2020年衡阳市高三三模理科数学试题及答案

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湖南省衡阳市2020届高三毕班第三次联考(三模)答案

12.D
【解析】要使
f
(x)
有最小值，只须当
x
>
1 2
时，
fmin(x)
≤
0
即可
.
当
x
>
1 2
时，
f
'(x)
=
2x
-
a
-
x1 ，因为
2x
-
1 x
∈
(-1,
+
∞)
若 a ≤ - 1 时， f'(x) > 0， f(x) 在 (21 , + ∞) 上 ↗，此时 f(x) 无最小值；
若 a > - 1 时， f'(x) = 2x2-xax -1 ，记 2x2 - ax - 1 = 0 两根分别为 x1， x2，则 x1 < 0 < x2， 2x22 - ax2 - 1 = 0
=
10
(6k - 2) =
10×(4+58) 2
= 310.
k=1
三、解答题
17. 【解析】（1）因为半圆弧 AB 所在平面与平面 ABCD 垂直，平面 MAB ∩ 平面 ABCD = AB，
由 DA ⊥ AB，所以 DA ⊥ 平面 MAB，又 MB ⊂ 平面 MAB，则有 DA ⊥ MB
又 AB 为半圆弧所对的直径，所以 MB ⊥ MA，而 MA ∩ DA = A，所以 MB ⊥ 平面 MAD. 5 分
OHC
=
OH HC
=
2
2
3
=
31 ，
2
故二面角 D - MA - C 的正弦值为 31 . 12 分
=
3 2
=
c，所以

湖南省衡阳市2020年高考数学三模试卷(理科)D卷

湖南省衡阳市2020年高考数学三模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设,,则等于（）A .B .C .D . 或2. （2分） (2017高二下·合肥期中) 在复平面内，复数z=﹣1+i对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知向量，，其中| = ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则向量与的夹角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·会泽期中) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（）A . y＝xB . y＝lg xC . y＝2xD . y＝5. （2分） (2018高二上·成都月考) 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .6. （2分） 1800的正约数有（）个.A . 18B . 36C . 9D . 277. （2分）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得函数的表达式是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018·临川模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A . ﹣3B .C . ﹣D . 210. （2分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 10B . 12C . 13D . 1411. （2分） (2020高二上·来宾期末) 已知双曲线 ( ， )上的一点，直线与双曲线交于，两点( ，都不与重合)，设，的斜率分别为，取最小值时，双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·保山期末) 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高二下·广东月考) 设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为________．14. （1分）(2017·石家庄模拟) 的展开式中x4的系数是________．（用数字作答）15. （2分） (2020高一下·温州期中) 在中，已知，，，则________， ________．16. （1分）(2017·来宾模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1•a2•a3=27，则a5=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2020·天津) 在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18. （5分） (2017高二上·晋中期末) 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．19. （15分） (2020高一下·开封期末) 经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y（万元）、年份及其编号t，有如下统计资料：年份201420152016201720182019t123456y9.512.214.617.419.6m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y与年份编号t呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2） y关于t的回归方程为，求，并预测2020年所需要支出的经营费用；（3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润销售利润经营费用）．20. （10分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左右顶点分别为A1 ， A2 ，上顶点为B，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B对称，①求圆C的标准方程；②设点P是圆C上的动点，求△PA1B的面积的最大值．21. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．22. （5分） (2018高二下·泸县期末) 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线： .(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.23. （10分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜3；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：。

2020-2021学年湖南省衡阳市衡山县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2020-2021学年湖南省衡阳市衡山县第三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知则（）A． B．C． D．参考答案：A试题分析：，故选A.考点：二倍角公式；诱导公式.2. 函数的零点个数为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B3. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为A. B. C. D.参考答案：B4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D5. 已知函数>0，则的值A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正负都有可能参考答案：B略6. 等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为（）A、B、C、5 D、参考答案：D在等腰三角形中，，所以，所以设边上的中线为，所以..,又，即，所以，所以，所以，选D.7.若的展开式中只有第4项的系数最大, 那么这个展开式中的常数项是( )(A) 15 (B)35 (C) 30 (D) 20参考答案：答案：D8. 已知集合，则()A．(－1,0) B．(－∞,0)C．(0,1) D．(1,+∞)参考答案：A9.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作它的弦.若，则的长为（）A. B. C. D.参考答案：答案：A10. 已知函数，则，，的大小关系为( )A． B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P在直线上，点Q在直线上，PQ的中点为，且，则的取值范围是．参考答案：12. 函数I在R上可导，时.，且函数为偶函数,则不等式的解集为_______参考答案：略13. 已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．参考答案：【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】设S n=，（n≥2），由已知，只需小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn 随n 的增大而增大，当n=2时Sn 取得最小值，再解对数不等式即可．【解答】设S n =，（n≥2）则S n+1=Sn+1﹣Sn==＞0，∴Sn 随n 的增大而增大．当n=2时，Sn 取得最小值，S2=∴恒成立．移向化简整理得log a （a ﹣1）＜﹣1．①根据对数的真数为正得：a ﹣1＞0，a ＞1，①再根据对数函数单调性得a ﹣1＜，a 2﹣a ﹣1＜0，②①②联立解得故答案为：14. 不等式的解集为_________________。

2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷(理科)(三模)(有解析)

2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷(理科)(三模)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1<x <3}，B ={x|32x <27}，则A ∩B =( )A. {x|x <32}B. {x|1<x <32}C. {x|32<x <3}D. {x|x <3}2. 已知复数z 在复平面对应点为(−1,1)，则|z |=( )A. 1B. −1C. √2D. 03. sin80°sin40°−cos80°cos40°的值为( )A. −√32B. −12C. 12D. √324. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1⋅a 3=25，则a 2等于( )A. 5B. 25C. −25D. −5或55. 在平行四边形ABCD 中，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= A. −5B. −6C. 5D. 66. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a7. 从1，2，3，…，30中任取一个数，它是偶数或能被3整除的数的概率( )A. 16B. 13C. 12D. 238. 函数y =2xlnx 的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知a ，b ∈R +，2a +b =1，则2b a +1b 的最小值是( )A. 3√2B. 5C. 9D. 1010.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，若射线y=2(x−1)(x≤1)与C，l分别交于P、Q两点，则|PQ||PF|=()A. √2B. 2C. √5D. 511.如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 27πB. 48πC. 64πD. 81π12.设f(x)={−x+a,x≤0x+1x,x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若(x+ax2)5的展开式中x−4的系数是−80，则a=______．14.已知实数满足，则的最大值与最小值的和为__________．15.已知点E是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点，点F是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是______ ，渐近线的方程为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则a5=(1);前8项的和S8=(2).(用数字作答)四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．(1)证明：BC⊥平面PDB；(2)若AB=√2,PB与平面APD所成角为45°，求二面角A−PC−B的大小．18.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b(sinC+cosC)．(Ⅰ)求∠ABC；(Ⅱ)若∠A=π，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC2面积的最大值．19.对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为ŷ(1)=0.24x−8.81，ŷ(2)=1.70e0.022x，作残差分析，如表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)6810141518 ê(1)0.410.01 1.21−0.190.41ê(2)−0.360.070.12 1.69−0.34−1.12(Ⅰ)求表中空格内的值；(Ⅱ)根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x n ,y n )，其回归直线y =bx +a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(ni=1x i −x)2，a ̂=y .−b ̂x .．20. 已知椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0 )的离心率为√22，圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=203，若椭圆E 与圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 恰好为圆C 的直径．(1)求直线AB 的方程； (2)求椭圆E 的标准方程．21. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx ．(1)当a >1时，求f(x)的单调区间；(2)当a <1且a ≠0时，若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点． (1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x +1|．(1)求f(x)≤10的解集；(2)若x ∈(0,+∞)，x 2+f(x)≥ax 成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查指数不等式求解，集合的交集运算，属于基础题．}，再根据集合的交集运算即可得解．先化简集合B={x|32x<27}={x|x<32}，解：由题意可得B={x|32x<27}={x|x<32}．所以A∩B={x|1<x<32故选B．2.答案：C解析：本题考查复数的几何意义，复数求模，考查计算能力．直接利用复数的几何意义以及复数的模求解即可．解：根据题意可得z=−1+i，则|z|=√2．故选：C．3.答案：C，解析：解：sin80°sin40°−cos80°cos40°=−(cos80°cos40°−sin80°sin40°)=−cos120°=12故选：C．根据两角和的余弦公式即可求出．本题考查了两角和的余弦公式，属于基础题．4.答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q>0，∵a1⋅a3=25，∴a1⋅a1q2=25，∴a1q=5=a2．故选：A ．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：解：根据平行四边形ABCD ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −6DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ+μ=1−6=−5．故选：A ．直接利用平面向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：平面向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得： b =log 132<log 131=0，c =log 1215>log 1214=2=a ，则c >a >b ．故选C ．7.答案：D解析：解：从1，2，3，…，30中任取一个数，基本事件总数n =30，它是偶数或能被3整除的数有20个，分别为：2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，26，27，28，30， ∴它是偶数或能被3整除的数的概率：2030=23．故选：D ．基本事件总数n=30，利用列举法求出它是偶数或能被3整除的数有20个，由此能求出它是偶数或能被3整除的数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：D解析：本题考查函数图象的应用，比较基础．根据特值法求解即可．解：函数y=2xlnx，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0，故排除B，C，y‘=2(lnx−1)ln x当x=e时，y‘=0，函数有极值点，故排除A．故选D．9.答案：B解析：本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题．由已知可得2ba +1b=2(1−2a)a+1b=2a+1b−4，可解．解：∵a，b∈R+，2a+b=1，则2ba +1b=2(1−2a)a+1b=2a+1b−4=(2a+1b)(2a+b)−4=2ba +2ab+1≥2√2ba·2ab+1=5，当且仅当a=b=13时取等号．故选B．10.答案：C解析：解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x=−1，射线y=2(x−1)(x≤1)过抛物线的焦点坐标(1,0)，如图：直线的斜率为：2，倾斜角为：θ，可得tanθ=2，则cosθ=√11+tan2θ=√55．作PN垂直抛物线的准线于N，则PF=PN，则|PQ||PF|=1cosθ=√5．故选：C．画出图形，利用直线的斜率，三角函数的值的求法，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．11.答案：C解析：本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接圆的位置关系，属于中档题．作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA=23×3√3=2√3，AE=12VA=2，DA为外接球的半径r，∴r=√DE2+AE2=4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12.答案：A解析：本题主要考查了函数的最值，属于基础题，求出各段的最小值，即可得出结论．解：由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)=2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)=a．若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2．故选A．13.答案：−2解析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于−4，求出r的值，即可求得展开式中x−4的系数，再根据展开式中x−4的系数等于−80求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a r⋅x5−3r，解：若(x+ax2令5−3r=−4，求得r=3，可得展开式中x−4的系数是C53⋅a3=−80，则a=−2，故答案为：−2．14.答案：解析：∵∴，令，则，∴，设，根据耐克函数单调性可知在单调递减，∴时，函数取得最大值；时，函数取得最小值，∴的最大值与最小值的和为．15.答案：2；y=±√3x解析：解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为右焦点，设其坐标为(c,0)，令x=c，则c2a2−y2b2=1，则有y=±b2a，∴|AF|=b2a，∴|EF|=a+c，∴b2a=a+c∴c2−ac−2a2=0∴e2−e−2=0，∵e>1，∴e=2，由c=2a，则b=√c2−a2=√3a，则双曲线的渐近线方程为y=±bax，即有y=±√3x.故答案为：2，y=±√3x.利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|，得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值和渐近线方程．本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．16.答案：16255解析：本题考查等比数列的判断，通项公式，前n项和，是基础题．由已知可得{a n}是等比数列，并且可首项与公比，然后可求解．=255．解：由a1=1，a n+1=2a n，知a n=2n−1，故a5=24=16．S8=1−281−2故答案为16；255．17.答案：(1)证明：由PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得PD⊥BD，又AP⊥BD，AP∩PD=P，AP，PD⊂平面APD，所以BD⊥平面APD，又∵AD⊂平面APD，所以BD⊥AD，又AD//BC，所以BC⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PDB，所以BC⊥平面PDB；(2)解：由(1)可知BD⊥AD，又AB=√2，∠DAB=45°，所以AD=BD=1，又BD⊥平面APD，所以DP为BP在平面APD内的射影，故∠BPD=45°，所以PD=BD=1，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)，设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)，故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32，因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．18.答案：(本题满分为12分)解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵a =b(sinC +cosC)，∴sinA =sinB(sinC +cosC)，…(1分)∴sin(π−B −C)=sinB(sinC +cosC)，∴sin(B +C)=sinB(sinC +cosC)，…(2分)∴sinBcosC +cosBsinC =sinBsinC +sinBcosC ，…(3分)∴cosBsinC =sinBsinC ，又∵C ∈(0,π)，故sinC ≠0，…(4分)∴cosB =sinB ，即tanB =1. …(5分)又∵B ∈(0,π)，∴B =π4. …(6分) (Ⅱ)在△BCD 中，DB =2，DC =1，∴BC 2=12+22−2×1×2×cosD =5−4cosD. …(7分)又A =π2，由(Ⅰ)可知∠ABC =π4，∴△ABC 为等腰直角三角形，…(8分)∴S △ABC =12×BC ×12×BC =14BC 2=54−cosD ，…(9分)又∵S △BDC =12×BD ×DC ×sinD =sinD ，…(10分)∴S 四边形ABDC =54−cosD +sinD =54+√2sin(D −π4). …(11分) ∴当D =3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54+√2.…(12分)解析：(Ⅰ)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC =sinBsinC ，结合sinC ≠0，可求tanB =1，结合范围B ∈(0,π)，即可求得B 的值．(Ⅱ)由已知利用余弦定理可得BC 2=12+22−2×1×2×cosD =5−4cosD ，由已知及(Ⅰ)可知∠ABC =π4，利用三角形面积公式可求S △ABC ，S △BDC ，从而可求S 四边形ABDC =54+√2sin(D −π4)，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC 面积的最大值．本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y ̂(1)=0.24x −8.81得y ̂(1)=10.39.10−10.39=−0.39．所以表中空格内的值为−0.39．(Ⅱ)模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ̂=y .−b ̂x ..得回归方程为y =0.24x −8.76．解析：(Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y ̂(1)=0.24x −8.81得y ̂(1)=10.39.10−10.39=−0.39，即可求表中空格内的值；(Ⅱ)求出残差的绝对值和，即可得出结论；(Ⅲ)确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．本题考查回归方程、残差分析，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：(1)解：由e=ca =√22得，c2a2=12∴a2−b2c2=12，即a2=2b2，∴椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵线段AB恰好为圆C的直径，∴线段AB的中点恰好为圆心(2,1)，于是有x1+x2=4，y1+y2=2，由于x122b2+y12b2=1，x222b2+y22b2=1，两式相减，并整理得，(x1+x2)(x1−x2)+2(y1+y2)(y1−y2)=0有(x1−x2)+(y1−y2)=0，∴k AB=y1−y2x1−x2=1，∴直线AB的方程为y−1=−(x−2)，即x+y−3=0．(2)解：由(1)知y=−x+3，代入x22b2+y2b2=1并整理得，3x2−12x+18−2b2=0，∵椭圆E与圆C相交于A，B两点，∴△=(−12)2−4×3×(18−2b2)>0，解得b2>3，于是x1+x2=4，x1x2=18−2b23，依题意，|AB|=2√203，而|AB|=2|x1−x2|=√2√(x1+x2)2−4x1x2=√2√42−4×18−2b23，∴√2√42−4×18−2b23=2√203，解得b2=8，满足b2>3，∴a2=2b2=16，∴所求椭圆E的标准方程x216+y28=1．解析：(1)通过椭圆的离心率设出椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．(2)y=−x+3，代入x22b2+y2b2=1并整理得，3x2−12x+18−2b2=0，利用判别式以及韦达定理弦长公式，求解a，b得到椭圆方程．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，平方差法的应用，考查转化思以及计算能力．21.答案：解：(1)f′(x)=x−(a+1)+ax =(x−1)(x−a)x(x>a)．当a>1时，由f′(x)>0，得0<x<1或x>a；由f′(x)<0，得1<x<a．故f(x)在(0,1)，(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减．(2)①当a<0时，f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，则f(x)min=f(1)=−a−12，因为∃m∈(0,1)，f(m)>0，且f(2)=a(−2+ln2)>0，所以f(1)=−a−12<0，即−12<a<0．②当0<a<1时，f(x)在(0,a)，(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减，f(x)在x=a时取得极大值，且f(a)=12a2−(a+1)a+alna=−12a2+a(−1+lna)因为0<a<1，所以−1+lna<0，则f(a)<0，所以f(x)在(0,+∞)只有一个零点．综上，a的取值范围为(−12,0)．解析：本题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题．(1)根据f′(x)=x−(a+1)+ax =(x−1)(x−a)x(x>a)即可求得单调性．(2)由函数的单调性，分类讨论当a<0时，当0<a<1时，可求得只有一个零点．22.答案：解：(1)由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0，联立{x 2+y 2=4x x −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)，|AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2=√5sin(θ−α)+4|√2，当sin(θ−α)=−1时，d min =√52，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．23.答案：解：(1)原不等式等价于{x ⩾3x −3+2x +1⩽10或{−12⩽x <33−x +2x +1⩽10或{x <−123−x −2x −1⩽10，解得3⩽x ⩽4或−12⩽x <3或−83⩽x <−12，综上可知，f(x)≤10的解集为{x|−83⩽x ⩽4};(2)由(1)知：x >0时，x 2+f(x)={x 2+3x −2,x ⩾3x 2+x +4,0<x <3， x 2+f(x)≥ax 恒成立即a ⩽(x 2+f(x)x )min ，又x ⩾3时，x 2+3x−2x =x −2x +3⩾6−23=163； 0<x <3时，x 2+x+4x =x +4x +1⩾2√4+1=5， ∴{a ⩽163a ⩽5，∴实数a 的取值范围为(−∞,5]．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)≤10的解集即可；(2)由题意可得x 2+f(x)≥ax 对x ∈R 恒成立，即有a ⩽(x 2+f(x)x )min ，解不等式求交集，即可得到所求a 的范围．。

