圆柱和圆锥体积中的典型题__等积变形

六年级下册数学试题--圆柱与圆锥-03-人教新课标

六年级下册数学试题--圆柱与圆锥-03-人教新课标一、填空题（共1题；共2分）1.一块圆柱形橡皮泥的底面积是20cm2，高是15cm。

如果把它捏成底面积相同的圆锥，这个圆锥的高是________cm；如果把它捏成同样高度的圆锥，这个圆锥的底面积是________ cm2。

【答案】45；60【考点】圆柱与圆锥体积的关系【解析】【解答】解：圆锥的高=15÷=45（cm）；圆锥的底面积=20÷=60（cm2）。

故答案为：45；60。

【分析】圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆锥的体积=×圆锥的底面积×圆锥的高；圆柱与圆锥的体积和底面积相同时，圆柱的高=×圆锥的高；圆柱与圆锥的体积和高相同时，圆柱的底面积=×圆锥的底面积，代入数值计算即可。

二、解答题（共8题；共45分）2.在日常生活中，我们要节约用水。

常用的自来水龙头内直径是0.2dm，打开一个水龙头，水的流速是5分米/秒，现有一个底面半径是1dm、高是3dm的圆柱形水桶，水龙头1分钟能将这个水桶放满水吗？【答案】解：1分钟流水的量=3.14×（0.2÷2）2×（5×60）=3.14×0.01×300=9.42（立方分米）；水桶的体积=3.14×12×3=3.14×1×3=9.42（立方分米）；因为9.42=9.42，所以能装满。

答：水龙头1分钟能将这个水桶放满水。

【考点】圆柱的体积（容积）【解析】【分析】圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×（圆柱的直径÷2）2；1分钟流水的量=水龙头的底面积×（水的流速×1分钟化成的秒数）；再根据圆柱的体积计算出水桶的体积，比较即可得出答案。

3.一个圆柱形水槽（如下图），底面积是400 ，内盛有12cm深的水。

圆柱和圆锥等积变形

圆柱和圆锥等积变形
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添加目录项标题圆柱和圆锥等积变形的性质圆柱和圆锥等积变形的实例分析
圆柱和圆锥等积变形的基本概念
圆柱和圆锥等积变形的实现方法
圆柱和圆锥等积变形的未来发展
01
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02
圆柱和圆锥等积变形的基本概念
圆柱和圆锥的体积公式
圆柱的体积公式：V=πr²h 圆锥的体积公式：V=(1/3)πr²h 等积变形：在保持体积不变的情况下，将圆柱或圆锥进行形状变化
基本概念：等积变形是几何学中一个重要的概念，涉及到形状的变化而不改变其体积
等积变形的定义和条件
定义：在几何形状的变换过程中，保持体积不变的变形称为等积变形。
条件：等积变形需要满足一定的条件，即变形前后体积相等。
应用：等积变形在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
举例：圆柱和圆锥等积变形是等积变形的一个实例，通过变换可以得到圆锥的体积等于圆柱的体积。
理论计算方法
圆柱和圆锥的体积公式等积变形的条件：体积不变变形前后体积相等的证明变形过程中的变量关系和调整方法
实验测试方法
准备等积变形所需的圆柱和圆锥模型
测量并记录圆柱和圆锥的初始体积
对圆柱和圆锥进行变形操作，使其变为等积形状
再次测量并记录变形后的体积，验证是否相等
数值模拟方法
定义：通过数学模型和计算机技术模拟物理现象的方法
案例分析结果和结论
圆柱和圆锥等积变形的实例分析表明，等积变形是可能的，但需要满足一定的条件。
实例分析中，我们发现变形后的圆锥体积与原圆柱体积相等，证明了等积变形的可行性。
实例分析还表明，等积变形的过程需要保持连续性和稳定性，以避免产生裂缝或变形。

新人教版六年级下册《第3章_圆柱与圆锥》小学数学-有答案-同步练习卷(1)

新人教版六年级下册《第3章圆柱与圆锥》小学数学-有答案-同步练习卷（1）一、填空1. 如图所示，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等分，拼成一个近似长方体。

这个长方体的底面积是________c㎡，体积是________cm3．2. 数学老师的教具里有一个圆柱和一个圆锥，老师告诉陈明，圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是12厘米。

