第5章杆件的应力与强度计算.
建筑力学(5章)
M eB 0.95kN m
M eC 1.27kN m
M eD 1.59kN m
第5章 扭转杆的强度计算
（2）计算扭矩 1 1 2 2
截面1-1：
Mx 0
T2 WP2 14 106 MPa 71.3MPa π 1003 16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力 圆轴的扭转试件可分别用Q235钢、铸铁等材料做成， 扭转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶
T1 M eB 0
T1 M eB 0.95kN m
截面2-2：
Mx 0
T1
T2 M eB M eA 0
T2 M eA M eB 2.87kN m
T2
第5章 扭转杆的强度计算
3
截面3-3：
Mx 0
T3 M eD 0
3
T3 M eD 1.59kN m
式中：[σC]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
注意：若两个相互挤压构件的材料不同，应对挤压强度 小的构件进行计算。
第5章 扭转杆的强度计算
挤压强度条件在工程中同样可以解决三类问题。 但工程中构件产生单纯挤压变形的情况较少，挤压强
度的计算问题往往是和剪切强度计算同时进行。
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
当挤压面为平面时，挤压计算面积与挤压面面积相等。
《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
过程装备基础第5章习题解
第5章 杆件的强度与刚度计算5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm 2，钢的弹性模量E=2×105MPa ，F=10kN ，Q=4kN 。
要求：（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变； （2）计算钢杆的纵向总伸长量。
解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝对变形和应变从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则根据轴力的平衡，得各段内的轴力：（左）N 1=F=10kN （中）N 2=F-Q=10-4=6kN （右）N 3=F =10=10kN 各段内的应力：（左）MPa Pa S N 1001010010100101066311=⨯=⨯⨯==-σ （中）MPa Pa S N 6010601010010666322=⨯=⨯⨯==-σ （右）MPa Pa S N 1001010010100101066333=⨯=⨯⨯==-σ 各段内的绝对变形：（左）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653111=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （中） mm m ES L N l 06.01006.0)10100()102(2.0)106(3653222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （右）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653333=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ 各段内的应变：（左）41111052001.0-⨯==∆=L l ε 题5-1图1 2 3 123（中）422210320006.0-⨯==∆=L l ε （右）43331052001.0-⨯==∆=L l ε （2）计算钢杆的总变形26.01.006.01.0321=++=∆+∆+∆=∆l l l l mm （3）画出钢杆的轴力图 钢杆的轴力图见下图。
Nx5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。
05工程力学（静力学和材料力学）第2版课后习题答案_范钦珊主编_第5章_轴向拉伸与压缩
eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第5章)范钦珊 唐静静2006-12-18第5章轴向拉伸与压缩5－1试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。
解：(a)题(b)题(c)题(d)题习题5－1图F NxF N(kN)x-3F Nx A5－2 图示之等截面直杆由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。
直杆各部分的直径均为d ＝36 mm ，受力如图所示。
若不考虑杆的自重，试求AC 段和AD 段杆的轴向变形量AC l Δ和AD l Δ解：()()N N 22ssππ44BCAB BC AB ACF l F l l d dE E Δ=+33321501020001001030004294720010π36.××+××=×=××mm ()3N 232c100102500429475286mm π10510π364..CDCD AD AC F l l l d E ΔΔ×××=+=+=×××5－3 长度l ＝1.2 m 、横截面面积为1.10×l0－3 m 2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；-10F N x习题5－2图刚性板固定刚性板A E mkN习题5－4解图直径d ＝15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。