2020年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（二）（有答案解析）

2020年湖南省衡阳市⾼考数学三模试卷（⼆）（有答案解析）2020年湖南省衡阳市⾼考数学三模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数i?z=1-2i，则复数z在复平⾯内对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 13.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离⼼率为（）A. B. C. D.4.已知某批电⼦产品的尺⼨服从正态分布N（1，4），从中随机取⼀件，其尺⼨落在区间（3，5）的概率为（附：若随机变量X服从正态分布N（µ，σ2），则P（µ－σ＜X＜µ＋σ）＝0.6827，P（µ－2σ＜X＜µ＋2σ）＝0.9545）（）A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.04565.若，则cos（30°-2α）=（）A. B. C. D.6.著名的“3n+1猜想”是对任何⼀个正整数进⾏规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图⽰意了3n+1猜想，则输出的n为（）A. 5B. 6C. 7D. 87.已知正项等⽐数列{a n}满⾜a1-a2=8，a3-a4=2，若a1a2a3…a n=1，则n为（）A. 5B. 6C. 9D. 108.设两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，则的展开式中x2的系数为（）A. 12B. 3C.D.9.函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A. B.C. D.10.已知⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积为，则a的值为（）A.B.C.D.11.已知函数f（x）=e x-（a-1）x-1（e为⾃然对数的底数），若?x0∈（0，+∞），使得f（lg x0）＞f（x0）成⽴，则a的取值范围为（）A. （1，2）B. （1，+∞）C. [1，+∞）D. （2，+∞）12.已知点R（1，2），曲线C：y4=（px）2（p＞0）），直线m＞0，m≠2）与曲线C 交于M，N两点，若△RMN周长的最⼩值为2，则p的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知向量，若，则λ=______．14.如图，茎叶图表⽰甲、⼄两⼈在5次测验中的数学分数，其中有⼀个被污损，若⼄的中位数恰好等于甲的平均数，则?的值为______15.若x，y满⾜约束条件，则z=2x+3y的最⼤值为______．16.已知数列{a n}满⾜对?m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成⽴，，函数，记y n=f（a n），则数列{y n}的前13项和为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知函数的最⼤值为1．（1）求t的值；（2）已知锐⾓△ABC的内⾓A，B，C所对的边分别为a、b、c，若，三⾓形△ABC的⾯积为，且，求b+c的值．18.如图，四棱锥M-ABCD中，AB=2DC，∠CDA=∠DAB=90°，△MCD与△MAD都是等边三⾓形，且点M在底⾯ABCD的投影为O．（1）证明：O为AC的中点；（2）求⼆⾯⾓D-MC-B的余弦值．19.某⼈经营淡⽔池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X（百⽄）都在20百⽄以上，其中不⾜40百⽄的有8期，不低于40百⽄且不超过60百⽄的有20期，超过60百⽄的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y（百⽄）与使⽤某种饵料的质量x（百⽄）之间的关系如图所⽰．（1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建⽴y关于x的回归⽅程=x；如果此⼈设想使⽤某种饵料10百⽄时，草鱼重量的增加量须多于5百⽄，请根据回归⽅程计算，确定此⽅案是否可⾏？并说明理由．（2）养鱼的池塘对⽔质含氧量与新鲜度要求较⾼，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲⽔机，每期养殖使⽤的冲⽔机运⾏台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：鱼的重量（单位：百20＜X＜4040≤X≤60X＞60⽄）冲⽔机只需运⾏台123数若某台增氧冲⽔机运⾏，则商家每期可获利千元；若某台冲⽔机未运⾏，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲⽔机总利润的均值达到最⼤，应提供⼏台增氧冲⽔机？附：对于⼀组数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其回归⽅程=的斜率和截距的最⼩⼆乘估计公式分别为==，=．20.已知以椭圆C：的⼀个焦点，短轴的⼀个端点和坐标原点为顶点的三⾓形为等腰三⾓形，且点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准⽅程；（2）过点T作圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴交于点E，过点E作直线l交椭圆C于M，N两点，点E关于y 轴的对称点为Q，求△QMN⾯积的最⼤值．21.已知函数f（x）=e x（ax2+x+a2）存在极⼤值与极⼩值，且在x=-1处取得极⼩值．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）-2x-m有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据：）22.已知直线l：为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标⽅程为4ρ2+5ρ2cos2θ-36=0．（1）求曲线C的参数⽅程和直线l的普通⽅程；（2）过曲线C上任意⼀点M作与l夹⾓为60°的直线，交l于点N，求MN的最⼩值．23.已知不等式2|x|-|2x-3|＞1的解集为A．（1）求A；（2）若m，n∈A，且m+n=4．证明：.-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：复数i?z=1-2i，∴-i?i?z=-i（1-2i），z=-2-i，则复数z在复平⾯内对应的点（-2，-1）位于第三象限．故选：C．利⽤复数的运算法则、⼏何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、⼏何意义，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．2.答案：A 解析：【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应⽤问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列⽅程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．3.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离⼼率的求法，简单性质的应⽤，是基本知识的考查．利⽤已知条件，列出⽅程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准⽅程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离⼼率为：e===．故选：B．4.答案：C解析：解：由已知，得µ=1，σ=2，P（3＜X＜5）=P（µ+σ＜X＜µ+2σ）=．故选：C．由已知可得µ=1，σ=2，再由P（3＜X＜5）=P（µ+σ＜X＜µ+2σ）求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义，考查正态分布中两个量µ和σ的应⽤，考查曲线的对称性，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵，则cos（30°-2α）=-cos（150°+2α）=-[1-2sin2（75°+2α）]=-，故选：D．由题意利⽤诱导公式、⼆倍⾓的余弦公式，求得要求式⼦的值．本题主要考查诱导公式、⼆倍⾓的余弦公式的应⽤，属于基础题．6.答案：B解析：解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成⽴，输出n=6，故选：B．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算法是解决本题的关键．⽐较基础．7.答案：C解析：解：正项等⽐数列{a n}满⾜a1-a2=8，a3-a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代⼊a1-a2=8，可得a1=16，a1a2a3…a n=1，可得（a1a n）n=1，所以a1a n=1，a12q n-1=1，∴=1，解得n=9．故选：C．利⽤已知条件求出对⽐以及数列的⾸项，通过a1a2a3…a n=1，转化求出n的表达式，求解即可．本题考查数列的递推关系式以及等⽐数列的性质的应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．8.答案：D解析：解：∵两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，∴?（-a）=-1，求得a=2．则==，故它的展开式中x2的系数为=，故选：D．利⽤两条直线垂直的性质，求得a的值，根据则=，利⽤通项公式求的它的展开式中x2的系数．本题主要考查两条直线垂直的性质，⼆项式定理的应⽤，⼆项式展开式的通项公式，属于基础题．9.答案：C解析：解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=-x+在（-∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=-x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利⽤基本不等式和函数的单调性，属于中档题．10.答案：A解析：解：由三视图可知，⼏何体的直观图如图：是⼀个三棱锥和⼀个三棱柱的组合体，底⾯都是的等腰直⾓三⾓形，⾼为a，所以体积为：，解得a=．故选：A．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据求解⼏何体的体积即可．本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键．11.答案：D解析：解：∵lg x0＜x0；∴要满⾜?x0∈（0，+∞），使f（lg x0）＞f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；∵f′（x）=e x-（a-1）；x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0不恒成⽴，即f（x）不是减函数；∴只能f（x）存在极值点，∴f′（x）=0有解，即a-1=e x有解；∴a∈（2，+∞）；即a的取值范围为（2，+∞）．故选：D．可知lg x0＜x0，从⽽根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f′（x）=e x-a+1，从⽽可判断f（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从⽽⽅程a-1=e x有解，这样由指数函数y=e x的单调性即可得出a的取值范围．考查函数y=lg x和y=x图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性．12.答案：B解析：解：由题意得曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最⼩值，∴2-=2，∴p=6．故选：B．曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最⼩值，由此能求出p的值．本题考查利⽤抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线⽅程等基础知识，考查了推理能⼒与计算能⼒，是中档题．13.答案：解析：解：；∵；∴；∴（λ+2）2=（2-λ）2+4；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出（λ+2）2=（2-λ）2+4，解出λ即可．考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的⽅法．14.答案：6解析：解：⼄的中位数为90，设?的值为x，所以90=，解得x=6，故填：6．⼄的中位数为90，设?的值为x，则90=，可得x的值．通过茎叶图考查学⽣对中位数和平均数理解和简单的计算问题，属于基础题．15.答案：7解析：解：x，y满⾜约束条件，的可⾏域如图：z=2x+3y化为y=，点直线经过可⾏域的A（，2）时，在取得最⼤值：7．故答案为：7．画出约束条件的可⾏域，利⽤⽬标函数的⼏何意义求解即可．本题考查线性规划的简单应⽤，画出可⾏域是解题的关键之⼀，考查数形结合以及计算能⼒．16.答案：26解析：【分析】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运⽤，考查数列的倒序相加求和，化简运算能⼒，属于中档题．由题意可得a n+1-a n=a1，为常数，可得数列{a n}为等差数列，求得f（x）的图象关于点（，2）对称，运⽤等差数列中项性质和倒序相加求和，计算可得所求和．解析：解：对?m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成⽴，可令m=1，即有a n+1-a n=a1，为常数，可得数列{a n}为等差数列，函数=sin2x+2（1+cos x），由f（x）+f（π-x）=sin2x+2（1+cos x）+sin2（π-x）+2（1+cos（π-x））=4，可得f（x）的图象关于点（，2）对称，a1+a13=a2+a12=…=a6+a8=2a7=π，f（a1）+f（a13）=f（a2）+f（a12）=…=f（a6）+f（a8）=4，f（a7）=2，可得数列{y n}的前13项和为4×6+2=26．故答案为：26．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）=sin x cosx-cos2x+t=sin2x-+t=sin（2x-）+t-，…4分∵f（x）的最⼤值为1，故t-=0，可得t=…5分（2）∵，可得：sin（2x-）=，∵0，-＜2A＜，∴2A=，可得：A=，…7分由S=bc sin A=，可得：bc=4，由a2=b2+c2-2bc cos A，…10分可得：8=（b+c）2-3bc，∴b+c=2…12分解析：（1）利⽤三⾓函数恒等变换的应⽤可求f（x）=sin（2x-）+t-，由题意t-=0，可得t的值．（2）由题意sin（2x-）=，结合范围0，-＜2A＜，可求A的值，由三⾓形的⾯积公式可求bc的值，由余弦定理即可解得b+c的值．本题主要考查了学⽣对三⾓函数恒等变换的应⽤，考查了三⾓形的⾯积公式，余弦定理及简单的三⾓⽅程的求解，考查了计算能⼒和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：（1）证法⼀：连结OA，OC，OD，∵MO⊥平⾯ABCD，∴MO⊥OA，MO⊥OB，MO⊥OC，∴∠MOA=∠MOC=∠MOD=90°，∵△MCD与△MAD都是等边三⾓形，∴MD=MC=MA，⼜MO为公共边，∴△MOA≌△MAD≌△MOD，∴OA=OC=OD，即O为△ACD的外⼼，∵∠ADC=90°，∴O为AC的中点．证法⼆：设AC的中点为O′，连结MO′，DO′，∵MA=MC，∴MO′⊥AC，∵△DAC是直⾓三⾓形，∴O′D=O′C，⼜MD=MC，MO′为公共边，∴△MO′D≌△MO′C，∴∠MO′D=∠MO′C=90°，∴MO′⊥O′D，∵AC∩O′D=O′，∴MO′⊥平⾯ABCD，⼜MO⊥平⾯ABCD，⽽过⼀点有且只有⼀条直线与已知平⾯垂直，∴O是AC的中点．解：（2）以O为坐标原点，OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AD=2，则AB=4，OM=，D（0，），M（0，0，），C（），B（，0），=（0，-），=（），设平⾯DMC的法向量=（x，y，z），则，令y=1，得=（1，1，1），=（），=（0，-2，0），设平⾯MCB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），cos＜＞==．由图知⼆⾯⾓D-MC-B的平⾯⾓为钝⾓，∴⼆⾯⾓D-MC-B的余弦值为-．解析：（1）法⼀：连结OA，OC，OD，推导出MO⊥OA，MO⊥OB，MO⊥OC，从⽽△MOA≌△MAD≌△MOD，由此能证明O为AC的中点．法⼆：设AC的中点为O′，连结MO′，DO′，推导出△MO′D≌△MO′C，从⽽∠MO′D=∠MO′C=90°，进⽽MO′⊥平⾯ABCD，再由MO⊥平⾯ABCD，能证明O 是AC的中点．（2）以O为坐标原点，OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓D-MC-B的余弦值．本题考查线段中点的证明，考查⼆⾯⾓的平⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．19.答案：解：（1）依题意，=5，，=26．∴==，=-=4-=，所以=．当x=10时，=＞5，故此⽅案可⾏．（2）设盈利为Y，安装1台时，盈利Y=5000，安装2台时，20＜X＜40，Y=3000，p=；X≥40，Y=10000，p=．∴E（Y）=+=8600，安装3台时，20＜X＜40，Y=1000，p=，；40≤X≤60，Y=8000，P=；X＞60，Y=15000，P=．∴E（Y）=1000×+8000×+15000×=8000．∵8600＞8000，故应提供2台增氧冲⽔机．解析：（1）求出，=5，，=26．代⼊公式即可．x=10时，求出估计值判断即可．（2）分三个⽅案分别计算盈利的期望，选择期望⾼者即可．本题考查了回归⽅程的求解，以及利⽤回归⽅程来作简单的预测，考查了⽅案的选择依据及合理的判断能⼒．属于中档题．20.答案：解：（1）依题意可得b=c，代⼊点T（-1，），可得+=1，⼜a2=b2+c2，解得a=2，b=2，故椭圆C的⽅程为+=1．（2）∵|OT|=，|TA|==，以T为圆⼼，|TA|为半径的圆T的⽅程为（x+1）2+（y-）2=，将圆T与圆O的⽅程相减可得2x-y+4=0，即直线AB的⽅程为2x-y+4=0，故E（-2，0），Q（2，0），设l：x=my-2，M（x1，y1），N（x2，y2），故△QMN⾯积为S=|EQ|（|y1|+|y2|）=2|y1-y2|=2，联⽴，可得（m2+2）y2-4my-4=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴S=2=，令=t，t≥1，∴S==≤=4，当t=，即t=1时，S取最⼤值为4，故△QMN⾯积的最⼤值为4．解析：（1）依题意可得b=c，代⼊点T（-1，），可得+=1，⼜a2=b2+c2，解得a=2，b=2，即可求出椭圆⽅程，（2）先求出直线AB的⽅程为2x-y+4=0，再根据韦达定理，弦长公式，可得三⾓形的⾯积，根据基本不等式即可求出．本题考查了椭圆⽅程的解法，两圆公共弦，三⾓形的⾯积，弦长公式，考查了运算能⼒和转化能⼒，属于中档题．21.答案：解：（1）∵函数f（x）=e x（ax2+x+a2）存在极⼤值与极⼩值，且在x=-1处取得极⼩值，∴f′（x）=e x[ax2+（2a+1）x+a2+1]，依题意知f′（-1）=0，解得a=0或a=1，当a=0时，f′（x）=e x（x+1），x＜-1时，f′（x）＜0，x＞-1时，f′（x）＞0，此时，f（x）只有极⼩值，不符合题意．当a=1时，f′（x）=e x（x+1）（x+2），经检验符合题意，综上，实数a的值为1．（2）g（x）=e x（x2+x+1）-2x-m，g′（x）=e x（x+1）（x+2）-2，当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，令h（x）=e x（x+1）（x+2）-2，则h′（x）=e x（x2+5x+5），h′（x）＞0，x＜，x＞，h（x）单调递增，h′（x）＜0，＜x＜，h（x）单调递减，∵h（0）=0，h（-）=-2＜0，x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）在（-∞，0）上单调递减，∵g（x）在R上有两个零点，∴g（0）=1-m＜0，∴m＞1，此时当x＜0时，g（-）＞0，∴g（x）在（-，0）有⼀个零点，当x＞0时，g（x）＞x2+x+1-2x-m=0，令x0=，∴g（x0）＞0，∴g（x）在（0，x0）有⼀个零点，综上，实数m的取值范围是（1，+∞）．解析：（1）f′（x）=e x[ax2+（2a+1）x+a2+1]，f′（-1）=0，解得a=0或a=1，当a=0时，f′（x）=e x（x+1），f（x）只有极⼩值，不符合题意．当a=1时，f′（x）=e x（x+1）（x+2），符合题意，由此能求出实数a的值．（2）g（x）=e x（x2+x+1）-2x-m，g′（x）=e x（x+1）（x+2）-2，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，令h（x）=e x（x+1）（x+2）-2，则h′（x）=e x（x2+5x+5），利⽤导数性质能求出实数m的取值范围．本⼩题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒与创新意识，考查函数与⽅程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核⼼素养，体现综合性、应⽤性与创新性．22.答案：解：（1）代⼊ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，可得9x2+4y2=36，即+=1，其参数⽅程为C：，（φ为参数），直线l的普通⽅程为2x+y-10=0．（2）设M（2cosφ，3sinφ），则M到l的距离d==，当sin（φ+γ）=1时，d取最⼩值为，故|MN|的最⼩值为=．解析：（1）代⼊ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，可得9x2+4y2=36，即+=1，其参数⽅程为C：，（φ为参数），直线l的普通⽅程为2x+y-10=0（2）设M，求出M到直线l的距离，利⽤三⾓函数的性质求出最⼩值．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：（1）解：当x＞时，不等式为：2x-2x+3＞1，不等式恒成⽴，故x＞；当0≤x≤时，不等式为：2x-3+2x＞1，解得1＜x≤；当x＜时，不等式为：-2x-3+2x＞1，不等式⽆解，综上，不等式的解集为（1，+∞），故A=（1，+∞）．（2）证明：∵m，n∈A，∴m-1＞0，n-1＞0，∵m+n=4，∴（m-1）+（n-1）=2，∴2（+）=（+）[（m-1）+（n-1）]≥（+）2=（m+n）2=16，∴+≥8．解析：（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）不等式左边乘[（m-1）+（n-1）]，利⽤柯西不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。