请你算算，这个圆柱的高是________厘米。

3. 一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是________平方厘米。

如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是________立方厘米。

4. 图的圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥装满水后倒进圆柱里，至少要倒________杯才能把圆柱装满。

5. 小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是________立方厘米，圆锥的体积是________立方厘米。

二、选择下面第（）个图形是圆柱的展开图。

A. B. C. D.把长1.2米的圆柱形钢材按1:2:3截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（）A.560立方厘米B.1600立方厘米C.840立方厘米D.980立方厘米把一个圆锥的底面半径和高都扩大3倍，则它的体积扩大（）A.6倍B.9倍C.18倍D.27倍下列图形中体积相等的是（）（单位：厘米）A.(1)和(2)B.(1)和(3)C.(1)和(4)D.(3)和(4)一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是()cm3．A.80B.70C.60D.50三、解答如图是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆。

（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？（3）大棚内的空间大约有多大？一个圆锥形容器，底面半径是4厘米，高9厘米，将它装满水后，倒入底面积是12.56平方厘米的圆柱形容器中，水的高度是多少？蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居，下图中的蒙古包是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的（单位：米）．这个蒙古包占地多少？内部的空间约是多少？（得数保留整数。

圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学

度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1：在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm）体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³）高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）

圆柱与圆锥的等积变形问题

圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。

5、有一个圆柱形钢材。

它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。

问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。

现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。

问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。

皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。

皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。

）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。

当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。

《第2章_圆柱与圆锥》小学数学-有答案-人教版六年级(下)数学同步练习(31)

《第2章圆柱与圆锥》小学数学-有答案-人教版六年级（下）数学同步练习（31）一、填空．1. 8.5平方米=________平方分米；7.2升=________毫升；3600立方厘米=________立方分米=________升。

2. 底面积是64平方厘米，高为9厘米的圆柱的体积是________立方厘米，和它等底等高的圆锥的体积是________立方厘米。

3. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是80立方厘米，圆柱的体积是________立方厘米。

4. 将62.8毫升水倒入底面半径为2厘米的圆柱形量筒内，水深________厘米。

5. 有一段圆柱形木头，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的()，()是圆锥体积的________倍。

6. 把一根长15米的圆木截成3段小圆木，表面积增加24平方分米，这根圆木原来的体积是________立方分米。

7. 一个圆锥的体积是16立方分米，如果高不变，底面半径缩小2倍，这时圆锥的体积是________立方分米。

8. 用塑料绳扎一个圆柱形的礼盒（如图），打结处刚好是底面圆心，打结用去绳长20厘米。

（1）在它的整个侧面贴上商标及说明，这部分面积是________平方厘米。

（2）做这个礼盒至少要用________平方厘米的铁皮。

（3）这个礼盒的体积是________立方厘米。

（4）扎这个礼盒共用去塑料绳________厘米。

9. 把一张边长为a分米的正方形铁皮，围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是________平方分米。

10. 一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是________．二、判断．两个圆柱的体积相等，它们的表面积也相等。

