最新上海数学自招大同中学真题

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上海市大同中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(含解析)

2023学年第二学期5月学情调研高一数学90分钟满分100分班级__________姓名___________学号_________一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）1.设是等差数列，且，，则的通项公式为__________.2.已知数列中，，，则数列的前9项和等于__________.3.数列中，，，为的前项和.若，则__________.4.已知数列是等比数列，且，则的值为_________.5.已知数列的前项和满足，则其通项公式为__________.6.已知向量，，且向量与共线，则实数_______.7.数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______.8.等差数列的前项和为，，，则______.9.在平面直角坐标系中，已知，，C ，D 为y 轴上两个动点，且，则的最小值为________.10.已知是等比数列，，，则____________.11.已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为_____________.12.已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为____________.二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13.已知方程的两虚根为，，若，则实数的值为（）A. B.D.，14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1），（2），（3）{}n a 13a =2536a a +={}n a {}n a 11a =()1122n n a a n -=+≥{}n a {}n a 12a =12n n a a +=n S {}n a n 126n S =n ={}n a 353a a +=2244462a a a a a ++{}n a n n S 21n n S =-()1,2a = ()3,4b = a b + 2ka b -k ={}n a n n S n 12,52,5n n n a n a a n +<⎧=⎨-≥⎩20S ={}n a n n S 33a =410S =11nk kS ==∑()2,0A ()1,0B -2CD =AC BD ⋅{}n a 22a =514a =11i i i a a+∞+==∑{}n a n n S ()*341nn S a n =-∈N m b {}n a (]()*0,m m ∈N {}m b {}*21,A x x n n ==-∈N {}*2,n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 210x px -+=1x 2x 121x x -=p 1212z z z z +≤+1212z z z z ⋅=⋅；相应的在向量运算中，下列式子：（1），（2），（3）；正确的个数是（）A.0B.1C.2D.315.若，则在中，正数的个数是（）A.16B.72C.86D.10016.设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“数列”；②若是首项为正数、公比为的等比数列，则，是为“数列”的充要条件.下列判断正确的是（）A.①和②都为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②都为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.在中，角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，其中，，.（1）求的值；（2）求的值.18.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分.已知复数，（，为虚数单位）.（1）若为实数，求；（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求.19.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费为2万元，以后每一年的燃油费都比前一年增加0.2万元.现购买一辆该型号的汽车，解答以下问题：（1）若每年养护保险费均为1万元.设年后支出的总费用为万元，求的表达式；（2）由于部件老化和事故多发，前6年中，每年养护保险费均为1万元，从第7年起，每年的养护保险费都比前一年增加10%.设使用n 年后的年平均支出费用为，当时，最小.请列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）.20.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅a b a b +≤+ a b a b ⋅=⋅()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅()*2ππsin sin sin 777πn n S n =++⋅⋅⋅+∈N 12100,,,S S S ⋅⋅⋅{}n a n n S *n ∈N 1n n S a +<{}n a K {}n a K {}n a q [)2,q ∈+∞{}n a K A B C △4a =6c =1cos 8C =sin A b 112i z =+22i z b =+b ∈R i 12z z ⋅2z 1z 2z 1Z 2Z O 12OZ OZ ⊥2z n n S n S n c 0n n =n c 6n >n c 0n 0n已知数列满足，（，）.又数列满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列是严格增数列，求的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.已知以为首项的数列满足：.（1）当时，且，写出，；（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时.①给定常数，求的最小值；②对于数列，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列请说明理由.参考答案一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）1.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.2.【答案】27【解析】∵时，，且∴是以为首项，为公差的等差数列∴.3.【答案】6{}n a 11,2a a a a ⎛⎫=∈≠- ⎪⎝⎭R ()11121n n a a n n n -=+++n ∈N 2n ≥{}n b 11n n b a n =++{}n b {}n a a 1a {}n a ()*11n n a a n +=+∈N 113a =-10n a -<<2a 3a {}()*110,na n n ≤≤∈N 1a n S {}n a n 10a =()*4,mm m ≥∈N 1m S-128,,,a a a ⋅⋅⋅8S ()*21126,j j a a j j +-=+≤≤∈N {}n a 63n a n =-13a =33436d d +++=6d =()36163n a n n =+-=-2n ≥112n n a a -=+2112a a =+{}n a 1a 129981919182722S ⨯=⨯+⨯=+=【解析】∵，，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，∴.4.9【详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，所以.5.6.【答案】-2【详解】因为向量，，所以向量与，因为向量与共线所以，解得.故答案为：-2.7.【答案】31【详解】由题意数列的前5项构成首项为1，公比为2的等比数列，若从第5项起的数构成一个新的数列，则它的首项为，公差为-2，所以由题意.故答案为：31.8.【答案】【解析】试题分析：设等差数列的首项为，公差为，由题意有：，解得，数列的前项和，裂项有：，据此：12a =102n a a -={}n a ()21212612n n S -==-264n=6n =2243a a a =2435a a a =2465a a a =()22222444633553522a a a a a a a a a a a ++=++=+353a a +=22444629a a a a a ++=12n n a -=()1,2a =()3,4b = ()4,6a b += ()26,28ka b k k -=-- a b + 2ka b -()()66428k k -=-2k =-54216a a ==()()()20161614124816141615215312S ⨯-=++++++⋅⋅⋅+-⨯=+=⎡⎤⎣⎦21n n +1a d 1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩111a d =⎧⎨=⎩n ()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.9.