A A ++=21(1)力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。
2.功率平均功率：瞬时功率(功率)：——做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功A P t∆∆=d d 0lim t A A P tt ∆∆∆→==d d A F r=⋅ d d r F F v t =⋅=⋅ P F v∴=⋅单位: 瓦特符号W 1W ＝1J·s －1当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。
这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m 的车沿半径为R 的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为μ，求:车由底端A 被拉上顶端B 时,各力对车所做的功。
解:车受4个力的作用拉力F 、摩擦力f ，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下在切向与法向有:sin 0F f mg θ--=Nf μ=而()cos sin F mg μθθ∴=+cos 0N mg θ-=拉力的功:d B F A A F S=⎰31[]mgR μ=+d 600(cos sin )mg R μθθθ=+⎰R O R AB θo60重力的功d 600sin g A mg R θθ=-⋅⎰d()600cos mgR θ=⎰/2mgR =-摩擦力的功d 0Sf A f S=-⎰d 600cos mg R μθθ=-⋅⎰μmgR 23-=路面支持力N 的功为零.RORABθo60例2.一人从H ＝10m 深的水井中提水,开始时,桶中装有M ＝10kg 的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水,每升高1m 要漏出0.2kg 的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功。
水务工程大学物理第四章功和能
一对相互作用力的功与参考系无关。
f
f
a
设f 和f 分别为作用在物体 m和斜面上的摩擦力， 由牛顿第三定律： f f
以地面为参考系：
汽车相对地面的位移为 物块相对车的位移为
r0
' r
物块相对地面的位移为
则这一对力的功为
' r r r0
例 有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。当θ
由0增大到θ0时，求: 此力的功。 解： F T mg 0
F T mg d θ dW F dr (T mg ) dr Lθ T mg dr dr m mg cos( / 2 )ds mg sin ds mgL sin d F mg W mgL sin d mgL(1 cos 0 )
质点系的动能定理：
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。
例 已知质量m=1.0Kg的物体连在1m长的绳子一端。从 0=30º 处静止下落. 求10º 时,小球的速率v 解:小球在任意时刻受重力P与拉力T. 外力作功 W F dr T dr P dr 0 T dr 0 P dr P cos ds T 且 cos = sin, ds = - ld W P cos ds mg sin ds dr mgl sin d 代积分上下限
0
0
θ
例 一球形容器落入水中，其刚接触水面时， 其速度为 v0 。设此容器在水中所受的浮力与重力相 等，水的阻力为 f=-kv ,求阻力所做的功。
大学物理功和能课件讲义
解: 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
Af E2 E1
E2 E1 mgh
Af mg cos s' mgs mg(s's)
mg(s's) mgh
代入已知数据有 s h s' 500m
例4.5 一半径为 R的四分之一圆弧垂直固定于地面上，
止，距离为a. 在万有引力作用下,
两者距离变为b. 在此过程中,万有引
力做的功A=.
