第46讲 圆的方程(讲)(解析版)

第46讲圆的方程（讲）

思维导图

知识梳理

1．圆的定义与方程

2．点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．

题型归纳

题型1 求圆的方程

【例1-1】（2020•和平区校级二模）已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．

【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（2t+3，t），由圆经过点A、B，可得（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t的值，即可得圆心C的坐标，又由r2＝|CA|2，即可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案．

【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），

圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则有（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），

圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，

故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；

故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．

【例1-2】（2020•东城区模拟）已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C 的方程为（）

A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2

C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4

【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．

【解答】解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），

∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，

∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，

即：⇒a＝1，

∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，

圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．

故选：A．

【例1-3】（2019•武侯区校级模拟）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x﹣y+1＝0

所得的弦长为2，则圆C的标准方程是．

【分析】设圆心为（a，0），a＞0，则由题意可得圆C的标准方程是（x﹣a）2+y2＝a2，再根据半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，求出a的值，可得圆C的标准方程．

【解答】解：圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，设圆心为（a，0），a＞0，

则圆C的标准方程是（x﹣a）2+y2＝a2，

∵它截直线x﹣y+1＝0所得的弦长为2，故有a2＝12+，求得a＝3，

则圆C的标准方程是（x﹣3）2+y2＝9，

故答案为：（x﹣3）2+y2＝9．

【跟踪训练1-1】（2020•辽宁三模）在直线l：y＝x﹣1上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为（4，3），线段AB的长度|AB|＝8，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（）

A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121

B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144

C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144

D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121

【分析】根据题意，分析可得要求圆的圆心在AB的垂直平分线上，由AB的中点坐标以及直线AB的方程可得AB的垂直平分线方程，据此可以设要求圆的圆心为（m，7﹣m），其半径r＝|m|，求出圆心到直线l的距离，结合直线与圆的位置关系可得（）2+d2＝r2，即16+＝m2，解可得m的值，将m的值代入圆的方程，即可得答案．

【解答】解：根据题意，要求圆经过过A、B两点，则要求圆的圆心在AB的垂直平分线上，

又由A、B在直线y＝x﹣1上且A、B的中点坐标为（4，3），则AB的垂直平分线方程为y﹣3＝﹣（x﹣4），

即x+y＝7，

设要求圆的圆心为（m，7﹣m），要求圆与y轴相切，则其半径r＝|m|，

圆心到直线l：y＝x﹣1的距离d＝，

又由线段AB的长度|AB|＝8，则有（）2+d2＝r2，即16+＝m2，

解可得：m＝4或12，

则要求圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144；

故选：C．

【跟踪训练1-2】（2020•怀柔区一模）已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1

C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1

【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心关于原点的对称点，则答案可求．

【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1．

点（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），

则所求圆的方程为（x+1）2+y2＝1．

故选：D．

【跟踪训练1-3】（2020春•金湖县校级期中）已知圆心为点C（1，﹣1），并且在直线4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦长为2的圆的方程为（）

A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4

C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4

【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求半径，则圆的方程可求．【解答】解：圆心C到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝，

又圆截直线4x﹣3y﹣2＝0所得的弦长为2，

∴圆的半径r＝．

则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．

故选：D．

【名师指导】

1．求圆的方程常见的三种类型

(1)已知不共线的三点．

(2)已知两点及圆心所在的直线．

(3)已知直线与圆的位置关系．

2．求圆的方程的两种方法