南京市高二上期末数学试卷解析理科

南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)

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高二（上）期末数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.

1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．

2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．

3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．

4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．

6．函数f（x）=xe x的最小值是．

7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是．

9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．

12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是．

13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．

14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，

则实数a的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．

（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；

（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：

（1）B1C∥平面FAC1；

（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．

17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．

（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；

（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B （1，4），C（3，2）．

（1）求△ABC外接圆E的方程；

（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；

（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求k AB•k AC的值；

（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自

然对数的底数．

（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；

（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.

1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，

p=2∴焦点坐标为：（1，0）

故答案为：（1，0）

【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．

2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．

【考点】命题的否定．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；

故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．

【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．

3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．

【解答】解：双曲线，

∴a=2，b=3，焦点在x轴上，

故渐近线方程为y=±x=±x，

故答案为y=±．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．

4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．

∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．

5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，

由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，

∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，

故答案为：2x﹣y﹣1=0．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．

6．函数f（x）=xe x的最小值是﹣．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．

【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1