第5章杆件的应力与强度计算.

力。
第2节 材料在轴向拉压时的力 学性能
材料在拉伸、压缩时的机械性能
• 标准圆试件：l0/d0=10或5，常用d=10mm， l0=100mm的试件进行测试。称为标距； • 压缩时，圆截面试件高度h与直径d之比为 1—3。 • 试验通常在室温的条件下按一般的变形速 度进行。在上述条件下所得材料的力学性 质，称为常温、静载下材料在拉伸（压缩） 是的力学性质。
45°
y
B F
Fy 0
x
FN 1 sin 45 F 0
FN 1 28.3kN
Fx 0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
FN 1 28.3 103 1 90MPa A1 20 2 4
FN 2 20 103 2 89MPa 2 A2 15
2

2
(1 cos 2 )
p sin sin cos
为斜截面上的应力计算公式

2
sin 2
2. 最大应力和最小应力 （1）最大 最小应力正应力 当 α ＝ 00 时 拉杆 σ max = σ 压杆 σ min = - σ
( 2 ) 最大 最小应力剪应力 当 α ＝+45 0 时
轴向拉伸和压缩
例 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN； 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方 截面杆。 A 1 45° C 2 B F 解：1、计算各杆件的轴力。 用截面法取节点B为研究对象
FN 1
y
FN 2 45° B
F
x
轴向拉伸和压缩
FN 1
FN 2
AB
FNAB 60103 MPa 0.96MPa AAB 250 250
BC
FNBC 180103 MPa 0.72MPa ABC 500 500
轴向拉伸和压缩
比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。 即|σmax|=0.96Mpa。 （3）校核强度 σmax=0.96MPa＜[σC] =1.05MPa
受压区 z 中 受拉区 性 层 y 中性轴
由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向 对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时， 其横截面绕中性轴旋转某一角度。
弯曲应力
梁中取出的长为dx的微段
1 2 1
2
o2 b 2
o1 o2 a b 1 dx 2
o1 a 1
变形后其两端相对转了d角
二、斜截面上的应力
图示直杆拉力为P 横截面面积A 横截面上正应力为
P
A
α
Aα
P

N P A A
pα P N＝Pα σα α τα
斜截面上正应力为
P P p cos cos A A
pα斜截面上的应力称为全应力
P
pα
p cos cos
FBy
FAy FBy 42kN
轴向拉伸和压缩 q =4.2kN/m （2）求拉杆的轴力。
FCy FCx
用截面法取左半个屋架为 研究对象，列平衡方程
ΣMC =0
l l FAy 4.2 q FNAB 1.4 0 2 4
FN
钢拉杆
FAy
（3）设计拉杆的截面。
FNAB 63kN
d M
1
2
M
r
1
2
O1 a1
O2 b1
弯曲应力
距中性层为y处的纵向纤维ab的变形 原
长： ab O1O2 rd dx 1
o1 a
2
o2
d
r
变形后长： a1b1 (r y)d
式中ρ 为中性层上的纤维的曲率半径。
1
则纤维的应变为
2a
b O1
1
O2 b1

a b ab a b O O
弯曲应力
平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且
仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤 维之间无挤压。
单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，
各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。
弯曲应力
中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短 ，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维 层，称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，
1 1
ab

1 1
1
2
O1O2
( r y )d rd y rd r
可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。
弯曲应力
2. 物理关系方面
由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料 在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应 力为
E
Ey
r
梁横截面上任一点处的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应
FP

FN
轴向拉伸和压缩
通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力——
正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横
截面上正应力的计算公式为
FN A
式中 A—拉（压）杆横截面的面积； FN—轴力。
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，
可推断：
轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：横截面上只有正应力σ。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两 个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间 的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应 力σ都相同。