2020年衡阳市高三三模理科数学试题及答案

22-(本小题淆分10分)【选修4-1：几何j£明选讲】如图•过圆0外一点作同0的两条切线EA.EB.其中儿8为切点.be为圆o的一条直桧■连a并if长交
I的延长线于O点
(1)证明/—£6
(2)若初・3祀・求4£：*C的值23・(本小題満分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程透讲】
在平面直角坐标系呵中•以坐标匣点为圾点/釉的正半轴为极釉建立极坐标系•已知在极燮标系中,4(3屈子)上(3,于)，［»0的方程为p-2ca^
姓名
准考证号
2016届高中毕业班联考（三）
理科数学
注意事項：
1.本试卷分第I卷（选择題）和第口卷（非选择题）卿部分。时*120分钟.涣分150分。
2.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写庄答題卡相应位Sto
3・全部答秦在答題卡上完成.答在本试題左上无效。
4.考试结束丘.将本试临卷和答越卡一并交回。
(1)求在平面直角坐标系妙中画C的标准方程；
(2)已知P为08C上的动点•求LABP面积的用大值・
24.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】巳知函数心)=1x1 -IZx-ll•记/U)>・1的解集为M⑴求M；耳'：
(2)已知o e M.比较d♦1与丄的大小.
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一联考(三)敎学试昙(理料)第4頁(扶4賈)一
(1)求Ift圆G的方程及点F的坐标；
(2)过点F的直线 < 与G交于* "两点，与G交TC.D两点.求需♦嗇的取值范围•
21.(本小题清分12分)已知函散/("・・/"'("町川“満足$("・£■(<•««*>
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2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷(理科)(附答案解析)

