兰州商学院《统计学》精品课程教案

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③各部分之间比例之和不等于 100％ 3.比较相对指标 比较相对指标是同一时间不同国家、不同地区、不同单位的某项指标对比的结果。 比较相对指标＝某一空间的某项指标数值／另一空间的同项指标数值 比较相对指标一般用倍数表示，有时也可用系数表示。例如：甲乙两公司 2002 年商品销售 额分别为 5.4 亿元和 3.6 亿元，则甲公司商品销售额为乙公司的 1.5 倍（＝5.4／3.6）。计算 比较相对指标可以用总量指标，相对指标或平均指标。 运用比较相对指标对不同国家、不同地区、不同单位的同类指标对比，有助于揭露矛盾、 找出差距、挖掘潜力，促进事物进一步发展。 相对指标的特点： ①对比的分子分母必须是同质现象 ②分子、分母可互换 4.强度相对指标 强度相对指标是两个性质不同而有联系的总量指标对比的结果。 强度相对指标＝某一总量指标数值／另一性质不同而有联系的总量指标数值 强度相对指标是以复名数表示的，有些强度相对指标是采用无名数。强度相对指标的特殊 使用是按平均每个人摊得到的份额表示。由于强度相对指标的分子和分母可以互换，因此可以 形成正指标和逆指标两种计算方法。如：反映卫生事业对居民服务保证程序的指标：每千人口 的医院床位数＝医院床位数（张）／人口数（千人），这是正指标。每千人口的医院床位数=人 口数(千人)/医院床位数(张)，这是逆指标。 强度相对指标应用十分广泛，它可以反映国民经济和社会发展的基本情况；反映生产条件 及公共设施的配备情况；也可以反映经济效益的情况。强度相对指标的特点： ①不同总体对比 ②具有平均含义 ③分子分母可互换 5.动态相对指标 动态相对指标也称作发展速度，它是某一指标不同时间上的数值对比的结果。动态相对指 标一般用百分数表示。 动态相对指标＝报告期指标数值／基期指标数值 动态相对指标对于分析研究社会经济现象的发展变化过程具有重要意义，将在第七章予以 详细讲述。 6.计划完成程度相对指标 计划完成程度相对指标是某一时期实际完成的指标数值与计划指标数量对比的结果。一般 用百分数表示。 计划完成程度相对指标＝实际完成的指标数值／计划指标数值 x100％ ①计划完成相对指标的一般应用 [例 1.1]某企业计划规定产值达 10 万元，实际执行结果产值达 11.5 万元，则计划完成程度 ＝实际完成数／计划规定数 x100％＝11.5／10x100％＝115％ [例 1.2]某企业劳动生产率计划规定完成 103％，实际却提高了 5％。则计划完成程度＝实际 完成数/计划规定数 x100％=(1＋5％)／103％＝ 101.94％ ②还可计算计划时期某一段累计完成数占全计划的百分比，即进行进度分析。 计划完成相对数＝累计至报告期止完成数／全部计划数×100％ [例 1.3]某企业生产情况情况如下
平法：如果计划任务（指标）按期末那一年规定应达到的水平规定， 则采用
b.水平法
计划完成相对指标的特点：
①对比数为同一总体
②分子分母不能互换
③计算结果视指标性质而定：a．若指标表现为越高越好，如：:产值（量）、劳动生产率
值，其值≥1，结果越好。b．若指标表现为越低越好，如：费用、消耗、成本，其值≤1，结
31 =11.9% 260
i 1
（二）调和平均数（Harmonic mean）
在实际工作中，经常会遇到只有各组变量值和各组标志总量而缺少总体单位数的情况，这时
就要用调和平均数法计算平均指标。
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为了方便调和平均数的概念和计算方法的说明，我们先看一个简单的例子。 [例 3.6] 市场上早、中、晚蔬菜的价格分别是早晨： 0.67 公斤/元，中午 0.5 公斤/元， 晚上 0.4 公斤/元。现在，我们分别按四种方法在购买蔬菜，分别计算平均价格（不管按什么方 法购买，平均价格都应该等于花费的现金除所买蔬菜的数量）： 第一种买法：早、中、晚各买一公斤
平均价格 销售额 销售量
根据题中给出的原始数据（三种规格的销售单价和销售量），可以求出销售额（ xf ）数据，
因此计算平均价格在形式上采用的是加权算术平均数公式，即
5
K
x

xi fi
i 1 K
fi

7372 33.51 220
i是销售额，如表 3.1—6 所示，就应改变计算方法。
表 3.6
某商品三种规格的销售数据
根据表 3.6 给出的原始数据（三种规格的销售单价与销售额）计算平均价格时，就无法直接采 用加权算术平均数形式。这时，需要根据销售单价和销售额数据先求出销售量数据，再用总销 售额除以总销售量即得平均价格，即加权调和平均。根据表 4.3.5 的数据，代入（4.3.5）式 得平均价格为：
在这种情况下，计算蔬菜平均价格比上述两种方法稍微复杂一些，我们得先计算出一元钱
所购买蔬菜的数量，然后再计算蔬菜的平均价格。
要计算蔬菜的平均价格，首先应该计算出早、中、晚各花费 1 元钱所购买蔬菜的数量：
其中：早晨购买蔬菜的数量= 1 =1.5（公斤）； 0.67
1
中午购买蔬菜的数量= =2（公斤）；
0.5
1
晚上购买蔬菜的数量= =2.5（公斤）。
0.4
蔬菜平均价格为： X
111 1 1
1

