量子力学课件第十一章

第十一章 散射

11.1 引言

11.1.1 经典散射理论

设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射−如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。

图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。

图11.2：弹性刚球散射。

例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，

sin cos 222b R R πθθ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

[11.1] 显然，

()12cos ,if ,

0,

if .b R b R b R θ-⎧≤=⎨≥⎩ [11.2]

一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面：

1

图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。

[11.3]

利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ

θθd db

b D sin =

[11.4]

(由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。)

例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而，

1

这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。

但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ

—这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。

()()422sin sin )2cos(2

R R R D =

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=θθθθ [11.6] 这是一个比较特殊的情况，微分截面不依赖θ。

总截面是将D (θ)对立体角积分：

()Ω≡⎰

d D θσ [11.7]

粗略地讲，它是被靶散射的入射束的总面积。例如对刚球散射，

(

)2

2R d R πσ=Ω=⎰

[11.8]

可以预期，它正是球的截面面积；入射到此面积内的粒子将击中靶，而在此之外的粒子将不能击中靶。这里所给出的表达形式的实质在于它对于不能简单地说“击中或击不中”的“软”靶（比如一个原子核的库仑场）也同样适用。

最后，假定有一束入射粒子，具有均匀强度（或粒子物理学家所称的亮度）

Λ≡单位时间内通过单位面积的入射粒子数目。 [11.9] 单位时间内通过面积d σ（散射到立体角d Ω内）的粒子数目是()dN d D d σθ==ΩL L ，从而，

()1dN

D L d θ=

Ω

[11.10] 由于它只涉及实验室中容易测量的量，通常被作为微分截面的定义。如果探测器接收散射到立体角d Ω内的粒子，计录下单位时间内的粒子数目，除以d Ω，再除以亮度得到微分散射截面。

***习题11.1 卢瑟福散射。设电荷为q 1，动能为E 的入射粒子被一电荷为q 2 的静止重粒子散射。

（a ） 给出碰撞参数和散射角的关系。2 答案：120(/8)cot(/2)b q q E πεθ=。 （b ） 求出微分散射截面。答案：

()()12

2

02

16sin 2q q D E θπεθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

[11.11]

（c ） 证明卢瑟福散射的总截面是无穷大。通常说1/r 势具有“无穷大作用距离”；你逃脱

不了库仑力的作用。

11.1.2 量子散射理论

在散射的量子理论中，我们设想有一列入射平面波，()ikz

z Ae ψ=，在z 方向上传播，它与一散射势相遇，产生一列出射球面波（图11.4）3。也就是说，我们要寻求具有以下通式的

2

可参考有关经典力学的书，例如：Jerry B. Marion and Stephen T. Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems , 4th ed., Saunders, Fort Worth, TX (1995), Section 9.10。

3

就目前来说，这里没有牵涉到很多量子力学方面的知识；我们在讨论的是波（相对于经典粒子）的

薛定谔方程的解：

()(), ikr ikz

e r A e

f r r ψθθ⎧⎫⎪≈+⎨⎬⎪⎭⎩

对大的 [11.12]

（球面波项中出现因子1/r 是为了在远离散射中心处2

ψ形如1/r 2以保证几率守恒。）与通常一样，波数k 与入射粒子的能量之间的关系为：

图11.4：波散射；入射平面波产生出射球面波。

mE

k 2≡

[11.13] 像以前那样，我将假定靶关于方位角对称；不过对更一般的情况，出射球面波的振幅f 也可能依赖于φ。

图11.5：在时间dt 内通过面积d σ的入射束体积dV 。

所有问题就归结为确定散射振幅()f θ；由它可给出θ方向上的散射几率，进而与微分

散射，甚至可以把图11.4看作一幅描述水波遇到一块岩石的画面，或者（更好地三维散射的角度）一幅表示声波从一个篮球上反弹的图画。在这种情况下，我们以实函数形式写出波函数：

[cos()()cos()/]A kz f kr r θδ++

()f θ将代表被散射到θ

方向上的声波振幅。