________．（判断对错）沿着圆锥底面直径和高把圆锥切成两部分，切面是一个三角形。

________．（判断对错）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。

等积变形题目圆锥熔铸成圆柱

等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。

这种变形可以发生在多种几何图形之间，其中最常见的是圆锥熔铸成圆柱，即将一个圆锥体通过熔铸变形成一个圆柱体，而且它们的体积保持不变。

这种等积变形的原理是，圆锥体和圆柱体的体积公式是相同的，即V = π r2 h，其中r 是圆的半径，h是高度。

因此，如果圆柱的高度和圆锥的高度相同，那么两者的体积也必须相同，也就是说，在高度h相同的情况下，圆柱的半径必须与圆锥的半径r相同，这就是等积变形的原理。

圆锥熔铸成圆柱的实际变形过程是，首先将圆锥放入熔炉内，熔炉的温度调到适当的温度，当圆锥融化时，将圆锥熔铸成圆柱。

这种过程需要调整熔炉的温度，以保证圆锥和圆柱的体积相等。

熔铸成圆柱的过程具有许多优势，例如，可以节省材料，可以减少制造时间，可以降低成本等。

由于圆锥和圆柱的体积相等，因此可以在不改变体积的前提下，将原材料熔铸成更加结实坚固的圆柱，从而节省材料，减少制造时间，降低成本。

等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。

本文主要讨论了将圆锥熔铸成圆柱的等积变形，并介绍了它的原理以及实际变形过程，以及其优点。

希望本文能够对读者有所帮助。

圆柱与圆锥难题解析

二、切割问题 1、一根长4米,底面直径4厘米的圆柱形钢
材,把它锯成同样长的3段,表面积比原来增加了
多少平方厘米?
五、图形题 3、如图, 你能否求它的体积?( 单位:厘米)
3.14×(2÷2)2×(4+6) ÷2 = 15.7(cm3)
4
2
6
五、图形题解法二： 4
2
6
3.14×(2÷2)2×4=12.56(cm3) 3.14×(2÷2)2×(6-4)÷2 =3.14(cm3)
12.56+3.14= 15.7(cm3)
五、图形题
2、如下图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下，正好制成一个圆柱形油桶。求这块长方形铁皮的面积是多少？
12.56cm
8÷2=4(cm)
3.14×4=12.56(cm)
8cm
12.56+4=16.56(cm)
16.56cm
16.56×8=132.48(cm 2)
V沙= 14V锥
11
4× ×33.14×12 ×0.6 = 0.157(m3)
六、动态几何
1、一个直角梯形，以它的下底为轴旋转一周，
形成一个图形（如图），你能算出这个图形的体积
吗？（单位：厘米解）法一：13×3.14×62×(4-2)
2
=75.36(cm3)
3.14×62×2
6
4 6 2=226.08(cm3)
五、图形题 1、如图，在一个棱长是20厘米的正方体铸铁
中，以相对的两个面为底，挖出一个最大的圆柱
体。求剩下的铸铁的体积是多少立方厘米？
解法一：20×20×20-3.14×（20÷2）2×20
解法二：
20×20 ÷4×（4-3.14）×20 = 17S正20(cm3S)底

圆柱圆锥练习等积变形

8、一个圆锥形沙堆，占地面积为15平方米，高2米，把这堆沙铺在宽8米的路上，平均厚度5厘米，能铺路多少米？
2厘米=0.02米
a×0.2= 10×π×0.4 a= 62.8
6、一个长方体钢坯，长50厘米，宽20厘米，高10厘米，铸造成一个底面直径是 20厘米的圆柱形钢柱，高多少厘米？（得数保留整数）
7、一个棱长为5分米的正方体油桶装满油，倒入一个底面积是10平方米的圆柱形油桶中，正好倒满，这个油桶高多少分米？
解：设圆锥的高为h。体积不变：圆柱体积圆锥体 h=6
3、一个圆锥形沙堆底面直径8米，高12分米，把这些沙子铺在一条长31.4米，宽8米的道路上，能铺多厚？
解：设能铺h米厚。体积不变：长方体体积=圆锥体积
10×π×8×h= 16×π×0.4 8÷2=4米 12分米=1.2米 10×π×8×h= 16×π×0.4 5×h= 0.4 h= 0.08
等积变形问题
1、一辆货车箱是一个长方体，它的长是4 米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？
沙的体积不变
2、把一个底面积是12.56平方分米，高是 4.5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
4、一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高是3米。将这堆沙装在一个底面积是2.4 的圆柱形沙坑里，能装多高？
解：设能铺h米厚。体积不变：圆柱体积=圆锥体积
5、一个圆锥形沙堆，底面积是31.4平方米，高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上，铺上2厘米厚的路，能铺多少米长？
解：设能铺a米长。体积不变：长方体体积=圆锥体积

典例分析(等积变形问题)