1.5

3 2

2.5

0.5
（元/公斤）
0.67 0.5 0.4
这种计算平均指标的方法同算术平均法有很大的不同，由于资料中缺乏总体单位总量，所 以，就不可能直接用算术平均的方法计算平均指标。为了达到计算目的，首先要用变量值的倒 数计算出总体单位总量来，然后再计算平均指标，调和平均数法因此而得名，也正是由于这个 原因，调和平均数又称为倒数平均数。
的限制，有时不能直接采用算术平均数的计算公式计算平均数，这就需要使用调和平均数的形式
进行计算。为了更好地理解调和平均数的应用场合，我们看下面的例子。
[例 3.6] 某商品有三种不同的规格，销售单价与销售量如表 3.5 所示，求这三种不同规格
商品的平均销售单价。
表 3.5
某商品三种规格的销售数据
从平均价格的实际意义看，其计算方法应该是：
②各部分比重之和＝1 ③分子分母不能互换 2.比例相对指标 比例相对指标是同一总体内不同组成部分的指标数值对比的结果，它可以表明总体内部的 比例关系。 比例相对指标＝总体中某部分指标数值／总体中另一部分指标数值 比例相对指标可以用百分数表示，也可以用一比几或几比几形式表示。如上例中工业产值与 农业产值的比例可表示为 304.43:164.08， 也可以表示为 1.86:1，分析总体中若干部分的比例 关系时可采用连比形式。例如，某地社会劳动者人数为 59432 万人，其中第一产业为 34769 万 人， 第二产业为 12921 万人， 第三产业为 11742 万人，三个产业劳动者人数比例为 100∶37∶34。 利用比例相对指标可以分析国民经济中各种比例关系，调整不合理的比例，促使社会主义市 场经济稳步协调发展。 特点：①分子、分母可互换 ②同一总体内
第四种买法，早晨买 1，中午买 2，晚上买 3 元钱 和第三种买法一样，我们还是得先计算出早晨、中午和晚上所购买蔬菜的数量，然后再计 算平均价格。
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早晨购买蔬菜的数量= =1.5（公斤）；
0.67
4
中午购买蔬菜的数量= =4（公斤）；
0.5
3
晚上购买蔬菜的数量= =7.5（公斤）。
0.4
4
蔬菜平均价格为： X
果越好。
c．基建投资额、工资等，其值＝1，结果越好。
第三章 数据分布特征的描述
[例 3.5] 某公司所属 10 个企业资金利润率分组资料如表 3.4，要求计算该公司 10 个企
业的平均利润率。
表 3.4
某公司所属 10 个企业资金利润率分组资料
该例子的平均对象是各企业的资金利润率，表中的企业数虽然是次数或频数，但却不是合
适的权数。要正确计算公司 10 个企业的平均资金利润率，因为资金利润率=利润总额/资金总额，
所以计算平均资金利润率需要以资金总额为权数，才能符合该指标的性质。因此，该公司 10
个企业的平均利润率为：
K
x
xi fi
i 1 K
fi
5% 40 10% 80 15% 140 40 80 140
H
1
1 1 1
x1 x2
xn

n
k
xj
j 1
n
（3.14）
加权调和平均数
K
H

m1 m2 mk m1 m2 mk

mi
i 1
K mi
x1 x2
xk
x i 1 i
（3.15）
在实际工作中，调和平均数通常是作为算术平均数的变形使用的，也就是由于受所掌握资料
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产值及产品
单位 年计划
名称
一季
实际完成数
第三季度完 累计完成
成年计划 年计划
二季 三季 1-3 季累计
的％
的％
总产值 万元 960 240 288 307
835
31.98 86.98
甲
千克 700 140 150 130
420
18.57 60.00
乙
千克 300
75
85
140
300
46.67 100.00
x 0.67 0.5 0.4
X
则蔬菜平均价格为：
n
3
=0.523（元/公斤）
第二种买法：早晨买 1 公斤，中午买 2 公斤，晚上买 3 公斤
X 则蔬菜平均价格为：
x f 0.67 1 0.5 2 0.4 3
f =
1 23
=0.523（元/公斤）
第三种买法：早、中、晚各买一元
丙
千克 230
60
70
80