圆幂定理讲义(带答案)

圆幂定理

STEP 1:进门考

理念:1、检测垂径定理得基本知识点与题型。

2、垂径定理典型例题得回顾检测。

3、分析学生圆部分得薄弱环节。

(1)例题复习。

(2015•夏津县一模)一副量角器与一块含30°锐角得三角板如图所示放置,三角板得直角顶点C落在量角器得直径MN上,顶点A,B恰好都落在量角器得圆弧上,且AB∥MN.若AB=8cm,则量角器得直径MN= cm.

【考点】M3:垂径定理得应用;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.

【分析】作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E,首先求得CD得长,即OE得长,在直角△AOE中,利用勾股定理求得半径OA得长,则MN即可求解.

【解答】解:作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E.

在直角△ABC中,∠A=30°,则BC=AB=4cm, 在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°,

∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,

在△AOE中,AE=AB=4cm,

则OA===2(cm), 则MN=2OA=4(cm).故答案就是:4.

【点评】本题考查了垂径定理得应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间得计算中,常用得方法就是转化为解直角三角形.

2.(2017•阿坝州)如图将半径为2cm得圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB得长为( )

A.2cm

B.cm

C.2cm

D.2cm

【考点】M2:垂径定理;PB:翻折变换(折叠问题).

【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠得性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD得长求出,通过垂径定理可求出AB得长.

【解答】解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,

∵OA=2OD=2cm, ∴AD===(cm),

∵OD⊥AB, ∴AB=2AD=2cm. 故选:D.

【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理得运用,正确应用勾股定理就是解题关键.

(2014•泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P得圆心坐标就是(3,a)(a ＞3),半径为3,函数y=x得图象被⊙P截得得弦AB得长为,则a得值就是( )

A.4

B.

C.

D.

【考点】M2:垂径定理;F8:一次函数图象上点得坐标特征;KQ:勾股定理.

【专题】11 :计算题;16 :压轴题.

【分析】PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根据垂径定理得

AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.

【解答】解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,

∵⊙P得圆心坐标就是(3,a), ∴OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3, ∴D点坐标为(3,3), ∴CD=3,

∴△OCD为等腰直角三角形, ∴△PED也为等腰直角三角形,

∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2, 在Rt△PBE中,PB=3,

∴PE=, ∴PD=PE=, ∴a=3+. 故选:B.

【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了勾股定理与等腰直角三角形得性质.

(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心得圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC得长得最小值为.

【考点】FI:一次函数综合题.

【专题】16 :压轴题.

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,再求出OD得长,再根据以原点O为圆心得圆过点A(13,0),求出OB得长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.

【解答】解:∵直线y=kx﹣3k+4=k(x﹣3)+4, ∴k(x﹣3)=y﹣4,

∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3,y=4,

∴直线必过点D(3,4), ∴最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,

∵点D得坐标就是(3,4), ∴OD=5,

∵以原点O为圆心得圆过点A(13,0), ∴圆得半径为13,

∴OB=13, ∴BD=12, ∴BC得长得最小值为24; 故答案为:24.

【点评】此题考查了一次函数得综合,用到得知识点就是垂径定理、勾股定理、圆得有关性质,关键就是求出BC最短时得位置.

STEP 2:新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理得基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理得相关题型,出题形式与解题思路。

3、能够用自己得话叙述圆幂定理得概念。

4、通过课上例题,结合课下练习。掌握此部分得知识。

一、相交弦定理

➢基本题型:

(2014秋•江阴市期中)如图,⊙O得弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为( )

A.6

B.12

C.8

D.不能确定

【考点】M7:相交弦定理.

【专题】11 :计算题.

【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP,再根据AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD得长,从而得出CD即可.

【解答】解:∵AP•BP=CP•DP,

∴PD=,

∵AP=3,BP=4,CP=2,

∴PD=6,

相交弦定理

(1)相交弦定理:圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积相等.(经过圆内一点引两

条线,各弦被这点所分成得两段得积相等).

几何语言:若弦AB、CD交于点P,则PA•PB=PC•PD(相交弦定理)

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成

得两条线段得比例中项.

几何语言:若AB就是直径,CD垂直AB于点P,则PC2=PA•PB(相交弦定理推论).