工程力学第11章 应力状态和强度理论

而最大正应力的方位角α0则可由下式确定
式中, 负号表示由x面到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 因为 tan2α0=tan(180°+2α), 所以式(11-4) 给出两个相差90°的 α0 角, 即α0和 α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°), 即这两个面互相垂直。 考虑到图11-8a中A、 B两点位于应力圆上同一直径两端, 即最大正应力所在截面和最小正应力所在截 面互相垂直 , 所以式 (11-4) 所求两个 α0 值即是 A 、B 两点所代表截面的方向。 它们之间的对应关系可以利用下述规则来确定 : 在 α0 和 α0+90°两个方向中 , σmax的方向总是在τx所指向的那一侧。 所以, 最大和最小正应力所在截面的方 位如图11-8b所示。 从图11-8a中还可以看出, 应力圆上存在K、M两个极值点, 由此得单元体在平 行于z轴的截面中最大和最小切应力分别为
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由此得
根据切应力互等定理可知, τx和τy的数值相等; 若将三角函数变换公式 cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α sin2α=2sinαcosα 代入式(a)、式(b), 于是可得
此即为斜截面上应力的一般解析表达式。 利用该公式可由已知应力σx、σy和
τx, 计算任一α截面上的应力σα和τα。 必须指出, 在使用该式时, 正应力拉为正, 切应力以绕单元体内一点顺时针旋转者为正, 而α则以x轴正向起, 逆时针旋转 至斜截面外法向者为正。
第11章 应力状态和强度理论
11.1
应力状态的概念
前面研究了轴向拉伸(或压缩)、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题, 这 些构件的危险点处于单向拉(压)或纯剪切的应力状态, 因此, 建立了相应的强 度条件
然而在实际工程问题中, 许多构件的危险点处于复杂的受力状态。 例如矿山 牙轮钻的钻杆就同时存在扭转和压缩变形, 这时杆横截面上危险点处不仅有 正应力σ, 还有切应力τ。 对于这类构件, 是否可以仍用上述强度条件分别对 正应力和切应力进行强度计算呢?实践证明, 这将导致错误的结果。 因为在 危险点处的正应力和切应力并不是分别对构件起破坏作用, 而是有所联系的, 因而应考虑它们的综合影响。 为此促使人们联系到构件的破坏现象。 事实上, 拉压、扭转、弯曲等基本变形情况下的构件, 并不都是沿构件的横 截面破坏的。 例如, 在拉伸试验中, 低碳钢屈服时在与试件轴线成45°的方 向出现滑移线; 铸铁压缩时, 试件沿与轴线成接近45°的斜截面破坏。 这表 明构件的破坏还与斜截面上的应力有关。 因此为分析各种破坏现象, 建立组 合变形下构件的强度条件, 还必须研究构件各个不同斜截面上的应力, 对于 应力非均匀分布
1Baidu Nhomakorabea.2
平面应力状态的应力分析
11.2.1 平面应力状态分析的解析法
由于单元体的边长均为无穷小量, 因而, 当围绕一点所取单元体各截面应力均已 知时, 则该点处的应力状态亦完全确定。 在一般情况下, 构件处于平衡状态, 在构件中所取的单元体显然也满足平衡条件。 因此, 可利用静力平衡条件来分析单元体各个平面上的应力。 应力状态的类型有多种, 其中较常见的是所谓平面应力状态。 以前我们介绍过 的纯剪切应力状态和图11-1b所示单元体都是平面应力状态。 平面应力状态的 一般形式如图11-3所示, 即在单元体的六个侧面中, 只有四个侧面上作用有应 力, 而且它们的作用线均平行于同一平面。 图11-3所示的单元体, 在x面(外法 线沿x轴的面)上作用有σx、τx, 在y面上作用有应力σy、τy。 现研究与z轴平行 的任一斜截面mp上的应力(图11-4a)。 斜面mp的外法线与x轴成α角, 称其为 α面, α面上的正应力和切应力分别用σα和τα表示。 利用截面法, 沿mp面截单元体为两部分, 取左半部分为研究对象。 若设斜截面 面积为dA, 则截面mb和bp面积分别为dAcosα和dAsinα。 这样保留部分mbp 的受力图即为图11-4b所示, 该部分沿斜面的法向和切向的平衡方程则分别为 (参见图11-4c)
的构件, 则必须研究危险点处的应力状态。 所谓一点的应力状态, 就是通过受 力构件内某一点的各个截面上应力情况。 由于构件内的应力分布一般是不均匀的, 所以在分析各个不同方向截面上的应 力时, 不宜截取构件的整个截面来研究, 而是围绕构件中的危险点截取一单元体 来分析, 以此来反映一点的应力状态。 例如, 螺旋桨轴工作时既受拉、又受扭 (图11-1a),若围绕轴表面上一点用纵、横截面截取单元体, 其应力情况如图 11-1b所示, 即处于正应力和切应力的共同作用下; 又如, 在导轨和车轮的接触 处(图11-2a), 单元体A除在垂直方向直接受压外, 由于其横向变形受到周围材 料的阻碍, 因而侧向也受到压力作用, 即单元体A处于三向受压状态。 显然, 要解决这类构件的强度问题, 除应全面研究危险点处各截面的应力外, 还 应研究材料在复杂应力作用下的破坏规律。 前者为应力状态理论的任务, 后者 则为强度理论所要研究的问题。
1) 选取σ -τ直角坐标系, 横轴σ向右为正, 纵轴τ向上为正, 如图11-6所示。 2) 按选定的比例尺, 在横轴上量取 , 在纵轴τ上量取 可得D点, 再用 相同比例尺量取 (此处τy为负, 故向下量取), 得D'点。 3) 连接D和D‘点的直线交横轴于C点, 以C点为圆心, 以 或CD'为半径作圆, 即为该单元体所对应的应力圆。 应力圆确定后, 若欲求α面应力, 则只需将半径 沿逆时针方向旋转2α角 处, 所得H点横坐标σH和纵坐标τH, 分别代表了α面上正应力σα和切应力τα。 以上用作图法所求σα、τα的正确性可证明如下。 由图11-6可以看出:
11.2.2 平面应力状态分析的图解法
由式(11-1)和(11-2)可知, 任一斜截面α上的正应力σα和切应力τα均随参量α变 化。 所以σα和τα间必有确定的函数关系。 为建立它们间直接关系式, 先将式 (11-1)和式(11-2)改写为
式(c)、式(d)两边平方相加, 即有
从式(e)可以看出, 在以τ、σ为纵横坐标轴的平面内, 式(e)所对应的曲线为圆 (图11-5), 其圆心C的坐标为 , 半径为 , 而圆上任何一点的 纵、横坐标分别代表了单元体上某斜截面上的切应力和正应力。 此圆称为应力 圆。 并按以下步骤绘制应力圆。
将式(f)、式(g)和式(11-1)、式(11-2)比较, 可见 σH=σα, τH=τα 即H点的横坐标和纵坐标分别等于α面的正应力和切应力。
11.2.3 平面应力状态的最大应力和主应力
图11-8a为图11-8b所示单元体的应力圆, 其中D、E两点代表了x、y面上应力, 由图11-8a可以看出, 应力圆与σ轴相交于A、B点, 由此可得, 单元体在平行于 z轴的各截面中最大正应力和最小正应力分别为