利润最大化问题与二次函数
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
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复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
二次函数利润最大化问题
二次函数与实际问题——利润最大化问题一、教学目标：1 探究实际问题与二次函数的关系2 让学生掌握用二次函数最值的性质解决最大值问题的方法3 让学生充分感受实际情景与数学知识合理转化的过程，体会如何遇到问题—提出问题—解决问题的思考脉络。
二、教学重点：探究利用二次函数的最大值性质解决实际问题的方法三、教学难点：如何将实际问题转化为二次函数的数学问题，并利用函数性质进行决策四、教学过程（一）情境导入随着人们生活水平的不断提高，超市、商场到处可见。
节日促销、换季甩卖、亏本清仓等各种促销活动更是接二连三。
这里面的秘密是什么呢？今天我们就来揭开他们神秘的面纱。
请同学们独立思考，解决下面的问题.我校张强同学利用暑假搞社会实践活动，从批发市场以8元买来许多钢笔，10元一支卖出，卖不出的，可原价退回。
经过一段时间的努力，张强同学共卖出80支。
（1）一支钢笔可赚几元？（2）张强同学社会实践活动期间一共赚了多少钱？【设计意图】这问题和学生有关，能引起学生的兴趣。
问题比较简单，目的让学生回忆“单位利润=售价－进价，总利润=单位利润×销量”，以便为后续教学作好铺垫。
（3）在成本不变的基础上，张强同学想获取更多的利润，可以采取什么措施？【设计意图】旨在引出“提高或降低售价”，为例题分析打好基础。
（二）合作探究例题：水果店售某种水果，平均每天售出20千克，每千克售价60元，进价20元。
经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每降价1元，日销售量将增加2千克。
售价是多少元时，水果店可获得最多利润？最多获利多少元？【设计意图】这个问题难度较大，一开始没有将问题分层次，目的是让学生在刚才导入练习较为简单的基础上加大问题的难度，让学生有“山重水复疑无路”的感觉，引发学生的深度思考。
第一阶段：提示学生先从以下两个切入点考虑（1）抓住“最多利润”这里面的“最多”两字。
（2）在“总利润=单位利润×销量”中销量该如表示第二阶段：（3）当售价为59元时，销量是多少？那么58元，55元，50元时呢？（4）当售价为x元时，用x表示单位利润和销量（5）设利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式。
二次函数与最大利润问题 (2)
二次函数与最大利润问题教学内容及其分析：1、内容：二次函数与最大利润问题，利用二次函数的图象和性质确定最大值.2、分析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小（大）值有关.本节课是在学习了二次函数与实际问题的基础上，进一步让学生熟练地掌握用二次函数的性质求最大利润问题的解题方法。
所以本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题.二、教学目标及其分析：1、目标：（1）能根据已知条件找出等量关系列出二次函数关系式，（2）会用二次函数的性质确定最值.2、分析：学生通过具体问题，找出变量之间的等量关系，进一步从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用起来解决实际问题.三、教学问题诊断分析：学生已经学习了二次函数与实际问题，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说难度较大。
基于以上分析，本节课的难点是：根据实际问题列出二次函数的解析式，并根据二次函数的性质确定最大值.四、教学过程设计教学基本流程：课前回顾——揭示复习目标——中考考点链接——典例分析——当堂训练——课后小结教学情境（一）课前回顾：，对称轴为的图象开口向函数342.22-+-=x x y 有最小值时，当有最大值时，当的增大而随时当y x y x x y x ==-≤≤-,,151. 二次函数y= ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质xx y o3.关于销售问题的一些等量关系.单件商品的利润 = _______ － _______ 总利润 = _____________ × _______（二）复习目标1.能根据已知条件找出等量关系列出二次函数关系式，2.会用二次函数的性质确定最值.（三）中考考点连接：二次函数的有关知识是历年中考的必考点，而将实际问题转化为二次函数的模型，并应用其性质解实际问题，更是中考热点，如最大利润问题，最大面积问题，等，解决这类型问题的关键是根据题目已知条件找出等量关系列出二次函数解析式，并由二次函数的性质确定其最大值．（四）典例分析：（2016年云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．方法归纳：1.利用二次函数求最大利润问题的一般步骤是什么？2.利用二次函求最大利润问题应该注意些什么？（五）当堂训练：1.某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件 , 市场调查反映：每涨价1元 , 每星期少卖出10件 ; 已知商品的进价为每件 40 元，当商品的售价为多少元时，能使每周利润最大？2.某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件 , 市场调查反映：每降价1元 , 每星期可多卖20件。
二次函数与最大利润问题 教学案例
二次函数与最大利润问题教学案例＝－0.6(x－180)2＋19440。
因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高，最高收入为 19440 元。
(续表)五：变式拓展（2010•武汉）某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价增加 x 元（x 为 10的正整数倍）。
（1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑自变量 x 的取值范围，直接求顶点坐标。
