圆幂定理讲义(带答案)

圆幂定理STEP 1:进门考理念:1、检测垂径定理得基本知识点与题型。

2、垂径定理典型例题得回顾检测。

3、分析学生圆部分得薄弱环节。

(1)例题复习。

(2015•夏津县一模)一副量角器与一块含30°锐角得三角板如图所示放置,三角板得直角顶点C落在量角器得直径MN上,顶点A,B恰好都落在量角器得圆弧上,且AB∥MN.若AB=8cm,则量角器得直径MN= cm.【考点】M3:垂径定理得应用;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.【分析】作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E,首先求得CD得长,即OE得长,在直角△AOE中,利用勾股定理求得半径OA得长,则MN即可求解.【解答】解:作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E.在直角△ABC中,∠A=30°,则BC=AB=4cm, 在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°,∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,在△AOE中,AE=AB=4cm,则OA===2(cm), 则MN=2OA=4(cm).故答案就是:4.【点评】本题考查了垂径定理得应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间得计算中,常用得方法就是转化为解直角三角形.2.(2017•阿坝州)如图将半径为2cm得圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB得长为( )A.2cmB.cmC.2cmD.2cm【考点】M2:垂径定理;PB:翻折变换(折叠问题).【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠得性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD得长求出,通过垂径定理可求出AB得长.【解答】解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,∵OA=2OD=2cm, ∴AD===(cm),∵OD⊥AB, ∴AB=2AD=2cm. 故选:D.【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理得运用,正确应用勾股定理就是解题关键.(2014•泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P得圆心坐标就是(3,a)(a ＞3),半径为3,函数y=x得图象被⊙P截得得弦AB得长为,则a得值就是( )A.4B.C.D.【考点】M2:垂径定理;F8:一次函数图象上点得坐标特征;KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题;16 :压轴题.【分析】PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.【解答】解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,∵⊙P得圆心坐标就是(3,a), ∴OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3, ∴D点坐标为(3,3), ∴CD=3,∴△OCD为等腰直角三角形, ∴△PED也为等腰直角三角形,∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2, 在Rt△PBE中,PB=3,∴PE=, ∴PD=PE=, ∴a=3+. 故选:B.【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了勾股定理与等腰直角三角形得性质.(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心得圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC得长得最小值为.【考点】FI:一次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,再求出OD得长,再根据以原点O为圆心得圆过点A(13,0),求出OB得长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解:∵直线y=kx﹣3k+4=k(x﹣3)+4, ∴k(x﹣3)=y﹣4,∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3,y=4,∴直线必过点D(3,4), ∴最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,∵点D得坐标就是(3,4), ∴OD=5,∵以原点O为圆心得圆过点A(13,0), ∴圆得半径为13,∴OB=13, ∴BD=12, ∴BC得长得最小值为24; 故答案为:24.【点评】此题考查了一次函数得综合,用到得知识点就是垂径定理、勾股定理、圆得有关性质,关键就是求出BC最短时得位置.STEP 2:新课讲解1、熟练掌握圆幂定理得基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理得相关题型,出题形式与解题思路。