若在钢杆的C 端施加轴向拉力F P ，且已知钢和铝的弹性模量分别为E s ＝200GPa ，E a ＝70GPa ；轴向载荷F P ＝60kN ，试求钢杆C 端向下移动的距离。
解： a a P A E l F u u ABB A −=−（其中u A = 0）∴ 935.0101010.11070102.1106063333=×××××××=−B u mm钢杆C 端的位移为33P 32s s601021100935450mm π20010154...BC C B F l u u E A ×××=+=+=×××5－4 螺旋压紧装置如图所示。
第5章_杆件强度与刚度计算.ppt
Q [ ]
S
式中 τ—剪切面上的切应力； S－横截面积； Q—剪力。
27
许用切应力[τ]是利用剪切试验求出抗剪强度 τb，再除以安全系数n得到的，即 [τ]= τb／n。
塑性材料 [τ]=(0.6～0.8)[σ] 脆性材料 [τ]=(0.8～1.0)[σ]
23
5.3.2 剪切和挤压的实用计算
(1)剪切的实用计算
简图
受力图
分离体 假定分布
24
1)剪力计算
求内力的方法：截面法 (截、取、代、平)
Q=F
25
2)剪应力的计算
剪力Q在截面上的分布比较复杂，在 工程中假定它在截面上是均匀分布的，则 可得切应力计算公式：
Q
S
26
3)剪切的强度条件
为了保证受剪构件安全可靠地工作，
?1第55章杆件的强度与刚度计算直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算杆件的强度条件与刚度条件杆件剪切时的强度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算平面弯曲梁的强度与刚度计算直杆组合变形时的强度计算超静定问题简介?252直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算53杆件剪切时的强度计算54圆轴扭转时的强度与刚度计算56直杆组合变形时的强度计算第55章杆件的强度与刚度计算目录57超静定问题简介51概述55平面弯曲梁的强度与刚度计算?351概述?构件中的最大应力需视其受力与变形的具体情况而有所不同?对于杆件变形的基本形式通常采用其横截面上正应力或切应力建立强度条件组合变形情况的强度条件建立则比较复杂需要考虑材料的力学性能研究危险点的应力状态选用合适的强度理论?许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力构件中的最大应力许用应力通用的强度条件式为
杆件应力及强度计算
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
《输电线路基础》第5章-杆塔强度校核-第五节-铁塔构件内力的计算.
图5-5-2 单斜材平面桁架内力计算图
由于桁架主材坡度
所以
0 用Ⅰ-Ⅰ线截开U1、U2、s5三个构件，按照上述方法，取 M A ，即
Hale Waihona Puke 求得U1 PH 5 5 8.5034kN (受压) b6 cos 3.0 0.98
同理，取占 M 0 0
可得
U2
5 4 7.8493 kN (受拉 ) 2.6 0.98
所以，采用截面法时，一次截取未知内力的构件数不得超过三个。 求任意一个构件的内力时，取另外两个构件的交点为力矩中心。 如果截取的构件多于三个，但是除拟求内力的构件外，其余各构 件都交汇在一点，那么就取这一交点为力矩中心。
这样，在 M 0 的方程式里只有一个未知数，能够很快地求出拟 求的构件内力。 截面法的优点是，一次能求出桁架内任意构件的内力，而不必计 算其它各构件的内力，因此在铁塔的计算中广泛采用截面法。 利用截面法求构件内力的步骤： (1)将桁架截为两部分，截断桁架时，要在截断面内包括拟求内力的 构件，同时将未知内力的构件交汇于一点。 (2)将桁架另一部分舍去并用构件的内力代替舍去部分对留下部分的 作用。同时假定所有构件受拉，就是说，其内力的方向是离开节点 的。 (3)在求某一构件内力时，取其余各构件的汇交点作为力矩中心，并 写出作用在留下部分桁架上诸力的力矩平衡方程式。 (4)从列出的方程式中，如果算出的各构件内力是正值(+)的，那么 表示该构件受拉，如果是负值(-)，则表明构件受压。
上式中的r1为自O点至斜材s3的垂直距离，用作图法求得。 交点0的距离a可按下式计算。 (5-5-4)
例题5-5-1 如图5-5-2所示的单斜材平面桁架，水平作用力P=5kN， 试求主材U1～U5和斜材s1～s5的内力。 【解】 由式(8-6)可得水平力P的作用点到主材 交点0的距离a为
5-1杆件拉伸和压缩时的强度条件及应力集中
§5-1 杆件拉伸和压缩时的强度条件及应力集中课时计划：讲授3学时教学目标：1.掌握杆件拉伸和压缩时的强度条件；2.理解应力集中的概念。
教材分析:1.重点为杆件拉伸和压缩时的强度条件；2.难点为利用拉压强度条件解决工程中的强度问题。
教学设计：本节课的主要内容是讲解杆件拉伸和压缩时的强度条件以及应力集中现象。
重点为杆件拉伸和压缩时的强度条件，在前几章的基础上引出拉压强度条件，并通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解拉压强度条件，进而学会用其解决校核强度、设计截面和确定许用载荷三类常见工程中的强度问题。