（1）理解每个房间的房价每增加 x 元，则减少房间x间，则可以得到 y 与x 之间的关系；10(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去 20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；(3)求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解。
解题过程:解:(1)由题意得: y = 50 -x，且(0≤x≤160，且 x10为 10 的正整数倍)(2) w =(180 - 20 +x)(3) w =-1x2 + 34x +8000 =-1 (x -170)2 +1089010 10抛物线的对称轴是: x =-b= 170 ，抛物线的开口向2a下，当 x＜170 时，w 随x 的增大而增大，但0≤x≤160，因而当 x=160 时，即房价是 340 元时，利润最本题是对上一题的变式，其易错点在于没能充分考虑自变量x 的取值范围（x为 10 的正整数倍）。
分析题目中的每个问题，理清思路，整理出解题过程。
二次函数与最大利润问题课件ppt
2．某商场购进一批单价为 30 元的日用商品，如果以单价 40 元销售，那 么半月内可销售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．当销售单价是 45 元时，才 能在半月内获得最大利润．
【解析】 设销售单价为 x 元，销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(x－30)[400－20(x－40)] ＝(x－30)(1 200－20x)＝－20x2＋1 800x－36 000＝－20(x－45)2＋4 500， ∵－20＜0，∴x＝45 时，y 有最大值．
当堂测评
1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放
在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部
分数据如下表：
温度 t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量 l/mm
41
49
49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适 合这种植物生长的温度为 －1 ℃.
归类探究
类型 二次函数与最大利润问题 [2016·成都]某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现
准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树．
【点悟】 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解 此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围．
经济利润问题中的利润最大化问题
2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化问题湖北华图 黄晖在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。
在实际生活中，商品的价格除了受商品的价值量影响外，还收价值规律的影响。
在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价商品的利润会上升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。
在公务员考试中，经常会根据这种反比例关系进行命题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入或者总利润最大，本质上是一个二次函数求最值的问题，方法主要有以下三种：（1）求导法。
对于任意的多次函数121210n n n n n n y a x a x a x a x a ----=+++++，可以用求导法求出最值。
当()()'12312211220n n n n n n y na x n a x n a x a x a x -----=+-+-+++=时，求得的x 值代入原式可得到最大值或者最小值。
（2）配方法。
二次函数()2224024b ac b y ax bx c a x a a a -⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭，当0a >时，2b y a =-时，244ac b a-为最小值；当0a <时，2b y a =-时，244ac b a -为最大值。
（3）不等式法。
当a 、b 均大于0时，有()24a b ab +≤，故a b +为定值时，当a b =时，ab 的乘积取得最大值。
【例1】（2013下半年-四川-55）某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？( )A.24B.23.5C.23D.22.5【答案】D【解析】方法一：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收入为。
因为（x+10）与（20－x ）的和为定值，要使总的销售收入最大，需要，此时，此时销售收入为()()()()0.22100.50.11020y x x x x =+⨯-=⨯+⨯-1020x x +=-5x =万元。
二次函数实际应用之利润最大值、面积最值问题
合用标准文案二次函数的实质应用——最大利润问题、面积最大 ( 小) 值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式 y ax 2bx c ( a0 )化成极点式 ya( x b ) 24ac b 2 ，若是自变量的2a 4a取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕 ．即当 a0 时，函数有最小值，并且当 xb ， y 最小值 4ac b 2 ；2a4a当 a0 时，函数有最大值，并且当x b， y 最大值 4ac b 2 ．2a4a若是自变量的取值范围是x 1xx 2 ，若是极点在自变量的取值范围x 1 x x 2 内，那么当xb， y 最值4ac b 2 ，若是极点不在此范围内，那么需考虑函数在自变量的取值范围内的增减2a4a ax 22性；若是在此范围内 y 随 x 的增大而增大，那么当 x x 2 时， y 最大 bx 2 c ，当 x x 1 时， y最小ax 12bx 1 c ；若是在此范围内y 随 x 的增大而减小，那么当 x x 1 时， y 最大ax 12 bx 1 c ，当 xx 2 时，y最小ax 22bx 2 c ．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他本钱。