2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（理科）（三模）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|3x <1}，则A ∩B =( )A. [−1,0)B. [−1,0]C. (−1,1)D. [0,1) 2. 若复数z 满足|z +1|=|z −i|，且z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. x =1B. y =1C. x +y =0D. x −y =0 3. cos42°cos18°−cos72°sin42°=( )A. √32B. 12C. −12D. −√324. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2=1，2a 9=a 3−a 6，则a 8的值为( )A. 2B. 12C. 14D. 185. 在平行四边形ABCD 中，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −45AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 45AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 已知a =2−1.5，b =log 23，c =32，则这三个数由小到大的顺序为( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率( )A. 110B. 320C. 15D.3108. 设f(x)，g(x)分别为定义在[−π,π]上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2e x cosx(e 为自然对数的底数)，则函数y =f(x)−g(x)的图象大致为( )A.B. C.D.9. 已知a ，b ∈R +，2a +b =2，则a b +1a 的最小值为( )A. 32B. √2+1C. 52D. 2√210. 设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与C 交于A ，B ，且与l 交于M ，若|MA|=2|MB|，则直线m 的斜率为( )A. ±13B. ±√24 C. ±√23D. ±1411. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为( )A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π12. 设函数f(x)={2x ,x ≤12x 2−ax −lnx,x >12，若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞)C. [ln2−14,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −a)8的展开式中，x 5的系数为7，则a =______．14. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是______． 15. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，若(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线C 的离心率为______． 16. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，则S 20的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，M 是AB ⏜上异于A ，B 的动点，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC(1)证明：MB ⊥平面MAD ；(2)当直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°时，求二面角D −MA −C 的正弦值．18.如图平面四边形ABCD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccos2A2−√3asinC=0．(1)求∠CAB；(2)若AB=AC，BD=1，CD=2，求四边形ABCD面积的最大值．19.某新兴环保公司为了确定新开发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x(单位：千元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：千元)的影响，收集了2019年12月至2020年5月共6个月的月宣传费x i和月销售量y i(i=1,2，…，6)的数据如表：月份1212345宣传费x1357911月销售量y14.2120.3131.831.1837.8344.67现分别用两种模型①y=bx+a，②y=ae bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(注残差在数理统计中是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差．)x−y−∑x i6i=1y i∑x i26i=16301284.24286(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(3)已知该产品的月利润z与x，y的关系为z=23(5y−x2)，根据(2)的结果回答下列问题：(i)若月宜传费x=15时，该模型下月销售量y的预报值为多少？(ii)当月宣传费x为何值时，月利润z的预报值最大？附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=∑(ni=1x i−x−)(y i−y−)∑(ni=1x i−x−)2=∑x ini=1y i−nxy−∑x i2ni=1−nx−2，â=y−−b̂x−．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，斜率为k的直线l过F1且与椭圆E相交于A，B两点，△ABF2的周长为8√2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设线段AB的中垂线m交x轴于N，在以NA，NB为邻边的平行四边形NAMB中，顶点M恰好在椭圆E上，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=lnx −ax +a ，g(x)=x 2−1．(1)当a =0，x >0且x ≠1时，证明：1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)；(2)定义max{m,n}={m,m ≥nn,m <n ，设函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x >0)，试讨论ℎ(x)零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ≤θ≤π)． (1)写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；(2)若C 上的点到l 的距离的最小值为√13，求实数a 的值23. 已知f(x)=|3x −a|+|x −4|．(1)当a =1时，求不等式f(x)<5的解集；(2)若x ∈[0,3]时，不等式f(x)≥3成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}={x|x<0}=(−∞,0)，∴A∩B=[−1,0)，故选：A．求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，z=x+yi(x,y∈R)，由|z+1|=|z−i|，得√(x+1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：x+y=0，故选：C．由已知可得z=x+yi(x,y∈R)，代入|z+1|=|z−i|，利用复数的模相等列式化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：cos42°cos18°−cos72°sin42°=cos42°cos18°−sin18°sin42°=cos(18°+42°)=12，故选：B．由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，求得结果．本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由a9=a3−a6，则2q6=1−q3，又q>0，所以q3=12，∴a8=a2q6=14，故选：C．利用等比数列的通项公式可得q3，再利用其性质即可得出．本题考查了等比数列通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：在平行四边形ABCD中，若CE⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE⃗⃗⃗⃗⃗ =45CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45CD⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A．直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为a=2−1.5∈(0,1)，b=log23>log2232=32=c，所以a<c<b，故选：A．先分析数的大致范围，再进行比较．本题考查比较大小，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．所以能被5整除的概率P=44×5=15，故选：C．列举出阴数和阳数，利用列举法求出各选一个数，其和能被5整除的所有情况，由此能求出从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：∵f(x)+g(x)=2e x cosx，∴f(−x)+g(−x)=2e−x cos(−x)，即−f(x)+g(x)=2e−x cosx，∴f(x)−g(x)=−2cosxe x，∵y=−2cosxe x，当x=0.01时，y<0，∴可排除选项C，D；又y′=2(sinx+cosx)e x=2√2sin(x+π4)e x，故x=−π4为极值点，即选项B错误；故选：A．依题意，可得f(x)−g(x)=−2cosx e x，当x =0.01时，y <0，可排除选项C ，D ；又x =−π4为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案．本题主要考查函数的性质与图象，考查考生的化归与转化能力和数形结合能力，以及逻辑推理，直观想象和数学运算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由a ，b ∈R +，2a +b =2，∴ab +1a =ab +2a+b 2a=1+a b +b2a ≥1+√2，(当且仅当b =√2a 即a =2−√2，b =2√2−2时取等号)，故则ab +1a 的最小值为√2+1，故选：B ．把式子变形，利用基本不等式，求出它的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题，10.【答案】B【解析】解：法1(几何法1)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，所以B 为MA 的中点，设|BB 1|=t ，则|AA 1|=2t ，所以|BF|=t ，|AF|=2，则|MB|=3t.设直线m 的倾斜角为θ，所以sinθ=|BB 1||MB|=t 3t =13，则tanθ=±√24，故选B ．法2(几何法2)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 的倾斜角为θ，所以|AF|=121−sinθ，|BF|=121+sinθ，由|AF|=2|BF|，则121−sinθ=11+sinθ，解得sinθ=13，所以tanθ=±√24，故选B ．法3(代数法)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 方程为y =kx +14，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{y =kx +14y =x 2可得x 2−kx −14=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，由|AF|=2|BF|，则有x 1=−2x 2，所以−52=x 1x 2+x2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2−2，解得k =±√24，故选：B ．法1(几何法1)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，设|BB 1|=t ，则|AA 1|=2t ，求出|MB|=3t.设直线m 的倾斜角为θ，然后求解直线的斜率．法2(几何法2)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 的倾斜角为θ，利用|AF|=2|BF|，解得sinθ=13，然后求解即可．法3(代数法)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 方程为y =kx +14，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由正视图及俯视图可知ABC −A 1B 1C 1为正三棱柱，底面ABC 边长为6，如图，O 2，O 1分别为三棱柱上下底面的中心，则ABC −A 1B 1C 1的外接球球心O 为O 1O 2的中点，其半径R =√32+(2√3)2=√21，要使AB 中点E 作球O 的截面最小，只须使球心O 到截面的距离d 最大即可．此时过E 的截面垂直于OE ，截面半径r =√R 2−d 2=√R 2−OE 2=√R 2−(OO 12+O 1E 2)=√21−[32+(√3)2]=3，所以截面面积S 截面=πr 2=9π，故选：C ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出截面半径，最后求出几何体的截面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0．当x>12时，f′(x)=2x−a −1x，因为2x−1x∈(−1,+∞)若a≤−1时，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)上单调递增，此时f(x)无最小值；若a>−1时，f′(x)=2x2−ax−1x，记2x2−ax−1=0两根分别为x1，x2，则x1<0<x2，∴f(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，此时f min(x)=f(x2)=x22−ax2−lnx2=1−x22−lnx2≤0，则x2≥1，所以a=2x−1x≥1，故选：D．由题意要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0即可．从而求解实数a的取值范围．本题考查了分段函数的最值的求法及导函数的应用，单调性及最值的讨论，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：(x−a)8展开式中第r+1项为：T r+1=C8r x8−r(−a)r，所以x5的系数为C83(−a)3=7，解得a=−12．故答案为：−12．先写出展开式的通项，然后令x的指数为7，解出a的值．本题考查二项式定理，展开式通项的应用，以及学生的运算能力．属于基础题．14.【答案】11【解析】解：要使遇见的行人总人数最小，则此人应从点A处向上或向右走，即不能后退或向左走，一共有96种走法，结合图中数据，在这6种中，根据路上的行人，易知满足条件的路径如图所示，总人数最小值为2+3+3+3=11；或2+4+2+3=11．故答案为：11．由题意，找出从A到B所有路线，依次计算各路线上遇到的人数即可；本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：法1(代数法)：因为l与⊙O：x2+y2=a2相切，所以直线斜率k=±ab，由对称性不妨考虑k=ab情形．又双曲线C的渐近线方程为y=±bax，则l垂直其中一条渐近线，故l与一渐近线的交点A，即为该渐近线与⊙O在第二象限的交点，可得A(−a2c,abc)，如图，设AB中点为M，由(F2A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即2F2M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则有F2M⊥l，又OA⊥l，故OA//F2M，且O为F1F2的中点，所以A为F1M的中点，则A，M三等分F1B，由F1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B(3b2c−c,3abc)，由B在另一渐近线y=bax上，即有3abc=ba(3b2c−c)，则c2=3a2，故离心率e=√3．法2(几何法)：设∠BOF2=θ，则∠AOB=π−2θ，由题意易知|AF1|=b，|AB|=2b，在Rt△OAB中，tan∠AOB=tan(π−2θ)=2ba，又tanθ=ba，则有−2ba1−(ba)2=2ba，即b2=c2−a2=2a2，故离心率e=√3．法3(参数方程法)：直线l的参数方程为{x=−c+bcty=act(t为参数)，代入y=bax，可得B对应的参数t B=bc2b2−a2又A对应的参数t A=b，由(F2A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l与⊙O：x2+y2=a2相切，可知F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即t B =3t A ，则bc 2b −a =3b ，则有c 2=3a 2，故离心率e =√3．故答案为：√3．法1(代数法)：设直线斜率k =±ab ，不妨考虑k =ab 情形．双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，求出A 的坐标，设AB 中点为M ，由(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，转化推出A ，M 三等分F 1B ，求出B 的坐标，然后推出c 2=3a 2，求解离心率即可．法2(几何法)：设∠BOF 2=θ，则∠AOB =π−2θ，求出|AF 1|=b ，|AB|=2b ，通过Rt △OAB 中，得tanθ=ba ，然后推出离心率．法3(参数方程法)：直线l 的参数方程为{x =−c +bc t y =ac t(t 为参数)，代入y =b a x ，可得B 对应的参数t B =bc 2b 2−a2，A 对应的参数t A =b ，通过(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l 与⊙O ：x 2+y 2=a 2相切，转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．16.【答案】310【解析】解：由条件S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，可得a n+1=(−1)n−1a n +3n −2， a 2k+1=−a 2k +6k −2①， a 2k =a 2k−1+6k −5②(k ∈N ∗)，由①②可得：a 2k+1+a 2k−1③，a 2k+3+a 2k+1④ 可得a 2k+3=a 2k−1⑤由①得：a 2k +a 2k+1=6k −2，由⑤得：a 1=a 5=a 9=⋯=a 21所以S 20=a 1+a 2+a 3+⋯+a 20=a 1+(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+a 20=(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+(a 20+a 21)=∑(10k=16k −2)=10×(4+58)2=310．故答案为：310首先利用数列的递推关系式利用分类讨论思想求出数列的通项公式，进一步利用数列的求和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：因为半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，由DA ⊥AB ，所以DA ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，则有DA ⊥MB又AB 为半圆弧所对的直径，所以MB ⊥MA ，而MA ∩DA =A ，所以MB ⊥平面MAD ．(2)法1(空间向量法)：过M 作AO ⊥AB 于O ，因为平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，所以MO ⊥平面ABCD ，∠MBO 即MB 与平面ABCD 所成的角，由已知条件得∠MBA =45°，MA =MB ，即O 为AB 中点．由∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC ，四边形AOCD 为矩形，所以OC ⊥AB 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =AD =2DC =2，所以C(0,2，0)，D(−1,2，0)，A(−1,0，0)，M(0,0，1)，B(1,0，0) 由(1)知，MB ⊥平面MAD ，则平面MAD 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1) 设平面MAC 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0) 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AC =0，得{x +z =0x +2y =0，取y =−1，则n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2) 设二面角D −MA −C 大小为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×2+(−1)×(−2)√2×3=2√23所以sinθ=13，即二面角D −MA −C 的正弦值为13．法2(传统几何法)：二面角D −MA −C 的大小即为二面角B −MA −D 的大小与二面角B −MA −C 大小的差，由(1)的证明可得，二面角B −MA −D 的大小为90°，所以二面角D −MA −C 的正弦值即为二面角B −MA −C 的余弦值．由平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，CO ⊥AB ，所以CO ⊥平面MAB ，又MA ⊂平面MAB ，则OC ⊥MA ，取MA 中点H ，连HC ，由AB 为半圆弧所对的直径，所以BM ⊥MA ，O ，H 分别为AB ，MA 的中点，所以OH//BM ，则OH ⊥MA ，又OH ∩OC =O ，所以MA ⊥平面OHC 则∠OHC 即为二面角B −MA −C 的平面角，设AB =AD =2DC =2，在Rt △COH 中，OH =12MB =√22，OC =2，HC =(√22)=√2所以cos∠OHC =OHHC=√223√2=13，故二面角D −MA −C 的正弦值为13．【解析】(1)由DA⊥AB，然后证明DA⊥MB，MB⊥MA，即可推出MB⊥平面MAD．(2)过M作AO⊥AB于O，说明∠MBO即MB与平面ABCD所成的角，以O为坐标原点，OB，OC，OM方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D−MA−C的正弦值．法2(传统几何法)：二面角D−MA−C的大小即为二面角B−MA−D的大小与二面角B−MA−C大小的差，说明二面角D−MA−C的正弦值即为二面角B−MA−C的余弦值．∠OHC即为二面角B−MA−C的平面角，通过求解三角形，推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)法1：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，即1+cosA−√3sinA=0，即sin(A−π6)=12，又0<A<π，所以A−π6=π6，即∠CAB=∠A=π3．法2：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，由于sinC>0，则2cos2A2−2√3sin A2cos A2=0，又cos A2>0，可得tan A2=√33，又0<A<π，所以A=π3．(2)当AB=AC，又∠A=π3，所以△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB=θ(0<θ<π)，由余弦定理可得：BC2=12+22−2×1×2cosθ=5−4cosθ，所以S ABDC=S△ABC+S△BDC=√34BC2+12CD⋅BDsinθ=√34(5−4cosθ)+12×1×2sinθ=5√34+2sin(θ−π3)，由−π3<θ−π3<2π3，所以sin(θ−π3)最大值为1，故当θ=5π6时，(S ABDC)max=5√34+2．【解析】(1)法1：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A−π6)=12，结合范围0<A<π，可求A−π6=π6，即可得解；法2：由正弦定理，结合sinC>0，cos A2>0，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A2=√33，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由已知可得△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB=θ(0<θ<π)，由余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S ABCD=5√34+2sin(θ−π3)，结合范围−π3<θ−π3<2π3，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点一是整体上更接近y=0，二是比较均匀地落在水平的带状区域中，说明该模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)剔除异常数据，即2020年2月的数据后，得x−=15(6×6−5)=6.2，y−=15(30×6−31.8)=29.64，∑x i5i=1y i=1284.24−5×31.8=1125.24，∑(5i=1x i)2=286−52=261，b̂=∑x i5i=1y i−nx−y−∑x i25i=1−nx−2=1125.24−5×6.2×29.64261−5×6.22=206.468.8=3，â=y−−b̂x−=29.64−3×6.2=11.04，所以y关于x的线性回归方程为：ŷ=3x+11.04．(3)(ⅰ)把x =15代入回归方程得：y ̂=3×15+8.04=53.04，故预报值约为53.04(千元)， (ⅰ)z =23(5y −x 2)=103(3x +11.04)−23x 2=−23(x −152)2+74.3，所以当x =152=7.5(千元)时，月利润预报值最大．【解析】(1)从两个方面说明应该选择模型①； (2)利用最小二乘法原理求回归方程；(3)(i)把x =15代入回归方程即得解，(ii)求出z =23(5y −x 2)=−23(x −152)2+74.3，再利用二次函数性质分析得解．本题主要考查残差图，考查回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由△ABF 2的周长为8√2，则有4a =8√2，所以a =2√2，又椭圆E 的离心率e =√22，则c =2，b =2，故椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)由题意可知，直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，显然△>0，x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，则AB 中点Q(−4k 21+2k 2,2k 1+2k 2)，AB 中垂线m 方程为：y −2k 1+2k 2=−1k (x +4k 21+2k 2)，所以N(−2k21+2k 2,0)，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x M +2k 21+2k 2,y M )=(x 1+2k 21+2k 2,y 1)+(x 2+2k 21+2k 2,y 2)，所以x M =x 1+x 2+2k 21+2k2=−6k 21+2k2，y M =y 1+y 2=4k1+2k 2 由M(−6k 21+2k 2,4k1+2k 2)在椭圆E 上，则36k 48(1+2k 2)2+16k 24(1+2k 2)2=1，解得k 4=2，即k =±√24，故直线l 的方程为y =±√24(x +2)．【解析】(1)由△ABF 2的周长为8√2，以及椭圆的离心率求解a ，b 得到椭圆方程．(2)直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，利用韦达定理，求出中点坐标，得到中垂线方程，结合向量关系，推出M 坐标，代入椭圆方程求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)证明：当a =0时，f(x)=lnx ，要证1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)，需证11−x [(1+x)lnx −2(x −1)]<0，即11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0，即证：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1．令φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，则φ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增， ∴当0<x <1时，φ(x)<φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0；当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0．故a =0，x >0且x ≠1时，1+x 1−x f(x)<21−x 2g(x)．(2)解：(i)当x >1时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上无零点； (ii)当x =1时，g(1)=f(1)=0，则ℎ(1)=0，∴x =1是ℎ(x)的唯一零点； (iii)当0<x <1时，g(x)<0，∴g(x)在(0,1)上无零点， ∴ℎ(x)在(0,1)上的零点个数等价于f(x)在(0,1)上的零点个数． ∵f′(x)=1x −a(0<x <1)，∴①若a ≤1时，f′(x)=1x −a >0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)<f(1)=0，此时f(x)无零点； ②若a >1即0<1a <1时，令f′(x)>0，得0<x <1a ；令f′(x)<0，得1a <x <1，∴f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,1)上单调递减， ∴f(x)max =f(1a )=a −1−lna ，令t(a)=a −1−lna(a >1)，则t′(a)=1−1a >0，t(a)在(1,+∞)上单调递增， ∴t(a)>t(1)=0，即f(1a )=a −1−lna >0，即a −1>lna ，两边取指数，有e a−1>e lna ，即e a >ae >a ， ∴0<e −a <1a ，又∵f(e −a )=−a +a(1−e −a )=−ae −a <0，由零点存在性定理可知，f(x)在(0,1)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(e −a ,1a )．综上所述：当a ≤1时，ℎ(x)仅有一个零点；当a >1时，ℎ(x)有两个零点．【解析】(1)当a =0时，f(x)=lnx ，利用分析法可将原问题转化为证明：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1；然后构造函数φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，求导后分0<x <1和x >1两类讨论φ(x)的单调性和最值即可得证．(2)先分三类讨论：(i)当x >1时，有ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(1,+∞)上无零点；(ii)当x =1时，ℎ(x)有唯一零点x =1；(iii)当0<x <1时，原问题等价于求f(x)在(0,1)上的零点个数，于是再分a ≤1和a >1进行讨论，其中还需要构造函数、运用隐零点的思维来解决问题．本题考查利用导数研究函数的零点个数、证明不等式，运用了分析法、构造函数、隐零点等多种手段，考查学生的分类讨论思想、转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t (t 为参数)，消去t 可得：直线l 直角坐标方程为2x +3y −2a =0依题：ρ2(1+3sin 2θ)=4，由ρ2=x 2+y 2及ρsinθ=y 可得：曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2=1(y ≥0)(2)令曲线C 上动点P(2cosα,sinα)(0≤α≤π) 则P 到直线l 的距离d =|4cosα+3sinα−2a|√13=|5sin(α+φ)−2a|√13(其中sinφ=45，cosφ=35)，因为φ≤α+φ≤π+φ，所以−45≤sin(α+φ)≤1 1°.当a ≥0时，d min =√13=√13，解得a =9或a =−4(舍去) 2°.当a <0时，d min =|5×(−45)−2a|√13=√13，解得a =−172或a =92(舍去) 故所求a 的值为9或−172【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)方法1：当a =1时，不等式f(x)<5即|3x −1|+|x −4|<5，1°.当x <13时，则有1−3x +4−x <5，解得x >0，此时0<x <13； 2°.当13≤x ≤4时，则有3x −1+4−x <5，解得x <1，此时13≤x <1； 3°.当x >4时，则有3x −1+x −4<5，解得x <52，此时原不等式的解集为空集．综合1°，2°，3°得，不等式f(x)>5的解集为{x|0<x <1}．方法2：当a =1时，f(x)=|3x −1|+|x −4|={5−4x,x <132x +3,13≤x ≤44x −5,x >4，作出y =f(x)及y =5图象如右：两函数图象交点坐标为(0,5)及(1,5)，所以由图象知f(x)<5的解集为{x|0<x <1}．(2)方法1：当0≤x ≤3时，f(x)>3即|3x −a|≥x −1，1°.当0≤x ≤1时，|3x −a|≥x −1恒成立，此时a ∈R ；2°.当1≤x ≤3时，|3x −a|≥x −1恒成立，转化为3x −a ≥x −1或3x −a ≤1−x 恒成立；即a ≤2x +1或a ≥4x −1恒成立，则a ≤(2x +1)min =3或a ≥(4x −1)max =11，故所求a 范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．方法2：原问题转化为：|3x −a|≥x −1对∀x ∈[0,3]恒成立问题．作出y 1=|3x −a|及y 2=x −1的图象，由图象知：a3≤1或a3≥113，故所求a范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．【解析】(1)方法1.运用零点分区间法和绝对值的意义、去绝对值，解不等式可得所求解集；方法2.将f(x)化为分段函数的形式，画出图象，求得交点，可得所求解集；(2)方法1.将不等式化为|3x−a|≥x−1，讨论当0≤x≤1时，当1≤x≤3时，结合不等式恒成立可得所求范围；方法2.可得|3x−a|≥x−1对∀x∈[0,3]恒成立问题．作出y1=|3x−a|及y2=x−1的图象，结合图象可得a的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．第11页，共11页。

衡阳市高三第三次联考理科数学参考答案及评分细则

则，，设，
则，，
设是平面的法向量，则
取，得，
显然是平面的一个法向量，
于是，化简得，此方程无实数解，
∴线段上不存有点使得平面与平面所成的二面角为 …………12分
20．【解析】：（1）当时，
因时，，故，
从而当，即当时，有最小值5，
所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是；……6分
所以| |=| |.| |。所以 ,故选C .
10.【答案】D
【解析】作出函数f(x)的图象，得由a>b>1,且f(a)=f(b),得整理得 ,
设则 = 1= ,
， ,所以
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、选择题：本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分
(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果选做，则按前两题记分)
高中毕业班联考第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟
第I卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .【答案】C
【解析】因B={-1，0，l }，a= 1则A= {O，l }所以A B .反之“A B” “a= 1 ”
2.【答案】D
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数：
的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[-2，0]
3.【答案】D
【解析】因为服从正态分布，故选D
4.【答案】D
【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为：