【答案】-3【解析】【分析】设C ，D 的坐标，利用向量的坐标运算求解.【详解】设，1.若，则，，可得，当时，取到最小值-3；2.若，则，，可得，当时，取到最小值-3；综上所述：取到最小值-3.故答案为：-3.10.设等比数列的公比为，由解得所以，于是.因为，所以数列是以8为首项、以为公比的等比数列.因此.11.319【详解】，，则当时，，于是得，即，而，即，因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，，1111111122121223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()0,C a ()0,2D a +()2,AC a =- ()1,2BD a =+()()22222213AC BD a a a a a ⋅=-++=+-=+- 1a =-AC BD ⋅()0,2D a -()2,AC a =- ()1,2BD a =-()()22222213AC BD a a a a a ⋅=-+-=--=-- 1a =AC BD ⋅AC BD ⋅{}n a q 1412,1,4a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩14,1. 2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩131111422n n n n a a q---⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32111132224n n nn n a a --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11124n n n n a a n a a +-=≥{}1n n a a +14118321314i i i a a +∞+===-∑*n ∈N 341n n S a =-2n ≥11341n n S a --=-1344n n n a a a -=-14n n a a -=1113341a S a ==-11a ={}n a 14n n a -=因为数列在区间内的项的个数，则有，，，，所以数列的前100项的和为1×3+2×12+3×48+4×37=319.12.【答案】27【解析】设，则，由得，，，，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由，，∴，，得满足条件的最小值为27.二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13.A 14.B 15.C16.C 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数，则有，即，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列首项，因为数列:为“数列”，则有，m b {}n a (]()*0,m m ∈N 1231b b b ===45152b b b ==⋅⋅⋅==1617633b b b ==⋅⋅⋅==64651004b b b ==⋅⋅⋅=={}m b 2k n a =()()()12211221221222k kn S -⎡⎤⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()()1122121221212222212k k k k k ---++⨯--=+=+--112n n S a +>()2212221221k k k -++->+()()2112202140k k ---->1522k -≥6k≥5622n a <<()()()252512112212122222nS m m +⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦121n a m +=+m 16m >()251221221m m ++->+224500m m -+>22m ≥527n m =+≥n {}n a d 0d ≤1112S a a d a =≥+=0d >()()21111113222n n n n d S a na d a nd n d a n a +-⎛⎫-=+-+=--- ⎪⎝⎭()211322d f x x d a x a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭132a x d =-1032a x d>-()00f x >0x n ()0f n >1n n S a +>{}n a 10a >{}n a K 1121a S a a q =<=即，，，于是，依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，因此，所以是为“数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选:C三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17.解答：（1）在中，由正弦定理，得（2）在中，由余弦定理，有，代入数值得，解得.18.解（1）.由为实数，得，解得，故.（2）由题意，，，且.于是，解得，故.19.解答：设第年的燃油费为万元，有.（1）.（2）设第年的养护保险费为万元，有当时，使用年后的总养护保险费为.由（1），使用年后的总支出费用为.1q >()111n n a q S q-=-11n n a a q +=()1111121021n n n n na q a q q q q qq +-<⇔-+>⇔-<-*n ∈N 12n q q -<1xy q ⎛⎫= ⎪⎝⎭1x ≥[)1,+∞10,q ⎛⎤ ⎥⎝⎦202q q -≤⇔≥[)2,q ∈+∞{}n a K A B C △sin C =sin sin a C A c ==A B C △2222cos c b a ab C =+-2200b b --=5b=()()()()1212i 2i 224i z z b b b ⋅=+-=++-12z z ⋅40b -=4b =224i z =+()11,2OZ = ()22,OZ b = 120OZ OZ ⋅=220b +=1b =-22i z =-n n a ()20.21n a n =+-()2121202020.20.1 2.9202n n n n S a a a n n n n n -=+++⋅⋅⋅++=++⨯+=++n n b 61,161.1,7.n n n b n -≤≤⎧=⎨≥⎩7n ≥n ()661.11.11611 1.151.11n n ---+=⨯--n 260.1 1.915111.1n nn -+++⨯故，利用计算器可得.20.解答：（1）当时，，即，亦即.又，故，所以数列是等比数列.（2）由（1），，即，.由题意，对任意的正整数成立，对任意的正整数成立.因为数列严格增，且对任意的正整数成立，所以，又，因此的取值范围是.21.解答：（1），因为，所以.同理，可求得.（2）由题意，当时，，此时，当时，，符合题意.于是，当时，，即.对于数列，有，由，可得.因此，的取值范围为.（3）①由，得.，将代入上式，并化简得.由于，当为奇数时，的最小值为，此时.615111.10.1 1.9n n c n n n-⨯=+++012n =2n ≥()1111212211n n n a a a n n n n n --=++=+-++11121n n a a n n -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭12n n b b -=1102b a =+≠0n b ≠{}n b 1122n n b a -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭111212n n a a n -⎛⎫+=+⋅ ⎪+⎝⎭111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭1n n a a +>n ()()1112212n a n n -+>-++n ()()11212n n n -⎧⎫⎪⎪-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭()()110212n n n --<++n 102a +≥12a ≠-a 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭21213a a =+=10n a -<<223a =-313a =-1,2,,9n =⋅⋅⋅111n n n n a a a a +-=+-=-1n a ≤-10n =10999111a a a a =+=--=-1,2,,9n =⋅⋅⋅()11n a a n =--()11n a a n =+-{}n a 129a a a <<⋅⋅⋅<91a ≤-19a ≤-1a (],9-∞-11m m a a -=+()222111121mm m m a a a a ---=+=++()2222222312112121m m m a a a a a a a a a m --++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-10a =()21112m m S a m -=-+20m a ≥m 1m S -12m --0m a =当为偶数时，的最小值为，此时.②满足条件的数列存在，但不唯一.数列可以是0，-1，0，-1，0，-1，0，-1；0，1，-2，1，-2，1，-2，-1.m 1m S -22m --21m a =128,,,a a a ⋅⋅⋅128,,,a a a ⋅⋅⋅。