塑性材料 脆性材料
0 S
0 b

n —安全系数
0
n

—许用应力。
轴向拉伸和压缩
塑性材料的许用应力 脆性材料的许用应力

s
ns
b nb
选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下， 尽可能减小安全系数来提高许用应力。 确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷 载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料 nS取1.4～1.7； 脆性材料 nb取2.5～3。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。
低碳钢在拉伸时的力学性质
拉伸过程
• • • • 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
强度指标与塑性指标
• 对低碳钢这一类材料：屈服极限和强度极 限是衡量其强度的主要指标。 • 弹性变形 • 塑性变形 • 延伸率和截面收缩率：
l 100% l A A1 100% A
力沿截面高度成线性分布。
中性轴上各点处的正应力等于零， 距中性轴最远的上、下边缘上各点处正 应力最大，其它点的正应力介于零到最 大值。
弯曲应力
3. 静力学关系方面
坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。 z轴：中性轴。 x轴：沿纵向线。 O ( y z)
M
z
x
dA y
受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力 组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ， 所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：
τ
max
σ/2
450 450
max 45
0 0

2
sin

2
τ
min
min 45
σ
= 0

2
σ/2
当α ＝900 时 说明緃向无正应力
轴向拉伸和压缩
பைடு நூலகம்
三、强度计算
任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上 限称为极限应力，常用符号σo表示。 极限应力
四、应力集中的概念
第5节 平面弯曲梁的应力与强 度计算
弯曲应力
a
A FP
FP
FP
a D
B
CD梁段横截面上
C
只有弯矩,而没有剪力，
这种平面弯曲称为纯 弯曲。
FQ
FP M FPa
AC和DB 梁段横截
面上不仅有弯矩还伴 有剪力，这种平面弯
曲称为横力弯曲。
弯曲应力
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究
总应力分解为
正应力σ 剪应力τ
与截面垂直 与截面相切
工程中应力的单位常用Pa或MPa。 p 1Pa=1N/m2 1MPa=1N/mm2



K
另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算 情况如下： 1kPa=103Pa， 1GPa=109Pa=103MPa 1MPa=106Pa
说明：
（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的， 所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。 （2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。 （3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点 的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内
；σcmax及[σc] 分别为最大工作压应力和许用压应力。
轴向拉伸和压缩
⒉ 强度条件在工程中的应用
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A FN A
3、确定许可载荷：
FN A
轴向拉伸和压缩
例 正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力 [σC]=1.05MPa，弹性模量E=3GPa，荷载FP=60kN，试校核 该柱的强度。 解（1）画轴力图如图b所示。 （2）计算最大工作应力 需分段计算各段的应力，然后选 最大值。
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。 通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生 最大工作应力的点称为危险点。
对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截
面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。
max
FNAB [ ] A
轴向拉伸和压缩
FNAB 63 103 A mm 2 393.8mm 2 [ ] 160
当拉杆为实心圆截面时
d
A
d2
4
393.8mm 2
4 393.8 mm 22.39mm 3.14
取d=23mm。
当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为
低碳钢压缩
铸铁拉伸与压缩
第3节 轴向拉压杆的应力与强 度计算
问题提出：
FP
FP
FP
FP
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度 (1)内力在截面分布集度应力； (2)材料承受荷载的能力。
轴向拉伸和压缩
一、拉（压）杆横截面上的应力
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
第1节 应力的概念
一、应力的概念
受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。 总应力：
FR K
FR dFR p lim A0 A dA
A
总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂
直，也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截 面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。
所以该柱满足强度要求。
轴向拉伸和压缩
例 已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载 q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求 设计拉杆AB的截面。⑴ 拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的 直径。⑵ 拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。
q
钢拉杆 8.4m
FAy 解 （1）整体平衡求支反力
轴向拉伸和压缩
1.强度条件
FN max σmax≤[σ] A σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是
压应力。 对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：
t max t c max c
式中：σtmax及[σt] 分别为最大工作拉应力和许用拉应力
A 393.8 A1 mm 2 196.9mm 2 2 2
选用两根36×3的3.6号等边角钢。
轴向拉伸和压缩
36×3的3.6号等边角钢的横截面面积 A1=210.9mm2 故此时拉杆的面积为 A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2 能满足强度要求，同时又比较经济。
方法是：
σ与ε物理关系 观察变形 应力分布
静力学关系 应力计算公式
弯曲应力
1. 几何变形方面
观察纯弯曲梁变形现象
b
z
O x
o
z
1
2
y
y
o1 a
1 2
o2
b
弯曲应力 M
o x z
M
y
M
1
2
M
O
z
o1 a1
1
o2 b1
2
y
所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的
纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。 横向线仍为直线但转过了一个角度； 矩形截面的上部变宽下部变窄。