总利润 =总售价 -总进价 - 其他本钱 =单位商品利润 ×总销售量－其他本钱单位商品利润 =商品定价－商品进价总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量[ 例 1]：某电子厂商投产一种新式电子厂品， 每件制造本钱为 18 元，试销过程中发现， 每个月销售量 y 〔万件〕与销售单价 x 〔元〕之间的关系能够近似地看作一次函数 y= ﹣ 2x+100 ．〔利润 = 售价﹣制造本钱〕（ 1 〕写出每个月的利润 z 〔万元〕与销售单价 x 〔元〕之间的函数关系式；（ 2 〕当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取 3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取最大利润？最大利润是多少？〔 3 〕依照相关部门规定， 这种电子产品的销售单价不能够高于 32 元，若是厂商要获取每个月不低于 350 万 元的利润，那么制造出这种产品每个月的最低制造本钱需要多少万元？ 解：〔 1 〕 z= 〔 x -18 〕 y= 〔x -18 〕〔 -2x+100 〕 = -2x 2+136x-1800 ，∴ z 与 x 之间的函数解析式为 z= -2x 2 +136x-1800；〔 2 〕由 z=350 ，得 350= -2x 2+136x -1800 ，解这个方程得 x 1=25 ，x 2 =43因此，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z =-2x 2 +136x-1800配方，得 z=-2 〔 x-34 〕 2+512 ，因此，当销售单价为 34 元时，每个月能获取最大利润，最大利润是 512 万元；（3 〕结合〔 2 〕及函数 z=-2x 2+136x ﹣ 1800 的图象〔以以下列图〕可知，当25≤x ≤43时 z ≥350 ，优秀文档又由限价 32 元，得 25 ≤x ≤32，依照一次函数的性质，得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，∴当 x=32时，每个月制造本钱最低最低本钱是 18 ×〔 -2 ×32+100 〕 =648 〔万元〕， 因此，所求每个月最低制造本钱为 648 万元．[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场检查反响：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，商品的进价为每件 40 元，怎样定价才能使利润 最大？解：设涨价〔或降价〕为每件x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润那么： y 1 (60 40 x)(300 10x)10( x 2 10x 600)10( x 5) 26250当 x5 ，即：定价为 65 元时， y max6250 〔元〕y 2 (60 40 x)(30020x)20( x 20)( x15)20( x 2.5) 2 6125当，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 〔元〕综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大．[ 例 2] ： 市 “健益 〞商场购进一批 20 元 /千克的绿色食品，若是以 30?元 /千克销售，那么每天可售出400 千克．由销售经验知，每天销售量y (千克 )?与销售单价 x (元 )( x30 〕存在以以下列图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式；⑵设 “健益 〞商场销售该绿色食品每天获取利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获取最大利润？最大利润是多少？⑶依照市场检查，该绿色食品每天可获利润不高出 4480 元， ?现该商场经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该商场确定绿色食品销售单价 x 的范围 (?直接写出答案 )．解：⑴设 y=kx+b 由图象可知，30k b 400,k 2040k b 200 解之得 :1000 ，b即一次函数表达式为y20x 1000 (30 x50) ．⑵ P(x20) y ( x 20)( 20 x 1000)20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0∵ a 200 ∴ P 有最大值．当 x140035 时， P max4500 〔元〕(2 20)〔或经过配方，P 20( x 35) 24500 ，也可求得最大值〕答：当销售单价为35 元 /千克时，每天可获取最大利润4500 元．⑶∵ 418020( x35) 2 4500 44801 ( x 35) 216∴ 31≤x ?≤34或 36≤x ≤39．练习 2．某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后， 进行这两种产品加工． 生产甲种产品每件还需本钱费 30 元，生产乙种产品每件还需本钱费 20 元．经市场调研发2合用标准文案现：甲种产品的销售单价为x〔元〕，年销售量为 y〔万件〕，当 35≤x＜50 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=20﹣；当 50≤x≤70 时， y 与 x 的函数关系式以以下列图，乙种产品的销售单价，在 25 元〔含〕到 45 元〔含〕之间，且年销售量牢固在10 万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元．