分式不等式的解法
高中数学 必修5 简单分式不等式的解法
课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。
相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。
含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f ( x) g ( x)
0
f (x) g ( x)
g(x) 0
0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
0 问：如果不等式是
x2 3x2 x2 2x3
该如何解？
例题2：解不等式
x2 2x 24 x2 7x 12 2
解：移项通分得
3x2 16x x2 7x 12
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3 x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0
x
5
0
即原不等式的解集为
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
分式不等式的解法
2）一般地，分式不等式分为三类：
1）判断下列不等式组中，哪些解集相同。
2）把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组）
3）解下列分式不等式：
1、分式不等式的概念 2、分式不等式的解法
练习册：P18 习题2.3 A组 1~3； B组 1
其他不等式的解法（1）
—分式不等式的解法
格致中学 蔡青
1、分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程
2、分式方程的解法： 1)去分母转化为整式方程 2)解整式方程 3)验根
1、分式不等式定义：分母中含有未知数的不等式
主要研究形如
的不等式
研究： 改变：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、分式不等式的解法：
1）基本思路：把未知的问题转化成我们熟悉的问题。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
新课标数学预习讲义---分式不等式
2.4 分式不等式预习讲义【知识梳理】一、分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式． 二、分式不等式的标准形式：()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f x g x ≤)． 三、分式不等式的解法：（1）0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ；0)()(0)()(≥⇔≥x g x f x g x f ，且0)(≠x g ；（2）0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f ；0)()(0)()(≤⇔≤x g x f x g x f ，且0)(≠x g ． 【考点分类精讲】考点1 简单分式不等式的解法【考题1】解下列不等式（1）0132<+-x x （2）321≤+-x x（3）0112≥-+x x （4）11223<-+x x【举一反三】1．若不等式的解集为，则关于x 的不等式053>-+x a bx 解集为（ ） A ．（－5，3）B ．C ．（－3，5）D ．2．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是(1，＋∞)，则不等式02≤-+x b ax 的解集是________． 考题2 含两个分式的分式不等式的解法【考题2】解下列不等式：（1）x x x -≤-4512 （2）2334212-+≤-+x x x x【举一反三】解下列不等式：（1）1111+>+x x （2）2312312-+>-+x x x x考点3含高次的分式不等式的解法【考题3】解下列不等式：（1）063222<++--+x x x x （2）451820422+-+-x x x x ≥3；（3）1122---x x x ≥0 （4）03)44)(32(22≤-++-+x x x x x【归纳总结】方法：先因式分解，再使用穿根法．注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正．使用方法：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立.考点4 解含参数的分式不等式的解法【考题4】解关于x 的不等式032<--ax x ，其中a 为非零常数．【举一反三】不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，则a 的值为（ ） A ．2B ．－2C ．D ．【题型优化测训】1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)3．不等式的解集为（ ） A ． B ．或 C ． D ．或4．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x|1＜x ＜3}，则实数k ＝ ． 5．解下列分式不等式（1）0413353222≥+---x x x x （2）12731422≥+-+-x x x x6．已知关于x 的不等式0)2)(())(2(≥----d x c x b x a x )(c d a b ≤≤≤的解集为2|{-≤x x 或11<≤-x 或}3>x ，求关于x 的不等式0))(())((≤----d x c x b x a x 的解集．。
高一数学分式不等式及其解法
专题讲解 分式不等式及其解法资料编号:20190725分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解; （3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解; （4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f . 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.例1. 解不等式012<-+xx . 解:原不等式可化为:012>-+x x ,它的同解不等式为:()()012>-+x x 解之得:1>x 或2-<x ∴原不等式的解集为{}21-<>x x x 或.例2. 解不等式21-+x x ≤2. 解:原不等式可化为:25--x x ≥0,它的同解不等式组为:()()⎩⎨⎧≠-≥--02052x x x解之得:x ≥5或2<x ∴原不等式的解集为{}25<≥x x x 或.例3. 解不等式51372>++x x . 解: ()()0125101275012750513751372222222<+--⇒<++-⇒>+-+-⇒>-++⇒>++x x x x x x x x x x x x x ∵012>+x∴原不等式的同解不等式为:()()0251<--x x解之得:152<<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<152x x . 习题1. 解下列不等式:（1）xx -+32≥0; （2）14312>--x x .习题2. 若集合{}3121≤+≤-=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02x x x B ,则=B A ____________. 习题3. 不等式xx 1+≤3的解集为____________. 例4. 解不等式0322322<--+-x x x x . 解:原不等式可化为:()()()()03121<-+--x x x x 它的同解不等式为:()()()()03211<---+x x x x由标根法解之得:11<<-x 或32<<x ∴原不等式的解集为{}3211<<<<-x x x 或.提示:分式不等式经过等价变形后,如果是高次不等式,应结合序轴标根法求解. 注意:（1）未知数的系数化为正数;（2）奇穿偶不穿.习题4. 解不等式:32532-+-x x x ≥2.含参数的分式不等式的解法举例例5. 