上海市崇明县大同中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

上海市崇明县大同中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 2．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．33．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．-2B ．2C ．4D ．74．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A ．8Nnπ B ．12nNπ C ．8nNπ D ．12Nnπ6．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（）A ．98B ．78C ．12D ．62567．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p8． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A ．75B ．65C ．55D ．459．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 10．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（） A ．2B ．0C ．1-D ．111．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交12．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（） A ．1B 3C ．±1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海大同中学新初一分班数学试卷含答案

上海大同中学新初一分班数学试卷含答案一、选择题1．在一幅水利规划图上，用7.5厘米长的线段表示15千米的地面距离．这幅平面图所用的比例尺是（）A．1∶20000 B．1∶2000 C．1∶200 D．1∶2000002．如图是一个正方体纸盒的展开图，如果再把它折成一个正方体，5的对面是（）。

A．1 B．2 C．3 D．63．如图是由四个面积都是16cm2的正方形组成的图形，计算阴影部分的面积的正确的算式是( )．A．16×94B．16×2+14C．16×2 D．8×54．三角形的3个顶点A、B、C用数对表示分别是（2，1）、（2，4）、（4，5），那么这个三角形定是（）三角形。

A．锐角B．直角C．钝角D．等腰5．某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是（）A．30x-8=31x+26 B．30x-8=31x-26C．30x+8=31x+26 D．30x+8=31x-266．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，与“2”相对的面是（）。

A．1 B．3 C．67．袋子中装8个白球，3个红球，1个黑球，任意摸一个球，下面说法错误的是（）。

A．摸到白球可能性最大B．不可能摸到黄球C．偶尔摸到红球D．因为黑球只有1个，不可能摸到黑球。

8．一个圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的侧面积就扩大到原来的（）。

A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍9．下面四句话中，表述正确的有（）句。

①一件衣服提价10%后，再降价10%，价格还和原来相等。

②圆的面积和半径成正比例。

③将一个长方形按2∶1的比放大后，面积变成原来的4倍。

④扇形统计图能清楚地看出部分与总数之间的数量关系。

A．1 B．2 C．3 D．4 10．一些小球按下面的方式堆放。

那么第16堆有（）个小球。

A．134 B．135 C．136 D．137二、填空题11．（2分）134时=（______）分 0.7立方分米=（______）立方厘米十12．419的分数单位是（________），再添上（________）个这样的分数单位就是最小的质数。