〔1〕当 50≤x≤70 时，求出甲种产品的年销售量y〔万元〕与 x 〔元〕之间的函数关系式．〔2〕假设公司第一年的年销售量利润〔年销售利润=年销售收入﹣生产本钱〕为W〔万元〕，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？〔3〕第二年公司可重新对产品进行定价，在〔2〕的条件下，并要求甲种产品的销售单价x 〔元〕在 50≤x≤70 范围内，该公司希望到第二年年终，两年的总盈利〔总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资本钱〕不低于85 万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m〔元〕的范围．解：〔1〕设y与x的函数关系式为 y=kx+b〔k≠0〕，∵函数图象经过点〔 50， 10〕，〔 70， 8〕，∴，解得，因此， y=﹣0.1x+15；〔 2〕∵乙种产品的销售单价在25元〔含〕到 45元〔含〕之间，∴，解之得 45≤x≤65，①45≤x＜ 50时， W=〔x﹣30〕〔 20﹣〕+10〔90﹣x﹣20〕，=﹣0.2x2+16x+100，=﹣〔x2﹣ 80x+1600〕+320+100，=﹣〔x﹣40〕2+420，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=45时， W 有最大值， W最大 =﹣〔45﹣ 40〕2+420=415万元；②50≤x≤65时， W=〔x﹣30〕〔﹣ 0.1x+15〕+10〔 90﹣x﹣20〕，=﹣0.1x2+8x+250，=﹣〔x2﹣80x+1600〕 +160+250，=﹣〔x﹣40〕2+410，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=50时， W 有最大值， W最大 =﹣〔50﹣ 40〕2+410=400万元．综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415万元；（3〕依照题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，令 W=85，那么﹣ 0.1x2+8x﹣35=85，解得 x1=20，x2=60．又由题意知， 50≤x≤65，依照函数性质解析， 50≤x≤60，即 50≤90﹣m≤60，∴ 30≤m≤40．二、面积最大〔最小〕值问题实责问题中图形面积的最值问题解析思路为：优秀文档〔1〕解析图形的成因〔 2〕鉴别图形的形状〔 3〕找出图形面积的计算方法〔4〕把计算中要用到的所有线段用未知数表示〔5〕把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围〔6〕依照函数的性质以及自变量的取值范围求出头积的最值。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
二次函数的实际应用之利润最大(小)值问题
1二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值， 如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量1；商品售价2（商品定价）；商品销售量2;其他成本。
◆单价商品利润=商品定价－商品进价 ◆△（价格变动量）=商品定价－商品售价1（或者直接等于商品调价）； ◆销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格； ◆商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率； ◆ 总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－其他成本其他成本单位价格变动销售量变化商品销售量）商品售价（商品定价）总利润（-⨯∆±⨯-=]1[1W[例]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2 [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．（2011十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？3、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如图) （1）求y 与x 之间的函数关系（2）设公司获得的总利润为 W 元，求 W 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，W 的值最大？最大值是多少？4．(2011湖北)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?。
二次函数与最大利润问题解题技巧
二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。
2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。
3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。
4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。
5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。
举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。
1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。
2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。
因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。
3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。
4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。