最后列举若干工程实际中变截面杆件的例子，使学生理解应力集中的概念及影响。
第1学时教学内容：一、杆件拉伸和压缩时的强度条件等截面直杆轴向拉伸和压缩时，截面上的应力是均匀分布的，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力一致，垂直于横截面，故为正应力，如下图所示。
为了保证拉伸和压缩的杆件满足强度要求，必须使杆件内的最大应力不超过材料的许用应力。
则有杆件拉伸和压缩时的强度条件为：][max σσ≤=AF N 杆件的最大应力max σ称为工作应力。
最大应力所在的截面称为危险截面。
工作应力小于等于许用应力，就认为强度足够；工作应力大于许用应力，就认为强度不够。
例题5-1 如图所示的悬臂吊车，尺寸如图。
斜拉杆D C '和水平线的夹角 30=α，材料为Q235低碳钢的无缝钢管，外径D =分析：校核斜拉杆D C '的强度，就是计算该杆件的应力是否超过材料的许用应力。
该杆件的许用应力ns σσ=][ ，由§4-1知Q235低碳钢MPa s 235=σ，由§4-2塑性材料MPa n s118][==σσ。
力c c F F ='可选梁AB 为研究对象列平衡方程求得。
外力：铰链'C 和该杆两端受力KN F F c c 150'==；内力：因为斜杆是二力杆件，其轴力等于两端受力KN F F c N150'==。
杆件的应力与强度—杆件拉压时应力与强度(建筑力学)
轴向拉（压）杆的强度
2 强度计算
1. 校核强度 2. 设计截面
3. 确定许用载荷
轴向拉（压）杆的强度
【例2】
一直杆AB的受力情况如图（a）所示。直杆的横截面面积A=10 cm2，C点 的拉力为40 kN，D 点拉力为130 kN，材料的许用应力［σ］=160 MPa， 试校核杆的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1.轴向拉（压）杆横截面上的应力计算； 2.轴向拉（压）杆的强度计算。
难点内容
1.轴向拉（压）杆件的强度计算； 2.根据已知条件判别轴向拉（压）杆的危险截面。
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布特点
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例2】 【解】 首先作出直杆AB的轴力图，如图5-27（b）所示。由于是等直杆， CD段的截面是产生最大内力的危险截面，因此由强度条件得：
故满足强度条件。
【例3】
轴向拉（压）杆的强度
图（a）所示为正方形截面阶梯形柱。 已知：材料的许用压应力［σ］=1.05 MPa，弹性模 量 E=3 GPa，荷载FP=60 kN，柱自重不计。试校核 该柱的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1 极限应力
2 许应用力 3 安全因数
式中：
—— 许用应力 —— 极限应力 —— 安全因数
对塑性材料一般取：ns=1.4～1.7， 对脆性材料一般取：nb=2.5～5.0。
轴向拉（压）杆的强度
1 强度条件
对于等截面杆件：
式中，Fnmax 和 A 分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。
杆件拉压时应力与强度
教学目标
知识目标
建筑力学_高职05
∴ 最大正应力smax＝1.1MPa（压），发生在柱子下 段各横截面上，这种应力较大的点称为危险点。
5.4 拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变 形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形； 伴随着纵向变形，垂直于杆轴方向的横向尺寸也 会缩小或增大，称为横向变形。
第五章 轴向拉伸及压缩
主要内容：杆件在轴向拉压时的内力、应力和 变形； 材料在拉压时的力学性能；轴向拉 压杆的强度计算； 连接件的强度计算。
5.1 工程实例与计算简图
轴向拉伸或压缩杆件的工程实例
(a) 桁架中的杆件
(b) 斜拉桥中的拉索
(c) 闸门启闭机中的螺杆
承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉 ( 压 ) 杆。实 际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若 将它们加以简化，则都可抽象成以下的计算简图。 其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴 线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同 时横向尺寸也发生变化。
当杆的变形为弹性变形时，横向线应变´与纵 向线应变 的绝对值之比是一个常数。此比值称为 泊松比或横向变形系数，用ν 表示，即： ν 是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，可 以通过试验测定。 弹性模量E 和泊松比ν 都是材料固有的弹性常数， 由于 ´ 与 正负号总是相反，可得横向线应变与纵 向线应变或正应力的关系表达式： s E
2）屈服阶段（BC段） 此阶段内应力-应变曲线上下波动，应力基本保持 不变而应变急剧增加 ，材料暂时失去了抵抗变形的能 力，这种现象称为屈服或 流动。在屈服阶段中，对 应于应力-应变曲线首次下 降后的最低点应力值称为 屈服下限。通常，屈服下 限值较稳定，一般将其作 为材料的屈服极限，用 s s 表示。如：Q235钢的屈服 极限ss =235MPa。
