旋转的证明与计算(等边三角形)

旋转的证明与计算

模块一：旋转应用之等边旋转

类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于

考点：旋转的性质；正方形的性质

分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2

11121=⨯⨯=∆APE S ；2

93321=⨯⨯=∆CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422

121=⨯⨯=⨯⨯=∆EF EP S PEF 最后利用S 正方形

A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．

跟踪训练：

2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3

少度？

考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理

分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转

60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，

2

AP′=AP=2，P′C=PB=3

，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC．

2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．

（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；

（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；

（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC ，根据相似三角形的判定定理得到△AMD ∽△CDN ，有相似的性质得到AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，然后把DC=AD=2代入计算即可；

（2）分别过D 点作DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，连DB ，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=3，由AM=x ，得CN=x 4，MB=4-x ，BN=x

44 ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN ，则y=S △D B M +S △D B N ，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x 的取值范围为1＜x ＜4；

（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M 点在线段AB 的延长线上，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，BP=2

1DH=1，由△AMD ∽△CDN ，则AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，可计算出CN ，然后根据三角形的面积公式可计算出S △D P N ，即两块三角形板重叠部分的面积．

3、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．

（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；

（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存

在，请说明理由．

考点：旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．

分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△

BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△

BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．

（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时

4、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1，连结P1C．

（1）判断△APB与△AP1C是否全等，请说明理由；

（2）求∠APB的度数；

（3）求△APB 与△APC的面积之和；

（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；

勾股定理．

分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋

转的性质可得AP1=AP，然后求出∠CAP1=∠BAP，再利用“边角边”证

明△APB与△AP1C全等即可；

（2）连结PP1，求出△PAP1是等边三角形，根据等边三角形的性质可

得PP1=AP=3，∠AP1P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP1P=90°，

然后计算即可得解；

（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；

（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．