解关于x 的不等式:02<--a x a x . 解:原不等式的同解不等式为:()()02<--a x a x当2a a >,即10<<a 时,原不等式的解集为{}a x a x <<2;当2a a =,即0=a 或1=a 时,原不等式的解集为∅;当2a a <,即1>a 或0<a 时,原不等式的解集为{}2a x a x <<.习题5. 解关于x 的不等式:01>+-x x a .例6. 解关于x 的不等式:()121>--x x a )1(≠a . 解:原不等式可化为:()()[]0212>-+--a x a x当1>a 时,原不等式可化为:()0122>⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x ∵01122>-=---a a a a ,∴122-->a a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧--<>122a a x x x 或; 当1<a 时,原不等式可化为:()0122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x①若122-->a a ,即0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212x a a x ; ②若122--=a a ,即0=a 时,原不等式的解集为∅; ③若122--<a a ,即10<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122a a x x . 习题6. 解关于x 的不等式:12>-x ax .例7. 已知关于x 的不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,求不等式()()b x a xc x ---≤0的解集. 解:∵不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴3,1,2=-==b a c 或1,3,2-===b a c ∴()()b x a x c x ---≤0即()()312-+-x x x ≤0 解之得:1-<x 或2≤3<x ∴不等式()()b x a x c x ---≤0的解集为{}321<≤-<x x x 或.。
分式不等式解法
x
x
4 3
或x
5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 或x 3
5
7
2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x2 x2
2x 24 7x 12
分式不等式解法公式
分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。
首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。
$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。
接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。
根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。
因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。
$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。
例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。
首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。
因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。
以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。
-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。
-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。
对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。
综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。
我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。
首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。
分式不等式的解法课件
转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元二次不等 式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次 不等式。然后，根据一元二次不等式的解法，求解这个不等 式组，得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识 相结合，如代数、函数、方程等。这些题 目通常需要学生综合运用多个知识点来解 题，旨在提高学生的数学综合素质和问题 解决能力。解决这些题目需要学生具备扎 实的数学基础和灵活的思维，能够从多个 角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观 看
THANKS
分子和分母同号时，解集为空集；分子和分母异号时，解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母，将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母，通过乘以适当的正数消去分母。然后，将不等式 两边进行整理，使其成为一元一次不等式的形式。最后，解这个一元一次不等 式组，得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后， 根据一元高次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。
课题分式不等式的解法(共6张PPT)
f(x) f(x)g(x)0(0) 也就是说：分母含有未知数的不等式，称为分式不等式。 0(0) 国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 g(x) g(x)0 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少
数学知识：分式不等式的解法 ，才能比来时用的时间少？
国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少 ，才能比来时用的时间少？ 课题：分式不去思考才能感受得到！
愿大家通过自己的努力分享 到这份成熟的美！
谢谢各位的参与！
第6页，共6页。
课题：分式不等式的解法
第1页，共6页。
引例：
国庆期间，全家决定从家里出发，开车去 世纪公园看立体花展，若全路程为90千米， 车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回 来时由于当天晚上有烟火表演的缘故，交 通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1 个小时，问接下来的三分之二的路程，车 速应该比原来去公园时的速度加快多少， 才能比来时用的时间少？
，才能比来时用的时间少？ 课题：分式不等式的解法 数学是种美，这种美需要大家去思考才能感受得到！ 国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少
分式不等式的解法试题
分式不等式的解法试题分式不等式是由分式构成的不等式，其中包含有分子和分母，并且分子和分母都是关于未知数的代数表达式。
解决分式不等式的关键在于找到分式的定义域，并根据定义域的特点判断不等式的解集。
本文将介绍两种常用的解决分式不等式的方法：图像法和通分法。
一、图像法图像法是通过将分式转换为对应的图像来解决不等式。