解： A Epa Epb
( Gm2 ) ( Gm2 )
a
b
Gm2 (a b)
ab
[思考]两者距离为b时的速率？
[例4-8] 质量为m的质点在指向圆心的力
F=k/r2 的作用下，作半径为r的
圆周运动，若取Ep=0，则系统的机
2. 力学中常见的势能函数
(1) 万有引力势能
由
Aab
(
Gm1m2 ra
) (
Gm1m2 rb
)
=
EPa－EPb
以r→∞时为万有引力势能零点，即令 EPy 0
由任一状态势能值的定义,可得 两物体相距r时的万有引力势能
EP引
EP引
Gm1m2 dr Gm1m2
r
r2
r
O
r
E
P引
G m1m 2 r
一、保守力的定义
1.万有引力的功 —与路径无关 rb
dr
dA以MF处G Md为rm原点rG，Mr2m
r0
dr
r2
dr r
M
r
ra m
(r0
r） r
GMm
r 2 dr
rb
A
rb
ra
04第四章 功与能作业答案
一．选择题 ［ B ］1、（基础训练1）一质点在如图4-5所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F对它所作的功为(A) 20R F ． (B) 202R F ．(C) 203R F ． (D) 204R F ．【提示】020220000d 2RRx y A F r F dx F dy F xdx F ydy F R =⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰［ C ］2、（基础训练3）如图4-6，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是(A) mgh ． (B) kg m mgh 222-．(C) k g m mgh 222+． (D) kg m mgh 22+．【提示】 当合力为零时，动能最大，记为km E ，此时00, mgmg kx x k==；以弹簧原长处作为重力势能和弹性势能的零点，根据机械能守恒，有：20012km mgh E kx mgx =+-，求解即得答案。
［ B ］3、（基础训练6）一质点由原点从静止出发沿x 轴运动，它在运动过程中受到指向原点的力作用，此力的大小正比于它与原点的距离，比例系数为k ．那么当质点离开原点为x 时，它相对原点的势能值是(A) 221kx -． (B) 221kx ． (C) 2kx -． (D) 2kx ． 【提示】依题意，F kx =-，x = 0处为势能零点，则021()2p xE kx dx kx =-=⎰［ B ］4、（自测提高2）质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t = 2 s 到t = 4 s 这段时间内，外力对质点作的功为(A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ．(D) -1.5 J ．【提示】用动能定理求解。
大学物理 功和能汇总
0 1
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
大学物理功和能
例4-4、一质量为m的质点，在xoy平面上运动。
其r位置a矢c量os为：ti
b
sin
tj
y
b
B
r
m
t A
x
其中a , b , 为正值常数，a > b 。 o
a
(1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。
(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的
解：(过1)程由中分r力
Fx
a
、Fy
cos
rdr
G rb ra 0
Mm r3
rdr
b
Mm
Mm
确定 (两G个0 质r点a ，) 则(MG、0 mrb
1 2
kx22
1 2
kx12
4 8102 (J )
例2：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力
与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉
子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子
的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
分析：由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速
度也相同，所具有的初动能也相同；由动能定理
两式相加得：
即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
记作：W外＋W内＝EKB - EKA
质点系动能定理
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
说明： 1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的动能。 2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。 4、动能与动量的异同：
F cos
S ab Fdr cos
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理,功和能及功能原理4.4 功能原理 机械能守恒定律
t2 I F dt p2 p1 t1 b A F dr Ek 2 Ek 1
a
13
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
3）若研究物体的瞬时状态，只有用牛顿运动定律。
dp 力: F dt
动量对时间的变化率
思考问题的顺序为：
2）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用 于包含有定轴转动刚体的系统。 3）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守 恒定律的特殊形式。
5
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 )
1）机械能守恒定律的条件是： A外
A非 保 内 0
动能定理
动量守恒定律 当 : F外 0时 ， P Pi 恒 矢 量
功： Aab F dr a A外 A内 Ekb Eka
b
机械能守恒定律
当 : A外 A非 保 内 0时 ， E Ek E p 恒 量
15
4.4 功能原理
外力不作功，意味着物体系既不接受外界的 机械能，也不向外界传递机械能。 如果A非保内= 0，就意味着在物体系内部不存 在机械能与其它能量形式间的相互转换。 所以，当满足A外= 0 和A非保内= 0 的条件时， 系统的机械能将保持不变。
6
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
能量守恒定律 亥姆霍兹（1821—1894）， 德国物理学家和生理学家。 于1874年发表了《论力（现 称能量）守恒》的演讲，首 先系统地以数学方式阐述了 自然界各种运动形式之间都 遵守能量守恒这条规律。所 以说亥姆霍兹是能量守恒定 律的创立者之一。
第4章__功和能
dA = (− mgk ) ⋅ (dxi + dyj + dzk )
mg
Ι
= − mgdz
A=∫
M2
z2
1
y
x
dA = dE K
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
9
M1
dA = ∫ − mgdz = − mgz 2 − mgz1） （ z
重力的功只决定于作功的起点和终点 与作功的路径无关
10
弹性力的功
r
N
o
f
N =m
υ2
r
f = μN
走一段小位移 dl 所做的功为
dA = f ⋅ dl = f cos πdl = − μm
转一周
υ2
r
dl
dA= F ⋅ dl dυ =m ⋅ dl = mυ ⋅ dυ = mυdυ dt
(b)
A = ∫ dA = − μm
υ2
r
∫
2πr
0
dl = − 2 πμ m υ 2
A外 + A内 = E K − E K 0 = ΔE K
质点系从一个状态运动到另一个状态时， 质点系动能的增量等于作用于各质点的所有外 力和所有内力在这一过程中作功的总和。 思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
F = Fx + F y + Fz
§4.3 质点系的功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理
∫ f ⋅ dl
L
=0
环流为零的力场是保守场， 如静电场力的环流也是零，
∫f
L
保
⋅ dr = 0
所以静电场也是保守场。 环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。
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E(t1) E(t2 ) const.