理论力学中的杆件受力分析与应力计算
理论力学中的杆件受力分析与应力计算杆件在力学中是一种常见的结构元件，广泛应用于工程领域。
在使用杆件的过程中，对其受力分析与应力计算是十分重要的，这有助于了解杆件的工作状态和承受外部力的能力。
在理论力学中，杆件的受力分析和应力计算是相互关联的，通过分析杆件上的受力情况可以计算出其内部所受的应力。
一、杆件受力分析杆件在受力时一般会存在拉力、压力和剪力等力的作用，为了分析杆件上的受力情况，我们首先需要了解以下几个概念：1. 内力：杆件内部产生的相互作用力被称为内力，包括拉力、压力和剪力等。
内力可以分为轴向力、弯矩和剪力三种类型。
2. 外力：杆件受到的外部施加的力被称为外力，可以分为集中力和分布力。
集中力是沿杆件轴线方向的作用力，可以通过杆件两端的连接点传递；分布力是沿杆件长度方向分布的作用力。
3. 杆件端点的支座条件：杆件连接点的支座条件可以分为固定支座、铰接支座和滑动支座。
固定支座可以防止杆件端点的位移和旋转；铰接支座只能防止位移，而滑动支座只能防止垂直位移。
通过分析杆件上的受力情况，可以得出杆件内部所受的内力大小和方向。
具体的受力分析方法包括静力平衡方程和弹性力学原理等。
二、应力计算杆件在受力时会发生变形，产生应力。
应力是指杆件内力对杆件截面积的比值，常用符号表示为σ。
杆件所受的应力可以分为轴向应力、剪应力和弯曲应力。
1. 轴向应力：杆件受到拉力或压力时，在截面上会产生轴向应力。
轴向应力可以通过杆件所受的轴向力与截面面积的比值来计算，即σ= F/A，其中F为轴向力，A为截面面积。
2. 剪应力：杆件在受到剪力时会产生剪应力。
剪应力可以通过杆件所受的剪力与截面面积的比值来计算，即τ = V/A，其中V为剪力，A 为截面面积。
3. 弯曲应力：杆件在受到弯矩作用时会产生弯曲应力。
弯曲应力可以通过弯矩对截面矩型模量的比值来计算，即σ_b = M/W，其中M为弯矩，W为截面矩型模量。
根据杆件所受的外力和材料的性质，可以计算出杆件所受的内力和应力。
第五章杆件的应力与强度计算
FN ,m a x A
例5.3.1
一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面 面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2， A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的 最大工作应力。
解: （1）求各段轴力
FN1=F1=120 kN FN2=F1－F2=120 kN－220 kN = －100 kN FN3=F4=160 kN （2）作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出 轴力图（图6-3b）。
（1）弹性阶段（图5-2-2中ob段）
b点相对应的应力–应变的弹性极限，以 表示。
e
在弹性阶段，拉伸的初始阶段oa为直线， 表明与成正比。
a点对应的应力–应变的比例极限，用 P
表示。
根据虎克定律可知，图中直线oa与横坐标ε 的夹角正切就是材料的弹性模量，即
E tg
弹性极限与比例极限二者意义不同，但由
5-3-2斜截面上的应力
图5-3-2a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作
用 显然。，由截横面截法面知的F正N应=F力，若为杆的横截面面积 为 AFN，
A
由图5-3-2(b)求得斜截面m-m上的内力（图 6-5b）为
FN=FN
(b)
由几何关系可知，斜截面m-m的面积为
A A / cos ，可得斜截面上各点的应力为
p dp p lim
A0 A dA
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该 点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直， 也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂 直的法向分量和与截面相切的切向分量（图5-
1b），法向分量称为正应力，用 表示；切向 分量称为切应力，用表示。
5-1-2、关于应力注意的几点
（3）求最大应力
杆件的强度计算公式
杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
??? (2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
??? (3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
? ??应力的单位为Pa 。
??? ?????????????????1 Pa =1 N ／m 2工程实际中应力数值较大，常用MPa 或GPa 作单位??? ?????????????????1 MPa =106Pa??? ?????????????1 GPa =109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 ? ????????????????l l ∆=ε????????????????????????????????????????????????（4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为横向应变ε/为 ??????????????????????????a a ∆=/ε?????????????????????????????????????（4-3） 杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