大同中学自招考题

大同中学自招考题一、背景介绍大同中学是一所位于中国的知名高中学校，以其优秀的教育质量和丰富多样的教育资源而著称。

每年，该校都会进行自主招生，吸引了众多优秀的初中毕业生前来报考。

为了选拔最适合该校的学生，大同中学设置了一套独特而有挑战性的自招考题。

二、考题内容1. 数学题目一：已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(x) 的最小值和对应的 x 值。

题目二：某商品原价为 100 元，现在打八折出售，请计算这个商品现在的售价。

2. 英语题目一：请用英语写一篇不少于100词的短文，介绍你最喜欢的电影，并解释你为什么喜欢它。

题目二：阅读以下短文，并回答问题：Tom is a student from China. He is studying English at a language school in the United States. Every morning, he takes the bus to school and arrives at 8 o' clock. After class, he usually goes to the library to borrow some books. In the evening, he likes to watch American TV shows to improve his listening skills. He also enjoys playing basketball with his classmates on the weekends.问题：1.Tom 是哪国人？2.他每天什么时候到达学校？3.他喜欢用什么方式提高听力技巧？4.他周末喜欢和谁一起打篮球？3. 哲学题目一：请阐述你对“知识是力量”的理解，并举例说明。

题目二：请阐述你对“幸福”的理解，并谈谈你认为如何追求幸福。

三、参考答案1. 数学题目一：函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的最小值为 -1，对应的 x 值为 1。