3、能够用自己得话叙述圆幂定理得概念。

4、通过课上例题,结合课下练习。

掌握此部分得知识。

一、相交弦定理➢基本题型:(2014秋•江阴市期中)如图,⊙O得弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为( )A.6B.12C.8D.不能确定【考点】M7:相交弦定理.【专题】11 :计算题.【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP,再根据AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD得长,从而得出CD即可.【解答】解:∵AP•BP=CP•DP,∴PD=,∵AP=3,BP=4,CP=2,∴PD=6,相交弦定理(1)相交弦定理:圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积相等.(经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成得两段得积相等).几何语言:若弦AB、CD交于点P,则PA•PB=PC•PD(相交弦定理)(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成得两条线段得比例中项.几何语言:若AB就是直径,CD垂直AB于点P,则PC2=PA•PB(相交弦定理推论).∴CD=PC+PD=2+6=8.故选C.【点评】本题考查了相交线定理,圆内两条弦相交,被交点分成得两条线段得积相等.(2015•南长区一模)如图,矩形ABCD为⊙O得内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交⊙O于点F,则线段AF得长为( )A. B.5 C.+1 D.【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形得性质与勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF得长.【解答】解:∵四边形ABCD就是矩形,∴∠B=90°,∴AE===,∵BC=3,BE=1,∴CE=2,由相交弦定理得:AE•EF=BE•CE,∴EF==,∴AF=AE+EF=;故选:A.【点评】本题考查了矩形得性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形得性质与相交弦定理,并能进行推理计算就是解决问题得关键.➢综合题型(2004•福州)如图,AB就是⊙O得直径,M就是⊙O上一点,MN⊥AB,垂足为N.P、Q分别就是、上一点(不与端点重合),如果∠MNP=∠MNQ,下面结论:①∠1=∠2;②∠P+∠Q=180°;③∠Q=∠PMN;④PM=QM;⑤MN2=PN•QN.其中正确得就是( )A.①②③B.①③⑤C.④⑤D.①②⑤【考点】M7:相交弦定理;M2:垂径定理;M4:圆心角、弧、弦得关系;M5:圆周角定理;S9:相似三角形得判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析,从而得到答案.【解答】解:延长MN交圆于点W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,QF∵∠PNM=∠QNM,MN⊥AB,∴∠1=∠2(故①正确),∵∠2与∠ANE就是对顶角,∴∠1=∠ANE,∵AB就是直径,∴可得PN=EN,同理NQ=NF,∵点N就是MW得中点,MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN(故⑤正确),∴MN:NQ=PN:MN,∵∠PNM=∠QNM,∴△NPM∽△NMQ,∴∠Q=∠PMN(故③正确).故选B.【点评】本题利用了相交弦定理,相似三角形得判定与性质,垂径定理求解.➢与代数结合得综合题(2016•中山市模拟)如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则得值为( )A. B. C. D.【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】设⊙O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.利用相交弦定理,求出m与r得关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】解:如图,设⊙O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD.即(r﹣m)(r+m)=m•QD,所以QD=.连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,即,解得所以,故选D.【点评】本题考查了相交弦定理,即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”.熟记并灵活应用定理就是解题得关键.➢需要做辅助线得综合题(2008秋•苏州期末)如图,⊙O过M点,⊙M交⊙O于A,延长⊙O得直径AB交⊙M于C,若AB=8,BC=1,则AM= .【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,又由直径对得圆周角就是直角,用勾股定理即可求解AM=6.【解答】解:作过点M、B得直径EF,交圆于点E、F,则EM=MA=MF,由相交弦定理知,AB•BC=EB•BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,∵AB就是圆O得直径,∴∠AMB=90°,由勾股定理得,AM2+MB2=AB2=64,∴AM=6.【点评】本题利用了相交弦定理,直径对得圆周角就是直角,勾股定理求解.二、割线定理➢基本题型(1998•绍兴)如图,过点P作⊙O得两条割线分别交⊙O于点A、B与点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD得长就是( )A.3B.7、5C.5D.5、5【考点】MH:切割线定理.【分析】由已知可得PB得长,再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD得长.【解答】解:∵PA=3,AB=PC=2,∴PB=5,割线定理割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等.几何语言:∵PBA,PDC就是⊙O得割线∴PD•PC=PA•PB(割线定理)由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD.∵PA•PB=PC•PD,∴PD=7、5,故选B.【点评】主要就是考查了割线定理得运用.(2003•天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心、CA为半径得圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD得长.【考点】MH:切割线定理;KQ:勾股定理.【分析】Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得AB得长;延长BC交⊙C于点F,根据割线定理,得BE•BF=BD•BA,由此可求出BD得长,进而可求得AD 得长.【解答】解:法1:在Rt△ABC中,AC=3,BC=4;根据勾股定理,得AB=5.延长BC交⊙C于点F,则有:EC=CF=AC=3(⊙C得半径),BE=BC﹣EC=1,BF=BC+CF=7;由割线定理得,BE•BF=BD•BA,于就是BD=;所以AD=AB﹣BD=;法2:过C作CM⊥AB,交AB于点M,如图所示,由垂径定理可得M为AD得中点,∵S△ABC=AC•BC=AB•CM,且AC=3,BC=4,AB=5,∴CM=,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,解得:AM=,∴AD=2AM=.【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理得理解及运用.➢综合题型(2015•武汉校级模拟)如图,两同心圆间得圆环得面积为16π,过小圆上任意一点P作大圆得弦AB,则PA•PB得值就是( )A.16B.16πC.4D.4π【考点】MH:切割线定理.