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FNAB 60103 MPa 0.96MPa AAB 250 250
BC
FNBC 180103 MPa 0.72MPa ABC 500 500
轴向拉伸和压缩
比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。 即|σmax|=0.96Mpa。 （3）校核强度 σmax=0.96MPa＜[σC] =1.05MPa
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。 通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生 最大拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截
面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。
τ
max
σ/2
450 450
max 45
0 0
2
sin
2
τ
min
min 45
σ
= 0
2
σ/2
当α ＝900 时 说明緃向无正应力
轴向拉伸和压缩
三、强度计算
任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上 限称为极限应力，常用符号σo表示。 极限应力
max
FNAB [ ] A
轴向拉伸和压缩
FNAB 63 103 A mm 2 393.8mm 2 [ ] 160
当拉杆为实心圆截面时
d
A
d2
4
393.8mm 2
4 393.8 mm 22.39mm 3.14
取d=23mm。
当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为
FBy
FAy FBy 42kN
轴向拉伸和压缩 q =4.2kN/m （2）求拉杆的轴力。
FCy FCx
用截面法取左半个屋架为 研究对象，列平衡方程
ΣMC =0
l l FAy 4.2 q FNAB 1.4 0 2 4
FN
钢拉杆
FAy
（3）设计拉杆的截面。
FNAB 63kN
45°
y
B F
Fy 0
x
FN 1 sin 45 F 0
FN 1 28.3kN
Fx 0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
FN 1 28.3 103 1 90MPa A1 20 2 4
FN 2 20 103 2 89MPa 2 A2 15
1 1
ab
1 1
1
2
O1O2
( r y )d rd y rd r
可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。
弯曲应力
2. 物理关系方面
由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料 在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应 力为
E
Ey
r
梁横截面上任一点处的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应
所以该柱满足强度要求。
轴向拉伸和压缩
例 已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载 q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求 设计拉杆AB的截面。⑴ 拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的 直径。⑵ 拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。
q
钢拉杆 8.4m
FAy 解 （1）整体平衡求支反力
弯曲应力
平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且
仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤 维之间无挤压。
单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，
各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。
弯曲应力
中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短 ，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维 层，称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，
A 393.8 A1 mm 2 196.9mm 2 2 2
选用两根36×3的3.6号等边角钢。
轴向拉伸和压缩
36×3的3.6号等边角钢的横截面面积 A1=210.9mm2 故此时拉杆的面积为 A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2 能满足强度要求，同时又比较经济。
四、应力集中的概念
第5节 平面弯曲梁的应力与强 度计算
弯曲应力
a
A FP
FP
FP
a D
B
CD梁段横截面上
C
只有弯矩,而没有剪力，