2024-2025 学年上海市大同中学高二数学上学期 10 月调研试卷及答案解析

2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．4.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.6.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______7.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．8.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =则线段AB 的长为__________.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.10.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，2,120OA AOP ︒=∠=.（1）由点A 拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B ，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B 与AP AP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD .（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．【答案】平行、相交或异面【解析】【分析】根据线面角的定义可分析得出.【详解】若//a b ，显然a 、b 与平面α所成的角相等；若a 、b 为圆锥的两条母线所在的直线，显然a 、b 与平面α所成的角相等，此时a 、b 为相交直线；若a 、b 为异面直线，若满足//,//a b αα，此时a 、b 与平面α所成的角相等，均为0，故a 与b 的位置关系是平行、相交或异面.故答案为：平行、相交或异面.2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．【答案】D C A B⊆⊆⊆【解析】【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.故答案为:D C A B⊆⊆⊆3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．【答案】1【解析】【分析】根据斜二测画法原则可还原ABC V ,利用面积公式计算即可求解.【详解】由直观图可还原ABC V ，如图：其中1,2OB O B OC O C BC B C ⅱⅱⅱ======，又,2OA BC AO A O ⅱ^=，因此12222ABC S BC A O A O ⅱⅱ=×==，所以1A O ⅱ=.故答案为：14.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．【答案】②④【解析】【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.【详解】对①，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故①错误；对②，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面，故②正确；对③，如图，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故③错误；对④，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，GH ∴与MN 异面．故④正确.故答案为：②④.5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.【答案】4【解析】【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.【详解】在空间取一点P ，经过点P 分别作//,//a a b b ''，设直线,a b ''确定平面α，如图，当直线MP 满足它的射影PQ 在,a b ''所成角的平分线上时，MP 与a '所成的角等于MP 与b '所成的角，因为直线a ，b 所成的角为70 ，得,a b ''所成锐角等于70 ，当MP 射影PQ 在,a b ''所成锐角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)35,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，当MP 的射影PQ 在,a b ''所成钝角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)55,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，综上所述，过空间任意一点P 可作与a ，b 所成的角都是70 的直线有4条.故答案为：46.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______【答案】63【解析】【分析】作出辅助线，得到AE 即为点A 到平面BCD 的距离，E 为等边三角形BCD 的中心，结合勾股定理求出答案.【详解】取BC 的中点H ，连接DH ，则DH ⊥BC ，过点A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为E ，AE 即为点A 到平面BCD 的距离，则点E 在DH 上，且E 为等边三角形BCD 的中心，因为正四面体ABCD 的棱长为1，则12BH CH ==，由勾股定理得32DH ==，则2333DE DH ==，因为1AD =，由勾股定理得3AE ==，则点A 到平面BCD 的距离为63.故答案为：637.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．【答案】35【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.【详解】．解法一以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()10CC a a =>，则()()()()()()116,0,0,6,6,0,0,0,0,6,0,0,6,,0,2,,3,4,2,a A B D a C C a E a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()6,4,BE a =-- ，则BE ==，解得2a =，所以()()13,4,1,0,0,2M D ，所以()()16,0,2,3,2,1AD CM =-=- ，设线线角为a则11cos 35⋅==-⋅ AD CM a AD CM，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为35．故答案为：35解法二设()10DD x x =>，因为112,6D E EC AB BC===，所以BE ==2x =．如图，取线段AB 上靠近点A 的三等分点P ，靠近点B 的三等分点F ，连接,,EP MF CF ，易知11//,AD EP AD EP =，又//,2EP MF EP MF =，所以11//,2AD MF AD MF =，故CMF ∠为异面直线1AD 与CM 所成的角或其补角．2222116210,62210,1422MF CF CM BE =⨯+==+===，所以222435cos 235MF CM CF CMF MF CM +-∠==-⨯，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为43535．故答案为：435358.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，2AC =，2BD =，32CD =则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且2AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得14CF =，再在CDF V 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD ，且22AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 22142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，即CF =，又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF V 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.【答案】5【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取AB 中点为O ，连接,PO DO ,由于PAB 是等边三角形，所以PO AB⊥因为平面PAB ⊥平面ABCD ，其交线为AB ,PO ⊂平面PAB ,所以⊥PO 平面ABCD ，PDO ∠是直线PD 与平面ABCD 所成角．不妨设1,2AD AB ==，在等边PAB 中，3PO =，2222211DO AD DO =+=+=，所以225DP DO OP =+=，故315sin 55OP PDO DP ∠===故直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为155．故答案为：15510.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理2sin 30sin CD C D C D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．【答案】15[,]22【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设BQ t =，并求出PQ 的坐标，再结合线面角的向量求法求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)BQ t t =≤≤，由P 的运动速度是Q 的2倍，得12A P t =，即(,2,1),(0,2,0)Q t P t ，则(,22,1)PQ t t =- ，显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，于是||sin |cos ,|||||PQ n PQ n PQ n θ⋅=〈〉==，cos θ==，因此tan θ==显然当45t =时，max (tan )2θ=，当0t =时，min 1(tan )2θ=，所以tan θ的取值范围是1[,22.故答案为：1[,]22【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.【解析】【分析】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，求出MN ，即可得出结论.【详解】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，连接MN ，交11B C 于点P ，交1B C 于点Q ，则MN 即为PEQ 周长的最小值，则3,1MC CN ==，由勾股定理得：MN ==.故答案为.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.【详解】因为m α⊂，若//αβ，则由线面平行的性质可知//m β，故“//αβ”是“//m β”的充分条件，设n αβ= ，,//m m n a Ì，显然n β⊂，从而有//m β成立，但此时,αβ不平行.故选：A.14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可.【详解】对于A ，直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故A 错误；对于B ，若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故B 错误；对于C ，若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直，故C 正确；对于D ，若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时，直线a 与平面α的位置关系无法确定，故D 错误.