旋转的证明与计算(等边三角形)

旋转的证明与计算
模块一：旋转应用之等边旋转
类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于
考点：旋转的性质；正方形的性质
分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2
11121=⨯⨯=∆APE S ；2
93321=⨯⨯=∆CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422
121=⨯⨯=⨯⨯=∆EF EP S PEF 最后利用S 正方形
A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．
跟踪训练：
2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3
少度？
考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理
分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转
60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，
2
AP′=AP=2，P′C=PB=3
，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC．
2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；
（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；
（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质
分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC ，根据相似三角形的判定定理得到△AMD ∽△CDN ，有相似的性质得到AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，然后把DC=AD=2代入计算即可；
（2）分别过D 点作DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，连DB ，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=3，由AM=x ，得CN=x 4，MB=4-x ，BN=x
44 ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN ，则y=S △D B M +S △D B N ，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x 的取值范围为1＜x ＜4；
（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M 点在线段AB 的延长线上，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，BP=2
1DH=1，由△AMD ∽△CDN ，则AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，可计算出CN ，然后根据三角形的面积公式可计算出S △D P N ，即两块三角形板重叠部分的面积．
3、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．
（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；
（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存
在，请说明理由．
考点：旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．
分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△
BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△
BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．
（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时
4、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1，连结P1C．
（1）判断△APB与△AP1C是否全等，请说明理由；
（2）求∠APB的度数；
（3）求△APB 与△APC的面积之和；
（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；
勾股定理．
分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋
转的性质可得AP1=AP，然后求出∠CAP1=∠BAP，再利用“边角边”证
明△APB与△AP1C全等即可；
（2）连结PP1，求出△PAP1是等边三角形，根据等边三角形的性质可
得PP1=AP=3，∠AP1P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP1P=90°，
然后计算即可得解；
（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；
（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．
参考答案：
1、
解：四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，
把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
而∠ADC=90°，
∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；
由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，
2、
3、
解答：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，∴∠A=∠C=∠EDF=60°，
∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，
∴∠AMD=∠NDC，
∴△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
而D点为AC的中点，
∴DC=AD=2，
∴AM•CN=4；
（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，∴AP=CQ=1，
∴DP=DQ=3，
∵BD为等边三角形的高，
∴点D到EF的距离为DB，
∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，
在图（1）中，AM=1，
∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，
当M 点在线段AB 的延长线上，如图（备用图），
过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，
∴DH=2
1BC=2，BH=2， ∵BM=2，
∴BP=2
1DH=1，与①一样可证得△AMD ∽△CDN ， ∴AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，
4、解答：（1）将△BMC 绕B 点逆时针方向旋转，使C 点与A 点重合，得△BM ′A ， ∵∠MBM ′=60°，BM=BM ′，AM ′=MC ．
∴△BMM ′为正三角形．
∴MM ′=BM ．
①若M ′在AM 上，
则AM=AM ′+MM ′=BM+MC ，
②若M ′不在AM 上，连接AM ′、MM ′，
在△AMM ′中，根据三角形三边关系可知：
AM ＜AM ′+MM ′，
∴AM ＜BM+MC ，
综上所述：AM ≤BM+CM ；
（2）线段AM 有最大值．
当且仅当M ′在AM 上时，AM=BM+MC ；
存在的条件是：∠BMC=120°．
5、解答：解：（1）∵△ABC 是正三角形，
∴AB=AC ，∠BAC=60°，
∵线段AP 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP 1，
∴AP=AP 1，∠PAP 1=60°，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∠CAP 1+∠PAC=∠PAP 1=60°，
∴∠BAP=∠CAP 1，
∵在△APB 与△AP 1C 中，
∴△APB≌△AP1C（SAS）；
（2）连结PP1，
∴AP=AP1，∠PAP1=60°，
∴△PAP1是等边三角形，
∴PP1=AP=3，∠AP1P=60°，
∵△APB≌△AP1C，
∴CP1=BP=4，
∵CP=5，
∴PP12+CP12=CP2，
∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，
∴∠APB=∠AP1P+∠CP1P=60°+90°=150°；。