量子力学课件第十一章

第十一章 散射11.1 引言11.1.1 经典散射理论设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。

其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射−如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。

经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。

一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。

图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。

图11.2：弹性刚球散射。

例题11.1 刚球散射。

假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。

用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，sin cos 222b R R πθθ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[11.1] 显然，()12cos ,if ,0,if .b R b R b R θ-⎧≤=⎨≥⎩ [11.2]一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。

若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面：1图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。

[11.3]利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θθθd dbb D sin =[11.4](由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。

)例题11.2 刚球散射（续上例）。

对刚球散射（例11.1）， ⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而，1这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。

就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。

但是恐怕我们还得使用这个术语。

我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ—这使得等式11.3看起来像是同义反复。

我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。

()()422sin sin )2cos(2R R R D =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθ [11.6] 这是一个比较特殊的情况，微分截面不依赖θ。

总截面是将D (θ)对立体角积分：()Ω≡⎰d D θσ [11.7]粗略地讲，它是被靶散射的入射束的总面积。

例如对刚球散射，()22R d R πσ=Ω=⎰[11.8]可以预期，它正是球的截面面积；入射到此面积内的粒子将击中靶，而在此之外的粒子将不能击中靶。

这里所给出的表达形式的实质在于它对于不能简单地说“击中或击不中”的“软”靶（比如一个原子核的库仑场）也同样适用。

最后，假定有一束入射粒子，具有均匀强度（或粒子物理学家所称的亮度）Λ≡单位时间内通过单位面积的入射粒子数目。

[11.9] 单位时间内通过面积d σ（散射到立体角d Ω内）的粒子数目是()dN d D d σθ==ΩL L ，从而，()1dND L d θ=Ω[11.10] 由于它只涉及实验室中容易测量的量，通常被作为微分截面的定义。

如果探测器接收散射到立体角d Ω内的粒子，计录下单位时间内的粒子数目，除以d Ω，再除以亮度得到微分散射截面。

***习题11.1 卢瑟福散射。

设电荷为q 1，动能为E 的入射粒子被一电荷为q 2 的静止重粒子散射。

（a ） 给出碰撞参数和散射角的关系。

2 答案：120(/8)cot(/2)b q q E πεθ=。

（b ） 求出微分散射截面。

答案：()()1220216sin 2q q D E θπεθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[11.11]（c ） 证明卢瑟福散射的总截面是无穷大。

通常说1/r 势具有“无穷大作用距离”；你逃脱不了库仑力的作用。

11.1.2 量子散射理论在散射的量子理论中，我们设想有一列入射平面波，()ikzz Ae ψ=，在z 方向上传播，它与一散射势相遇，产生一列出射球面波（图11.4）3。

也就是说，我们要寻求具有以下通式的2可参考有关经典力学的书，例如：Jerry B. Marion and Stephen T. Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems , 4th ed., Saunders, Fort Worth, TX (1995), Section 9.10。

3就目前来说，这里没有牵涉到很多量子力学方面的知识；我们在讨论的是波（相对于经典粒子）的薛定谔方程的解：()(), ikr ikze r A ef r r ψθθ⎧⎫⎪≈+⎨⎬⎪⎭⎩对大的 [11.12]（球面波项中出现因子1/r 是为了在远离散射中心处2ψ形如1/r 2以保证几率守恒。

）与通常一样，波数k 与入射粒子的能量之间的关系为：图11.4：波散射；入射平面波产生出射球面波。

mEk 2≡[11.13] 像以前那样，我将假定靶关于方位角对称；不过对更一般的情况，出射球面波的振幅f 也可能依赖于φ。

图11.5：在时间dt 内通过面积d σ的入射束体积dV 。

所有问题就归结为确定散射振幅()f θ；由它可给出θ方向上的散射几率，进而与微分散射，甚至可以把图11.4看作一幅描述水波遇到一块岩石的画面，或者（更好地三维散射的角度）一幅表示声波从一个篮球上反弹的图画。

在这种情况下，我们以实函数形式写出波函数：[cos()()cos()/]A kz f kr r θδ++()f θ将代表被散射到θ方向上的声波振幅。

截面相联系。

以速度υ运行的入射粒子在时间dt 内通过无穷小面积d σ的几率是（图11.5）22incident ()dP dV A dt d ψυσ==它等于粒子被散射到相应的立体角d Ω内的几率：2222scattered 2()AfdP dV dt r d r ψυ==Ω，由此得出2d fd σ=Ω，从而，()()2θσθf d d D =Ω≡[11.14] 显然微分截面（实验工作者感兴趣的量）等于散射振幅（可通过求解薛定谔方程而得到）绝对值的平方。