故选：C.15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF【答案】C【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】C【解析】【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪.【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是：取1111PA PB PC PD ===，则四棱锥1111P A B C D -为正四棱锥，然后令11112,2,3,3PA PA PB PB PC PC PD PD ====，那么//,,AD BC AD BC ≠此时ABCD 是梯形，但不是平行四边形，对于①，如图，四边形ABCD 为平行四边形，1111D C B A 也为平行四边形，若平面ABCD 与平面1111D C B A 不平行，则四边形1111D C B A 中必有一边与底面ABCD 相交，不妨设直线11A D 与底面相交，则直线11B C 也与底面相交，在平面PAD 中过P 做11A D 的平行线，交AD 与T ，则11//PT B C ，因P ∈平面PBC ，11B C ⊂平面PBC ，故PT ⊂平面PBC ，即T ∈平面PBC ，而平面PBC ⋂平面ABCD BC =，故T BC ∈，而T AD ∈，故,BC AD 相交，这与ABCD 为平行四边形矛盾.故平面//ABCD 平面1111A B C D ，故11111A B PA A D AB PA AD==，若四边形1111A B C D 为菱形，则1111A B A D =，则AB AD =，故四边形ABCD 为菱形，故①错误.故选：C.【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾.三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得：11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得：11//B D 平面1BC D ，同理可得1//AD 平面1BC D ，从而根据面面平行的判定定理可得结论；（2）由三垂线定理得1A C BD ⊥，同理11A C BC ⊥，在根据线面垂直的判定定理可得结论.【详解】（1）由正方的性质可知：11BB DD ∥且11BB DD =可得：11BB D D 是平行四边形可得：11//B D BD又11B D ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D可得：11//B D 平面1BC D同理可得：1//AD 平面1BC D故平面11//AB D 平面1BC D（2）1CC ABCD ⊥，且AC 为1AC 在面ABCD 内的射影，且AC BD ⊥由三垂线定理得：1A C BD⊥同理可得：11A C BC ⊥故1A C ⊥平面1BC D18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，OA AOP︒2,120=∠=.（1）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B与AP AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）（2）arccos5【解析】【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点A到达1B的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可.AP BC，（2）由已知，延长PO交圆于C，连接BC，从而得到四边形APBC为平行四边形，根据//将异面直线1A B与AP所成角转化为1A B与BC所成角，然后利用余弦定理可知接求解；【小问1详解】AA剪开，并展开在一个平面上，将圆柱的侧面沿母线1求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，AB=.即1【小问2详解】已知圆柱1OO 的表面积为20π，则圆柱的高为3，延长PO 交圆于C ，连接BC ，因为四边形APBC 的对角线互相平行，所以APBC 为平行四边形，则//AP BC ，异面直线1A B 与AP 所成角即1A B 与BC 所成角.在1A CB 中，113A C =，23CB =，15A B =；222111123cos 2A B CB A C A BC A B CB +-∠=⋅，所以13arccos 5A BC ∠=即异面直线1AB 与AP 所成角为3arccos5.19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD.（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有AC BD ⊥、DE BD ⊥，结合面面垂直的性质可得DE ⊥面ABCD ，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论；（2）O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由线面垂直的性质及射影的性质可得OE DM ⊥，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角A DM B --的大小.【小问1详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，由四边形BDEF 是正方形有DE BD ⊥，又面BDEF ⊥面ABCD ，面BDEF ⋂面ABCD BD =，DE ⊂面BDEF ，∴DE ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，即DE AC ⊥，又BD DE D = ，且,BD DE ⊂面BDEF ，∴AC ⊥面BDEF ，由AC ⊂面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDEF ；【小问2详解】若O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由DM ⊥面ACE ，AE ⊂面ACE ，即DM ⊥AE ，由（1）知：OE 是AE 在面BDEF 上的射影，故OE DM ⊥，连接AG ，∴AGO ∠是二面角A DM B --的平面角，由射影定理知：2OD OG OE =⋅，1OD =，2DE =，则OE =，55OG =.∴tan AO AGO OG∠==arctan AGO ∠=.∴二面角A DM B --的大小为20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积.【答案】（1）1（2）不存在，理由见解析（3）π4，4-【解析】【分析】（1）根据依题意利用线面垂直的判定定理可得，点P 的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，即可求得1PC =；（2）利用空间向量求出当平面PAD ⊥平面PCD 时点P 的位置与点D 重合，显然不合题意，可知不存在满足题意的点P ；（3）利用线面角的定义可得当直线PC 与平面ABCD 所成的角θ取到最大值时，平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，即可求得结果，做出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为五边形，分别算的边长，然后即可求得面积.【小问1详解】连接,AC BD 交于点O ，连接,,OP PA PC ，如下图所示：易知AC BD ⊥，利用正方体性质可得1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ；又P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，O BD ∈，即可得OP ⊂平面11BDD B ；所以AC OP ⊥，又因为AO CO =，所以可得PC PA =，又PA PC ⊥，利用勾股定理可得222PC PA AC +=，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，因此2OP OC ==，因此P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆；可得1PA PC ==.【小问2详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：由（1）可知，假设存在点(),,P a a b ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；易知()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0D A C ；则()()(),,,1,0,0,0,1,0DP a a b DA DC === ，设平面PAD 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则111100DP m ax ay bz DA m x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y b =，则1z a =-，可得()0,,m b a =- ；设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z = ，则22220DP m ax ay bz DC m y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令2x b =，则2z a =-，可得(),0,n b a =- ；由平面PAD ⊥平面PCD 可得2000m n b b a ⋅=⨯+⨯+= ，解得0a =，即可知()0,0,P b ；又P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，可知此时P 点与D 点重合，不合题意；因此可得不存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；【小问3详解】过点P 作平面α与直线PC 垂直，设直线PC 与平面ABCD 所成的角为θ，易知θ和平面α与平面ABCD 所成锐二面角互余，所以当θ取到最大值时平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，由（2）可知sin bPC θ=，又22b ≤，因此当P 点竖坐标取到最大值时，即OP ⊥平面ABCD 时满足题意，此时sin 2θ=，所以π4θ=，因此平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为π4延长AP ，交1CC 的延长线与点E ，交11A C 于点F ，如下图所示：易知OP AOEC AC =，由2OP =可得EC =，所以11EC =-；由PA PC =可知145FEC ∠= ，可得11FC =-，过点F 作11//GH B D 分别交1111,B C C D 于点,G H ，则12GC =-显然由正方体性质可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以GH ⊥平面11ACC A ，又PC ⊂平面11ACC A ，所以GH PC ⊥；由PA PC ⊥，GH AP F ⋂=，,GH AP ⊂平面AGH ，所以PC ⊥平面AGH ，即平面α即为平面AGH ，设平面α截正方体交1BB 于点J ，1DD 于点K ，连接,AJ AK ；所以平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形即为五边形AJGHK ；设()1,1,J z ，易知()()110,1,0,,,,2222C P G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)11,,,1,0,1222PC GJ z ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭；由PC GJ ⊥可得)()1101022z -+--=，解得2z =；即1,1,2J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2GJ =- ，而20,1,2AJ ⎛= ⎝⎭ ，所以62AJ = ；由对称性可知2AJ AK ==，2GJ HK ==，)21GH =-；分别做,,MH KJ GR KJ AM KJ ⊥⊥⊥，则122KM KJ ==，则1AM ==，所以1122AKJ S == ，且())112221222KN KJ HG -⎤=-==⎦，则1HN ==，则梯形HGJK的面积为()12142HGJK S =+=-所以截面的面积为442AKJ HGJK S S +=+--。