P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。
5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。
二次函数,最大利润
最大利润问题总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：1）自变量x是涨价多少，或降价多少2）自变量x是最终的销售价格而这种题型之所以是二次函数，就是因为总利润=单件商品利润*销售数量等式中的单件利润有自变量x，销售数量里也有个自变量x，至于为什么它们各自都有一个x,后面会给出解释，那么两个含有x的式子一相乘，再打开后就是必然是一个二次的多项式例题商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件现设一天的销售利润为y元，降价x元。
（1）求按原价出售一天可得多少利润？解析：总利润=单利润*数量所以按原价出售的话，则y=（2）求销售利润y与降价x的的关系式解析：总利润=数量*单利润因为降价，单利润会有变动，又因为进价不可能变，那降多少元，利润减少多少元，降价x元，利润就减少x元，所以单利润就减少x元，即单利润变为：（100-80-x）又想：因为降价卖的就多，那么数量怎么变？原来一天140件，降1元多卖10件，降x元就应该多卖10x件，所以数量就变为：（140+10x）(3)商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？（4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润解析：因为要是利润最大，所以需要求因变量y的最大值，重点难点：（5）现题目条件不变，若将降价后的销售价格设为自变量x,求因变量y与自变量x的关系式解析：原来的自变量是什么？是降低的价格，而现在是降后的售价自变量一变化，那么关系式就全变了，所以之前的一切关系都要作废但总利润=单利润*数量，这个关系是永远不变的！所以要找到y与x的关系，还是从此处出发这么想：单利润=售价-进价，进价是不变的，而售价现在变为x了，则单利润就是（x-80），而这时数量就变复杂了，这么想：数量变化依然是因为降价而造成的，始终有降价1元多卖10件这一关系，所以如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件，那么降了多少呢？最初的售价是100元，降价后的售价是x元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为(100-x),我们知道降1元多卖10件，现在降了（100-x）,那么就应该多卖10*（100-x）件,注意这只是多买的，总共买的应该是原来卖的加上多卖的，即140+10*（100-x），所以数量就是[140+10*（100-x）]单利润知道了是（x-80），销售数量也知道了是 [140+10*（100-x）]则总利润y=（x-80）* [140+10*（100-x）]（一）涨价或降价为未知数例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。
二次函数与利润最大问题
二次函数与最大利润问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习方法:在教师的引导下自主学习。
学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得。
九年级数学上册教学课件《二次函数与最大利润问题》
现价 涨价
降降价价
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
40
60
300
40
60+n 300-10n
40 660-mm 30000++2200mm
利润=（售价－进价）×销量
解：设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m–40)(300+20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中， 0≤m≤20.
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售
出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每
降价前 降价后
成本/(元/件) 50 50
销售单价/元 销售量/件
销售利润/元
100
50
（100-50） ×50=2500
x
50+5（100-x）
（x-50） [50+5×(100-x)]
解:(1)y=(x-50)[50+5( 100-x)] =- 5x2 + 800x-27500， 所以y=-5x2 +800x-27500( 50≤x≤100).
解：设涨价10x元，利润为y元， 由题意得：y=(50-x)(180+10x-20)
=-10x2+340x+8000 =-10(x-17)2+10890 (0＜x＜50). 当x=17时，y最大，此时180+10x=350 答：房价定为350元时，宾馆利润最大.
二次函数应用之利润最大化题目
利用二次函数解决最大利润问题
1、某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
2、某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50
元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)；
(2)设一周销售利润为S，写出S与x的函数关系式，单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售额达到8000元，销售单价应定为多少？
3、 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数，其图象如图10所示. (1)每天的销售数量m （件）与每件的销售价格x （元）
的函数表达式是 ．
(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y （元）
与每件的销售价格x （元）之间的函数表达式； (3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?
