《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析

8. 2 典型非线性特性的输入 – 输出波形
死区（不灵敏区）：当输入量 x≤ ∆ 时， 输出量 y = 0 ，当 时，y x> ∆ 与 x 是线 性关系
y
k
∆ : 死区范围
−∆
0
∆
β
x
K = tg β：为死 区特性直线段斜率
放大元件
执行元件
r(t) –
k , ∆1 1
误差检测器
k2 , ∆2
k3, ∆3
1 知，应使 G(jw) 曲线不包围 − 曲线，于是： N ) (A
−0.3K ReG jwx) = ( ≥ −0.5 4.5
故 K 的临界值为：
0.5×4.5 Kmax = = 7.5 0. 0.3
例2、非线性系统的结构图如图所示，其中死区中继 电特性的参数 m = 1.7 ，h = 0.7 ，试用描述函数法 分析该系统是否存在自振，若存在自振，求出自振的 振幅和频率。 y(t) r(t)=0 X(t) – m h
−
1 N0(A )
A/h = 1.08 ，故振幅 A1 = 1.08×0.7 = 0.76 交点 m2 处的 A/h = 2.62 ，故振幅 A2 = 2.62 ×0.70 = 1.83 只有 m2 点为自振，自振振 幅 A = 1.83 频率 w = 200rad/s
y k 0
y
∆
x xபைடு நூலகம்
0
ϕ1
X(t)=Asinwt
一、稳定性
线性系统的稳定性，只决定于系统的结构和 参数，而与起始状态无关。 非线性系统的稳定性，则除了与系统的结构、 参数有关外，很重要的一点是和系统起始偏离的 大小密切相关。 起始偏离小，系统稳定；起始偏离大，很可 能就不稳定。 如非线性方程：
X + (1 − X ) X = 0
.
1）当起始偏离 x0 < 1 时，1 – x0 > 0 ，上式 具有负特征根，系统稳定，动态过程按指数规律衰 减。 2）当 x0 = 1 时，1 – x0 = 0 ， X = 0 系统 保持常值。 3）当 x0 > 1 时，1 – x0 < 0 ，系统具有正根， 不稳定 所以非线性系统必须明确是在什么条件，什么 范围的稳定性。
执行机构由静止状态起动，必须克服机构中的 静摩擦力矩，启动后。为了保持转速或进行加速， 要克服机构中的动摩擦力矩，摩擦力矩总是力图阻 止机构的运动，是一种阻力矩。 继电特性： M 0 -M x2
x1
在输入信号 x1 很小时就动作，触点拍合，输 出量 x2 突变，故原点附近的等效增益很大 →∞，之后，x1 增加，输出 x2 保持常值 m ，故 随 x1 增加且等效增益逐渐减小。 理想继电器控制系统多半处于阻尼工作状态。
( ) ( ) 闭环系统的特征方程： 1+ N A G jw = 0 1 ( ) ∴G jw = − N( A )
1 − ：非线性特性的负倒描述函数 N ) (A
奈氏稳定判据：
1 若 G(jw) 曲线不包围 − 曲线，则非线性 N ) (A
系统是稳定的，两者距离越远，稳定程度越高；
1 若 G(jw) 曲线包围了 − 曲线，则非线性系 N ) (A 1 统是不稳定的；若 G(jw) 曲线与 − N(A 曲线相 )
-198
-211
5.71
3.87
2.75
2.23
1.41
0.94
0.48
1 − N0(A )
G(jw) m1 m2
∵ 当 A/h = 1 → 2
1 − 时， N (A) →∞达到最大 0
1 − 值，当 A/h = 2 →∞ 时， = - 1.75→-∞ N0(A )
着两段直线在负实轴上完全重合，只是重合点对
460 jw 0.01 jw+ 1)(0.0075jw+ 1) (
解：死区继电特性的描述函数
4M h2 NA= ( ) 1−( ) ( A≥ h) πA A
将描述函数中部分非线性参数分离出来，乘到 线性部分中去
M 4b h2 NA= • ( ) 1−( ) = K0N0( A ) h πA A
M 1.7 K0 = = = 2.43 — 尺度系数 h 0.7 h2 4h N0( A = ) 1−( ) — 相对描述函数 πA A
1 A − = 2 可以求得使 产生极值时 N0(A ) h
系统线性部分的频率特性为：
2.43×460 K0G jw = ( ) jw 0.01 jw+1)( 0.0025 jw+1) (
1 给 A 和 w 一系列数值，可以绘出 − N (A ) 0
K0G(jw) 值如下表所示。
1 1.08 1.3 1.41
.