2023年大同中学自主招生数学试题

大同中学自主招生数学试题
一、填空题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c符合f(x)·f(-x)= f (x2), 则这样旳二次函数有________个. 2．一辆火车通过一种信号灯花了分钟, 通过600m隧道用了分钟, 则火车速度为_____km/h．
3. 使完全平方数n2+11成立旳正整数n为___________.
4. 838, 212称这两个数字为回文数, 并且838-212=626也是回文数, 便称(838, 212)为回文数对, 那么有________个(a>b)旳(a, b)旳回文数对？
5. 有九个格子, 三种颜色, 每一列每一行三种颜色不反复, 那么有________种状况？
6. 当有一列数相加, 每两个数字之间差不不小于1, 且第一种与最终一种数为1时, 则称这个相加之后旳数为“好数”, 例如：1+2+3+3+4+5+4+3+3+2+2+1=33, 则称这些数是33旳“好数”, 已知是好数, 那么它旳好数至少有_________项？
7．已知两个函数与旳图像相交于点P, 且OP= , 则k=________．
二、解答题
1. a+b+c=4, a2+b2+c2=10, a3+b3+c3=22, 求a4+b4+c4.
3. 已知二次函数f(x)旳二次项系数为a, 且不等式f(x)>-2x旳解集为(1, 3),
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等旳根, 求f(x)旳解析式；
(2)若f(x)旳最大值为正数, 求a旳取值范围．。

上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知e 3m =，ln 2n =，则23e m n += 2．不等式512x ≥+的解集用区间表示是．33的解集是．4．已知6log 27a =，用a 的代数式表示3log 2=．5．若αβ､是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=.6．设{}A x x k ==∈N ，{}6,B x x x =≤∈Q ，则A B = .7．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是．8．函数()2log 17x a y ax -=+-+（0a >且1a ≠）的图象过定点．9．已知幂函数()2144my m m x -=--的图像与坐标轴没有交点，则1log 32m -=．10．若不等式组()222011x ax ax x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的解集是R ，则a 的取值范围是11．设为A 、B 为两个非空有限集合，定义(),A B J A B A B=，其中S 表示集合S 的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为1S 、2S 、3S 、4S ，已知1{S =物理，化学，生物}、2{S =物理，化学，地理}、3{S =政治，历史，地理}．若()()()142434,,,J S S J S S J S S <=，写出一个符合条件的4S = ．12．已知非零实数x 、y 满足223x xy y ++=，则22x xy y -+的取值范围是．二、单选题13．设集合A ={1，2}，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．814．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为A ．b<c<aB ．b a c<<C ．a b c <<D ．c<a<b15．设R a ∈，“1a >”是“531a -<”的一个（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要16．已知a 、b 、R t ∈，若对于任意实数x ，不等式()()()212240x t a x t b x t a-+------≥恒成立，则21x a x b a -+++-的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)4,+∞三、解答题17．已知命题:p 函数()22log 4421y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦的定义域为R ，命题:q 对任意实数(),2xx y m b =-是增函数；(1)若p 是q 的充分不必要条件，求b 的取值范围；(2)当3b =时，若p ，q 两命题一真一假，求m 的取值范围.18．某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长cm a 、宽cm b 的矩形，面积为260cm ．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为2cm ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为1cm ．三个栏目的文字宣传区域面积和为S ，(1)用a 、b 表示文字宣传区域面积和S ；(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S 最大？最大面积是多少？19．已知函数12ax y x -=+的图像是由两支组成的双曲线，(1)当1a =，作出函数图像；(2)是否存在实数a ，使该函数在区间()1,∞-+上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若直线y x a =+与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．20．若集合12n A B B B = ，其中1B 、2B 、…、n B 均为非空集合，()1i j B B i j n ⋂=∅≤<≤，则称集合{}12,,,n B B B 为集合A 的一个n 划分，(1)写出集合{}1,2,3A =的所有不同的2划分；(2)设{}12,B B 为有理数Q 的一个2划分，且满足对任意1x B ∈、2y B ∈都有x y <，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；①1B 中的元素不存在最大值，并且2B 中的元素不存在最小值；②1B 中的元素存在最大值，并且2B 中的元素存在最小值；(3)设集合{}1,2,3,,16A = ，对集合A 的任意一个3划分{}123,,B B B ，证明：存在{}1,2,3i ∈，存在a 、i b B ∈，使得i b a B -∈．。