湖南省衡阳市2020届高三下学期三模数学(理)试卷及答案解析

湖南省衡阳市2020届高三下学期三模数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}11A x x =-≤≤，{}31xB x =<，则A B =（）A.)1,0⎡-⎣B.[]1,0-C.()1,1-D.)0,1⎡⎣2.若复数z 满足1z z i +=-，且z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（） A.1x = B.1y = C.0x y +=D.0x y -=3.cos42cos18cos72sin 42︒︒-︒︒= （）B.12C.12-D. 4.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =,9362=-a a a ，则8a 的值为（） A.2B.12C.14D.185.在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（） A.34AB AD -+ B.45AB AD - C.45AB AD -+D.45AB AD -+ 6.已知 1.52a -=，2log 3b =，32c =，则这三个数由小到大的顺序为（） A.a c b << B.c a b << C.a b c <<D.b a c <<7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）A.110B.320C.15D.3108.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A. B.C. D.9.已知a ，b R +∈，22a b +=，则1a b a+的最小值为（）A.321C.52D.10.设抛物线C ：2yx 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与C 交于A ，B ，且与l 交于M ，若2MA MB =，则直线m 的斜率为（）A.13±B.4±C.3±D.14±11.如图，直三棱柱111ABC A B C -的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（）A.3πB.6πC.9πD.12π12.设函数()212,21ln ,2xx f x x ax x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围为（）A.)+∞B.)2,⎡+∞⎣C.1ln 2,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.)1,⎡+∞⎣第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.x a -的展开式中，5x 的系数为7，则a =______.14.如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是______.15.已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，若()220F A F B AB +⋅=，则该双曲线C 的离心率为______.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11132n n n n S S a n -+=+-+-，则20S 的值为______.三、解答题（题型注释）17.如图，半圆弧AB 所在平面与平面ABCD 垂直，M 是AB 上异于A ，B 的动点，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD DC ==.（1）证明：MB ⊥平面MAD ；（2）当直线MB 与平面ABCD 所成的角为45︒时，求二面角D MA C --的正弦值. 18.如图平面四边形ABCD ，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos sin 02Ac C =.（1）求CAB ∠；（2）若AB AC =，1BD =，2CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.19.某新兴环保公司为了确定新开发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x （单位：千元）对月销售量y （单位：t ）和月利润z （单位：千元）的影响，收集了2019年12月至2020年5月共6个月的月宣传费i x 和月销售量i y （1,2,,6i =⋯）的数据如下表：现分别用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：（注残差在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差.）（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；（3）已知该产品的月利润z 与x ，y 的关系为()2253z y x =-，根据（2）的结果回答下列问题：（i ）若月宣传费15x =时，该模型下月销售量y 的预报值为多少？（ii ）当月宣传费x 为何值时，月利润z 的预报值最大？附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211nniii ii i nn i i ii x x y y x y nx yb x nx x x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 20.已知椭圆E：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为，斜率为k 的直线l 过1F 且与椭圆E 相交于A ，B 两点，2ABF 的周长为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M 恰好在椭圆E 上，求直线l 的方程. 21.已知函数()ln f x x ax a =-+，()21g x x =-.（1）当0a =，0x >且1x ≠时，证明：()()21211x f x g x x x +<--；（2）定义{},max ,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设函数()()(){}()max ,0h x f x g x x =>，试讨论()h x 零点的个数.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)0ρθπ=≤≤.（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）若C 上的点到l a 的值. 23.已知()34f x x a x =-+-.（1）当1a =时，求不等式()5f x <的解集；（2）若[]0,3x ∈时，不等式()3f x ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.A【解析】1.先解出集合B 为(),0-∞，再结合数轴计算出A B .由31x <得0x <，即(),0B =-∞，如图所示，所以)1,0A B ⎡⋂=-⎣，故选A. 2.C【解析】2.由题意得出z x yi =+，利用复数的模长公式结合条件1z z i +=-列等式化简可得结果.由已知条件可得1z z i +=-=，化简得0x y +=.故选：C. 3.B【解析】3.利用诱导公式和逆用余弦和角公式计算即可.解：1cos 42cos18cos72sin 42cos 42cos18sin18sin 42cos602︒-︒︒=︒︒-︒︒︒=︒=. 故选：B . 4.C【解析】4.根据等比数列的通项公式计算即可. 设等比数列的公比为()0q q >由9362a a a =-，则633332=-a q a a q ，所以()()636333100221121⇒+--⇒+===-q q q q q q ，由0q >，所以312q =，故68214a a q ==，故选：C. 5.D【解析】5.由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. ∵4CE ED =∴45CE CD =∴4455BE BC CE BC CD AB AD =+=+=-+. 故选： D. 6.A【解析】6.利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小. 因为()1.520,1a -=∈，32223log 3log 22b c =>==，所以a c b <<，故选：A. 7.C【解析】7.由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案. 由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，共有4520⨯=种选法.其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共4种选法，∴选取的两数之和能被5整除的概率41205P ==. 故选：C. 8.A【解析】8.根据函数的奇偶性可求出()()2cos xxf xg x e-=-，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果.因为()()2cos x f x g x e x +=，所以()()()2cos xf xg x ex --+-=-，即()()()2cos xf xg x e x --+=，所以()()2cos xxf xg x e-=-. 因为2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误. 又()2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以4πx =-为极值点，即B 错误. 故选：A. 9.B【解析】9. 直接把1a b a +中的1用2a 2b +代换后用基本不等式求最小值．由22a b +=，所以121122a a a b a bb a b a b a++=+=++≥+（当且仅当b =即2a =，2b =时取等号）.故选：B ． 10.B【解析】10.不妨设直线m 的倾斜角为锐角. 设A ，B 在准线l 上的射影为1A ，1B ，1BB t =，则12AA t =.由抛物线的定义可得：BF t =，2AF t =，故3MB t =.设直线m 的倾斜角为θ（θ为锐角），可得sin ,cos θθ，即求tan θ.当θ为钝角时，求出sin ,cos θθ，即求tan θ.设A ，B 在准线l 上的射影为1A ，1B ，如图所示（不妨设直线m 的倾斜角为锐角），由2MA MB =，可得B 为MA 的中点，设1BB t =，则12AA t =，由抛物线的定义可得：BF t =，2AF t =，3MB t ∴=. 设直线m 的倾斜角为θ（θ为锐角），11sin ,cos ,tan 3334BB t MBt θθθ∴===∴=∴=.当θ为钝角时，1sin ,cos tan 334θθθ=∴=-∴=-. 故选：B. 11.C【解析】11.先根据题意求出底面ABC 边长为6，再求得外接球的球心O 与半径R =意，过AB 中点E 作球O 的截面，当截面面积的最小值时，过E 的截面垂直于OE ，再计算截面圆的半径即可求解.由正视图及俯视图可知111ABC A B C -为正三棱柱，底面ABC 的高为6，如图，2O ，1O 分别为三棱柱上下底面的中心，则111ABC A B C -的外接球球心O 为12O O 的中点，其半径R ==要使AB 中点E 作球O 的截面最小，只须使球心O 到截面的距离d 最大即可.此时过E 的截面垂直于OE ，截面半径3r =====，所以截面面积29S r ππ==，所以截面面积的最小值为9π. 故选：C.12.D【解析】12.若函数()f x 有最小值，则只需当12x >时有最小值，且()min 0f x ≤，则只需利用导数讨论当12x >时，函数的单调性及最值. 因为当12x ≤时，()f x 无最小值，且()0f x >，只需当12x >时，()f x 有最小值，且()min 0f x ≤即可. 当12x >时，()12f x x a x '=--，因为()121,x x -∈-+∞若1a ≤-时，()0f x '>，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，此时()f x 无最小值；若1a >-时，()221x ax f x x--'=，记2210x ax --=两根分别为1x ，2x ，设12x x <，因为12102x x ⋅=-<，则120x x <<，又2111210222a a +⎛⎫⨯--=-< ⎪⎝⎭，所以212x > ，故()f x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增，此时()()2min 2222ln f f x x ax x x ==--，将222120x ax -=-代入得()()222min 2222221ln 10ln f x x x x x x =---=-≤-，解得21x ≥，所以22121a x x =-≥，故选：D. 13.12-【解析】13.写出展开式通项公式，可得5x 的系数，从而求得a ．()8x a -展开式中第1r +项为()818rr r r T C x a -+=-，85r -=，3r =，所以5x 的系数为()3387C a -=，解得12a =-. 故答案为：12-． 14.11【解析】14.由A 点到B 点前两条路遇到的人数可能为23,24,34+++，由此可以确定前两条路的走法，同理可以分析得到满足条件的路径，再计算得到结论.解：要使遇见的行人总数最小，此人应该从A 点出发向右走，再向右走，再向上走直到B 点，或者从A 点出发向右走，再向上走，再向右走再向上走到B 点，总人数最小值为233311+++=；或242311+++=.故答案为：11.【解析】15.求出切线l 的斜率，有两条切线，不妨设其中一条，如图，求出A 点坐标，确定A 即为切点，取AB 中点M ，利用()220F A F B AB +⋅=得2F M AB ⊥，从而可得,A M 是1F B三等分点，于是有113F B F A =，由此求得B 点坐标，代入渐近线方程得,,a b c 的等式，变形后可得离心率．因为l 与O ：222x y a +=相切，1sin aBFO c∠=，1BF O ∠为锐角，1cos b BFO c∠==，2tan a GF O b ∠=，所以切线斜率a k b =±，由对称性不妨考虑ak b=情形.如图，又双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，则l 垂直其中一条渐近线b y x a =-，故l 与这条渐近线的交点A 即为该渐近线与O 在第二象限的交点，也是切点．由()b y x a a y xc b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab A c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设AB 中点为M ，由()220F A F B AB +⋅=，即220F M AB ⋅=，则有2F M l ⊥，又OA l ⊥，故2OA F M ∥，且O 为12F F 的中点，所以A 为1F M 的中点，则A ，M 三等分1F B ，由113F B F A =，23()3B B a x c c c ab y c ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得233B B b x c x aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即233,b ab B c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由B 在另一渐近线by x a =上，即有233ab b b c c a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则223c a =，故离心率e =16.310【解析】16.依据题意可得()11132n n n a a n -+=-+-，根据递推关系可得22162k k a a k ++=-，2321k k a a +-=，然后根据此特点进行计算求和，可得结果.由条件可得()11132n n n a a n -+=-+-21262k k a a k +=-+-①22165k k a a k -=+-②()*k N ∈，由①②可得： 21213k k a a +-+=③23213k k a a +++=④可得2321k k a a +-=⑤由①得：22162k k a a k ++=-，由⑤得：15921a a a a ====所以()()2012320123181920=++++=++++++S a a a a a a a a a a()()()202318192021=++++++S a a a a a a()()1020110458623102=⨯+=-==∑k S k故答案为：31017.（1）证明见解析；（2）13.【解析】17.（1）证明直线DA MB ⊥，MB MA ⊥，再利用线面垂直盘定定理，即可得答案；（2）证明OB ，OC ，OM两两互相垂直，从而建立空间直角坐标系，再分别求出平面MAD 的一个法向量()11,0,1n =-，平面MAC 的法向量()22,1,2n =--，再利用向量的夹角公式，即可得答案；（1）因为半圆弧AB 所在平面与平面ABCD 垂直，平面MAB平面ABCD AB =，由DA AB ⊥，所以DA ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，则有DA MB ⊥，又AB 为半圆弧所对的直径，所以MB MA ⊥，而MA DA A ⋂=，所以MB ⊥平面MAD .（2）过M 作AO AB ⊥于O ，因为平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB平面ABCD AB =，所以MO ⊥平面ABCD ，MBO ∠即MB 与平面ABCD 所成的角，由已知条件得45MBA ∠=︒，MA MB =，即O 为AB 中点.由90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD DC ==，四边形AOCD 为矩形，所以OC AB ⊥ 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设22AB AD DC ===，所以()0,2,0C ，()1,2,0D -，()1,0,0A -，()0,0,1M ，()1,0,0B由（1）知，MB ⊥平面MAD ，则平面MAD 的一个法向量()11,0,1n MB ==- 设平面MAC 的法向量()2,,n x y z =因为()1,0,1AM =，()1,2,0AC = 由2200n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =-，则()22,1,2n =-- 设二面角D MA C --大小为θ，则12121212cos 3n n n n θ⨯+-⨯-⋅===⋅ 所以1sin 3θ=，即二面角D MA C --的正弦值为13.18.（1）3π；（22+.【解析】18.（1）根据正弦定理以及二倍角的余弦定理进行化简可得1cos 0A A +-=，然后利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得ABC 为正三角形，利用余弦定理可得BC ，然后表示ABDC S ，根据正弦函数的性质加以计算可得结果.（1）法1：因为22cossin 02Ac C =，由正弦定理可得22sin cos sin 02AC A C =，即1cos 0A A +-= 即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以66A ππ-=，即3CAB A π∠=∠=.法2：因为22cossin 02Ac C =，由正弦定理可得22sin cos sin 02AC A C -=及sin 0C >，则22cos cos 0222A A A-=，又cos02A >，可得tan 23A =，又0A π<<，所以3A π=.（2）当AB AC =，又3A π∠=，所以ABC 为正三角形在BDC 中，令()0CDB θθπ∠=<<，由余弦定理可得：22212212cos 54cos BC θθ=+-⨯⨯=-所以21sin 2△△θ=+=+⋅ABDC ABC BDC S S S CD BD)154cos 12sin 2sin 23πθθθ⎛⎫=-+⨯⨯=- ⎪⎝⎭ABDC S 由2333πππθ-<-<，所以sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭最大值为1，故当56πθ=时，()max 2ABDC S =+ 19.（1）选择模型①，理由见解析；（2）311.04y x =+；（3）（i ）53.04（千元）；（ii ）7.5x =（千元）时, 月利润z 的预报值最大.【解析】19.（1）从两个方面说明应该选择模型①；（2）利用最小二乘法原理求回归方程；（3）（i ）把15x =代入回归方程即得解；（ii ）求出()222215574.3332z y x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，再利用二次函数分析得解.（1）应该选择模型①，一是因为模型①残差点整体上更接近0y =，二是因为残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明该模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. （2）剔除异常数据，即2020年2月的数据后，由题得()1665 6.25x =⨯-=； ()130631.829.645y =⨯-=，511284.24531.81125.24i i i x y ==-⨯=∑，()52212865261i i x ==-=∑51522211125.245 6.229.64206.432615 6.268.8i ii i i x y nx yb x nx==--⨯⨯====-⨯-∑∑；29.643 6.211.04a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为311.04y x =+.（3）（i ）把15x =代入回归方程得：3158.0453.04y =⨯+=，故预报值约为53.04（千元）（ii ）()()22221022155311.0474.333332z y x x x x ⎛⎫=-=+-=--+ ⎪⎝⎭所以当157.52x ==（千元）时，月利润预报值最大. 20.（1）22184x y +=；（2）)2y x =+.【解析】20.（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；（2）先设出直线方程及A ，B 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到A ，B 点坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到M 点坐标，最后把M 点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.解：（1）由2ABF 的周长为4a =，所以a = 又椭圆E 的离心率2e =，则2c =，2b =，故椭圆E 的标准方程为：22184x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率0k ≠，设直线l ：()2y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y 由()222{28y k x x y =++=可得()2222128880kxk x k +++-=显然>0∆，2122812k x x k +=-+，21228812k x x k -=+则AB 中点22242,1212k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，AB 中垂线m 方程为：2222141212k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.所以222,012k N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM NA NB =+，即2221122222222,,,121212M M k k k x y x y x y k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以221222261212M k k x x x k k =++=-++，122412M k y y y k =+=+ 由22264,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在椭圆E 上，则()()42222236161812412k k k k +=++，解得42k =，即k =.故直线l的方程为)2y x =+. 21.（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】21.（1）先利用分析法把证明的结论转化为：当1x >时，()21ln 1x x x ->+；当01x <<时，()21ln 1x x x -<+.再构造函数()()21ln 1x x x x ϕ-=-+，利用导数研究其单调性即可证明结论成立.（2）首先对x 和a 的范围进行分类讨论得出()f x 和()g x 在0,的单调性和最值，再判断()f x 和()g x 的零点个数，从而得到()h x 的零点个数. 解：（1）当0a =时，()ln f x x =，要证：()()21211x f x g x x x +<-- 即转化为：()()11ln 2101x x x x +--<⎡⎤⎣⎦-，即()211ln 011x x x x -⎡⎤-<⎢⎥-+⎣⎦即证：当1x >时，()21ln 1x x x ->+；当01x <<时，()21ln 1x x x -<+令()()21ln 1x x x x ϕ-=-+，则()()()()22114011x x x x x x ϕ-'=-=>++则()ϕx 在0,1上单调递增，在1,上单调递增.所以当01x <<时，()()10x ϕϕ<=，此时()211ln 011x x x x -⎡⎤-<⎢⎥-+⎣⎦当1x >时，()()10x ϕϕ>=，此时()211ln 011x x x x -⎡⎤-<⎢⎥-+⎣⎦故0a =，0x >且1x ≠时，()()21211x f x g x x x +<-- （2）1°当1x >时，()0gx >，()()0h x g x ≥>，所以()h x 在1,无零点；2°当1x =时，()()110g f ==，则()10h =，所以1x =是()h x 的零点； 3°当01x <<时，()0g x <，所以()g x 在0,1上无零点，()h x 在0,上的零点个数即为()f x 在0,上的零点个数.因为()1f x a x'=- ①若1a ≤时，()10f x a x'=->，所以()f x 在0,1上单调递增，()()10f x f <=，此时()f x 无零点； ②若1a >时，则101a <<，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，由()max 11ln f f a a x a ⎛⎫==--⎪⎝⎭，令()1ln a a a ϕ=--，则()110a a ϕ'=->，当1a >时，()()11ln 10f a a a a ϕϕ⎛⎫==-->= ⎪⎝⎭，由1ln a a ->，可得1a e a a >+>，则10aea-<<，又因为()()10a a f e a a e --=-+-<由零点存在性定理可知，()f x 在0,1上存在唯一的零点0x ，且01,ax e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 综上：1a >时，()h x 有两个零点；1a ≤时，()h x 仅有一个零点.22.（1）2320x y a +-=，2214x y +=()0y ≥；（2）9或172.【解析】22.（1）消去参数t 即可得直线的直角坐标方程，利用222x y ρ=+及sin y ρθ=代换得2214x y +=，再由0θπ≤≤得0y ≥，即可解决；（2）设曲线C 上动点()()2cos ,sin 0P αααπ≤≤，再利用点到直线的距离求得P 到直线l 的距离d =，再分0a ≥，0a <讨论求解即可.（1）消去t 可得：直线l 直角坐标方程为2320x y a +-=依题：()2213sin 4ρθ+=，由222x y ρ=+及sin y ρθ=可得：曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，又因为0θπ≤≤，所以sin 0y ρθ=≥，所以线C 的直角坐标方程为()22104x y y +=≥. （2）令曲线C 上动点()()2cos ,sin 0P αααπ≤≤则P到直线l的距离d == （其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=），因为ϕαϕπϕ≤+≤+，所以()4sin 15αϕ-≤+≤ 1°.当0a≥时，min d ==9a =或4a =-（舍去） 2°.当0a<时，min d ==，解得172a =-或92a =（舍去）故所求a 的值为9或17223.（1）{}01x x <<；（2）](),311,⎡-∞⋃+∞⎣.【解析】23.（1）用分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式首先化为31x a x -≥-，然后按10x -≤和10x ->分类讨论可得．（1）当1a =时，不等式()5f x <即3145x x -+-<1°.当13x <时，则有1345x x -+-<，解得0x >，此时103x <<； 2°.当143x ≤≤时，则有3145x x -+-<，解得1x <，此时113x ≤<； 3°.当4x >时，则有3145x x -+-<，解得52x <，此时原不等式的解集为空集. 综合1°，2°，3°得，不等式()5f x >的解集为{}01x x <<.（2）当03x ≤≤时，()3f x >即31x a x -≥-，1°.当01x ≤≤时，31x a x -≥-恒成立，此时a R ∈2°.当13x ≤≤时，31x a x -≥-恒成立，转化为31x a x -≥-或31x a x -≤-恒成立；即21a x ≤+或41a x ≥-恒成立，则()min 213a x ≤+=或()max 4111a x ≥-=故所求a 范围为](),311,⎡-∞⋃+∞⎣.。