这种平面弯曲称为纯 弯曲。
FQ
FP M FPa
AC和DB 梁段横截
面上不仅有弯矩还伴 有剪力，这种平面弯
曲称为横力弯曲。
弯曲应力
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究
低碳钢在拉伸时的力学性质
拉伸过程
• • • • 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
强度指标与塑性指标
• 对低碳钢这一类材料：屈服极限和强度极 限是衡量其强度的主要指标。 • 弹性变形 • 塑性变形 • 延伸率和截面收缩率：
l 100% l A A1 100% A
力沿截面高度成线性分布。
中性轴上各点处的正应力等于零， 距中性轴最远的上、下边缘上各点处正 应力最大，其它点的正应力介于零到最 大值。
弯曲应力
3. 静力学关系方面
坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。 z轴：中性轴。 x轴：沿纵向线。 O ( y z)
M
z
x
dA y
受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力 组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ， 所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：
二、斜截面上的应力
图示直杆拉力为P 横截面面积A 横截面上正应力为
P
A
α
Aα
P
N P A A
pα P N＝Pα σα α τα
斜截面上正应力为
P P p cos cos A A
pα斜截面上的应力称为全应力
P
pα
p cos cos
轴向拉伸和压缩
根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，
可推断：
轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：横截面上只有正应力σ。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两 个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间 的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应 力σ都相同。
塑性材料 脆性材料
0 S
0 b
n —安全系数
0
n
—许用应力。
轴向拉伸和压缩
塑性材料的许用应力 脆性材料的许用应力
s
ns
b nb
选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下， 尽可能减小安全系数来提高许用应力。 确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷 载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料 nS取1.4～1.7； 脆性材料 nb取2.5～3。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。
受压区 z 中 受拉区 性 层 y 中性轴
由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向 对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时， 其横截面绕中性轴旋转某一角度。
弯曲应力
梁中取出的长为dx的微段
1 2 1
2
o2 b 2
o1 o2 a b 1 dx 2
o1 a 1
变形后其两端相对转了d角
d M
1
2
M
r
1
2
O1 a1
O2 b1
弯曲应力
距中性层为y处的纵向纤维ab的变形 原
长： ab O1O2 rd dx 1
o1 a
2
o2
d
r
变形后长： a1b1 (r y)d
式中ρ 为中性层上的纤维的曲率半径。
1
则纤维的应变为
2a
b O1
1
O2 b1
a b ab a b O O
轴向拉伸和压缩
1.强度条件
FN max σmax≤[σ] A σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是
压应力。 对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：
t max t c max c
式中：σtmax及[σt] 分别为最大工作拉应力和许用拉应力
力。
第2节 材料在轴向拉压时的力 学性能
材料在拉伸、压缩时的机械性能
• 标准圆试件：l0/d0=10或5，常用d=10mm， l0=100mm的试件进行测试。称为标距； • 压缩时，圆截面试件高度h与直径d之比为 1—3。 • 试验通常在室温的条件下按一般的变形速 度进行。在上述条件下所得材料的力学性 质，称为常温、静载下材料在拉伸（压缩） 是的力学性质。
2
2
(1 cos 2 )
p sin sin cos
为斜截面上的应力计算公式
2
sin 2
2. 最大应力和最小应力 （1）最大 最小应力正应力 当 α ＝ 00 时 拉杆 σ max = σ 压杆 σ min = - σ
( 2 ) 最大 最小应力剪应力 当 α ＝+45 0 时
；σcmax及[σc] 分别为最大工作压应力和许用压应力。
轴向拉伸和压缩
⒉ 强度条件在工程中的应用
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：