在随后的几节中我们将学习计算散射振幅的两种方法：分波法和波恩近似。

问题11.2 对一维和二维散射，构造与11.12式相对应的表达式。

11.2 分波法11.2.1理论表述正如我们在第四章中所发现的那样，在球对称势()V r 情况下，薛定谔方程的解可表示为：()()()φθφθψ,,r,m l Y r R = [11.15] 其中m l Y 是球谐函数（4.32 式），()()u r rR r =满足径向方程（4.37 式）：()()Eu u r l l m dr u d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-2222212r V 2 [11.16] 当r 很大时势趋于零，并且离心部分贡献可以忽略，上式变为，222d uk u dr≈- 其通解为：()ikr ikr u r Ce De -=+；第一项代表出射球面波，第二项代表入射球面波。

我们目的是求散射波，所以要求D =0。

因此，当r 很大时，我们有，()ikre R r r，这符合上一节中的物理图象（11.12 式）。

上述讨论是针对r 很大的情况（更准确地说对应1kr 的情况；光学中称为辐射区）。

正如在一维散射理论中那样，我们假定势是“局域的”，即认为在有限的散射区域之外势为零（如图11.6所示）。

在中间区域（此区域内V 可以忽略，但是需保留离心项），4径向方程4这里不适用于库仑势，因为当r →∞时，1/r 比1/r 2 更慢地趋于零，在此区域内离心项不占主导地位。

变为：()u k u rl l dr u d 22221-=+- [11.17] 通解（方程4.45）是球贝塞尔函数的线性组合：()()()l l u r Arj kr Brn kr += [11.18]然而，无论l j （它有点像正弦函数） 还是l n （它像一个余弦函数的推广）都不能表示出射波（或入射波）。

我们需要的是类似于ikre 和ikre-的线性组合；因此选择球汉克尔函数：()()()()1;ll l h x j x i n x ≡+ ()()()()2l l l h x j x i n x≡- [11.19]图11.6：局域势散射：散射区（较暗的阴影），中间区（较亮的阴影）和辐射区（此区域内1kr ）。

表11.1：球汉克尔函数，(1)(2)表l因此库仑势不是局域的，分波法不适用。

趋于/ikrer ，而(2)()l h kr （第二类汉克尔函数）趋于/ikr e r -；因而对于出射波，我们需要第一类球汉克尔函数：()()()kr h r R l 1~ [11.20]因此，在散射区域之外（()0V r =），波函数为： ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫+≡∑m l m l l m l ikzY kr h eA r c ,1,,,,φθφθψ [11.21] 第一项是入射平面波，求和项（展开系数,l m C ）代表散射波。

但是由于我们假定势具有球对称性，波函数不依赖于φ，5所以，仅有对应于0m =的项存在（注意m im l Y e φ ）。

根据方程4.27 和4.32 ，有： ()()0,cos ll Y θφθ≡[11.22] 其中l P 为l 阶勒让德多项式。

通常重新定义展开系数，令1,0l l l C i +≡：()()()()()⎩⎨⎧⎭⎬⎫++=∑∞=+011cos 12,l l l l l ikz p kr h a l i k e A r θθψ [11.23]下面将会看到这种表达形式的方便之处；l a 称为第l 分波振幅。

在r 很大的情况下，汉克尔函数近似于1()/l ikri ekr +-（表11.1），因此， ()()⎩⎨⎧⎭⎬⎫+≈r e f e A r ikr ikz θθψ, [11.24]其中，()()()θθcos 120ll l p a l f ∑∞=+=[11.25]从而更严格地证实了方程11.12 所假设的通式，并且告诉我们如何根据分波振幅（l a ）计算散射振幅()f θ。

微分截面是： ()()()()()()θθθθcos cos 1212'''*'2l l l l llp p a a ll f D ++==∑∑ [11.26]总截面是：5由于入射平面波定义了一个z 方向，球对称性被破坏，θ依赖性没有问题。

但是方位角对称性仍然存在；入射平面波不依赖φ，并且散射过程也不可能导致出射波依赖于φ。

()2124ll al ∑∞=+=πσ [11.27](这里对角度的积分利用了Legendre 多项式的正交性和方程4.34 。

)11.2.2 计算技巧余下的事情是根据问题中的势能计算确定分波振幅l a 。