[全国百强校]湖南省衡阳市2020届新高三模拟检测-理科数学试题卷+答案

绝密★启用前衡阳市2020届新高三模拟检测理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q = A.[]3,4B.()3,-+∞C.(],4-∞D.(]3,4-2．设为虚数单位,复数满足，则共轭复数的虚部为 A.B.C.D.3．已知，，，则a ，b ，c 满足 A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a4．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π6．在OAB ∆中，4OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE OA λ=，OF OB μ=，（λ，0μ>），则λμ+的最小值为A ．B ．C D 7．已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=ππϕωϕω，，＞其中20,sin x x f 的部分图象如图所示，且()x f 在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤712，1312B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，17128．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上，则不同的种植方法有A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种9．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是c b a ,,，向量()A C tan ,sin =，()A A sin ,tan =，且C A b a cos cos +=∙，则abc +的取值范围是 A. B.C.D.10．过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线的方程为 A ．B ．C ．D ．11．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n S T 、，且0n a >,()2*63n nn S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--,若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是A.17B. 149C. 49D.844112．已知函数f (x )＝mx －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12,122e e e eB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++1,122e e e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,12e eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+12,1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高考高三第三次模拟考试卷理科数学(一) 含答案解析

2020届高三第三次模拟考试卷理科数学（一）注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒，则MAD ∠=（）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．（1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ；（2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=，不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ，则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=，又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1，在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离，由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =，所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23．【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-，又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---，恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =，又∵4c >，∴7c =．（2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++，又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<，当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点．【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥，又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ．（2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直，分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈，所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去），故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形，所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=，移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=．（从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）．（2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-，由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=，由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根，所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-，又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-，代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ．【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+，令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑，设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ，由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ，又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）．【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=．（2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++，则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析．【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=，当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤，综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >，则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=，当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9，所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。

2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷(理科)(三)(三模)