首先，我们需要将分式化简为一个非零的分数。
然后，根据分式的性质作出分式图像。
接着，我们需要找到分母为零的情况，并将其表示在图像中。
最后，根据图像的特点确定不等式的解集。
举个例子来说明图像法的解决过程。
假设我们有以下的分式不等式：(2x-1)/(x+3) > 1第一步，化简分式，得到：2x-1 > x+3第二步，将分式转换为对应的图像。
在这个例子中，图像应该是一条直线。
根据分式的性质，我们知道当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
因此，我们可以得到如下的图像：___//______/第三步，找到分母为零的情况。
分母为零时，分式无定义。
因此，我们需要解方程x+3=0，得到x=-3。
将该点表示在图像中： ___/(-3)/______/第四步，根据图像的特点确定不等式的解集。
观察图像可知，当x小于-3时，分式的值大于1；当x大于-3时，分式的值小于1。
因此，不等式的解集为x<-3或x>1。
二、通分法通分法是通过将分式不等式的分母通分，并简化不等式来解决问题。
首先，我们需要找到分式的公共分母。
然后，将不等式的两边分别乘以公共分母，并化简不等式。
最后，根据分式的特点确定不等式的解集。
让我们通过一个例子来说明通分法的解决过程。
假设我们有以下的分式不等式：(3x+2)/(x-4) < 2第一步，找到分式的公共分母，这里是(x-4)。
第二步，将不等式的两边乘以公共分母，得到：(3x+2)*(x-4) < 2*(x-4)第三步，化简不等式，得到：3x^2 - 10x - 8 < 0第四步，根据分式的特点确定不等式的解集。
分式不等式的解法
都是等价变换！ 求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！
例1：解不等式 ：
x −1 ≤1 2x +1
练一练： 7x + 3 >5 1. 2 x +1
x + 3 ≥ 0 2. 3 − 2 x
x−a <0 的不等式: 例2：解关于 的不等式 ：解关于x的不等式 2 x−a
(a ∈ R )
练一练：
分式不等式的解法
ห้องสมุดไป่ตู้
解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“ ” 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤” 等价转化 ”
分式不等式的解法： 分式不等式的解法：
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 ⇔ 或 g( x ) g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) 或 < 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) < 0 ⇔ g( x ) g( x ) < 0 g( x ) > 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≥0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≤ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≤0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) < 0 g( x ) > 0
练习：解关于 的不等式 的不等式: 练习：解关于x的不等式
2.5 简单分式不等式的解法
所以，原不等式的解集为
2004年10月21日
,
1
U
2 3
,
.
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
ax b cx d
0
(ax b)(cx cx d 0
式，先约去公因式，再把它等价转 换成前面讨论过的情形。
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
原方程可化为 (m 3)x m 6,
如果m＝3，那么原方程无解.
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
2004年10月21日
x
|
2 3
x
1.
试解不等式： (x 1)(x 2) 0
(x 1)(x 3)
解：
约分，得
x2 0 x3
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
所以解集为
2004年10月21日
(, 3) U(2,1) U(1, ).
cx d
(cx d )
移项、通分、化整式
2004年10月21日
试一试：
x 1 2. 3x 2
2004年10月21日
解：
x 1 2 3x 2
移项、通分得
5x 5 0. 3x 2
所以
(5x 5)(3x 2) 0, 3x 2 0.
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。
设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。
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例2：解不等式
+
- -1
o
1
o
+
- 2
o
3
o
+
由序轴标根法可得原不等式的解集为:
Ⅱ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合序轴标 根法求解！注意点:
（1）x的系数必须是正数；（2）分清空实点；（3）奇穿偶不穿。
练一练：
解：
- +
-3
o
-1 +
所以原不等式的解集为:
此时， x>-1/2与 x≤-2是什 么关系呢？
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变 换！
练一练：
1.
2.
解：
例2：解不等式
不等式组（1）的解集是 不等式组（2）的解集是
由此可知，原不等式的解集是
原以不下等式过的程解同 集就学是来上完面成的
- 1/2
1
o
+
例3：解关于x的不等式:
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0 (1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：x∈φ （3）当a2<a即:0<a<1时,解集为:{x|a2<x<a} 综上：(1) 当a>1或a<0时, 原不等式解集为：{x|a<x<a2}}
（2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：x∈φ （3）当0<a<1时, 原不等式解集为:{x|a2<x<a}
练一练：
例4:解关于x的不等式：
解：
移项
通分 解不等式
1o ∴原不等式解集为：
例4:解关于x的不等式：
解：
2o
解集为： 解集为： 解集为：
综上：(1)当a>1时,原不等式的解集为：
(2)当0<a<1时,原不等式的解集为：
练一练：
课堂小结
1、主要的数学思想：等价转化、分类讨论 2、分式不等式的主要类型及其等价转化：
3、运用“序轴标根法”解分式不等式时的注意点： (1)x的系数必须是正数(2)分清空 实点(3)奇穿偶不穿。 4、解含有字母的分式不等式必须分清：
必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。
再 见
作 业：
第一轮复习:不等式
—— 解分 式 不等式
秭归县屈原高中 张鸿斌
复习指导
解分式不等式的关键就 是如何等价转化（化归） 所给不等式！
例1：解不等式
-2xx+-+112<>000或-2xx+-+12<>00
所以原不等式的解集为:
例1 ：解不等式
X≥-2与X>-1/2 是什么关系呢？
所以原不等式的解集为
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
Hale Waihona Puke (3)当a=0时,原不等式的解集为：
(4)当a<0时,原不等式解集为：
小结： １．本题对 a实施了两次讨论，第一次就“a>1,a<1” 分类 讨论，第二次在“a<1”的前提下，又就与2的关系进行分 类讨论。 ２．解含字母的分式不等式：
①必须分清对字母分类讨论的依据
②字母取不同范围的数得到不同的解集都必须全部写出来。