等积变形问题【例1】要锻造一个直径为100毫米，高为80毫米的圆柱形毛坯，应截取直径为160毫米的圆钢多长？分析：需要直径为100mm、高为80mm的圆柱，用直径为160mm的圆钢锻造，在锻造过程中，圆柱的直径、高都变了，没有变化的是圆柱的体积．因此本题的相等关系是锻造前的圆柱体积=锻造后的圆柱体积．[解]根据题意，得802x=502×8080x=2500x=31.25答：应截取的圆钢长为31.25毫米．[说明]1．等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积=变形后的体积．2．有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中，经常给的条件是直径，而公式中用的是半径，不注意这一点就会犯错误．【例2】有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠．问液面将下降多少厘米？(1cm3钢珠重7.8克) [分析]设液面下降xcm，列表：等量关系：液面下降后减少的体积=钢珠的体积[解]设液面下降x厘米，依题意得方程两边同除以π，得70=25xx=2.8答：圆柱形储油器内液面下降2.8cm．[说明]当方程两边的每一项中都含有圆周率π时，一般采用在等号两边同除以π将方程化简的方法，而不用以π的近似数代入计算的苯方法．【例3】一圆柱形水桶，它的高和底面直径都是22厘米，盛满水后把水倒入底面长、宽分别是30厘米和20厘米的长方体容器．问这个长方体容器的高至少要多少厘米？(π取3.14，结果精确到0.1)．[分析]本题是等积问题，其等量关系：圆柱的体积=长方体的体积．这类问题也可用列表来分析前后变化的体积关系．[解]设这个长方体容器的高至少要x厘米．依题意，得答：这个长方体容器的高至少要13.9厘米．【例4】现有一条直径为12cm的圆柱形铅柱，若铸造12只直径为12cm的铅球，问应截取多长的铅柱？(损耗不计)[分析]此类题是等积变形问题．解等积变形的应用题．一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．如果设变形前的圆柱形铅柱长为xcm，则可依据如下的等量关系列出方程：变形前的xcm长的圆柱形的体积=变形后12个直径为12cm的球的体积．[解]设应截取的圆柱形铅柱长为xcm，由题意列方程：答：应截取的铅圆柱长为96cm．[说明]半径为R的球的体积公式是：【例5】要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm，高是2cm 的圆锥体；下部是直径和高度都是6cm的圆柱体．问需要熔解多长截面边长为4cm的正方形钢锭？(精确到1cm)[分析]这个问题涉及到三个几何体，成品中的圆锥体、圆柱体和原料中的长方体．解题的关键是正确表示出三个几何体的体积．等量关系是：组合体的体积=长方体的体积．[解]设需要该种钢锭xcm，那么钢锭的体积为：42·x；由题意可得：∴x≈12(cm)答：需要该种钢锭12cm．[说明]等体积变形问题往往用到一些体积公式，要注意复习这些公式．底圆半径为r，高为h的。

数学北师大版六年级下册圆柱与圆锥的体积延伸---等积变形

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知识应用
一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？想一想:当一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等时，圆锥的高与圆柱的高又是什么关系呢？
4× 3＝12（dm）
答：圆锥的高是12dm 。
A
B
C
D
E
圆锥( )与圆柱( )的体积相等
等积变形
勉县定军山镇中心小学教师张玉华
看看想想:
圆柱和圆锥的底和高有什
么关系?
圆柱和ห้องสมุดไป่ตู้锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的3倍. 圆柱的体积是与它等底 1 等高圆锥体积的 3 .
圆柱体积＝底面积圆锥体积＝
高
圆柱体积＝底面积圆锥体积＝底面积
高高
1 3
圆柱体积＝底面积圆锥体积＝底面积
高高
1 3
努力吧！
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因为体积相等，底面积相等，所以圆锥的高应是圆柱的3倍：因为体积相等，高相等，所以圆锥的底面积应是圆柱的3 倍
实践活动：
一个圆柱形橡皮泥，底面积是12 平方厘米，高是5厘米。（1）如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？
（2）如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？
第①小题：因为体积不变，底面积不变，所以圆锥的高应是圆柱的3倍： 5× 3＝15cm 第②小题：因为体积不变，高不变，所以圆锥的底面积应是圆柱的3 2 倍：12× 3＝36cm

圆锥体积练习(等积变形)(课件)-六年级下册数学苏教版

9厘米
5厘米
等积变形二：锻造
把一个底面半径是3厘米、高32厘米的圆锥形铁块熔铸成一个底面半径是4厘米的圆柱形零件，这个圆柱形零件的高是多少厘米？
等积变形
等积变形二：锻造
将一个体积是20立方厘米的圆柱形钢块锻造成一个底面积是30平方厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少厘米？
等积变形
圆柱、圆锥的体积练习
----- 等积变形
忆一忆：
圆柱和圆锥的体积公式之间有什么联系?
说一说：
• 1、一个圆柱形橡皮泥，底面积是 15平方厘米，高6厘米。
(1)把它捏成一个底面积是15平方厘米的圆锥形，这个圆锥形零件的高是（）厘米。
• 1、一个圆柱形橡皮泥，底面积是 15平方厘米，高6厘米。
等积变形
1.在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径3厘米的圆锥体，圆锥体全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米，并且没有溢出。圆锥的高是多少厘米？
圆锥的体积＝上升圆柱水的体积
回顾反思：
• 通过这节课的学习，你有什么收获？
随堂练
• 1.小芳生病了，在医院要输液250毫升，输液瓶液面高度是10厘米（如图①）。护士给小芳设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度， 20分钟后，空的部分高度是6厘米（如图 ②）。
• （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？（2）这个输液瓶的容积是多少？
10厘米
6厘米
• 2.一个修路队把一堆底面半径3米、高1.5米的圆锥形沙石铺在10米宽的公路上。若铺2厘米厚，则能铺多少米？
3.把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，已知圆柱的底面半径是4分米，高3分米，熔铸成的圆锥的底面半径是 3分米，那么锥的高是多少分米？