上海市大同中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

上海市大同中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,π]所有零点之和为．2．在复平面上，已知复数1z 和2z 的对应点关于直线y x =对称，且满足124z z i =，则1z =．3．已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为4，方差为2，则数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均数与方差的差为．4．在2024(1)x -的展开式中系数最大的项是第项．5．已知向量(2,2,1)a =- 与(1,1,0)b =- ，则a 在b方向上的数量投影为．6．差15log 3a =，152b =，则5log 36=（用 a ，b 表示）．7．将序号分别1，2，3，4，5的5张参观券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则甲恰好分得2张参观券连号的概率为．8．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且113AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则双曲线的离心率为.9．已知6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++ ，则123628a a ++++=．10．已知函数45()1x f x x -+=+，π()sin 22(0)3g x a x a a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是.11．设P 为正四面体A BCD -棱上的点，由点P 到四个面中心的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有个．12．给定正整数2n ≥及正数k ，对于满足不等式221na a k +≤的所有等差数列1a ，2a ，3a …，则21nii n a=-∑的最大值为．二、单选题13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1Γ、2Γ的中心在原点，焦点都在x 轴上，且1Γ与2Γ不重合．记1Γ、2Γ的离心率分别为1e 、2e ，则“12e e =”是“1Γ与2Γ没有公共点”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．将函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移θ个单位长度得到数()g x 的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为2π3，则ϕ=（）．A ．π6B ．π5C ．π4D ．π315．给定实数i x 和(1,2,3)i a i n = ，若函数1()ni i i f x a x x ==-∑，当（）时，()f x 有最大值无最小值．A ．10ni i a =>∑B ．1ni i a =≥∑C ．1ni i a ==∑D ．1ni i a =<∑16．已知函数()f x =()f x 的图像是轴对称图形；②方程5(())9f f x =有实数解．以下判断正确的是（）A ．①正确②不正确B ．①不正确②正确C ．①②都正确D ．①②都不正确三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =且B 为钝角，(1)求B A -；(2)求sin cos sin A B C -+的取值范围是．18．如图，直三棱柱111ABCA B C 中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是BC ，1AB的中点．(1)若1C D ⊥平面ADE ，求1BB 长度；(2)证明：//DE 平面11ACC A ；19．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度iP 0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．20．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b+=≥与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤合成的曲线称作“果圆”，其中222a b c =+，0a >，0b c >>．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段12A A 的中点．(1)设P 是“果圆”的半椭圆22221(0)y x x b c+=≤上任意一点，且4b =，3c =．求证：当PM 取得最小值时，P 在点1A 处；(2)若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标；(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．21．记()y f x '=，()y g x '=分别为函数()y f x =，()y g x =的导函数.若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()y f x =与()y g x =的一个“S 点”；若仅满足()()00f x g x =则称0x 为函数()y f x =与()y g x =的一个“T 点”.(1)证明：函数y x =与222y x x =+-不存在“S 点”，但存在“T 点”；(2)若函数21y ax =-与ln y x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知()log a f x x =，()xg x a =其中实数0a >且1a ≠．若使函数()y f x =与()y g x =区间()0,∞+内存在三个“T 点”，求实数a 的取值范围．。

上海市大同中学2024届高三上学期开学考数学试题(含解析)

上海市大同中学2024届高三上学期开学考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
10．某同学画“切面圆柱体分叫做切面圆柱体）的椭圆的离心率为
11．已知当1,2x ⎛∈- ⎝都有()
()
3112x
x x =-+
二、单选题
A ．①②③
B ．②①③
C ．①③②14．已知集合{}
2
1A x x =≤，集合{}1B x x x A =∈+∈Z 且，则A ．{}
1,0,1-B ．{2,1,0}--C ．{2,1,0,1--三、解答题
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，
(1)证明：//EF 平面11BCC B (2)求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．
18．已知奇函数()22x x a f x ⋅=+(1)求实数,a b 的值；
[]()
参考答案：
则2AM r =,2AB a =,由题意得
1
2
c a =，即a 所以(22244a c a ==-所以cos AM BAM AB ∠=
即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为
由图可知，若()
f x有且仅有一个极值点，则
所以a的取值范围为
2
e
0,
4
⎛⎤ ⎥⎝⎦
．
故答案为:
2
e 0,
4⎛⎤ ⎥⎝⎦
和2C 的交点M ，且12301e x x x <<<<<，进而证明12
1332e ln x x x x x ==即可.。