2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（理科）（三）（三模）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|3x <1}，则A ∩B =( )A. [−1,0)B. [−1,0]C. (−1,1)D. [0,1)2. 若复数z 满足|z +1|=|z −i|，且z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. x =1B. y =1C. x +y =0D. x −y =03. cos42°cos18°−cos72°sin42°=( )A. √32B. 12C. −12D. −√324. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2=1，2a 9=a 3−a 6，则a 8的值为( )A. 2B. 12C. 14D. 185. 在平行四边形ABCD 中，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −45AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 45AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 已知a =2−1.5，b =log 23，c =32，则这三个数由小到大的顺序为( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率( )A. 110B. 320C. 15D. 3108. 设f(x)，g(x)分别为定义在[−π,π]上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2e x cosx(e 为自然对数的底数)，则函数y =f(x)−g(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知a ，b ∈R +，2a +b =2，则a b +1a 的最小值为( )A. 32B. √2+1C. 52D. 2√210. 设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与C 交于A ，B ，且与l 交于M ，若|MA|=2|MB|，则直线m 的斜率为( )A. ±13B. ±√24C. ±√23D. ±1411. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为( )A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π12. 设函数f(x)={2x ,x ≤12x 2−ax −lnx,x >12，若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞)C. [ln2−14,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −a)8的展开式中，x 5的系数为7，则a =______．14. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是______． 15. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，若(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线C 的离心率为______． 16. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，则S 20的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，M 是AB ⏜上异于A ，B 的动点，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC(1)证明：MB ⊥平面MAD ；(2)当直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°时，求二面角D −MA −C 的正弦值．−18.如图平面四边形ABCD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccos2A2√3asinC=0．(1)求∠CAB；(2)若AB=AC，BD=1，CD=2，求四边形ABCD面积的最大值．19.某新兴环保公司为了确定新开发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x(单位：千元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：千元)的影响，收集了2019年12月至2020年5月共6个月的月宣传费x i和月销售量y i(i= 1,2，…，6)的数据如表：月份1212345宣传费x1357911月销售量y14.2120.3131.831.1837.8344.67现分别用两种模型①y=bx+a，②y=ae bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(注残差在数理统计中是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差．)x −y −∑x i 6i=1y i∑x i 26i=16301284.24 286(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程； (3)已知该产品的月利润z 与x ，y 的关系为z =23(5y −x 2)，根据(2)的结果回答下列问题： (i)若月宜传费x =15时，该模型下月销售量y 的预报值为多少？ (ii)当月宣传费x 为何值时，月利润z 的预报值最大？附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，斜率为k 的直线l 过F 1且与椭圆E 相交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为8√2． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M 恰好在椭圆E 上，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=lnx −ax +a ，g(x)=x 2−1．(1)当a =0，x >0且x ≠1时，证明：1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)；(2)定义max{m,n}={m,m ≥nn,m <n ，设函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x >0)，试讨论ℎ(x)零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ≤θ≤π)． (1)写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；(2)若C 上的点到l 的距离的最小值为√13，求实数a 的值23. 已知f(x)=|3x −a|+|x −4|．(1)当a =1时，求不等式f(x)<5的解集；(2)若x ∈[0,3]时，不等式f(x)≥3成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B=[−1,0)，故选：A．求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，z=x+yi(x,y∈R)，由|z+1|=|z−i|，得√(x+1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：x+y=0，故选：C．由已知可得z=x+yi(x,y∈R)，代入|z+1|=|z−i|，利用复数的模相等列式化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B，【解析】解：cos42°cos18°−cos72°sin42°=cos42°cos18°−sin18°sin42°=cos(18°+42°)=12故选：B．由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，求得结果．本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．4.【答案】C，【解析】解：由a9=a3−a6，则2q6=1−q3，又q>0，所以q3=12∴a8=a2q6=1，4故选：C．利用等比数列的通项公式可得q3，再利用其性质即可得出．本题考查了等比数列通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在平行四边形ABCD 中，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A ．直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为a =2−1.5∈(0,1)，b =log 23>log 2232=32=c ，所以a <c <b ，故选：A ．先分析数的大致范围，再进行比较．本题考查比较大小，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．所以能被5整除的概率P =44×5=15，故选：C ．列举出阴数和阳数，利用列举法求出各选一个数，其和能被5整除的所有情况，由此能求出从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的性质与图象，考查考生的化归与转化能力和数形结合能力，以及逻辑推理，直观想象和数学运算，属于基础题．依题意，可得f(x)−g(x)=−2cosx e ，当x =0.01时，y <0，可排除选项C ，D ；又x =−π4为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案．【解答】解：∵f(x)+g(x)=2e x cosx ，∴f(−x)+g(−x)=2e −x cos(−x)，即−f(x)+g(x)=2e −x cosx ，∴f(x)−g(x)=−2cosx e x，∵y =−2cosx e x，当x =0.01时，y <0，∴可排除选项C ，D ；又y′=2(sinx+cosx)ex=2√2sin(x+π4)e x，故x =−π4为极值点，即选项B 错误；故选：A ．9.【答案】B【解析】解：由a ，b ∈R +，2a +b =2，∴ab +1a =ab +2a+b 2a=1+a b +b2a ≥1+√2，(当且仅当b =√2a 即a =2−√2，b =2√2−2时取等号)，故则ab +1a 的最小值为√2+1，故选：B ．把式子变形，利用基本不等式，求出它的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题，10.【答案】B【解析】解：法1(几何法1)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，所以B 为MA 的中点，设|BB 1|=t ，则|AA 1|=2t ，所以|BF|=t ，|AF|=2，则|MB|=3t.设直线m 的倾斜角为θ，所以sinθ=|BB 1||MB|=t 3t =13，则tanθ=±√24，故选B ．法2(几何法2)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 的倾斜角为θ，所以|AF|=121−sinθ，|BF|=121+sinθ，由|AF|=2|BF|，则121−sinθ=11+sinθ，解得sinθ=13，所以tanθ=±√24，故选B ．法3(代数法)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 方程为y =kx +14，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{y =kx +14y =x 2可得x 2−kx −14=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，由|AF|=2|BF|，则有x 1=−2x 2，所以−52=x 1x 2+x2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2−2，解得k =±√24，故选：B．法1(几何法1)：画出图形，设A，B在准线l上的射影为A1，B1，设|BB1|=t，则|AA1|=2t，求出|MB|=3t.设直线m的倾斜角为θ，然后求解直线的斜率．法2(几何法2)：画出图形，设A，B在准线l上的射影为A1，B1，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m的倾斜，然后求解即可．角为θ，利用|AF|=2|BF|，解得sinθ=13法3(代数法)：画出图形，设A，B在准线l上的射影为A1，B1，由|MA|=2|MB|，则|AA1|=2|BB1|，，A(x1,y1)，B(x2,y2)联立直线与抛物线方程，利用韦由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m方程为y=kx+14达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由正视图及俯视图可知ABC−A1B1C1为正三棱柱，底面ABC边长为6，如图，O2，O1分别为三棱柱上下底面的中心，则ABC−A1B1C1的外接球球心O为O1O2的中点，其半径R=√32+(2√3)2=√21，要使AB中点E作球O的截面最小，只须使球心O到截面的距离d最大即可．此时过E的截面垂直于OE，2+O1E2)=√21−[32+(√3)2]=3，截面半径r=√R2−d2=√R2−OE2=√R2−(OO1所以截面面积S截面=πr2=9π，故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出截面半径，最后求出几何体的截面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0．当x>12时，f′(x)=2x−a−1x，因为2x−1x∈(−1,+∞)若a≤−1时，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)上单调递增，此时f(x)无最小值；若a>−1时，f′(x)=2x2−ax−1x，记2x2−ax−1=0两根分别为x1，x2，则x1<0<x2，∴f(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，此时f min(x)=f(x2)=x22−ax2−lnx2=1−x22−lnx2≤0，则x2≥1，所以a=2x−1x≥1，故选：D．由题意要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0即可．从而求解实数a的取值范围．本题考查了分段函数的最值的求法及导函数的应用，单调性及最值的讨论，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：(x−a)8展开式中第r+1项为：T r+1=C8r x8−r(−a)r，所以x5的系数为C83(−a)3=7，解得a=−12．故答案为：−12．先写出展开式的通项，然后令x的指数为7，解出a的值．本题考查二项式定理，展开式通项的应用，以及学生的运算能力．属于基础题．14.【答案】11【解析】解：要使遇见的行人总人数最小，则此人应从点A处向上或向右走，即不能后退或向左走，一共有96种走法，结合图中数据，在这6种中，根据路上的行人，易知满足条件的路径如图所示，总人数最小值为2+3+3+3=11；或2+4+2+3=11．故答案为：11．由题意，找出从A 到B 所有路线，依次计算各路线上遇到的人数即可；本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：法1(代数法)：因为l 与⊙O ：x 2+y 2=a 2相切，所以直线斜率k =±ab ，由对称性不妨考虑k =a b 情形．又双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，则l 垂直其中一条渐近线，故l 与一渐近线的交点A ，即为该渐近线与⊙O 在第二象限的交点，可得A(−a 2c,ab c)，如图，设AB 中点为M ，由(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即2F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则有F 2M ⊥l ，又OA ⊥l ，故OA//F 2M ，且O 为F 1F 2的中点，所以A 为F 1M 的中点，则A ，M 三等分F 1B ，由F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B(3b 2c −c,3ab c )，由B 在另一渐近线y =ba x 上，即有3ab c=b a (3b 2c−c)，则c 2=3a 2，故离心率e =√3．法2(几何法)：设∠BOF 2=θ，则∠AOB =π−2θ，由题意易知|AF 1|=b ，|AB|=2b ，在Rt △OAB 中，tan∠AOB =tan(π−2θ)=2ba，又tanθ=ba ，则有−2ba 1−(b a)2=2b a，即b 2=c 2−a 2=2a 2，故离心率e =√3．法3(参数方程法)：直线l 的参数方程为{x =−c +bc t y =ac t(t 为参数)，代入y =ba x ，可得B 对应的参数t B =bc 2b 2−a2 又A 对应的参数t A =b ，由(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l 与⊙O ：x 2+y 2=a 2相切，可知F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即t B =3t A ，则bc 2b 2−a 2=3b ，则有c 2=3a 2，故离心率e =√3．故答案为：√3．法1(代数法)：设直线斜率k =±ab ，不妨考虑k =ab 情形．双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，求出A 的坐标，设AB 中点为M ，由(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，转化推出A ，M 三等分F 1B ，求出B 的坐标，然后推出c 2=3a 2，求解离心率即可．法2(几何法)：设∠BOF 2=θ，则∠AOB =π−2θ，求出|AF 1|=b ，|AB|=2b ，通过Rt △OAB 中，得tanθ=ba ，然后推出离心率．法3(参数方程法)：直线l 的参数方程为{x =−c +bc t y =ac t(t 为参数)，代入y =b a x ，可得B 对应的参数t B =bc 2b 2−a 2，A 对应的参数t A =b ，通过(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l 与⊙O ：x 2+y 2=a 2相切，转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．16.【答案】310【解析】解：由条件S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，可得a n+1=(−1)n−1a n +3n −2， a 2k+1=−a 2k +6k −2①， a 2k =a 2k−1+6k −5②(k ∈N ∗)，由①②可得：a 2k+1+a 2k−1③，a 2k+3+a 2k+1④ 可得a 2k+3=a 2k−1⑤由①得：a 2k +a 2k+1=6k −2，由⑤得：a 1=a 5=a 9=⋯=a 21所以S 20=a 1+a 2+a 3+⋯+a 20=a 1+(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+a 20=(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+(a 20+a 21)=∑(10k=16k −2)=10×(4+58)2=310．故答案为：310首先利用数列的递推关系式利用分类讨论思想求出数列的通项公式，进一步利用数列的求和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：因为半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，由DA ⊥AB ，所以DA ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，则有DA ⊥MB又AB 为半圆弧所对的直径，所以MB ⊥MA ，而MA ∩DA =A ，所以MB ⊥平面MAD ． (2)法1(空间向量法)：过M 作AO ⊥AB 于O ，因为平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，所以MO ⊥平面ABCD ，∠MBO 即MB 与平面ABCD 所成的角，由已知条件得∠MBA =45°，MA =MB ，即O 为AB 中点．由∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC ，四边形AOCD 为矩形，所以OC ⊥AB以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =AD =2DC =2，所以C(0,2，0)，D(−1,2，0)，A(−1,0，0)，M(0,0，1)，B(1,0，0) 由(1)知，MB ⊥平面MAD ，则平面MAD 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1) 设平面MAC 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0) 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AC =0，得{x +z =0x +2y =0，取y =−1，则n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2) 设二面角D −MA −C 大小为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×3=2√23所以sinθ=13，即二面角D −MA −C 的正弦值为13．法2(传统几何法)：二面角D −MA −C 的大小即为二面角B −MA −D 的大小与二面角B −MA −C 大小的差，由(1)的证明可得，二面角B −MA −D 的大小为90°，所以二面角D −MA −C 的正弦值即为二面角B −MA −C 的余弦值．由平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，CO ⊥AB ，所以CO ⊥平面MAB ，又MA ⊂平面MAB ，则OC ⊥MA ，取MA 中点H ，连HC ，由AB 为半圆弧所对的直径，所以BM ⊥MA ，O ，H 分别为AB ，MA 的中点，所以OH//BM ，则OH ⊥MA ，又OH ∩OC =O ，所以MA ⊥平面OHC 则∠OHC 即为二面角B −MA −C 的平面角，设AB =AD =2DC =2，在Rt △COH 中，OH =12MB =√22，OC =2，HC =(√22)+2=√2所以cos∠OHC =OHHC=√223√2=13，故二面角D −MA −C 的正弦值为13．【解析】(1)由DA⊥AB，然后证明DA⊥MB，MB⊥MA，即可推出MB⊥平面MAD．(2)过M作AO⊥AB于O，说明∠MBO即MB与平面ABCD所成的角，以O为坐标原点，OB，OC，OM方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D−MA−C的正弦值．法2(传统几何法)：二面角D−MA−C的大小即为二面角B−MA−D的大小与二面角B−MA−C大小的差，说明二面角D−MA−C的正弦值即为二面角B−MA−C的余弦值．∠OHC即为二面角B−MA−C的平面角，通过求解三角形，推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)法1：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，即1+cosA−√3sinA=0，即sin(A−π6)=12，又0<A<π，所以A−π6=π6，即∠CAB=∠A=π3．法2：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，由于sinC>0，则2cos2A2−2√3sin A2cos A2=0，又cos A2>0，可得tan A2=√33，又0<A<π，所以A=π3．(2)当AB=AC，又∠A=π3，所以△ABC 为正三角形，在△BDC 中，令∠CDB =θ(0<θ<π)，由余弦定理可得：BC 2=12+22−2×1×2cosθ=5−4cosθ，所以S ABDC =S △ABC +S △BDC =√34BC 2+12CD ⋅BDsinθ=√34(5−4cosθ)+12×1×2sinθ=5√34+2sin(θ−π3)，由−π3<θ−π3<2π3，所以sin(θ−π3)最大值为1，故当θ=5π6时，(S ABDC )max =5√34+2．【解析】(1)法1：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A −π6)=12，结合范围0<A <π，可求A −π6=π6，即可得解；法2：由正弦定理，结合sinC >0，cos A2>0，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A2=√33，结合范围0<A <π，可求A 的值．(2)由已知可得△ABC 为正三角形，在△BDC 中，令∠CDB =θ(0<θ<π)，由余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S ABCD =5√34+2sin(θ−π3)，结合范围−π3<θ−π3<2π3，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点一是整体上更接近y =0，二是比较均匀地落在水平的带状区域中，说明该模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． (2)剔除异常数据，即2020年2月的数据后，得 x −=15(6×6−5)=6.2，y −=15(30×6−31.8)=29.64， ∑x i 5i=1y i =1284.24−5×31.8=1125.24，∑(5i=1x i )2=286−52=261，b ̂=∑x i 5i=1y i −nx −y −∑x i 25i=1−nx−2=1125.24−5×6.2×29.64261−5×6.22=206.468.8=3， a ̂=y −−b ̂x −=29.64−3×6.2=11.04，所以y 关于x 的线性回归方程为：ŷ=3x +11.04． (3)(ⅰ)把x =15代入回归方程得：y ̂=3×15+8.04=53.04，故预报值约为53.04(千元)，(ⅰ)z =23(5y −x 2)=103(3x +11.04)−23x 2=−23(x −152)2+74.3，所以当x =152=7.5(千元)时，月利润预报值最大．【解析】(1)从两个方面说明应该选择模型①； (2)利用最小二乘法原理求回归方程；(3)(i)把x =15代入回归方程即得解，(ii)求出z =23(5y −x 2)=−23(x −152)2+74.3，再利用二次函数性质分析得解．本题主要考查残差图，考查回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由△ABF 2的周长为8√2，则有4a =8√2，所以a =2√2，又椭圆E 的离心率e =√22，则c =2，b =2，故椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)由题意可知，直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，显然△>0，x 1+x 2=−8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，则AB 中点Q(−4k 21+2k 2,2k1+2k 2)，AB 中垂线m 方程为：y −2k1+2k 2=−1k (x +4k 21+2k 2)，所以N(−2k 21+2k 2,0)，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x M +2k 21+2k 2,y M )=(x 1+2k 21+2k 2,y 1)+(x 2+2k 21+2k 2,y 2)，所以x M =x 1+x 2+2k 21+2k 2=−6k 21+2k 2，y M =y 1+y 2=4k1+2k 2 由M(−6k 21+2k2,4k 1+2k2)在椭圆E 上，则36k 48(1+2k 2)2+16k 24(1+2k 2)2=1，解得k 4=2，即k =±√24，故直线l 的方程为y =±√24(x +2)．【解析】(1)由△ABF 2的周长为8√2，以及椭圆的离心率求解a ，b 得到椭圆方程．(2)直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，利用韦达定理，求出中点坐标，得到中垂线方程，结合向量关系，推出M 坐标，代入椭圆方程求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)证明：当a =0时，f(x)=lnx ，要证1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)，需证11−x [(1+x)lnx −2(x −1)]<0，即11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0，即证：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1．令φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，则φ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增， ∴当0<x <1时，φ(x)<φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0；当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0．故a =0，x >0且x ≠1时，1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)．(2)解：(i)当x >1时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上无零点； (ii)当x =1时，g(1)=f(1)=0，则ℎ(1)=0，∴x =1是ℎ(x)的唯一零点； (iii)当0<x <1时，g(x)<0，∴g(x)在(0,1)上无零点， ∴ℎ(x)在(0,1)上的零点个数等价于f(x)在(0,1)上的零点个数． ∵f′(x)=1x −a(0<x <1)，∴①若a ≤1时，f′(x)=1x −a >0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)<f(1)=0，此时f(x)无零点；②若a >1即0<1a <1时，令f′(x)>0，得0<x <1a ；令f′(x)<0，得1a <x <1，∴f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,1)上单调递减，∴f(x)max =f(1a )=a −1−lna ，令t(a)=a −1−lna(a >1)，则t′(a)=1−1a >0，t(a)在(1,+∞)上单调递增， ∴t(a)>t(1)=0，即f(1a )=a −1−lna >0，即a −1>lna ，两边取指数，有e a−1>e lna ，即e a >ae >a ， ∴0<e −a <1a ，又∵f(e −a )=−a +a(1−e −a )=−ae −a <0，由零点存在性定理可知，f(x)在(0,1)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(e −a ,1a )．综上所述：当a ≤1时，ℎ(x)仅有一个零点；当a >1时，ℎ(x)有两个零点．【解析】(1)当a =0时，f(x)=lnx ，利用分析法可将原问题转化为证明：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1；然后构造函数φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，求导后分0<x <1和x >1两类讨论φ(x)的单调性和最值即可得证．(2)先分三类讨论：(i)当x >1时，有ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(1,+∞)上无零点；(ii)当x =1时，ℎ(x)有唯一零点x =1；(iii)当0<x <1时，原问题等价于求f(x)在(0,1)上的零点个数，于是再分a ≤1和a >1进行讨论，其中还需要构造函数、运用隐零点的思维来解决问题．本题考查利用导数研究函数的零点个数、证明不等式，运用了分析法、构造函数、隐零点等多种手段，考查学生的分类讨论思想、转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t (t 为参数)，消去t 可得：直线l 直角坐标方程为2x +3y −2a =0依题：ρ2(1+3sin 2θ)=4，由ρ2=x 2+y 2及ρsinθ=y 可得：曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2=1(y ≥0)(2)令曲线C 上动点P(2cosα,sinα)(0≤α≤π) 则P 到直线l 的距离d =|4cosα+3sinα−2a|√13=|5sin(α+φ)−2a|√13(其中sinφ=45，cosφ=35)，因为φ≤α+φ≤π+φ，所以−45≤sin(α+φ)≤1 1°.当a ≥0时，d min =√13=√13，解得a =9或a =−4(舍去) 2°.当a <0时，d min =|5×(−45)−2a|√13=√13，解得a =−172或a =92(舍去) 故所求a 的值为9或−172【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)方法1：当a =1时，不等式f(x)<5即|3x −1|+|x −4|<5， 1°.当x <13时，则有1−3x +4−x <5，解得x >0，此时0<x <13； 2°.当13≤x ≤4时，则有3x −1+4−x <5，解得x <1，此时13≤x <1； 3°.当x >4时，则有3x −1+x −4<5，解得x <52，此时原不等式的解集为空集．综合1°，2°，3°得，不等式f(x)>5的解集为{x|0<x <1}．方法2：当a =1时，f(x)=|3x −1|+|x −4|={5−4x,x <132x +3,13≤x ≤44x −5,x >4，作出y =f(x)及y =5图象如右：两函数图象交点坐标为(0,5)及(1,5)，所以由图象知f(x)<5的解集为{x|0<x <1}．(2)方法1：当0≤x ≤3时，f(x)>3即|3x −a|≥x −1， 1°.当0≤x ≤1时，|3x −a|≥x −1恒成立，此时a ∈R ；2°.当1≤x ≤3时，|3x −a|≥x −1恒成立，转化为3x −a ≥x −1或3x −a ≤1−x 恒成立；即a ≤2x +1或a ≥4x −1恒成立，则a ≤(2x +1)min =3或a ≥(4x −1)max =11，故所求a 范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．方法2：原问题转化为：|3x −a|≥x −1对∀x ∈[0,3]恒成立问题．作出y 1=|3x −a|及y 2=x −1的图象，由图象知：a3≤1或a3≥113，故所求a 范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．【解析】(1)方法1.运用零点分区间法和绝对值的意义、去绝对值，解不等式可得所求解集；方法2.将f(x)化为分段函数的形式，画出图象，求得交点，可得所求解集；(2)方法1.将不等式化为|3x −a|≥x −1，讨论当0≤x ≤1时，当1≤x ≤3时，结合不等式恒成立可得所求范围；方法2.可得|3x −a|≥x −1对∀x ∈[0,3]恒成立问题．作出y 1=|3x −a|及y 2=x −1的图象，结合图象可得a 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

