10313平面向量的概念与几何运算答案

第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代（1数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。0，记作（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合）。000的方向是任意的；的区别。与注意：1的向量叫做单位向量。（3）单位向量：长度等于.a?b）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：4（任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量b//a。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平两个方向相同或相反的向量，记作：行向量也叫做

共线向量。0规定：与任意向量平行。．向量的表示方法3B AB

1（）始终点法（几何表示法）：如图向量；

A a：小写字母加上箭头，如（2）单个字母表示法（代数表示法）从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之

中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算、向量的加法1 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）向量加法的平行四边形法则；（1）则第一将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，）向量加法的三角形法则：（2 个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和

）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。3（、向量加法的性质21

aa?b??b（1）向量加法的交换律：；)?c(?(ab)?c?a?b；（2）向量加法的结合律：D

C aa??a0?0? 3（）。、向量的减法3（用加法的逆运算定义向量的减法是向量加法的逆运算AB。向量的减法）ba与b?ax,?ab?x若叫做。则的差，记作、求作差向量4ba与b?a，求作向量已知向量。B;?b,OA?b,OB?a则AB?a O可以表示作法：

在平面内取一点，作

ab的终点的向量。的终点指向向量为从向量

三、实数与向量的乘积、实数与向量的积1OA??a?a。它的模与方定义：实数的积是一个向量，

记作与非零向量向规定如下：??.aa???（1）??????0.??a?0时,方向相反?0时,?a与a;方向相同(2)0?时,?a与a;??平行.?a与时特点:当?0,a

实数与向量积的运算????a()()?a?结合律：；1）（???????.??a?()?)a??a??a,(a?b?b）2分配律：（、单位向量2 定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。a.a?aa;或?aa a设同方向的单位向量，则是非零向量00

a

、向量平行的充要条件3

2

??.?b?aab平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数与非向量使得????b//a.?,,使b?a?推论：的充要条件是存在实数2211四、应用举例：AB ABCDEF相等的向量的中心为O，则与例

1、如图，正六边形ED

OD量相等的向是，量的负向是

OD。是。的平行向量是OCF

ODAB,,OCED,FO量是的负答：与向相等的向量是CB,,EFDO,OA。AB OD BC,,FE,AD,DADO,OA,AO,EF,CB等共有与平行的向量是9个。反思：掌握概念是关键FABC?DF?CD?AB?。例2、化简

FADF??CD?AB?FA?(?BC)AB?DF?CD?BC

解：.0?AFFA??DF)?FA?CD?(AC?)?DF?FA?(AD

。“首尾相接”反思：三角形法则，b,a为非零向量，试判断下列各命题的真假？例3、已知??0??a0?的充要条件；（1）是

2aa3a3a?2?2与的模是2）的模的的方向相反，且倍。（3

)a b?(a?b)?(互为负向量；（3）与

a22?a2aa；的（4）因为2的方向与倍，所以相同，且大小为

a

）假命题。）假命题；（421）假命题；（）真命题；（3答：

（

反思：平时对问题的表述要准确ABCD）如图，在平行四边形（1 中，下列结论中错误的是（）4例、C

D

AC??ADABAB?DC B）（）（A

0?ADCB?BDAD??AB A

（C（）D）B

解：依照图形分析得答案为（。C）

3

?CD）如图所示，（2D是△ABC的边AB上的中点，则向量）（A11BA??BC?BABC? B. A.

22

D11BABABC??BC D. C. C

22B1BABC?CD?CB?BD??解：），选取（A

2ba,ab,b,a（3））是两个非零向量，。分别是的单位向量，则下列命题正确的是

（

001?b(BA()若则a//b,)a?b若a//,则a?b0000

ba?b(D)若a?a 则C()若a?1,a??1,则a?b?或00000

）解：（C

.的值a与?ab?1,且ab的夹角为60,求?b,a?b）C反思：方法的选择要优化，如第（2）小题D

已知5例、（1解：应用余弦定理BA 2223?解得aa由a?b??b?2?abcos?603,?b

2221b由a?b?a??2a?bba??解得cos60?1,

?MNNCAN?3?ABa,AD?b,ABCD。_______M）在（2，中，为BC 的组中点，则

ba、表示）（用A

D

1111)?BA?(CB?

解:MN?MC?CN?BC?CABC4224N1111.????AB?BC?ba CB

4444M反思：数形结合是重要的解题方法

CFAD,BE,ABC?为重心，且的中线，6例．如图，分别是G A表示aa?,试用