二、运动形式
非线性系统小偏离时，单调变化，大偏离时很可能 出现振荡，不服从叠加性。
三、自振
线性系统中的临界稳定对应的等幅振荡只发生在 结构参数的某种配合下，参数稍有变化，等幅振荡不 存在，即这种临界稳定状态是很难实现的，而非线性 系统的自振都在一定范围内长期存在，不会由于参数 的变化而消失。多数情况下不希望自振，但有时利用 自振可以改善系统的性能，这都要求对自振发生的条 件、频率和振幅进行确定。
2、非线性系统的稳定性分析 r(t) – 非线性系统的方块图 r(t)=0 – 非线性系统等效为线性系统 x(t) N(A) y(t) G(s) C(t)
e
非线性部分
线性部分
如上图所示，图中 G(s) 的极点均在左半 S 平面 则闭环系统的频率特性。
C( jw ) N(A)G( jw ) Φ( jw = ) = R( jw 1+ N(A)G ) ) (jw
交，则非线性系统存在着周期运动，它可以是稳定的， 也可以是不稳定的。
j -1
1 − N ) (A
j -1
0
G(jw) G(jw) G(jw)
0
1 − N ) (A
1 − N ) (A
周期运动的稳定性分析：
非线性系统的自振（稳定的周期运动）： 非线性系统的自振（稳定的周期运动）： 系统受到轻微扰动作用偏离原来的运动状态， 在扰动消失后，系统的运动能重新收敛于原来的等 幅持续振荡。 不稳定的周期运动： 不稳定的周期运动： 系统的运动不能重新收敛于原来的等幅持续振 荡，而是一经扰动就收敛、发散或是转移到另一种 稳定的周期运动状态。
A h
1 − N0(A )
2.62
4
5
∞
-∞
-2.25
- 1.6
-1.57
-2.23
-3.24
-4.01
-∞
w
120
150
180
200
250
300
400
G jw ( )
2.35
1.59
1.13
0.92
0.58
0.39
0.2
G ∠ ( jw)
K0 G jw ( )
-157
-167
-175
-180
-190
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
其中 k = 2 ， a = 1
1 − = N( A )
−π 1 1 1 2 4 [arcsin + 1−( ) ] A A A
1 = −0.5 NA ( )
当 A = 1 时，− A →∞
1 →∞ 时，− N(A )
1 ∴− 曲线位于 – 0.5 ～- ∞ 这段负实轴上 N ) (A
系统线性部分的频率特性为：
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
1 − 应的振幅不同，为结构起见， 曲线用两条 N0(A )
直线表示，直线上的箭头表示 A/h 增加的方向。
由图可知，K0G(jw) 和 曲线有两 交点 m1 和 m2 ，系统可能产生两个振幅不同而频率相 等的周期运动，从 K0G(jw) 曲线上可以找出交点处的 频率值 w = 200rad/s
1 从 − 曲线上可以找出交点 m1 处的 N0(A )
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
1+ K0G jw N0(a) = 0 ( )
则产生自振荡的条件：
1 K0G jw) = − ( N0( A )
1 d(− ) N0( A ) =0 对（1）对 A 求导并令： dA
例1、具有饱和非线性控制系统如图所示，试求： （1）k = 15 时，系统的自由运动状态 （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，k 的 临界稳定值是多少？ r(t)=0 – X(t) 2 1 y(t) C(t) K S(0.1S + 1)( 0.2S + 1)
解：饱和非线性特性的描述函数
2k a a a2 N A = [ar ( ) csin + 1−( ) ]( A> a) π A A A
ϕ1
y –a 0 k a: 线性范围 k:线性范围内的传递 函数 x
α
a
饱和特性的等效增益，将随输入量的增大而减 小，所以饱和特性对系统的影响可以粗略地用线性 系统开环增益减小时，对系统性能产生的影响来作 近似的分析。 间隙： y k -b b 2b
β
x
主要影响： ①降低了定位精度，增大了系统的静差。 ②使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。 摩擦： Mf M1 M2 M1:静摩擦力矩 M2:动摩擦力矩
ϑ1
③继电器及接收器作为放大元件，其控制绕 继电器及接收器作为放大元件， 阻中的电流与触点拍合后所输出的电压。 阻中的电流与触点拍合后所输出的电压。
u 0 -u
可见非线性因素在实际系统中是普遍存在的， 可见非线性因素在实际系统中是普遍存在的， 含有非线性特性的系统，称之为非线性系统。 含有非线性特性的系统，称之为非线性系统。
非线性系统周期运动的稳定性判据：
在复平面上，将线性部分 G(jw) G(jw) 曲线包围的区域看成是 不稳定区域，而不被 G(jw) 曲线包围的区域看成是稳定 不稳 1 区域。那么当交点处的 − N(A) 稳定 曲线，沿着振幅 A 增加 1 的方向是由不稳定区进入稳定 − 区时，则该交点代表的是稳定 N ) (A 的周期运动，即自振荡。反之，交点处的 1 − 曲线，沿着振幅 A 增加的方向是从稳定区进入不 N(A) 稳定区时，则该交点代表的是不稳定的周期运动。
8.3 描述函数法
r(t)=0 – x(t) N y(t) G(s) C(t)
1、典型非线性特性的描述函数
当非线性环节的输入 x(t) 是正弦函数时，它的 稳态输出 y(t) 可近似看作是一个与输入信号同频率 的正弦函数，只是幅值和相位不同罢了。我们把输 出信号的一次谐波分量和输入信号的复数比定义为 非线性环节的描述函数。
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
将 wx 代入 ReG(jw) 可求得 G(jw) 曲线与负实 轴交点的幅值为：
−0.3K ReG jwx) = ( 4 2 0.0004wx + 0.05wx +1 wx =
−0.3K 50= 4.5
（1）将 k = 15 代入上式得: ReG(jw) = - 1 ，
1 G(jw) 与 − N(A 曲线交于 ( - 1 ， j0 ) 点 ，根据 )
第八 章
非线性控制系统分析
8.1 特点（非线性系统动态过程） 特点（非线性系统动态过程）
①电动机的电枢电压与转速的静特性
U2
0
U
②齿轮减速器，齿轮之间存在间隙，当主动轮 齿轮减速器，齿轮之间存在间隙， 反转时， 反转时，必须转过间隙的空行程后才能带动从 动轮转动， 动轮转动，则两轴转角的关系为
ϑ2