【分析】过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PA•PB=(OC﹣OP)•(OP+OD)=R2﹣r2,再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16,所以PA•PB=16.【解答】解:过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,∵PA•PB=PC•PD,∴PA•PB=(OC﹣OP)•(OP+OD)=(R﹣r)(R+r)=R2﹣r2,∵两同心圆间得圆环(即图中阴影部分)得面积为16π,∴πR2﹣πr2=16π,∴R2﹣r2=16,∴PA•PB=16.故选A.【点评】本题考查了垂径定理:平分弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题,就是否有思路？三、切割线定理(2013•长清区二模)如图,PA为⊙O得切线,A为切点,⊙O得割线PBC 过点O与⊙O分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求⊙O得半径.【考点】MH:切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】连接OA,设⊙O得半径为rcm,由勾股定理,列式计算即可.【解答】解:连接OA,设⊙O得半径为rcm,(2分)则r2+82=(r+4)2,(4分)解得r=6,∴⊙O得半径为6cm.(2分)【点评】本题考查得就是切割线定理,勾股定理,就是基础知识要熟练掌握.(2013秋•东台市期中)如图,点P就是⊙O直径AB得延长线上一点,PC切⊙O于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于( )切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等.几何语言:∵PBA,PDC就是⊙O得割线∴PD•PC=PA•PB(割线定理)由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD.A.2B.3C.4D.5【考点】MH:切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PB•PA,再由OB=3,PB=2,则PA=8,代入可求出PC.【解答】解:∵PC、PB分别为⊙O得切线与割线,∴PC2=PB•PA,∵OB=3,PB=2,∴PA=8,∴PC2=PB•PA=2×8=16,∴PC=4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理,熟记切割线定理得公式PC2=PB•PA.四、切线长定理切割线定理(1)圆得切线长定义:经过圆外一点作圆得切线,这点与切点之间得线段得长,叫做这点到圆得切线长.(2)切线长定理:从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等,圆心与这一点得连线,平分两条切线得夹角.(3)注意:切线与切线长就是两个不同得概念,切线就是直线,不能度量;切线长就是线段得长,这条线段得两个端点分别就是圆外一点与切点,可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:①垂直关系三处;②全等关系三对;③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.(2015•秦皇岛校级模拟)如图,一圆内切四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形得周长为( )A.32B.34C.36D.38【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理,可以证明圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等,从而可求得四边形得周长.【解答】解:由题意可得圆外切四边形得两组对边与相等,所以四边形得周长=2×(7+10)=34.故选:B.【点评】此题主要考查了切线长定理,熟悉圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等就是解题关键.(2015•岳池县模拟)如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E 交PA,PB于C,D,若⊙O得半径为r,△PCD得周长为3r,连接OA,OP,则得值就是( )A. B. C. D.【考点】MG:切线长定理;MC:切线得性质.【分析】利用切线长定理得出CA=CF,DF=DB,PA=PB,进而得出PA=r,求出即可.【解答】解:∵PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E交PA,PB于C,D,∴CA=CF,DF=DB,PA=PB,∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,∴PA=r,则得值就是:=.故选:D.【点评】此题主要考查了切线长定理,得出PA得长就是解题关键.(2014秋•夏津县校级期末)如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则△PCD得周长与∠COD 分别为( )A.5,(90°+∠P)B.7,90°+C.10,90°﹣∠PD.10,90°+∠P【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB,ED=AD,CE=BC,从而求得三角形得周长=2PA;连接OA、OE、OB根据切线性质,∠P+∠AOB=180°,再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB.【解答】解:∵PA、PB切⊙O于A、B,CD切⊙O于E,∴PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;∴△PCD得周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD得周长=2PA=10,;如图,连接OA、OE、OB.由切线性质得,OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD,DB=DE,AC=CE,∵AO=OE=OB,易证△AOC≌△EOC(SAS),△EOD≌△BOD(SAS),∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,∴∠COD=∠AOB,∴∠AOB=180°﹣∠P,∴∠COD=90°﹣∠P.故选:C.【点评】本题考查了切线得性质,运用切线得性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心与切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题,就是基础题型.五、圆幂定理请尝试解出下列例题:(2005•广州)如图,在直径为6得半圆上有两动点M、N,弦AM、BN 相交于点P,则AP•AM+BP•BN得值为.【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.【专题】16 :压轴题;25 :动点型.【分析】连接AN、BM,根据圆周角定理,由AB就是直径,可证∠AMB=90°,由勾股定理知,BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知,AP•PM=BP•PN,原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN=AP2+BP2+2AP•PM=AP2+MP2+BM2+2AP•PM=AP2 +(AP+PM)2=AP2+AM2=AB2=36.【解答】解:连接AN、BM,∵AB就是直径,∴∠AMB=90°.∴BP 2=MP 2+BM 2∵AP •PM=BP •PN原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP 2+AP •PM+BP 2+BP •PN=AP 2+BP 2+2AP •PM=AP 2+MP 2+BM 2+2AP •PM=BM 2+(AP+PM)2=BM 2+AM 2=AB 2=36.【点评】本题利用了圆周角定理与相交弦定理,勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幂定理。