圆柱和圆锥体积中的典型题-等积变形

例2
一个圆锥的底面半径为4cm，高为 6cm，将其等积变形为一个长方体，求长方体的体积。
05 等积变形问题的解题技巧
灵活运用公式
1 2
熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式
V=πr²h（圆柱）和V=1/3πr²h（圆锥）。
理解等积变形的含义
等积变形是指形状改变，但体积保持不变。
3
正确运用等积Leabharlann 形定理在等积变形中，高度和半径的比值保持不变。
方程求解等。
等积变形问题的发展趋势
随着数学和物理学理论的不断发展，等积变形问题也在不断演变。未来，这类问题可能会更加复杂和多样化，涉及到更多的几何形状和物理现象。
未来解决等积变形问题的方法可能会更加多样化和创新。例如，可能会引入更高级的数学工具，如微分几何、线性代数等，来更好地描述和解决这类问题。
等积变形问题的发展趋势还表现在实际应用中。随着科技的不断进步，这类问题在工程、机械、建筑等领域的应用越来越广泛。未来，等积变形问题可能会成为解决实际问题的重要工具之一。
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重要性及应用场景
等积变形问题在数学竞赛、高考数学中频繁出现，是考察学生数学综合素质的重要题型之一。
等积变形问题不仅有助于培养学生的空间想象能力和几何变换能力，还可以为解决实际问题提供思路和方法，如建筑设计、机械制造等领域中需要进行形状变换的问题。
02 等积变形的概念
定义与性质
定义
等积变形是指两个或多个几何形状的体积相等，但形状可能不同。
03 圆柱等积变形问题
圆柱等积变形的基本类型
圆柱的底面半径不变，高发生变化的等积变形。
圆柱的底面半径和高同时发生变化的等积变形。

圆柱与圆锥中的等积变形

金桥学案六年级数学第五周圆柱与圆锥中的等积变形
圆柱和圆锥的关系
①一个圆柱的底面半径是3cm,高是12cm ,它的体积是（）cm³
②一个圆锥的底面周长是12.56cm，高是9cm，它的体积是（）cm³
二.解决问题
⒈一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56m，高是1.5m，把这堆沙铺在一个长5m,宽3m沙坑里，这堆沙能铺多少厘米厚？
2.有一段钢可做一个底面直径8cm，高９cm的圆柱形零件，如果把它改制成高是12cm的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
3.一个圆锥形谷堆的底周长是12.56m，高是2.7m，现在把它全部装在一个底面积是６.２８cm²的圆柱形粮囤里，高是多少？
４.一辆货车箱是一个长方体，它的长是４m，宽是１.５m，高是4m，装满一车沙，卸后沙堆成一高是５dm的圆锥形，它的底面积是多少平方米？
5.一个直径是20cm的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放有一个底面直径是6cm，高是10cm的圆锥形铁块。

当把圆锥形铁块取出来后，玻璃杯中的水面会下降多少厘米？
6.有甲、乙两个容器，先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。

7.把一块长15.7cm ，宽是8cm ，高５cm 的长方体铝锭和一块底面直径是６cm ，高２４cm 的圆柱形铝锭熔铸成一个底面半径８cm 的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块是多少厘米？
8.一个半径是3厘米、高是9厘米的圆锥形容器里装满水，把它倒入半径是2厘米、高是15厘米的圆柱形容器里，水深多少厘米？
9.一个圆柱形玻璃缸，底面直径长4分米，里面盛了水，投入一个底面积是1.2平方分米、高6分米的圆锥后（全部浸没在水中）玻璃缸的水面升高多少分米？（得数保留两位小数）。