湖南省衡阳市高三第三次联考(三模)数学(理)试题(含答案)【精校】.docx

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则12i z i =-在复平面内的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.若01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为（） A ．429 B ．429- C ．79 D ．79- 3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数大约为（）A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413附：若X ～2(,)N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.4.有下列三个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件； ③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题；其中正确结论的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线^^^y b x a =+中的4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）16 17 18 19 y 50 34 41 31 A ．23个 B ．25个 C ．27个 D ．29个6.将()sin 2f x x =的图象右移(0)2πϕϕ<<个单位后得到()g x 的图象，若对于满足12|()()|2f x g x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为3π，则ϕ的值为（） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的3N =，则输出的i 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．98.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A ．143B ．4C ．103D ．39.双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，抛物线2:2(0)N y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（）A 31B 21C 31+D 21+ 10.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种11.设,M N 为抛物线2:2(0)C y px p =>上任意两点，点E 的坐标为(,0)(0)λλ-≥，若EM EN •u u u u r u u u r 的最小值为0，则λ等于（）A ．2pB ．pC ．2p D ．0 12.已知()||x f x x e =•，又2()()()()g x f x tf x t R =+∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（）A ．21(,)e e +-∞-B ．21(,)e e ++∞C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，2,1AB AC ==，,E F 为BC 边的两个三等分点，则AE AF •=u u u r u u u r .14.已知(2,1),(0,0)A O ，点(,)M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则Z OA AM =•u u u r u u u u r 的最大值为 .15.已知,,,P A B C 为球O 球面上四点，其中ABC ∆为正三角形，三棱锥P ABC -的体积为4，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=o ，则球O 的表面积为 . 16.若函数2()ln()f x x x a =++与21()(0)2x g x x e x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设函数21()(0)3f x x x=+>，数列{}n a 满足1111,()n n a a f a -==，其中*n N ∈，且2n ≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对*n N ∈，设12233411111n n n S a a a a a a a a +=++++L ，若34n t S n≥恒成立，求实数t 的取值范围.18. （本小题满分12分）某校为了解一个英语教改班的情况，举行了一次测试，将该班60位学生的英语成绩进行统计，得频率分布直方图如图，其中成绩分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求出该班英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50,60)的记1绩点分，在[60,80)的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，点,E F 分别为,AB SC 的中点.（1）求证：//EF 平面SAD ；（2）设2SD DA =，求二面角A EF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=2，1C 与2C 的公共弦长为26.（1）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（2）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数32()()f x x x x R =-+∈，()g x 满足'()(,0)a g x a R x x =∈>，且()g e a =，其中e 为自然对数的底数.（1）已知1()()x h x e f x -=•，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（2）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =()x R ∈上，总存在一点Q ，使得0OP OQ •<u u u r u u u r ，且PQ uuu r 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点作圆O 的两条切线,EA EB ，其中,A B 为切点，BC 为圆O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.（1）证明：BE ED =；（2）若3AD AC =，求:AE AC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，(33,)2A π，(3,)3B π，圆C 的方程为2cos ρθ=. （1）求在平面直角坐标系xoy 中圆C 的标准方程；（2）已知P 为圆C 上的动点，求ABP ∆面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M .（1）求M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a 的大小. 答案与解析 1.B 525)21(i i i Z +-=+= 2.C 31)15sin()75cos(=-︒=+︒αα 979121)15(sin 21)230cos(2=⨯-=-︒-=-︒∴αα 3.B 1,1=-=σμΘ 1359.026826.09544.0=-=∴s 1359.0=∴μ 4.B 只有①对 5.D 由39,5.17==y x 代入方程可知a=109，∴当20=x 时，29109204=+⨯-=y6.B 由图可知，6323434πφπφπππφπ=⇒=-⇒=-+7.C →=→=→=→=→=→=→=→=8416352103n i n i n i n n 8172645=→=→=→=→=→=→=i n i n i n i8.B 如图，所求几何体的体积为42=正方体V 9.B 如图，由题意可知：∴=,2pc 抛物线方程为12.4PF cx y Θ=的中点在y 轴上，c x p =∴，带入抛物线方程可得c y p 2±=，又点P 在双曲线上，12)21(22314222222+=⇒+=+=⇒=-∴e e b c a c10.C ①：甲单独一人，则12222312=⋅⋅A C C ，②：甲与另一人一起，则：12221213=⋅⋅A C C11.C 由图可知，0)(min =⋅EN EM Θ ∴图中此时的︒=∠90MEN故此时EM 与抛物线相切，且1=EM k12.A 012=++tx x 一根在)1,0(e 中间，一根在),1(+∞e ，0)1(<∴ey 即：01112<+⋅+e t e ，1112--<⋅∴e e t ，e e e e t 112+-=--<∴13.91014.1 52-+=⋅=y x AM OA Z ，如图，15222max =-+⨯=Z15.π16 令BC=a ，则a AH 33=，又AHP Δ中，︒=∠30APH Θ，a a PH =⋅=∴333，4391232321313==⨯⨯⨯=∴-a a a a V ABC P 3=⇒a 从而，3PH 3==，AH ，令球O 的半径为R ，则在O ΔAH 中可知：2)3()3(222=⇒=-+R R R ，πR πS 1642==∴球表面积16.),(e -∞ 令)0)(,(000<x y x P 为)(x g 图象上满足条件的对称点，则),-('00y x P 在)(x f 的图象上，210200-+=∴x e x y ，)ln(0200a x x y +-+=，∴方程)0,()ln(21-∞+-=-在a x e x 上有解，)21,21(21)0,(-∈--∞∈x e x 时，Θ，且函数)ln()(a x x +-=ϕ为定义域上的减函数，又当+∞→+--∞→)ln(,a x x 时，e a a <<<∴,21ln ,21)0(即只需ϕ 17.解：(1)由11()n n a f a -=可得，123n n a a --=，n *∈N ，2n ≥. 所以{}n a 是等差数列，因为11a =，所以2211(1)33n n a n +=+-⋅=，n *∈N . …4分 (2)因为213n n a +=，所以1233n n a ++=，所以119911()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++. 122334*********()232323n n n n S a a a a a a a a n n +=++++=-=++L . …8分 34n t S n ≥恒成立等价于33234n t n n ≥+，即2423n t n ≤+恒成立．…9分令24()(0)23x g x x x =>+，则28(3)()0(23)x x g x x +'=>+，18.解：（1）由频率分布直方图可知：众数为85；24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1(5526547568510958)30=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 81=∴该班学生英语成绩的平均数为81.（2）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=，成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为12， ∴ξ可取的值为2,3,4，222121(2)66C P C ξ===， 1121021220(3)66C C P C ξ===， 21021245(4)66C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19.（解法一）（1）证明：如图1，取SD 的中点G ，连接,GF GA ，因为,G F 分别是,SD SC 的中点，所以//GF DC ，且12GF DC =. 又底面ABCD 为正方形，且E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC =. 于是//AE GF ，且AE GF =，所以AEFG 是平行四边形，所以//EF AG . 又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，故//EF 平面SAD . （2）如图2，取,AG EF 的中点分别为,M N ，连接,,DM MN DN .因22SD DA DG ==，得DA DG =，又M 是AG 的中点，所以DM AG ⊥.又因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD AB ⊥，由底面ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥，而SD AD D =I ，所以AB ⊥平面SAD ，又,M N 分别为,AG EF 的中点，则//MN AB ，所以MN ⊥平面SAD ，又AG ⊂平面SAD ，则MN AG ⊥. 由于DM MN M =I ，所以AG ⊥平面MND . 又由（1）知，//EF AG ，故EF ⊥平面MND . 因此MND ∠是二面角A EF D --的平面角.设2DA =，由22SD DA DG ==，得2,DG DM ==112MN AB ==，又MN ⊥平面SAD ，DM ⊂平面SAD ，得MN DM ⊥，所以DN =从而cos 3MN MND DN ∠==，故所求二面角A EF D --的余弦值为3. （解法二）以D 为原点，射线,,DA DC DS 分别为,,x y z 的正半轴建立空间直角坐标系，（1）设2,2AB a SD b ==，则(2,,0),(0,0,2),(0,2,0)E a a S b C a ，所以(0,,)F a b ，(2,0,),(0,2,0)EF a b DC a =-=u u u r u u u r ，于是(0,2,0)(2,0,)0EF DC a a b •=•-=u u u r u u u r.则EF DC ⊥u u u r u u u r ，又DC u u u r是平面SAD 的一个法向量，所以//EF 平面SAD .（2）设2DC =，有24SD DC ==，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,4)D A B C S ，(2,1,0),(0,1,2)E F ，则(2,1,0)DE =u u u r ，(0,1,2)DF =u u u r ，(0,1,0)AE =u u u r ，(2,0,2)EF =-u u u r，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则n DEn DF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u r ，所以2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取(1,2,1)n =-r . 同理可得面AEF 的一个法向量为(1,0,1)m =u r ，所以3cos ||||||26n m n m θ•===•⨯r u rr u r 故所求二面角A EF D --320. （1）∵22:2C y px =的焦点F 的坐标为(,0)2p . 由点F 到直线10x y -+=2|1|222p +=. ∵0p >，解得2p =，又(1,0)F 为椭圆的一个焦点，∴221a b -=①∵1C 与2C的公共弦长为，1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2， ∴229614a b+=② 联立①②解得229,8a b ==，∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0). （2）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =，代入22198x y +=，求得83y =±， ∴16||3AB =，把1x =代入22:4C y x =求得2y =±. ∴||4CD =，此时，11317||||16416AB CD +=+=，当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，此时设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>，∴||AB =2248(1)89k k +==+ 把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k ++=，2216(1)0k ∆=+>， ∴223422244(1)||22k k CD x x k k ++=++=+=， ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ∵20k >，∴211k +>， ∴2131304848(1)k -<-<+， ∴1117(,)||||616AB CD +∈，综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. 21、解：（1）Q 321()()xh x x x e -=-+，321()(42)xh x x x x e-'=-+，(1)0h ∴=，(1)1h '=-。

湖南省衡阳市数学2020届高中毕业班理数第三次质量检测试卷

湖南省衡阳市数学2020届高中毕业班理数第三次质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） (共12题；共60分)1. （5分）复数等于（）A .B .C .D .2. （5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A . {﹣1，1，2}B . {1，2}C . {﹣1，2}D . {2}3. （5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）A . 成绩B . 视力C . 智商D . 阅读量4. （5分）是三角形的一个内角，且，则方程所表示的曲线为（）.A . 焦点在x轴上的椭圆B . 焦点在y轴上的椭圆C . 焦点在x轴上的双曲线D . 焦点在y轴上的的双曲线5. （5分）(2012·新课标卷理) 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1 ， a2 ，…，an ，输出A，B，则（）A . A+B为a1 ， a2 ，…，an的和B . 为a1 ， a2 ，…，an的算术平均数C . A和B分别是a1 ， a2 ，…，an中最大的数和最小的数D . A和B分别是a1 ， a2 ，…，an中最小的数和最大的数6. （5分）若对于任意的实数 x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3 ，则 a2 的值为（）A . 3B . 6C . 9D . 127. （5分） (2017高一下·拉萨期末) 如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A . 1﹣B .C . 1﹣D . 与a的取值有关8. （5分） (2017高一上·湖州期末) 已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=﹣是y=f（x）的零点，直线x= 为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（，）上单调，则ω的最大值是（）A . 9B . 7C . 5D . 39. （5分）(2018·普陀模拟) 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 1010. （5分） (2015高一下·宜宾期中) 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A . 1：2：3B . 3：2：1C . 1：：2D . 2：：111. （5分）点A（3，2），B（﹣2，7），若y=ax﹣3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4：1，则a的值（）A . 3B . -3C . 9D . -912. （5分）函数的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【数学】湖南省衡阳市2020届高三下学期第三次联考数学理试题

【关键字】数学2017届高中毕业班联考(三)理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，复数，则=A．0 B．．1 D．2．设集合，，则的子集的个数是A．2 B．．8 D．163．已知，则A．B．C．D．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的迸择题、填空题和解答题这3种题型进行改编。

则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为A．150 B．180C．200 D．2805．执行如右图所示的程序框图，输出的s值为时，则判断框内应填写A．B．C．D．6．直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为,三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是A．B．C·D．7．函数的所有零点之和为A．B．C·D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为A．B．．C．D．9．已知对于任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点绕逆时针旋转角得到点，设平面内曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是A．B．C·D．10．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的一点，且，则外接圆的面积为A．B．C．D．11．如图．在中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，，则的值是A．4 B．8C．D·12．《数学统综)有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数。

则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上任取三个不同的点、、，均存在以、、为三边长的三角形，则实数的取值范围为 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必做题与选做题两部分，第13—21题为必做题。

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答案与解析
1.B
Zi(1 2i)
5
2.C
cos(75a)
sin( 15a)
cos(302a)
2
2 sin (15
a)
3.B
0.95440.6826
s
2
0.1359
卩0.1359
4.Bห้องสมุดไป่ตู้
只有①对
5.D
由x17.5,y
39代入方程可知
a=109,
4 20109
29
6.B
由图可知,
7.C
n
10
5
8.B
如图,
(1)求Ift圆G的方程及点F的坐标；
(2)过点F的直线 < 与G交于* "两点，与G交TC.D两点.求需♦嗇的取值范围•
21.(本小题清分12分)已知函散/("・・/"'("町川“満足$("・£■(<•««*>
X
0)•且&(e)二叭其中e为自於对数的底数
(1)B» *(«)-«*•・/W・求人(#)在(I.MD)处的切线方程；
(1)求在平面直角坐标系妙中画C的标准方程；
(2)已知P为08C上的动点•求LABP面积的用大值・
24.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】巳知函数心)=1x1 -IZx-ll•记/U)>・1的解集为M⑴求M；耳'：
(2)已知o e M.比较d♦1与丄的大小.
O
一联考(三)敎学试昙(理料)第4頁(扶4賈)一
-联教三）數学试卷（J5料）第I1（*4頁）一
第II卷
二填空题本大18共4小也毎小題5分，満分20分•把答案填在答题卡中对創■号后的横块上.
13.在△価C中.lAB^ACl= I忌-忌I•朋=2MC = I.E”为BC边的呻个三等分点•则
A? -If=・
rl<«<2
14.已知A(2.1),0(0・0)・点MJ』)満足y<2.则2=示•罚的量大值为•
（曲线C为正总分布N（・1.1）的襦度曲线）的点的个数尢约为
1193B.1359
C.2718D.3413
附渚»0.6826.
P（/l-2a <X </x 4-2<r） =0.9544
有下列三个结论：
1命Vx€/ttx-lru>0■的否定是“3^e/?.x0-Inro^O0;
2=“-是与直线"好-2“互相垂1T的充要条件;
(1)求出该班英语成绩的众数和平均数；
(2)从成绩低于80分的学生中莎机抽取2人•规定抽
到的学生成细在[50.60)的记I绩点分•在[60.80)的记2绩点分■设抽取2人的总绩点分为蓟求g的分布列和数学期望.X
)9.(本小題滑分12分)如图•在四梭鬣S- ABCD中•底血ABCD为正方形.SO丄面ABCD•点E.F分别为AB.SC的中点
3命IT角a的终边在第一象限•則a为悦角■的逆否命題为真命题
其中正确结论的个数为
人0个B・1个C2个D・3个
5.某产品在某丰售摊位的零告价班单位:元）与毎天的销Wfty（单位:个）的统卄资料如下哀所示•由表可得回归直线y = &i4（i中的6=：・4•据此模第预测零害价为20元时•毎天的销售■为
(2)设两数卩(*)二｛：(：；：：；・°为坐标原点•若对于y=F")在％M・I时的图象上的任一点P・在曲线y-F(x)(x«A?)上•总存在一点Q・使得方•帀<0.且丙的中点在 '轴上•求实散a的啟值范围・
请考生S22.23.24三题中任选一JB作答■注意，只能做所选定■目，如果多做则按所做第一个見计分，傲答时•谓用2B铅笔在答更卡上所选11号后的方框涂黒・
所求几何体的体积为
V正方体
2
9.B
如图,
由题意可知：c P
2
抛物线方程为
在y轴上,
Xp
，带入抛物线方程可得
2 2 (1 . 2)2
10.C
①：甲单独一人,
C2C| A；12
②：甲与另一人一起，则:
22-(本小题淆分10分)【选修4-1：几何j£明选讲】如图•过圆0外一点作同0的两条切线EA.EB.其中儿8为切点.be为圆o的一条直桧■连a并if长交
I的延长线于O点
(1)证明/—£6
(2)若初・3祀・求4£：*C的值23・(本小題満分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程透讲】
在平面直角坐标系呵中•以坐标匣点为圾点/釉的正半轴为极釉建立极坐标系•已知在极燮标系中,4(3屈子)上(3,于)，［»0的方程为p-2ca^
姓名
准考证号
2016届高中毕业班联考（三）
理科数学
注意事項：
1.本试卷分第I卷（选择題）和第口卷（非选择题）卿部分。时*120分钟.涣分150分。
2.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写庄答題卡相应位Sto
3・全部答秦在答題卡上完成.答在本试題左上无效。
4.考试结束丘.将本试临卷和答越卡一并交回。
17.(本小题満分12分)设函«/(<)二♦丄(龙>0)•数列巾」満足a—1・叫*」一)•其中s *叭・1
m/V■且n=2
(1)求数列b・l的通项公式；
(2) 对ng/V■■设S.+ 丄".」一♦
666咬
MH.
18.(本小題潢分12分)某校为了解-个英语教改班的悄况•举行了一次测试,将该班60位学生的英谄成绩进行统计•得额率分布直方图如右•其中成绩分组区间为[50.60).(60.70) .[70,80)t[80.90)t[90j00]
(1)求证疋尸〃平面弘6
(2)设SD=204.求二面角\-EF-D的余弦值・
-联考(三)敛学试參(理料)第3頁(央4頁)一
20.(本小题满分12分)巳知椭圆-1(a> 6 >0)的一个魚点与抛物线
C,:/・2px(p>0)的魚点F重合•且点F到直线一y+ 1 =0的距离为迂、C、与C,的公共弦长为2底.•丁 -
2x-yW2
15.已知P.A.B.C为球0球面上四点•其中MBC为正三九形■三域锥P-ABC的体积为
学•且乙"O=LBPO=厶CPO=30\则球O的农面枳为・
416.若阪数/(,) =?♦ln(“a)与g(“ =?尢亠y(x<0)的图叙上存在关于，轴对称的
点•则实数a的取值范围为・
三、解答题:本大题共70分・解答应写出文字说明、证明过程或演算步■
第I卷
一、选择題:本大B!共12小毎小题5分■共60分.在毎小&给出的四个选项中■只有一项是符合If目真求的.
I.巳知i为應数悚位•则Z■占在复平面内的点位于
A.第一象限
B.第二象JW
D.
第四象限
2.若心（75。*a）・話则cot（30。-2a）的值为
A虫B.虫Q z
A9•99
在如图所示的正方形中随机投掷10000个点■则落人阴Q薛分

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