• 对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能保持守恒。
第一篇 力 学
第四章 功和能
• 前一章从时间的角度分析了力的累积效果，导出了动量定理。 • 如果从空间的角度讨论运动的起点与终点的运动状态间的联系，
或者说分析力的空间累积效果，是否有类似的定理? 动能定理 • 多个质点组成的质点系是否有类似定理成立?
第一篇 力 学
§4.1 功 一、功 功的计算
力在某一过程中对空间的累积效果，可以用功来表示。
变力做功
10
10
10m
o
A Fdx (10 0.2x)gdx
0
0
10 g (10 0) 0.2g 10 2 0
2
1000 100
900 J
第一篇 力 学
例2．一个质点沿如图所示的路径运行，设所受外力F=(4-2y)方向始终指
向x轴正向，求F沿着两条路径对该质点所作的功，（1）沿OBC；（2）
(2)写出元功的表达式，选定积分变量；
(3)确定积分限进行积分，求出总功。
3 功的几何图示 从几何的角度来看，F(x)曲线下方的面积正好等于所做的功。
第一篇 力 学
二、合力的功
A＝ F合 dS＝ ( Fi ) dS ( Fi dS) Ai
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
A mg h1 h2
A ( GMm ) ( GMm )
r1
r2
A
1 2
k x12
1 2
k x22
重力势能 引力势能 弹性势能
Ep mgh
Ep
G
Mm r
Ep
1 2
k x2
保守力作功等于势能增量
的负值（势能的减少）
A Ep2 Ep1 Ep
第一篇 力 学
2、关于势能的说明 • 只有对保守力，才能引入势能的概念 • 势能是物体状态的函数 • 势能具有相对性，势能的值与势能的零点有关
(dd(rr22
dr1r)1 )
dA
F21
dr21
一对力做的总功就是上式的积分： A
dA
b a F21
dr21
一对力的功等于其中一个力对相对位移的积分，与参照系的选择无关。
第一篇 力 学
§4.2 动能定理
问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速
度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。
解得
v v0 2
再列出AB系统的动能定理:
mA gL
1 2
(mA
mB
)v2
1 2
mAv02
可解出B板长度 L v02
4g
为求滑动距离，单独对B使用动能定理：
mA
gs
1 2
mB v 2
0
解得 s v02
8g
第一篇 力 学
例2：P101 例4.3
第一篇 力 学
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
r
r0
令 r0 处势能为零，则引力势能表示为：
Ep
(r
)
Gm1m2 r
EP (r)
r
O
引力势能曲线：
第一篇 力 学
§4.4 机械能守恒定律 一、质点系的功能原理
把质点系动能定理和保守力做功的特点结合起来，总结做功与能 量的关系：
A外 A内 Ek 2 Ek1
质点系动能定理
A内 A内保守 A内非保守
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
全部相加
n
n
n
n
Ai外 Ai内 Eki Eki0
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
A外 A内 Eki Eki0
i 1
i 1
作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量——质点系的动 能定理（一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能）。
例1、木板B静止置在光滑水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如 图所示。设A与B之间的摩擦系数为u，mA=mB，现在给小木块A一向右 的水平初速度v0，如果A滑到B另一端时A、B恰好具有相同的速度，求 B板的长度L以及B板滑动的距离s。
A
v0
B
v
B
水平方向AB系统动量守恒： mAv0 (mA mB )v
F
m
xgi
元位移
dr
dxi
l
元功表达式
x
dA
F
dr
m
xgdx
l
从开始滑动到链条全部离开桌面，总功
x