4、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
x ）元。
二次函数销售利润技巧归纳
二次函数销售利润技巧归纳二次函数在销售利润方面有着重要的应用。
销售利润可以用二次函数来建模和分析，这有助于企业制定合理的定价策略和销售目标。
以下是关于二次函数在销售利润方面的一些技巧归纳：1. 利润最大化，二次函数的图像是一个抛物线，利润与销售量之间的关系可以用二次函数来描述。
利润最大化对应于二次函数的顶点，通过求导数或者利用二次函数的顶点公式，可以找到最大利润对应的销售量。
这可以帮助企业找到最佳的定价和销售策略，以实现最大化利润。
2. 成本和收入分析，二次函数可以很好地描述成本和收入之间的关系。
企业可以利用二次函数来分析不同销售量下的成本和收入情况，从而找到最优的利润水平。
这有助于企业制定灵活的定价和生产策略，以适应市场需求和竞争环境。
3. 定价策略，二次函数可以帮助企业制定合理的定价策略。
通过分析二次函数的图像，企业可以了解不同定价水平对利润的影响，从而制定出能够最大化利润的定价策略。
同时，二次函数也可以帮助企业进行定价弹性分析，了解价格变动对销售量和利润的影响，从而制定灵活的定价策略。
4. 销售预测，通过对历史销售数据进行二次函数拟合，可以建立销售量与时间的二次函数模型，从而进行销售预测。
这有助于企业制定合理的生产计划和库存管理策略，以应对市场需求的变化，避免过多或过少的库存，从而最大化利润。
总的来说，二次函数在销售利润方面具有重要的应用，可以帮助企业进行利润最大化、成本和收入分析、定价策略制定以及销售预测。
通过合理运用二次函数，企业可以更好地理解销售利润的变化规律，制定更加科学的经营决策，从而提升企业的竞争力和盈利能力。
(企业利润管理)利润最大化与二次函数
（企业利润管理）利润最大化与二次函数利润最大化和二次函数二次函数于市场经济的今天，用途特别广泛。
利润最大问题，就是壹个典型。
下面就举例说明。
1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间能够住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有壹个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有壹个房间空闲，当下增加x元，折合个10元，所以，有个房间空闲；空房间数+入住房间数=60，这样第壹问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；于解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。
解：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式是：y=60-，（2）宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-），（3）宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式是：W=（200+x）（60-）-20（60-），整理，得：W=-+42x+10800=-（x2-420x）+10800=-（x-210）2+15210，因为，a=-＜0，所以，函数有最大值，且且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，当每个房间的定价为每天410元时，有最大值，最大值是15210元。
2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查和预测，种植树木的利润和投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润和投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润和投资量的单位：万元）（1）分别求出利润和关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年•南宁市）分析：根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，且且知道图像上的壹个点的坐标为P(1，2)，这样就能够求出正比例函数的解析式；仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也于原点，因此，解析式壹定是形如y=ax2的形式。
利润最大化与二次函数
利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。
利润最大问题，就是一个典型。
下面就举例说明。
1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，现在增加x 元，折合10x 个10元，所以，有10x 个房间空闲； 空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了； 在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。
解：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式是：y=60-10x ， （2）宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式是：z=（200+x ）（60-10x ）， （3）宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式是：W=（200+x ）（60-10x ）-20（60-10x ）， 整理，得：W=-2101x +42x+10800 =-101（x 2-420x ）+10800 = -101（x-210）2+15210， 因为，a=-101＜0，所以，函数有最大值， 并且，当x=210时，函数W 有最大值，最大值为15210，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，最大值是15210元。
2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
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课题：26.3实际问题与二次函数(利润问题)
一。
教学目标：
1、知识与技能：
继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关利润等函数最值问题.
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 教学重点和难点：
重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数
学的方法解决问题.
难点：将现实问题数学化.
教学过程：
一.知识回顾
1.函数y=a(x-h)2 +k 中，顶点坐标是 。
2.二次函数y=ax 2+bx+c ，顶点坐标是 。
当a>0时，X= 时，函数有最 值，是 ；
当 a<0时，X= 时，函数有最 值，是
二. 例题讲解
思考：综合以上两问题，在定价为多少时，才能使利润最大？
随堂清
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
(1)假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元,这种篮球每 月的销售量是______ 个(用X 的代数式表示)
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是,说明理由,如果不是,请求出最大利润, 此时篮球的售价应定为多少元?
三、知识整理，形成系统
1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
3、学到了哪些思考问题的方法？
问题1:某商品现在的售价为每件60元,
每星期可卖出300件.经市场调查反映:
如果调整价格,每涨价1元,每星期要少
卖出10件.已知商品的进价为每件40元.
要想每星期获得6090元的利润,
应如何定价?如何定价才能使利润最大?问题2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每降价1元,每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元.如何定价才能使利润最大?要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?。