体积的等积变形小学数学练习题

一、选择题1. 一个圆锥和一个圆柱体积和底面积都相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（）A．3cm B．9cm C．18cm D．27cm2. 把一个长方体铁块熔铸成一个正方体后，体积（）。

A．变小B．变大C．不变3. 如图正方体和圆锥两个容器等底等高，用圆锥形容器装满水，倒进正方体容器中，正方体容器里的液面高度是（）厘米。

A．2 B．3 C．44. 将一个正方体坯铸造成一个长方体铁块（没有损耗），（）不变。

A．面积B．体积C．高度D．长度5. 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻成横截面是0.09平方米的长方体钢材，锻成的钢材长（）（用方程解）。

A．4米B．24米C．2.4米D．20米二、填空题6. 一个长方体的水槽，从里面量长24分米，宽5分米，深8分米。

如果将360升水倒入水槽，水槽中水深________分米。

7. 一块长方体橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。

把它捏成一个底面积是30平方厘米的圆锥，设圆锥的高是x厘米，根据( )不变，可以列出方程( )，解得圆锥的高是( )厘米。

8. 把60升水倒入一个长为5分米，宽为4分米的长方体容器里，水的高度是_____分米。

9. 一个圆锥形沙堆，底面周长是62.8米，高是6米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺10厘米厚的路面，能铺( )米长的路。

10. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积是_________立方分米．三、解答题11. 一个圆柱形水槽，底面半径是8厘米，水槽中完全浸没一个铁块，当铁块取出时，水面下降了6厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？12. 如图，有两个长方体水箱，在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱，水深多少厘米？13. 一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高是6分米，里面盛满水，倒进棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？14. 把一个底面半径为6厘米，高为1分米的圆柱形钢柱，熔铸成一个底面直径为20厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？。

人教版数学6年级下册第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)

人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。

这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。

用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。

则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。

当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。

如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。

圆柱和圆锥体积中的典型题等积变形 ppt课件

北师大版小学数学六年级下册第一单元
圆柱和圆锥中的典型题
讲解：数学老师
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 平方厘米。
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，…”
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm）
答：圆柱形零件的高是13厘米。
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多高？（单位：cm，结果保留整数）
5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）

专题：北师大版六上圆柱与圆锥体积关系分类练习

专题：圆柱与圆锥体积解题技巧类型一：用圆柱和圆锥的关系解决问题例1：一段圆柱形木材的底面周长是12.56 分米，高是4.5 分米。

将它削成最大的圆锥形木材，削去部分的体积是多少立方分米？练习1：一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积一共是72 立方分米，那么圆柱的体积是多少立方分米？类型二：用等积变形法解决与体积有关的问题例2：将一个底面半径为20 厘米，高为27 厘米的圆锥形铝材和一个底面半径为30 厘米，高为20 厘米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径为15 厘米的新圆柱形铝材，求这个新圆柱形铝材的高是多少？练习1：把一个长、宽、高分别是9 厘米、7 厘米、3 厘米的长方体铅块和一个棱长是5 厘米的正方体铅块熔铸成一个圆锥，圆锥的底面直径是20 厘米，它的高是多少厘米？练习2：一个圆柱与一个圆锥的体积相等，圆柱的高与圆锥的高之比是4:9，圆锥的底面积是20 平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？类型三：圆柱与圆锥体积的关系例3：一个圆柱和一个圆锥体积相等，这个圆柱和圆锥的底面直径的比是1:3.圆锥的高是3 厘米，圆柱的高是多少厘米？练习1：一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径之比是2:3，圆柱的高是4厘米，圆锥的高是多少厘米？类型四：求不规则物体的体积例4：在一个底面直径是20 厘米、高15 厘米的圆柱形容器中盛有一部分水，水面高度是10 厘米，将一块石头浸没在水中，容器溢出了8 毫升水。

这块石头的体积是多少立方厘米？（思路提示：因为有水溢出，所以石头的体积=上升部分圆柱形水柱的体积+溢出水的体积）练习1：有一个底面直径为20 厘米的圆柱形玻璃杯，里面装有一些水，已知杯中水面距杯口3 厘米，若将一个圆柱形铅锤浸没水中，水会溢出20 毫升，铅锤的体积是多少立方厘米？练习2：一个底面直径是10 厘米、高为12 厘米的圆锥形铅锤浸没在底面直径是20厘米的圆柱形玻璃容器中，如果把铅锤取出，圆柱形容器的水面会下降多少厘米？。