A l m xgdx mg (l 2 a2 )
al
2l
根据质点系动能定理 A 1 mv2 0 2
能用牛顿第二 定律算吗？
末速度为 v g (l 2 a2 ) l
第一篇 力 学
• 动能是状态量，功是过程量。
第一篇 力 学
例1、t=0时质点位于原点，且初始速度为零,力随着质点运动的距离线
性减小, x=0时, F=F0 , x=L时, F=0。试求质点在x= L/3 处的速率。
F F0
F 0
x
O L/3
L
解：已知受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；
写出力的表达式：
三、功率
定义 单位时间内完成的功，叫做功率。 P dA
可以用功率来衡量做功的快慢。
dt
P
dA
F
dr
F
v
dt
dt
几个功率的数量级：
睡眠 70－80W
闲谈 70－80W
走路 170－380W 听课 70－140W
跑步 700－1000W 踢足球 630－840W
第一篇 力 学
例1．一人从10m深的井中提水，开始时桶中装有10kg的水，但是由于 水桶漏水，每升高1m要漏出0.2kg的水。忽略水桶的质量，问此人要将 水桶从井底匀速拉升到井口，需要做多少功。
第一篇 力 学
1、重力势能
Ep (r)
r0 r
v F保守
drv
Arr0
（ro 处为势能零点）
Ep (h)
h0 h
mgdh
mgh
mgh0
令 h0 0 处势能为零，则重力势能表示为：
Ep (h) mgh
Ep (h)
重力势能曲线：
O
h
第一篇 力 学
2、弹性势能
Ep (r)
r0 r
v F保守
沿OAC。
解：本先写出力的表达式 F (4 2 y)i
y A 2m C
Fx 4 2 y Fy 0
2m
（1）OB段：y=0,dy=0, BC段：x=2,Fy=0
O
B
x
AOBC
F
dr
F
dr
2
(4
2 0)dx
0
8J
OB
BC
0
（2）OA段：Fy=0, AC段：y=2
AOAC
F
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x
x2 x
dx
F＝
kxi
dA
F
dx
kxi
dxi
kxdx
A
x2 x1
kxdx
1 2
k x12
1 2
k x22
弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所 经过的路径无关。
第一篇 力 学
3、万有引力作功的特点
dA
F
dl
－G
mM r2
er
dr
F
B
v2
dA dEk
我们考虑从起点A到终点B的过程：
B F dr
A
EkB
dEk
EkA
1 2
mvB2
1 2
mvA2
质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。
说明
• 只有合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。
A > 0 Ek 增大 A = 0 Ek 不变 A < 0 Ek 变小 • 质点的动能定理只适用于惯性系。
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr
dxi
dhj
dA mg dr mgdh
A
h2 h1
mgdh
mg
h1
h2
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
例4-3 在图中，一质量为m，长为l的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间
的摩擦系数μ，试求：
1) 绳下垂的长度a 至少要多长才能开始滑动？ 2) 从下垂长度a开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？
第一篇 力 学
解：分析系统所受外力为悬挂的链条部分的重力，且属于
O
变力做功。选择竖直向下为x轴正方向；写出力的表达式：
重力势能：零点可以任意选择，一般选地面； 引力势能：零点选在无穷远点； 弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。
与参考系的选取有关吗？
• 势能属于系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。 重力势能：物体和地球组成的系统 引力势能：两个物体组成的系统 弹性势能：物体和弹簧组成的系统
• 各种势能可以相加，变为总势能。